2021届全国新高考仿真模拟试题(四)数学(文)
2021届全国新高考仿真模拟试题
数学文
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．[2020·黄冈中学，华师附中等八校第一次联考]设i 是虚数单位，若复数a ＋5i
1＋2i (a ∈R)是纯虚
数，则a ＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
2．[2020·大同市高三学情调研测试]已知集合A 满足{0,1}?A {0,1,2,3}，则集合A 的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．[2020·福建省高三毕业班质量检测]设x ，y 满足约束条件????
?
x －y ≥0
x －2y ≤0
y －1≤0
，则z ＝2x ＋y 的最大
值是( )
A ．0
B ．3
C ．4
D ．5
4．[2020·福州市高中毕业班质量检测]已知函数f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝x 2－ln(－x )，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为( )
A ．x －y ＝0
B ．x －y －2＝0
C ．x ＋y －2＝0
D ．3x －y －2＝0
5．[2020·郑州市高中毕业年级质量预测]若α∈? ????π2，π，2cos 2α＝sin ? ??
??
π4－α，则sin 2α的值为
( )
A ．－78 B.78 C ．－18 D.1
8
6．[2020·武昌区高三调研]从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.13
B.12
C.23
D.56
7．[2020·合肥市高三第一次教学质量检测]“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013～2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( )
A ．这五年，2013年出口额最少
B ．这五年，出口总额比进口总额多
C ．这五年，出口增速前四年逐年下降
D ．这五年，2017年进口增速最快 8．[2020·武汉市部分学校高三在线学习摸底检测]已知函数f (x )＝
3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋
φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π
2，则f ? ??
??π6的值为( )
A ．－1
B ．1 C.
3 D.
2
9．[2020·广东调研]最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理．如图所示，△ABC 满足“勾三股四弦五”，其中股AB ＝4，D 为弦BC 上一点(不含端点)，且△ABD 满足勾股定理，则A B →·AD →
＝( )
A.25
144 B.25
169 C.16925 D.144
25
10．函数f (x )＝ln|x |＋|sin x |(－π≤x ≤π且x ≠0)的图象大致是( )
11．[2020·河南省豫北名校高三质量考评]如图为一个正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1与一个半球O 1构成的组合体，半球O 1的底面圆与该正方体的上底面A 1B 1C 1D 1的四边相切，O 1与正方形A 1B 1C 1D 1的中心重合．将此组合体重新置于一个球O 中(球O 未画出)，使该正方体的下底面ABCD 的顶点均落在球O 的表面上，半球O 1与球O 内切，设切点为P ，若四棱锥P - ABCD 的表面积为4＋410，则球O 的表面
积为( )
A.121π6
B.121π9 C ．12π D ．9π
12．[2020·湖北省部分重点中学高三起点考试]
如图，点A 为双曲线C ：x 2a
2－
y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的右顶点，点P 为双曲线上一点，作PB ⊥x 轴，垂
足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线
C 的离心率为( )
A.
2 B.
3 C ．2 D.
5
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．[2020·南昌市模拟考试]已知函数f (x )＝?
????
2－2x ，x ≥0
2－x ，x <0，则f ? ????lg 15＋f ? ????lg 12＋f (lg 2)＋f (lg 5)
的值为________．
14．[2020·武昌区高三年级调研考试]已知一组数据10,5,4,2,2,2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x 所有可能的取值为________．
15．[2020·广州市高三年级阶段训练题]设向量a ＝(m,1)，b ＝(2,1)，且a ·b ＝1
2(a 2＋b 2)则m ＝
________.
16．[2020·山西省六校高三第一次阶段性测试]函数y ＝5sin ? ??
??
π5x ＋π5(－15≤x ≤10)的图象与函数y
＝5x ＋1
x 2＋2x ＋2
图象的所有交点的横坐标之和为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2020·湖北省部分重点中学高三起点考试]已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前
n 项和，且a 3＝3，S 3＝9.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 23
a 2n ＋3
，且{b n }为递增数列，若c n ＝
4
b n b n ＋1
，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1.
18．(12分)如图1是由正方形ABCG，直角梯形ABED，三角形BCF组成的一个平面图形，其中AB＝2DE＝2，BE＝BF＝CF＝3，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明：图2中的D，E，C，G四点共面，且平面ABD⊥平面DEC；
(2)求图2中点A到平面BCE的距离．
19．(12分)[2020惠州市高三第一次调研考试试题]某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：
车型A型B型C型
频数204040
10辆进行问卷回访．
(1)分别求抽取A型、B型、C型汽车的问卷数量．
(2)维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格，得到如下列联表：
优秀 合格 合计 男司机 10 38 48 女司机 25 27 52 合计
35
65
100
?
?
?
??
参考公式：K 2＝
n ad －bc 2
a ＋
b
c ＋d
a ＋c
b ＋d ，其中n ＝a ＋b ＋
c ＋
d .
