苏教版高中数学必修4第2章 平面向量 全章复习讲义设计(含答案解析)
【知识梳理】知识点一：向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如,,,a b c r r rL 等.(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB uuu r ，CD uuu r 等.(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA u u u r的起点O 为在坐标原点，终点A 坐标为(),x y ，则(),x y 称为OA u u u r 的坐标，记为OA u u u r=(),x y .3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a r 与b r相等，记为a b =r r .4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：0r与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点二、向量的运算 1.运算定义 运 算 图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA --→+OB --→=OC --→OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1，y 1)，OB --→=(x 2，y 2)则OA OB +uu u r uuu r=(x 1+x 2，y 1+y 2) OB OA -uuu r uu u r=(x 2-x 1，y 2-y 1)OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积AB a λ--→→=R λ∈记a →=(x ，y) 则()a x y λλλ→=，两个向量的数量积cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r记1122(,),(,)a x y b x y ==r r则a b →→⋅=x 1x 2+y 1y 22.运算律坐标语言：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==r r，则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x(4)两个向量数量积的重要性质：①22||→→=a a 即 2||→→=a a (求线段的长度)；②(垂直的判断)；③cos a ba bθ⋅=⋅r r r r (求角度).注：1. 向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提. 2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. (1)用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向 量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)②证明垂直问题，常用垂直的充要条件⇔02121=+y y x x③求夹角问题，利用cos a ba bθ⋅=⋅r r r r⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a ⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a 222221212121y x y x y y x x +++=222222222(3)(75)0,(4)(72)0.716150730802,112cos .602a b a b a b a b a a b b a a b b a b b a b b a b a b bθθ+-=--=+-=-+===∴===∴=or r r r r r r rg g r r r r g r r r r g r r r r r g r r r g r r r g 由已知：即两式相减，得代入其中任一式，得，例10.已知向量(cos(),sin()),(cos(),sin())22a b ππθθθθ=--=--r r ，（1）求证：a b ⊥r r ;（2）若存在不等于0的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka tb =++=-+r r r u r r r 满足x y ⊥r u r 试求此时2k t t+的最小值。
【思路点拨】（1）可通过求0a b ⋅=r r证明a b ⊥r r ;（2）由x y ⊥r u r 得0x y ⋅=r u r ，即求出关于k ，t 的一个方程，从而求出2k t t+的代数表达式，消去一个量k ，得出关于t 的函数，从而求出最小值。
【解析】（1）cos()cos()sin()sin()sin cos sin cos 0.22a b a bππθθθθθθθθ=--+--=-=⊥Q g g g （2）由x y ⊥r u r 得0x y ⋅=r u r，即222322232233232222[(3)]()0,(3)[(3)]0(3)0.1,1,30,3.31113().24111.24a tb ka tb ka t t b t k t a b k a t t b a b k t t k t t k t t t t t t t t t k t t t ++-+=∴-+++-+=∴-++===∴-++=∴=-+++==++=+++=-r r r r r r r r g g r r r r 又故当时，有最小值 举一反三：【复习训练】1.在以下关于向量的命题中，不正确的是( )A.若()()()0a x y b y x x y ==-≠r r ，，，，、，则a ⊥bB.四边形ABCD 是菱形的充要条件是AB DC =u u u r u u u r ，且AB AD =u u u r u u u rC.点G 是△ABC 的重心，则D.△ABC 中，AB u u u r 和CA u uu r 的夹角等于180°-A2.若a r 、b r 、c r为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是( ) A.()()a b c a b c ++=++r r r r r r B.()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r rC.m(a b +r r )=m a r +m b rD.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r3.设a r 、b r 、c r是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①(a r ·b r )c r -(c r ·a r )b r =0 ②|a r |-|b r |<|a r -b r|③(b r ·c r )a r -(c r ·a r )b r 不与c r 垂直④(3a r +2b r )(3a r -2b r )=9|a r |2-4|b r |2中，是真命题的有( ) A.