2.6三角函数在电工学中的应用解析

2.6 三角函数在电工学中的应用

旧课复习：正弦定理、余弦定理:

B b A a sin sin sin =

A bc c b a cos 2222-+=;

B ca a c b cos 22

22-+=; .cos 2222C ab b a c -+=

新课引入：

1.分析正弦交流电流的变化规律举例

我们知道,正弦交流电的电流强度i 随时间t 变化的规律

为

)sin(

0?ω+=t I i m . 其中m I ------电流强度的最大值,称为幅值(或峰值);

ω-------称为角频率(或圆频率),它表示电流变化的快慢,其单位是“弧度/秒”;

0?-------称为初相位(或初位相或初相);0?ω+t 称为t 时刻的相位(或位相),

它是发电机转子的绕组面在t 时刻所在位置与定子磁场方向所成的角(图2-12).这里,i 关于t 是正弦型函数,因此我们可以利用正弦型函数的图象

(正弦波形)和性质来具体分析正弦交流电流i 随时

间t 的变化情况. 例

1 图

2-13画出了两种正弦交流电的电流

强度i 随时间t 变化在一个周期里的图象,其中横坐标表示

t ω.

根据图2-13,回答下列问题: (1)1i 与2i 的幅值各为多少?

(2) 1i 与2i 的周期相等吗?是多少?

(3) 1i 与2i 哪个先达到最大值?

解: (1)从图2-13中可以看出, 1i 的幅值为30A ,2i 的幅值为20A .

(2) 图2-13中,横轴代表t ω,从图中看出, t ω每增加(减少) , 1i 与2i 函数值都不变.因此1i 与2i 的周期相同,

都等于ω

(3) 从图2-13中看出,当6

ω=t 时,1i 达到最大值; 当

2π

ω=t 时, 2i 达到最大值.因此1i 先达到最大值. 从图2-13中还可以看出, 1i 的初相位是

,2i 的初相位

是6

根据上述分析,可以写出1i 与2i 的解析表达式如下:

??? ?

+=3sin 301πωt i ,

? ?

-=6sin 202πωt i ,

(可以确定ω的值,这里从略)

正弦交流电完成一次周期性变化所需的时间称为周期(单位:秒,记作s),用T 表示,根据正弦型函数的周期性,ω

:单位时间内交流电完成周期性变化的次数称

为频率(单位:赫兹,记作Hz),用f 表示.显然

f 1

=,从而

πω2=.两个同频率的交流电的相位角或初相位角之

差,称为相位差.

以上电流1i 与2i 是两个同频正弦电流,它们的相位差是

>=??

? ??--π

ππ.

我们称1i 比2i 的相位超前

2π,或者说2i 比1i 的相位滞后2

π.如上所说, 1i 比2i 先达到最大值.

例 2 已知正弦交流电流i (安)与时间t (秒)的函数关系为

??? ?

-=4100sin 30ππt i (0≥t ).

(1) 试指出它的角频率、频率、周期、幅值及初

相位各是多少?

(2) 设0=t 秒、

0025.0=t 秒时电流的瞬时值分别为0i 、1i ,试比较0i 与1i 哪个较大? (3) 试画出它在一个周期内的简图,并指出电流在这个周期内的变化情况. 解:(1)角频率πω100=(rad/s),

频率5021002===π

πωf (Hz),

周期02.01

T (s), 幅值30=m I (A),

初相位4

0π

?-=(rad).

(2)当0=t 时,215-=i (“-”号表示流向),所以2150=i (安);当0025.0=t 时, 0=i ,所以01=i (安).因此, 0i 比1i 大. (3) 列表

描点画图(图2-14)

续变化到0.0075秒时,电流从0安逐渐增大到幅值30安; 当时间从0,0075秒连续变化到0.0125秒时,电流从30安逐渐减小到幅值0安. 在后半个周期内,电流的变化规律与前半个周期内的情形相似,但流向相反.

例3 图2-15是一个正弦交流电流的图象,根据图象求出它的周期、频率、幅值和初相位，并写出电流i 关于时间t 的函数关系式.

解: 根据图象可知,

电流的周期2.005.025.0=-=T (s).