附表：
P (K 2≥k )
0.100 0.050 0.010 0.001 k
2.706
3.841
6.635
10.828
20．(12分)[2020·郑州市高中毕业年级质量预测]在平面直角坐标系xOy 内，动点A 到定点F (3,0)的距离与A 到定直线x ＝4的距离的比值为
32. (1)求动点A 的轨迹C 的方程；
(2)设点M ，N 是轨迹C 上两个动点，直线OM ，ON 与轨迹C 的另一交点分别为P ，Q ，且直线OM ，
ON 的斜率之积等于－14
，问四边形MNPQ 的面积S 是否为定值？请说明理由．
21．(12分)[2020·湖北省部分重点中学高三起点考试]已知函数f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋a )(e 为自然对数的底数，a 为常数，并且a ≤1)．
(1)判断函数f (x )在区间(1，e)内是否存在极值点？并说明理由； (2)若当a ＝ln 2时，f (x ) 选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2020·广东省七校联合体高三第一次联考试题]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1： x ＋y ＝1与曲线C 2：? ???? x ＝2＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)在极坐标系中，已知l ：θ＝α(ρ>0)与C 1，C 2的公共点分别为A ，B ，α∈? ?? ??0，π2，当|OB | |OA |＝4时， 求α的值． 23．(10分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]已知函数f (x )＝k －|x －2|，k ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求k 的值； (2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋1 3kc ＝1，求证：19a ＋29b ＋1 3c ≥1. 仿真模拟专练(四) 1．答案：C 2．答案：C 3．答案：D 4．答案：A 5．答案：A 6．答案：C 7．答案：C 8．答案：B 9．答案：D 10．答案：D 11．答案：B 12．答案：A 13．答案：4 14．答案：－11,3,17 15．答案：2 16．答案：－7 17．解析：(1)设数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，符合条件，a 1＝a 3＝3，a n ＝3， 当q ≠1时，??? a 1q 2＝3 a 11－q 3 1－q ＝9，所以{ a 1q 2＝3a 1 1＋q ＋q 2＝9，解得 ??? a 1＝12q ＝－12，a n ＝12×? ?? ?? －12n －1. 综上，a n ＝3或a n ＝12×? ?? ?? －12n －1. 注：列方程组{ a 1q 2＝3a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝9求解可不用讨论． (2)若a n ＝3，则b n ＝0，与题意不符，所以a n ＝12×? ?? ?? －12n －1. 所以a 2n ＋3＝12×? ????－122n ＋2＝3×? ?? ??122n ，b n ＝log 23 a 2n ＋3＝log 222n ＝2n ， c n ＝ 4 b n b n ＋1＝ 1 n n ＋1 ＝1n － 1 n ＋1 ， c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ?? ??1n －1n ＋1＝1－1 n ＋1<1. 18．解析：(1)因为正方形ABCG 中，AB ∥CG ，梯形ABED 中，DE ∥AB ，所以DE ∥CG ， 所以D ，E ，C ，G 四点共面． 因为AG ⊥AB ，所以AG ⊥DE .因为AD ⊥DE ，AD ∩AG ＝A ， 所以DE ⊥平面ADG . 因为DG ?平面ADG ，所以DE ⊥DG . 在直角梯形ABED 中，AB ＝2，DE ＝1，BE ＝ 3.可求得AD ＝ 2， 同理在直角梯形GCED 中，可求得DG ＝ 2，又AG ＝BC ＝2， 所以AD 2＋ DG 2 ＝AG 2，由勾股定理的逆定理可知AD ⊥DG . 因为AD ⊥DE ，DE ∩DG ＝D ，所以AD ⊥平面DEG . 因为AD ?平面ABD ，故平面ABD ⊥平面DEG ，即平面ABD ⊥平面DEC . (2)在等腰直角三角形ADG 中，AG 边上的高为1，所以点D 到平面ABC 的距离等于1. 因为DE 与平面ABC 平行，所以点E 到平面ABC 的距离h 1 ＝1， 连接AC ，AE ，三角形ABC 的面积S 1＝1 2AB ·BC ＝2， △BCE 中，BC 边上的高为 BE 2－ ? ?? ?? BC 22＝2， △BCE 的面积S 2 ＝1 2BC · 2＝ 2. 设点A 到平面BCE 的距离为h 2，由三棱锥A - BCE 的体积V A - BCE ＝V E - ABC ， 得h 2＝ 2，故点A 到平面BCE 的距离为 2. 19．解析：(1)抽取A 型、B 型、C 型汽车的问卷数量分别为20 100×10＝2，40 100×10＝4，40 100×10 ＝4. (2)根据题意得，K 2＝100× 10×27－38×252 48×52×35×65 ≈8.143 1. 因为8.143 1>6.635， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为司机对4S 店的满意度与性别有关系． 20．解析：(1)设A (x ，y )，由题意，x －32＋y 2 |x －4| ＝ 32 ， 化简得x 2＋4y 2＝12， 所以动点A 的轨迹C 的方程为x 212＋y 2 3＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则|MN |＝ x 1－x 22＋y 1－y 22， 由直线OM ，ON 的斜率之积为－14，得y 1y 2x 1x 2＝－1 4， 因为点M ，N 在椭圆C 上， 所以 y 21＝3－ x 21 4 ，y 22＝3－ x 22 4，代入y 1y 2 x 1x 2＝－1 4 化简得x 21＋x 22＝12. 直线MN 的方程为(y 2－y 1)x －(x 2－x 1)y ＋x 2y 1－x 1y 2＝0，原点O 到直线MN 的距离d ＝ |x 1y 2－x 2y 1| x 2－x 12＋y 2－y 1 2 . 所以△MON 的面积S △MON ＝12·|MN |·d ＝1 2 |x 1y 2－x 2y 1|， 根据椭圆的对称性，四边形MNPQ 的面积S ＝4S △MON ＝2|x 1y 2－x 2y 1|， 所以S 2＝4(x 1y 2－x 2y 1)2＝4(x 21y 22－2x 1x 2y 1y 2＋x 22y 21)＝12(x 21＋x 22)＝144，所以S ＝12. 所以四边形MNPQ 的面积为定值12. 21．解析：(1)f ′(x )＝e x ? ?? ??ln x －x ＋1x ＋a －1， 令g (x )＝ln x －x ＋1 x ＋a －1，x ∈(1，e)，则f ′(x )＝e x g (x )， g ′(x )＝－ x 2－x ＋1 x 2 <0恒成立，所以g (x )在(1，e)上单调递减，