①②B.②③C.③④D.②④4.如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =u u u r( )(A)12BC BA -+u u u r u u u r (B)12BC BA --u u u r u u u r(C)12BC BA -u u u r u u u r (D)12BC BA +u u u r u u u r5.P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 是△ABC 的( )0GA GB CG ++=u u u r u u u r u u u r【解析】向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，∴ (4,7),(2,2)AB k AC k =--=--u u u r u u u r又A 、B 、C 三点共线，故(4-k ，-7)=λ(-2k ，-2)，∴k=23-12.【答案】[-6，2] 【解析】2(2,2),(5,).(3,2)||92)a b k a b k a b k =-=+=++=++r r r r r r 则（2)29k ++（≤5 ∴62k -≤≤.13.【答案】4=x【解析】∵//a b r r ，∴1221y x y x =，∴x 362=⋅，∴4=x .14.【解析】法一：设()c x y →=，，则3a c x y ⋅=-r r ，3b c x y ⋅=+r r ∵ a c b c →→→→=，，，∴ ||||||||a c b c a c b c →→→→→→→→⋅⋅=∴ 33x y x y -=+ 即(23)x y =+ ①又2c →=，∴ x 2+y 2=2 ②由①②得312312x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 或312312x y ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩(舍) ∴3131(,)22c →+-=. 法二：从分析形的特征着手。
苏教版必修四第二章平面向量第四讲向量的数量积(习题+解析)
高中向量的数目积数学（答题时间： 40 分钟）1. 以下式子：① a 2b ＝ b； ② （ a ·b ） 2＝ a 2·b 2； ③ a ·a ·a ＝a 3 ；④ （ a ·b ） ·c ＝ a ·（b ·c ）aa此中错误的序号为 ________。
*2. （安徽高考）若非零向量 a ，b 知足 |a|＝ 3|b|＝ |a ＋ 2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为 _______。
**3. （山东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知 OA ＝（－ 1， t ）， OB ＝（ 2，2），若∠ ABO ＝ 90°，则实数 t 的值为 ________。
*4.在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC ＝ 2 BD ，CA ＝ 3 CE ，则 AD ·BE ＝ ________。
**5. 已知向量 a ＝（ 1， 2）， b ＝（－ 2，－ 4），|c|＝ 5 ，若（ a ＋ b ） ·c ＝5，则 a 与 c 的2夹角是 ________。
**6.→ →已知向量 OA ＝（ 2，2）， OB ＝（ 4，1），O 为坐标原点， 在 x 轴上取一点 P 使AP ·BP 有最小值，则点 P 的坐标是 ________。
**7. 已知 |a|＝ 5， |b|＝ 4，且 a 与 b 的夹角为60°，则当 k 为什么值时，向量 ka － b 与 a ＋ 2b 垂直？**8. 已知 |a|＝ 2 ， |b|＝ 3， a 和 b 的夹角为 45°，求当向量 a ＋λb 与 a ＋ b 的夹角为锐角时 λ的取值范围。
***9.已知 a ＝（ 3 ，－ 1）， b ＝（ 1 ，3），且存在实数 k 和 t ，使得 x ＝ a ＋（ t 2－ 3）k t 222的最小值。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示课时训练(含解析)苏教版必修4
§2.1 向量的概念及表示课时目标1．掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量的概念(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，如速度、位移、力等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等． 注意 数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 2．向量的几何表示(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作________．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就惟一确定．(2)向量的有关概念：向量AB →的________称为向量AB →的长度(或称为模)，记作|AB →|.长度为________的向量叫做零向量，记作0.长度等于________个单位长度的向量，叫做单位向量．3．平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量a 与b 平行，通常记为a ∥b .规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量a ，都有0∥a . 4．相等向量与共线向量(1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，通常记为a ＝b .任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量．(2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量． 5．相反向量我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的________________，记作________，a 与－a 互为________________，并且规定零向量的相反向量仍是____________．于是，对任一向量a 有____________．一、填空题1．下列命题中正确的个数为______．①向量a 与向量b 平行，则a 、b 方向相同或相反；②若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于0方向不确定，故0不能与任何向量平行； ⑤若向量a 与向量b 方向相反，则a 与b 是相反向量． 2．下列结论中，正确的是________．