数学思想方法在例题讲解中的渗透

数学思想方法在例题讲解中的渗透三年组开场白：各位领导、老师大家好：今天我们三年组将继续围绕《加强数学思想方法渗透，促进学生数学素养提升》这一小主题研讨活动，向大家作以汇报展示，我们本次活动确定的研讨主题是：“数学思想方法在例题讲解中的渗透”，分为以下两大版块进行：一、请吴雪娇老师上一节片断教学展示课，内容是《分数的初步认识》，二、组内成员就我们确立的“数学思想方法在例题讲解中的渗透”进行研讨。

首先有请吴老师为我们作课。

（30分）各位老师其实在接到这项活动任务后，我们的团队进行很深入讨论，“学校为我们确立了大致的研讨内容，那围绕着这几项研讨内容我们六个团队会不会出现太多雷同，在座的老师会不会觉得千篇一律而厌烦呢。

”后来在对研讨内容反复研读及进行资料的搜集和整理的过程，我突然领悟到了其实市区教研部门以及学校领导开展此次活动的良苦用心，是想通过本次活动给我们各位老师提供一次深入研究、学习有关数学思想方法理论的机会，所以接下来我们的团队就想把我们近期对“数学思想方法在例题讲解中的渗透”这一小主题的学习体会和实践，向大家作以汇报。

一、数学思想方法概念的界定吴：数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映；数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。

对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用。

因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法。

周：听你说了关于数学思想方法的界定以后，其实我们更关心的到底什么是小学的数学思想方法呢？王：所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。

所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。

数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。

而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。

一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。

但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。

如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。

周：听了你们二位介绍以后，我们对小学数学思想方法这个概念有了更深入的理解了。

那么我们在小学阶段都主要可以渗透哪些数学思想方法呢？二、小学阶段主要应渗透哪些数学思想方法？王：由于小学生认知能力和小学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想方法落实到数学教学过程中，而对有些数学思想方法不宜要求过高。

我们认为，在小学数学中应予以重视的数学思想方法主要有：1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。

如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。

2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。

假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

吴：3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。

在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

4、符号化思想方法用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想方法。

在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用，正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。

这种用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。

如在教学五册人教版新教材《搭配》一课时，一位老师设计了这样一个环节，在学生初步能够表示多种搭配方案后，出示生活中例子：衣服搭配、早餐搭配、奖品搭配(本质上用符号来表示是相同的)，请学生选择其中的一幅图，用自己喜欢的方式把搭配方案表示出来。

学生反馈时，如果是用文字等表示，一看就知道学生表示哪幅图；当一位学生用符号或数字来表示时，教师提问：你猜这位同学表示的是哪幅图？引起了学生的思考，也使学生了解了用符号表示的优点，原来用符号可以表示这三幅图，不仅如此，而且还可以表示更多其它的搭配。

周：5、类比思想方法数学上的类比思想方法是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。

就迁移过程来分，有些类比十分明显、直接、比较简单，如由加法交换律a+b=b+a的学习迁移到乘法交换律a×b=b×a的学习；而有些类比需在建立抽象分析的基础上才能实现，比较复杂。

6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。

如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。

王：7、分类思想方法数学中每一个概念都有其特有的本质特征，它又是按照一定的规律扩展变化的，它们之间都存在着质变到量变的关系。

要正确的认识这些概念，就需要具体的概念依据具体的标准具体分析，这就是数学的分类思想方法，即指按某种标准，将研究的数学对象分成若干部分进行分析研究。

一般我们分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。

如在教学分数意义时可让学生辨析提问：一根小棒的1/2与1/2米哪个更长？学生就要分类说明：如果这根小棒比1米短，那么1/2米长；如果这根小棒正好1米，那么一样长；如果这根小棒比1米长，那么1/2米短。

分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。

如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。

又如三角形可以按边分，也可以按角分。

不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。

对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

8、集合思想方法集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。

小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。

在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。

如用圆圈图向学生直观的渗透集合概念。

让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。

利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。

吴：9、数形结合思想方法数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。

另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。

在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。

10、统计思想方法：小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。

周：11、极限思想方法：事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。

在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

12、代换思想方法：他是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。

如学校买了4张桌子和9把椅子，共用去504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？王：13、可逆思想方法：它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推。

如一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。

吴：14、化归思维方法：把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。

而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。

让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。

15、变中抓不变的思想方法：在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解。

如：科技书和文艺书共630本，其中科技书20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本？16、数学模型思想方法：所谓数学模型是对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个目的，在作了一些必要的简化和假设之后运用适当的数学工具，并通过数学语言表达出来的一个数学结构。

而数学建模思想方法就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想方法。

如握手的次数、打乒乓球的次数问题可以通过建模成组合的问题等。

王 17、整体思想方法：对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法吴：刚才我们介绍了这么多种可以在小学阶段渗透的数学方法，那我个人觉得其实归纳总结一下，在小学阶段最常用的也是我们每位教师使用频率比较高的数学方法主要就是这六种：1．数形结合方法：2．化归思想方法3、．符号思想方法4．类比思想方法5．分类思想方法6．建模思想方法周：那么多种数学思想方法，你为什么认为在小学阶段主要应用的是这几种呢？吴：理由是：（1）这些数学思想方法几乎包摄了全部小学数学内容；（2）符合小学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；（3）在小学数学教学中，运用这些思想方法分析、处理和解决数学问题的机会比较多；（4）掌握这些思想方法可以为进一步学习中学数学打下较好的基础。

王：现代数学思想方法的内涵极为丰富，但这些数学思想方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果将更好些。