立体几何证明方法总结及经典3例
∴ PA⊥ BC ．
∵ AD ∩ PA= A， ∴BC ⊥平面 PAC ． 4 、证明：取 AB 的中点 Ｆ，连结 CF ， DF ．
∵ AC BC ， ∴ CF AB ．
∵ AD BD ，（等腰三角形三线合一）
∴ DF AB ． 又 CF DF F ， ∴ AB 平面 CDF ． ∵ CD 平面 CDF ， ∴ CD AB ． 又 CD BE ， BE AB B ， ∴ CD 平面 ABE ， CD AH ． ∵ AH CD ， AH BE ， CD BE E ， ∴ AH 平面 BCD ．
∴ AF// 平面 PEC
3 、证明：在平面 PAC 内作 AD ⊥ PC 交 PC 于 D ．
∵平面 PAC⊥平面 PBC ，且两平面交
于 PC， AD 平面 PAC，且 AD ⊥ PC，
∴ AD ⊥平面 PBC ．
又∵ BC 平面 PBC ，
∴ AD ⊥ BC ．
∵ PA⊥平面 ABC ， BC 平面 ABC ，
∴ PQ ∥面 BCE.
证法二：
如图 (2) ，连结 AQ 并延长交 BC 或 BC 的延长线于点 K ，连结 EK.
∵ AD ∥ BC,
DQ AQ
∴
.
QB QK
又∵正方形 ABCD 与正方形 ABEF 有公共边 AB ，且 AP=DQ ，
AQ AP
∴
.则 PQ ∥EK.
QK PE
∴ EK 面 BCE ， PQ 面 BCE.
A 是 P1 D 的中点，沿 AB 把平面 P 1AB 折起到平面 PAB 的位置（如图（ 2）），使二面角 P— CD — B 成 45 °，设 E 、 F 分别是线段 AB 、 PD 的中点 . 求证： AF// 平面 PEC ；
垂直题目
3 、如图 2 ， P 是△ ABC 所在平面外的一点，且 PA⊥平面 ABC ，平面 PAC ⊥平面 PBC ．
∴ PQ ∥面 BCE.
例2 ：垂直类证明
【垂直类证明方法总结】
证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、
90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、
线面垂直、面面垂直等
【例】如图所示， ABCD 为正方形， SA⊥平面 ABCD ，过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB， SC， SD 于 E， F， G ． 求证： AE SB， AG SD ．
求证： BC ⊥平面 PAC ．
4 、如图 2 ，在三棱锥 Ａ－ BCD 中， BC ＝ AC ， AD ＝ BD ，作 BE ⊥ CD ， Ｅ 为垂足，作 AH ⊥ BE 于 Ｈ． 求证： AH ⊥平面 BCD
向量法解立体几何题目
5 、在三棱柱 ABC － A1B 1 C1 中， AB ⊥侧面 BB 1C1C， E 为棱 CC1 上异于 C、 C1 的一点， EA
5 、以 B 为原点，分别以 BB 1、BA 所在直线为 y 轴、 z 轴，过 B 点垂直于平面 AB 1 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系．
由于 BC ＝ 1， BB 1＝ 2， AB ＝ 2 ，∠ BCC 1＝ ， 3
∴在三棱柱 ABC － A1B 1C1 中，有 B （０，０，０）、 A（０，０，
简解：（ 1 ）略； （2 ）由题设知， ABCD 是正方形，且 AC⊥ BD ．由（ 1）， PQ⊥平面 ABCD ，故可分别以直
线 CA， DB， QP 为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系（如图 1 ），易得
AQ ( 2 2，0， 2)，PB (0，2 2， 2) ， cos AQ，PB
2 ）、 B 1（０， 2 ，
０）、 c
3 ， 1，0 、 C1
3 ，3 ，0 ．设 E
3 ， a，0 且
1
a
3
，
22
22
2
2
2
由 EA ⊥ EB 1，得 EA EB1 0 ，
即
3 ， a， 2
2
3 ，2 a，0 2
3 a(a 2) a2 2a 3 0 ，∴ a 1
3 a
0，
4
4
2
2
即a
1或a
3
（舍去）．故
⊥EB 1．已知 AB
的正切值．
2 ， BB 1＝ 2 ， BC ＝ 1 ，∠ BCC 1＝ ．求二面角 A－ EB 1－ A1 的平面角 3
立体几何证明经典习题答案
1 、证明：如图，连结 AC 交 BD 于点 O.