所以频率52

.011===

T f (Hz). 角频率ππω102==f (rad/s)

由图又知, 幅值10=m I (A),起点

坐标为(-0.05,0).由正弦型函数起点坐标的求法,有图2-15

05.0100-=-π

? 于是, 初相20π

?=(rad)

因此,该正弦交流电的函数关系式为

sin 10=i (2

10π

π+t ).

正弦交流电的电压v 随时间t 变化的规律为 sin m V v =（0ψω+t ），

其中m V 是电压的最大值,称为幅值(或峰值),同样,ω称为角频率(或圆频率),0ψ称为初相位(或初相),0ψω+t 称为t 时刻的相位.

类似地,正弦电压的周期ω

2=T (单位:s),频率

f 1

=(单位:Hz),f πω2=(单位:rad/s) 在电工学中, 正弦交流电的电流和电压都简称为正弦量.显然,正弦量由幅值、角频率和初相位唯一确定.

课堂练习：习题2.6 的1、2、3题（请学生回答）

2.求两个同频率的正弦交流电合成举例

在电工学里,对交流电路的分析过程中,经常遇到对同频率的正弦量求和的运算,称之为同频率正弦量的合成.例如:

设有两个同频率的正弦电流(单位:A)

)sin(111?ω+=t I i m , )sin(222?ω+=t I i m , 把它们合成,即

)sin()sin(221121?ω?ω+++=+=t I t I i i i m m i 又称为电流1i 与2i 的总电流.

例 4 求两个同频率的正弦电流??? ?

+=3100sin 31ππt i 与

??? ?

+=6100sin 2ππt i 相加的总电流.

解: 设1i 与2i 的合成电流为i ,则 21i i i +=

?? ??

++??? ??+=6100sin 3100sin 3ππππt t ??++??? ?

+=6sin

100cos 6cos 100sin 3sin 100cos 3cos 100sin 3ππππππππt t t t

t t ππππππ100cos 6sin 3sin 3100sin 6cos 3cos 3??? ?

++??? ??+=

t t ππ100cos 2100sin 3+= ???

? ??+=t t ππ100cos 72

100sin 737

)100sin(70?π+=

t ,

其中3

arctan 0=?.因此合成电流i 也是正弦电流,且与

1i 、2i 同频率.

由上可见,用和角的正弦公式能求出两个同频率的正弦

量的合成结果,但计算非常繁琐.下面将给出一种较简单的解法.

根据2.3节讨论的结果可知,正弦量除了用正弦型函数或正弦波形表示之外,还可以用旋转向量来表示.画旋转向量来表示正弦量,是繁琐的.在电工学中,通常只用初始位置(0=t )的向量来表示一个正弦量,它的长度等于正弦量的幅值,它与横轴正方向间的夹角等于正弦量的初相位.但是我们应该具有这样的概念:这个向量是以正弦量的角频率作逆时针方向旋转的,它在纵轴上的投影(纵坐标)表示正弦量的瞬时值.

在实际问题中我们所涉及的往往是正弦量的有效值.因此为了方便起见,常使向量的长度等于正弦量的有效值.显然,这时它在纵轴上的投影就不能代表正弦量的瞬时值了. 由电工学可知,正弦电流和电压的有效值与幅值的换算关系为:2

m I I =

m V V =

为了与物理向量(例如电场力、电场强度等)区别,表示随时间而变化的正弦量的向量我们称为相量,并在所注文字上方打一“·”. 例如电流和电压的幅值相量分别记作?

m I 和?

m V ,它们的有效值相量分别记作?

I 和?

V .

由于正弦量由幅值、角频率和初相位唯一确定,因此

按照各个同频率的正弦量的幅值(或有效值)和初相位画出若干个相量的图形称为相量图. 由2.3节讨论亦可知,

两个同频率的正弦量相加(相同物理量相加),其结果是一个同频率的正弦量,它们的相量之和,就是它们的和的相量.因此,我们可以利用两个同频率的正弦量(相同物理量)的相量图,采用平行四边形法则求它们的和相量, 再通过解三角形便可求得这两个同频率的正弦量之和的幅值和初相位,从而得出两个同频率的正弦量的合成结果.