(填序号)①向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →同义；②若向量AB →∥CD →，则向量AB →与DC →共线；③若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →；④只要向量a ，b 满足|a |＝|b |，就有a ＝b .3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________． 4．下列说法正确的有________．(填序号)①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．5．下列四个命题①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b ，或a ＝－b ； ③若a ∥b ，则|a |＝|b |； ④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的个数是________．6．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填写序号) 7．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号) ①向量的模一定是正数；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；③向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 8．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号) ①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④有相同起点的两个非零向量不平行．9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形． ①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点； ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点． ①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．二、解答题 11.在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1. (1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？12.如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．能力提升 13.如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 14.如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c . (1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑． 2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a >b 没有意义，而|a |>|b |有意义． 3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．第2章 平面向量 §2.1 向量的概念及表示知识梳理 1．(1)方向2．(1)AB →(2)大小 0 1 3．相同 相反 平行 4．(1)长度 (2)直线5．相反向量 －a 相反向量 零向量 －(－a )＝a 作业设计 1．02．①②③解析 根据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确；根据向量相等的概念知③正确；④不正确． 3．菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形． 4．②⑤解析 ②与⑤正确，其余都是错误的． 5．2解析 ②③错，①④正确． 6．①③④解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立． 7．②解析 ①错误.0的模|0|＝0.②正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．③错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上． 8．③解析 若b ＝0，则a 与c 不共线，①不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，②不正确；若a ，b 中有一个是零向量，则a 与b 一定共线，③正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，④不正确． 9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线 10.FE →，BC →，CB →解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点， ∴EF ∥BC ，∴符合条件的向量为FE →，BC →，CB →. 11．解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(如图)． (2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(如图)．12．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.13．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→，∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|. ∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.14．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.。
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件第2章 平面向量 章末整合提升
专题一
专题二
专题三
迁移训练 2-1 已知向量 a=(x,x+ )与向量 b=(2x,-3)的夹角 θ 为钝角,则实数 x 的取值范围为 错解:∵ cos θ= .
������·������ ,θ |������||������| 2 3 2 3
为钝角,
∴ a·b<0,即 2x2-3(x+ )<0. 解得- <x<2.
专题一
专题二
专题三
专题一 平面向量中常见错误的剖析
平面向量是高中数学课本中的新增内容,它与我们以前学过的数、 形有明显不同,所以我们在初学这部分内容时,往往会出现这样或那样 的错误.
专题一
专题二
专题三