∵ ABCD 是平行四边形，
∴ AO= OC. 连结 OQ ，则 OQ 在平面 BDQ 内，
AQ PB 1
．
AQ PB 3
所求异面直线所成的角是
arccos1 ． 3
（3 ）由（ 2 ）知，点 D (0， 2 2，0，) AD ( 2 2， 2 2，0)，PQ (0，0， 4) 设 n =（ x ，y ，z）是平
n AQ 0， 2x z 0，
面 QAD 的一个法向量， 则
得
取 x ＝ 1 ，得 n = (1，1， 2) ．点 P
n AD 0， x y 0，
到平面 QAD 的距离 d
PQ n 2 2．
n
立体几何证明经典习题 平行题目 1 、 P是平行四边形 ABCD 所在平面外一点 ,Q 是 PA 的中点 .
求证： PC ∥面 BDQ.
2 、如图（ 1 ），在直角梯形 P1DCB 中， P1D//BC ，CD ⊥ P1 D ，且 P1 D=8 ，BC=4 ，DC=4 6 ，
x1 y1 z1
2
2
2
x 2 y2 z2
夹角公式：
cos
n1 n2 .
| n1 | | n 2 |
距离公式：
| AB n | d | CD |
|n|
【例】已知两个正四棱锥 P－ ABCD 与 Q－ ABCD 的高都为 2， AB ＝ 4 ． （1 ）证明： PQ⊥平面 ABCD ；
（2 ）求异面直线 AQ 与 PB 所成的角； （3 ）求点 P 到面 QAD 的距离．
若 a (x1, y1, z1), b ( x2 , y2 , z2 ) ，则
① a b x1x2 y1 y2 z1z2 ；
②| a |
2
2
2
x1 y1 z1 ,| b |
2
2
2
x2 y 2 z2 ；
③ a b x1x2 y1 y2 z1 z2
Байду номын сангаас④ cos a,b
x1x2 y1 y2 z1 z2
2
2
2
证明：∵ SA 平面 ABCD ， ∴ SA BC ． ∵ AB BC ，
∴ BC 平面 SAB ． 又∵ AE 平面 SAB ， ∴ BC AE ．
∵ SC 平面 AEFG ，
∴ SC AE ． ∴ AE 平面 SBC ． ∴ AE SB ． 同理证 AG SD ．
例3 ：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式
面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。 【例】正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB ，在 AE 、BD 上各有一点 P 、Q，且 AP=DQ. 求证： PQ ∥面 BCE.
证法一：
如图（ 1），作 PM ∥ AB 交 BE 于 M ，
作 QN ∥ AB 交 BC 于 N, 连接 MN,
因为面 ABCD ∩面 ABEF=AB,
则 AE=DB.
又∵ AP=DQ,
∴ PE=QB.
又∵ PM ∥ AB ∥ QN,
∴ PM AB PM
∴ AB
PE QN ,
AE DC QN
. DC
BQ .
BD
∴ PM ∥ QN.
四边形 PMNQ 为平行四边形 .
∴ PQ ∥ MN.