例 5 已知两同频率的正弦电流sin 81=i ( 60+t ω)安和s in 62=i ( 30-t ω)安,求21i i i +=.

解: 先作1i 和2i 的幅值相量?m I 1和?

m I 2,以该两相量为邻边作一平行四边形, 平行四边形的对角线即为两正弦电流之和i 的幅值相量?

m I

x (图2-16).

因为1i 和2i 的相位差恰为 90,所以i 的幅值

而i 的初相位

37608

arctan 60-=-=?,

所以 sin 10=i ( 23+t ω)安.

例6 在图2-17的电路中,设 sin 11m I i =(1?ω+t )=sin 100( 45+t ω)安, i sin 22m I i =(2?ω+t )=sin 60( 30-t ω)安,

试求总电流i .

解: 根据表示正弦量的几种方法对本题分别进行计算如下:

(1)用三角函数式求解

sin 121m I i i i =+=(1?ω+t )+sin 2m I (2?ω+t )

m I 1=(11sin cos cos sin ?ω?ωt t +)+m I 2(22sin cos cos sin ?ω?ωt t +)

=(2211cos cos ??m m I I +)t ωsin +(2211sin sin ??m m I I +)t ωcos 设 sin m I i =(?ω+t )=t I t I m m ω?ω?cos sin sin cos +

211cos cos cos ???m m m I I I +=, 2211sin sin sin ???m m m I I I +=,

因此总电流i 的幅值为

()()2

22112

2211sin sin cos cos ????m m m m

m I I I I

I +++=

, 电流i 的初相位为

???

??++=22112211cos cos sin sin arctan ?????m m m m I I I I .

将本题中的1001=m I 安、602=m I 安、 451=?、

302-=?代入，则得

()

()1297.407.122307.70527.70222

=+=-++=

m I 安，

02187.1227.40arctan 527.70307.70arctan '=??

? ??=???

??+-=

故得 sin 129=i (0218'+ t ω)安.

(2)用正弦波形求解

先作出表示电流1i 和2i 的正弦波形,而后将两波形的纵坐标相加,即得总电流i 的正弦波形,从此波形上便可量出i 的幅值和初相位(图2-18).

(3)用相量图求解

先作出表示电流1i 和2i 的幅值相量?

m I 1

和?

m I 2,而后以?

m I 1和?

m I 2为邻边作一平行四边形,其对角线即为总电流i 的幅值相量?

m I , 它的长度即为幅值,它与横轴正的夹角即为初相位(图2-19或图2-18缩小版).

从向量图上可以量出i 的幅值和初相.

4用相量图通过解三角形求解先作出表示电流1i 和2i 的幅值相量?

m I 1 和?

m I 2,而后以?

m I 1和?

m I 2为邻边作一平行四边形,其对角线即为总电流i 的幅值相量?

m I ,它的长度即为幅值,它与横轴正方向间的夹角即为初相位(图2-19).

因为1i 与2i 的相位差-=- 4521??(- 30)= 75 所以,由余弦定理得

cos 22122212

???-+=m m m m m I I I I I ( 75180-) 105cos 6010026010022???-+= 16706=,

因此, i 的幅值12916706==m I 安; 又根据正弦定理,有

sin (

30+?)=

7488.0129

105sin 100105sin 1=?=

m m I I , 所以i 的初相位

9218307488.0arcsin '=-= ?. 于是 sin 129=i (9218'+ t ω)安.

最后指出,如果用相量表示正弦交流电,则正弦交流电路中的希尔荷夫定律具有相量形式.

本堂课作业：习题2.6 的4、5题本堂课归纳小结：正弦交流电的电流强度i 及电压v 对时间t 的函数关系分别为:

sin m I i =(0?ω+t ) (0,0>>ωm I ); sin m V v =(0?ω+t ) (0,0>>ωm V ),

它们都是正弦型函数.掌握了正弦型函数图象和性质,也就掌握了正弦交流电随时间变化的

在电工学中, 正弦交流电的电流和电压都简称为正弦量, 正弦量可以用相量来表示.有