1.概念混淆致误 例 1 已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若������������ = ������������+λ������������ (λ∈R), 试求 λ 为何值时,点 P 在第三象限. 错解:∵ ������������ = ������������+λ������������ =(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ), 3 + 5������ < 0, 又∵ 点 P 在第三象限,∴ 1 + 7������ < 0. 解得 λ<- . 诊断:只有当向量的起点在原点时,向量的坐标才是向量终点的坐 标,否则向量坐标与终点坐标不同,上述解法就是混淆了向量坐标与点 的坐标,误把������������的坐标当作点 P 的坐标,因而解法二
专题三
正解:在上述解法的基础上,再补充如下: 若 a∥b,则-3x-2x ������ + 解得 x=0 或 x=- , 又 x∈ - , 2 , ∴ x=- 舍去, 但当 x=0 时,θ=π, 故 x 的取值范围为 - ,0 ∪(0,2). 答案: - ,0 ∪(0,2)
高中数学 第2章 平面向量 2.3 向量的坐标表示知识导航 苏教版必修4
2.3 向量的坐标表示知识梳理一、平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1和λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1和e2叫做这个平面内所有向量的一组基底.二、平面向量的正交分解、向量的坐标及坐标运算1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2.向量的坐标平面内的任意向量a,当它的起点移至原点O时,其终点坐标都可以由x、y唯一确定，我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x,y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标.3.和与差的坐标运算两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).已知向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2).4.实数与向量积的运算实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.已知向量a=(x1,y1),则λa=(λx1,λy1).5.向量的坐标与端点坐标的运算一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.已知A(x1,y1)、B(x2,y2)，则=(x2-x1,y2-y1).三、平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)(b≠0)，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b共线.知识导学要学好本节内容，可通过探究活动分析向量e1、e2可能的位置，区分出共线、不共线两种情况，然后作出两种情况下3e1+2e2、e1-2e2，在此基础上验证共线时“不能”，不共线时“总能”的结论，从而自主得出平面向量基本定理，掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法.在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.平面向量基本定理是平面向量的核心内容之一.通过理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，根据向量的坐标，判断向量是否共线.疑难突破1.平面向量基本定理.剖析：(1)设e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任意向量，则a 能用e1和e2线性表示(存在性).如图2-3-1，在平面内任取一点O，作=e2，=e1，=a.过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点N；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点M.由向量的线性运算性质,可知存在实数λ1和λ2，使得OM=λ1=λ1e1，ON=λ2=λ2e2.=OM+=OM+ON=λ1 e1+λ2e2.也就是说，任一向量都可以表示成λ1 e1+λ2e2的形式.图2-3-1(2)上述线性组合的表示是唯一的，即实数λ1和λ2唯一确定(唯一性).若存在λ1，λ2，μ1,μ2∈R，且a=λ1e1+λ2e2,a=μ1 e1+μ2e2，则λ1 e1+λ2e2=μ1 e1+μ2e2，即(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0.∵e1和e2不共线，∴λ1-μ1=0,λ2-μ2=0.∴λ1=μ1,λ2=μ2.(3)任何一组不共线向量都可以作为基底，但为了解题方便，一组向量a、b作为基底时应满足条件：①a、b不共线；②a、b的夹角已知；③a、b的模已知.(4)解决具体问题时，适当选择一组基底e1和e2，利用平面向量基本定理，把几何问题转化为关于e1和e2的代数问题.2.平面向量的正交分解.剖析：我们可以借助实例形象直观地来理解平面向量的正交分解，如：一木块在一斜面上静止，斜面上的木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块平行于斜面的力F1的作用，这是摩擦力的来源；一是木块产生垂直于斜面的压力F2.也就是说，重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2,F1、F2就是重力G的一组分解.注意到F1和F2垂直，这种分解就是正交分解.3.从多个角度来理解向量的坐标.剖析：如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量a，则(1)i=(1,0),j=(0,1),0=(0，0).(2)在直角坐标系内，以原点为起点作向量=a，则点A的位置由向量a唯一确定.(3)设OA=x i+y j，则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量OA的坐标(x,y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示,即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.(4)两向量相等的充分必要条件是它们对应的坐标相等.(5)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同.。
高中数学苏教版必修四《第2章平面向量2.1向量的概念及表示》课件
2.1
向量的概念 及表示
O
湖面上有三个景点O，A，B，如图所 示.一游艇将游客从景点O送至景点A， 半小时后，游艇再将游客从A送至景点 B.从景点O到景点A有一个位移，从景 点A送至景点B也有一个位移.
位移和距离这两个量有什么不同？
B A
这些量的有哪些共同点？
F F
V
向量. 它们都是有大小和方向的量 称为
不相等的单位向量有__2___个.