又∵ MN 面 BCE ， PQ 面 BCE ，
立体几何证明方法总结及典例 例1 ：平行类证明 【平行类证明方法总结】 线线平行的证明方法：
三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱 柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。 线面平行的证明方法：
面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等 面面平行的证明方法：
E
3 ，1 ，0 ．
2
2
22
由已知有 EA EB1 ，B1A1 EB1 ，故二面角 A－ EB 1－ A 1 的平面角 的大小为向量 B1A1
与 EA 的夹角．
因 B1 A1 BA (0，0， 2) ， EA
故 cos
EA B1A1 EA B1A1
2 ，即 tan
3
31 ， ，2
22
2 2
且 OQ是△ APC 的中位线，
∴ PC ∥ OQ.
∵ PC 在平面 BDQ 外，
∴ PC ∥平面 BDQ.
2、证明：如图，设 PC 中点为 G ，连结 FG ，
则 FG//CD//AE
1
，且 FG= CD=AE ，
2
∴四边形 AEGF 是平行四边形
∴ AF//EG ，
又∵ AF 平面 PEC ， EG 平面 PEC ，
高中数学立体几何证明定理及性质总结
高中数学立体几何证明定理及性质总结高中数学立体几何是数学的一个重要分支，主要研究与三维空间中的几何形体相关的性质和定理。
在学习过程中，我们会遇到许多重要的定理和性质，下面是对其中一些重要的定理和性质进行总结的文章，以便于我们更好地掌握该知识点。
一、三角形的五种中线定理：1.三角形的三条中线交于一点，并且该点离三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的重心。
2.三角形的三条中线外接圆半径为内接圆半径的两倍。
3.三角形的三条中线构成的小三角形，其面积之和等于三角形面积的三分之一4. 中线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条中线长分别为m_a = 0.5*sqrt(2*b^2+2*c^2-a^2)，m_b =0.5*sqrt(2*a^2+2*c^2-b^2)，m_c = 0.5*sqrt(2*a^2+2*b^2-c^2)。
5.中线垂直性质：三角形的三条中线互相垂直，且互相平分。
二、三角形的四种高定理：1.三角形的三条高交于一点，并且该点到三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的垂心。
2.高线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条高线长分别为h_a=2*S/a，h_b=2*S/b，h_c=2*S/c，其中S为三角形的面积。
3.垂心到顶点距离的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有AH/HD=BH/HE=CH/HF=2，其中H为垂心，E,F为垂足。
4.垂心角的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有∠BHC=2∠A，∠BHC=2∠A，∠CHB=2∠A。
三、三角形的欧拉定理：设O为三角形的外心，G为重心，H为垂心，则有OG=1/3GH。
四、圆的性质：1.垂径定理：直径AB垂直于弧CD，则弦CD的中点E与弦AB的中点F，以及圆心O在一条直线上，且OE=OF=1/2CD。
2.正接定理：一个直角三角形的斜边上的圆的直径与该斜边上的直角边成正切关系。
3.切线定理：从一个点外切于圆的切线恒垂直于该点至圆心的半径。
立体几何证明方法总结 5
一、空间中的平行
1、证明两条直线平行的方法
方法
文字语言
图示语言
符号语言
①定义
在同一平面内不相交的两条直线
②传递性（公理4）
平行于同一直线的两直线平行；
③利用直线和平面平行的性质
（线//面线//线）
线面平行，经过此线的平面与原平面的交线与此线平行
④利用两个平面平行的性质
两平面平行，被第三平面截得的两交线互相平行；
3、证明两个平面垂直的方法
方法
文字语言
图示语言
符号语言
①定义
相交成直二面角的两平面垂直；
②判定定理
一平面经过另一平面的一条垂线，则此二平面垂直
初中特殊图形的性质：
1、等腰三角形：
2、平行四边形：
3、菱形：
4、正方形：
5、梯形：
6、矩形
7、圆：
方法
文字语言
图示语言
符号语言
①判定定理
一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则此二平面平行
②判定定理的推论
一个平面内两条相交线平行于另一个平面内两条直线
③利用线面垂直
垂直于同一直线的两平面平行
二、空间中的垂直
1、证明两条直线的垂直
方法
文字语言
图示语言
符号语言
①定义
夹角是直角的两直线垂直；
②利用线面垂直
⑤利用直线与平面垂直Biblioteka 性质垂直于同一平面的两直线平行
2、证明直线和平面平行的方法
方法
文字语言
图示语言
符号语言
①判定定理
（线//线面//面)
平面外的一直线与平面内的一直线平行，则它与此平面平行
立体几何(对称关系的证明)
立体几何(对称关系的证明)
介绍
在立体几何中，证明几何体的对称关系是非常重要的。
本文将
探讨如何证明一个立体几何体具有对称关系。
我们将以一个简单的
例子开始，探讨如何使用几何方法来证明对称关系。
例子
考虑一个立方体，它是一个具有六个面的正方体。
我们将证明
立方体具有对称关系。
步骤
1. 首先，我们选择立方体的两个面，如前面和右面。
2. 确定两个面的中心点，并用线段连接它们。
在我们的例子中，连接前面的中心点和右面的中心点。
3. 测量连接线的长度。
4. 选择立方体的另外两个面，如后面和左面，重复步骤2和步
骤3。
5. 比较得到的两个长度。
如果它们相等，我们可以得出结论：
立方体具有对称关系。
结论
通过测量长度并比较，我们可以得出结论：立方体具有对称关系。
总结
在立体几何中，证明几何体的对称关系是通过测量和比较的方法进行的。
我们的例子展示了如何通过测量连接线的长度来证明立方体的对称关系。
这是一个简单的例子，但也可以应用到其他立体几何体中。
希望本文对您理解立体几何中的对称关系的证明有所帮助。
如果您有任何问题，请随时提问。
立体几何平行证明题常见模型及方法
立体几何平行证明题常见模型及方法立体几何中的平行证明题常见的模型和方法有很多。