练习10：如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边是的中
C、D、E、F为端点的有向线
段表示的向量中请分别写出
A
（1）与向量CD共线的向量有___个,
分别是______________________； E
（2）与向量DF的模一定相等的向
量有__个,分别是_________________；
B
B
D
A
A
C
过关竞技场
题：
1
2
3
4
5
题：
6
7
8
9
题：
10
11
练习1： (1)单位向量是否一定相等？
不一定
(2)单位向量的大小是否一定相等？ 一定
练习2： (1)平行向量是否一定方向相同？
不一定
(2)不相等的向量一定不平行吗？
不一定
练习3 (1)与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
(2)与任意向量都平行的向量是什么向量？
正确的有：（4）
练习7:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 ( B ) A.相等向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.共起点的向量
练习8：
苏教版必修四第2章平面向量作业题及答案解析
第2章 平面向量§2.1 向量的概念及表示 课时目标1．掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量的概念(1)向量:既有大小又有________的量叫做向量，如速度、位移、力等．(2)数量:只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等． 注意 数量可以比较大小，而向量无法比较大小．2．向量的几何表示(1)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作________．有向线段包含三个要素:起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就惟一确定．(2)向量的有关概念:向量AB →的________称为向量AB →的长度(或称为模)，记作|AB →|.长度为________的向量叫做零向量，记作0.长度等于________个单位长度的向量，叫做单位向量．3．平行向量:方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量a 与b 平行，通常记为a ∥b .规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量a ，都有0∥a .4．相等向量与共线向量(1)相等向量:________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，通常记为a ＝b .任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量．(2)共线向量:任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量．5．相反向量我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的________________，记作________，a 与－a 互为________________，并且规定零向量的相反向量仍是____________．于是，对任一向量a 有____________．一、填空题1．下列命题中正确的个数为______．①向量a 与向量b 平行，则a 、b 方向相同或相反；②若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →；③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反；④由于0方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤若向量a 与向量b 方向相反，则a 与b 是相反向量．2．下列结论中，正确的是________．(填序号)①向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →同义；②若向量AB →∥CD →，则向量AB →与DC →共线；③若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →；④只要向量a ，b 满足|a |＝|b |，就有a ＝b .3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．4．下列说法正确的有________．(填序号)①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．5．下列四个命题①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b ，或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的个数是________．6．给出以下5个条件:①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0； ⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填写序号)7．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号)①向量的模一定是正数；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；③向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上．8．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号)①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．二、解答题 11. 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？12.如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．能力提升 13.如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证:(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→.14.如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a >b 没有意义，而|a |>|b |有意义．3．共线向量与平行向量是同一概念，规定:零向量与任一向量都平行．第2章 平面向量§2.1 向量的概念及表示知识梳理1．(1)方向2．(1)AB → (2)大小 0 13．相同 相反 平行4．(1)长度 (2)直线5．相反向量 －a 相反向量 零向量 －(－a )＝a作业设计1．02．①②③解析 根据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确；根据向量相等的概念知③正确；④不正确．3．菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．4．②⑤解析 ②与⑤正确，其余都是错误的．5．2解析 ②③错，①④正确．6．①③④解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．7．②解析 ①错误.0的模|0|＝0.②正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．③错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD→必须在同一直线上．8．③解析 若b ＝0，则a 与c 不共线，①不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，②不正确；若a ，b 中有一个是零向量，则a 与b 一定共线，③正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，④不正确．9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线10.FE →，BC →，CB →解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点，∴EF ∥BC ，∴符合条件的向量为FE →，BC →，CB →.11．解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(如图)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(如图)．12．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点， 所以与EF →共线的向量有:FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有:FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有:DB →与CD →.13．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→，∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.14．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.。
高中数学 第二章 平面向量章末复习课学案 苏教版必修4
第二章平面向量学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用．1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．2.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的_______向量a，______________实数λ1，λ2，使a＝________________.②基底：把____________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．(2)向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________________．3．向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，类型一 向量的线性运算例1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．跟踪训练1 在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC →＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由．类型二 向量的数量积运算例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小．反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. ②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))． (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．类型三 向量坐标法在平面几何中的应用例3 已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小．反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性． 跟踪训练3 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝________.1．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →＝________.2．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________． 4．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.5．平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t )．1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．答案精析知识梳理1．(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) 相同 相反 (λx 1，λy 1) x 1x 2＋y 1y 2 2．(1)①不共线 任意 有且只有一对 λ1e 1＋λ2e 2 ②不共线 所有 (2)b ＝λa 3．b ＝λa (a ≠0) a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 题型探究 例1311跟踪训练1 解 假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.BD →＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23(BC →＋CE →)＝BC →＋23CE →⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13CA →.所以当点D 为AC 的三等分点⎝ ⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，BD →＝13BC →＋23BE →.例2 解 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1， ∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k)．由函数的单调性可知，f (k )＝14(k ＋1k )在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，∴θ＝60°.跟踪训练2 解 (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))， ∴AB →＝(3,1)，BC →＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →不平行，∴－3m ≠－m －1，解得m ≠12，∴当实数m ≠12时满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.例3 解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c ，0)，则B (－c ，0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c,0)． 因为BB ′，CC ′为AC ，AB 边上的中线， 所以BB ′―→＝12(BC →＋BA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，a 2，同理CC ′―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，a 2.因为BB ′―→⊥CC ′―→，所以BB ′―→·CC ′―→＝0， 即－9c 24＋a 24＝0，化简得a 2＝9c 2，又因为cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.即顶角A 的余弦值为45.跟踪训练3 3当堂训练1．－2 2.9 3.－2 4．2 5 5.14(t 3－3t )。
高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积课件苏教版必修4
1．数量积的定义． 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则把数 量|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积，记作 a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为 0． 2．向量的数量积的几何意义． (1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos θ． ②向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cos θ．
一、数量积的定义
已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角是 θ，则 a·b ＝|a||b|cos θ(0≤θ≤π)．
其中|a|cos θ(|b|cos θ)叫作向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方 向上)的投影．
说明：(1)当 a≠0 时，由 a·b＝0 不能推出 b 一定是零 向量．这是因为任一与 a 垂直的非零向量 b，都有 a·b＝0.
A．－32a2
B．－34a2
C.34a2
D.32a2
(2)如图所示，△ABC＝ 2， 所以|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. 答案：(1)D (2)4
(2)已知实数 a，b，c(b≠0)，则 ab＝bc⇒a＝c.但对向量 的数量积，该推理不正确，即 a·b＝b·c 不能 推出 a＝c.由右图很容易看出， 虽然 a·b＝b·c，但 a≠c.
题型 1 向量数量积的运算
[典例 1] (1)(2015·山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为
a，∠ABC＝60°，则B→D·C→D＝( )
高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积1课件苏教版必修4
⑦对任意向量 a 、 b 、 c 都有( a b )· ( b c )； c =a ·
⑧ a 与 b 是两个单位向量，则 a 2 = b
2
例2
已知向量
a 与向量 b 的夹角为 ，|a|＝2，| b |＝3，
分别在下列条件下求 a b ：
1350 ； （1 ）
a ∥b ； （2 ） （3）a ⊥ b
已知两个向量 a 和 b ，作 OA = a ， OB = b ，
则 AOB （ 0 180 ）叫做
向量 a 与 b 的夹角．
当 0 时， a 与 b 同向；
当 180 时， a 与 b 反向；
当 90 时， a 与 b 的夹角是 90 ，我们说 a 与 b 垂直，记作 a b ．
高中数学 必修4
问题情境
【提出问题】：向量的运算有向量的加法、减法、数乘， 那么向量与向量能否“相乘” 呢？
学生活动
【提出问题】：物理学中，物体所做的功的计算方法：
W | F || S | cos （其中 是 F 与 S 的夹角.)
F
S
建构数学
【提出问题】：求功的运算中可以抽象出什么样的数学运算？ 1.向量夹角
4．数量积的几何意义 （1）投影的概念：
如图， OA = a ，过点 B 作 BB1 垂直于直线 OA ，
垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cos ． a │cos ）叫做向量 b 在 a 方向上（ a 在 b 方向上）的投影.
（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？
回顾反思
1.有关概念：向量的夹角、投影、向量的数量积.
高中数学第二章平面向量2.5向量的应用课件苏教版必修4
图 2-5-2
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2， 则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，A→F＝(2,1)，D→E＝(1，－2)．
阶
阶
段
段一Leabharlann 三2.5 向量的应用
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题． 2．会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)
[基础·初探] 教材整理 向量的应用 阅读教材 P91～P92 的全部内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
标法更好用．
[探究共研型]
平面向量在解析几何中的应用 探究 1 如何利用向量求经过点 P0(x0，y0)，且与 a＝(1，k)平行的直线 l 的 方程？ 【提示】 设直线 l 上任意一点 P(x，y)，则P→0P＝(x－x0，y－y0)． 由题意可知P→0P∥a，∴y－y0＝k(x－x0)．
利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、 夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段 看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.
1．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体 上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 f4，则 f4＝________.
【解析】 由题意知 f4＝－(f1＋f2＋f3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2)． 【答案】 (1,2)
因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.