下面我将介绍一些常见的模型和方法，以帮助你更好地理解和应用立体几何的平行证明。
一、常见模型1.平面与平面的平行证明：常见的模型有两条平行线或两个平行四边形，通过证明平面与平面内对应的直线或四边形是平行的，即可得证。
2.直线与直线的平行证明：常见的模型有平行四边形和交叉角等，通过证明两直线间的对应角相等或同位角互补，即可得证。
3.平面与直线的平行证明：常见的模型有平行四边形的一对对角线、三角形的高、垂足、垂线等，通过证明直线与平面内的直线或线段互相垂直，即可得证。
4.空间中的平面与平面的平行证明：常见的模型有两个平行四边形的高度等、点到平面的垂直距离等，通过证明两个平面内的垂直线的相互平行性，即可得证。
二、常见方法1.剪影法：利用平行关系特殊的剪影形状进行证明。
例如，通过剪影的形状可以直观地判断两根线段平行。
2.联立法：通过建立适当的方程组，将待证的平行条件与已知条件进行联立，最终得到结论。
常见的方法有正投影、平行投影等。
3.直角法：利用直角关系进行证明。
通过找到合适的垂线、垂足等直角线段，可以推导出平行关系。
4.反证法：假设不平行，然后找到与之矛盾的证据，从而推出平行的结论。
5.三角形法：构造适当的三角形，通过三角形的性质和形状关系进行证明。
6.同增减法：通过分析多个角度相应的同增减性质，推导出平行的结论。
7.通道法：利用另一个已经知道的已知命题，构造合适的通道来推导出平行的结论。
以上仅是常见的模型和方法，实际的平行证明题在解题过程中可能会遇到各种不同的情况和策略。
解决此类问题的关键是要有良好的几何直观和分析能力，熟练掌握几何定理和性质，并能够合理运用不同的方法解决问题。
求解立体几何问题的两种常用方法
构特性、体积、一、几何法何法解题，据几何中的性质、之间的平行、得空间角、距离，例1.如图1，AB =BC =2，AD =线段PC 上的点．（Ⅰ）证明：BD （Ⅱ）若G 是PC 角的正切值；（Ⅲ）若G 满足(Ⅰ)证明：∵∴PA ⊥BD ；∵设AC 与BD ∴O 为AC 而PA ∩AC =A （Ⅱ）解：若G ∴GO ，可得GO ⊥平面ABCD ，⊥平面PAC ，与平面PAC 所成的角；=12PA =；AB ∙BC ∙cos ∠ABC =12，3；OD =CD 2-CO 2，，tan ∠DGO =OD OG ；PC ⊥面BGD ，OG ⊂平面BGD ，=PA 2+AC 2=15；，可得GC AC =OCPC ，GC 15-=32.需利用线面垂直的判定定理；解答再根据相似.运用几何法解题，只需定义、定理，寻找其定义、定理进行求解.几何意义、运算法则往往需根或建立合适的空间给点赋予坐标，通过向备考指南50量运算求得空间角、距离，判定空间中点、线、面的位置关系.例2.如图2，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，求BN的长.图2解：∵N是CM的中点，设a=AB,b=AD,c=AM，底面ABCD是边长为2的正方形，∴ BN=12( BC+ BM )=12( AD+ BA+ AM)=12 a+12 b12 c；由题意可得：|a|=|b|=2,|c|=3,a⋅b=0，a⋅c=2×3×cos60°=3，b⋅c=2×3×cos60°=3，∴ BN2=(-12 a+12 b+12 c)2=1+1+94-12×3+12×3=174，∴| BN|即BN的长为.设a=AB,b=AD,c=AM，并将其作为基底表示出其它的线段，便可根据向量的三角形法则、平行四边形法则、数量积公式、模的公式求得|BN|，即可解题.运用向量法求解，可将立体几何问题转化为向量问题，这样不仅能转换解题的思路，还能简化解题的过程.例3.如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1,AA1=AB=AC=2；当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值.图3解：由直三棱柱ABC-A1B1C1的性质可知AA1⊥A1B1，又AE⊥A1B1，AA1∩AE=A，AA1，AE⊂平面AA1C1C，所以A1B1⊥平面AA1C1C，又A1C1⊂平面AA1C1C，则A1B1⊥A1C1，故AB⊥AC，AB⊥AA1，AC⊥AA1，建立空间直角坐标系，如图4所示，图4则C（2，0，0），B（0，0，2），A（0，0，0），A1（0，2，0），F（1，0，1），E（2，1，0），设D（0，2，t），则FD=(-1,2,t-1),AE=(2,1,0)，因为FD⋅AE=(-1,2,t-1)⋅(2,1,0)=0；故DF⊥AE；当D为A1B1的中点时，D（0，2，1），又EF=(-1,-1,1),FD=(-1,2,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，则ìíîn⋅EF=0,n⋅FD=0,即ìíîx+y-z=0,x-2y=0,令y=1，则x=2，z=3，故n=(2,1,3)，取平面ABC的一个法向量m=(0,1,0)，则|cos< n, m>|=|n⋅m|| n|| m|故平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.在找到三条相互垂直，且交于一点的直线后，便可建立空间直角坐标系，根据题意求得各个点的坐标、线段的方向向量、平面的法向量，再通过空间向量的坐标系运算求得二面角的大小.在求平面的法向量时，需根据线面垂直的判定定理，在一个平面内找到两条相交的直线，并使其与法向量垂直，利用待定系数法即可求出平面的法向量.通过搭建空间直角坐标系，将抽象的立体几何问题转化为具象的坐标运算问题，可有效避免复杂的几何推理论证.总之，几何法的适用范围较广，大部分的立体几何问题都可以用几何法求解.而向量法的适用范围较窄，只适用于求解有关正方体、长方体、直三棱柱等规则空间几何体的问题，且使用过程中的运算量较大，同学们要谨慎计算，避免出现失误和错解.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）备考指南51。
立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直
立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直【考点梳理】1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝0【考点突破】考点一、利用空间向量证明平行问题【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.[解析]法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0).设点C的坐标为(x0，y0，0).因为AQ→＝3QC →， 所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以PQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0，0，1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD .法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0，0).∵CF→＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y ，0)，则 (x －x 0，y －y 0，0)＝14(－x 0，2－y 0，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34x 0，y ＝24＋34y 0，∴OF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0 又由法一知PQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0， ∴OF→＝PQ →，∴PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .【类题通法】1．恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.2．证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.【对点训练】如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG .[解析] ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴AB ，AP ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0).法一 ∴EF→＝(0，1，0)，EG →＝(1，2，－1)，设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量，∵PB→＝(2，0，－2)， ∴PB→·n ＝0，∴n ⊥PB →， ∵PB ⊄面EFG ， ∴PB ∥平面EFG .法二 PB→＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG→＝(1，1，－1).设PB →＝sFE →＋tFG →， 即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，∴⎩⎨⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2. ∴PB→＝2FE →＋2FG →， 又∵FE→与FG →不共线， ∴PB→，FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ， ∴PB ∥平面EFG .考点二、利用空间向量证明垂直问题【例2】如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .[解析] (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD→，∴P A ⊥BD . (2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM→·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM→⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0， ∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB . 【类题通法】1．利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2．用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.【对点训练】如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .[解析] 法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a ·c ＝0，b ·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ， m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证.法二 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0).因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →， 故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD .考点三、利用空间向量解决探索性问题【例3】如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说明理由.[解析] (1)设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，∴A 1O ⊥AO . 由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ， 平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ， A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABCD ，以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设n 3⊥平面DA 1C 1，则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)， 设n 3＝(x 3，y 3，z 3)，⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .【类题通法】向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题1．根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论.2．假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.【对点训练】如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ ⊥平面PQMN ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由.[解析] (1)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，M (2，1，2)，N (1，0，2)，BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)，MN→＝(－1，－1，0)，NP →＝(－1，0，λ－2).当λ＝1时，FP→＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)， 所以BC 1→＝2FP →， 即BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ， 且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1).同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1). 则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22. 故存在λ＝1±22，使平面EFPQ ⊥平面PQMN .。
立体几何证明方法汇总精编WORD版
立体几何证明方法汇总精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】① 中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．（１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,CD DB ==F-ABCD 的体积．练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。
求证：AC 1∥平面CDB 1；2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。
（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。
（1）证明：//PA BDE 平面；（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。
例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形）A 1C _H_G_D_A_B_CEFACDGPAB CDFEABCDEF练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。
求证：AF ∥平面PCE ；②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N分别是AB ，PC 中点。
求证：//PAD MN 平面 ③ 如图，已知AB?平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ；④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：//1O C 面11AB D ．③比例关系例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PB 、BC 上的点，且NCBN PM BM =,求证：MN//平面PCD(利用比例关系)练习：如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =,求证：//EM 平面FBC ；④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，
特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题
思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。
一、“平行关系”常见证明方法
（一）直线与直线平行的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行
2) 利用三角形中位线性质
2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等
3) 利用定义：两个平面没有公共点
二、“垂直关系”常见证明方法
（一）直线与直线垂直的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°，则两直线互相垂直。
3) 利用直线与平面垂直的性质：
3) 利用空间平行线的传递性（即公理 4）： a ∥ c 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 b ∥ c
4) 利用直线与平面平行的性质定理：
a∥b
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那
a ∥
β
a
a
a∥b
b
α
b
么这条直线和交线平行。
5) 利用平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
// a a // b b
6) 利用直线与平面垂直的性质定理：
11
ab
v1.0 可编辑可修改
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 7) 利ba用平面内直线a∥ 与直b 线垂直的性质：
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
3) 利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
三线共点证明方法立体几何中
三线共点证明方法立体几何中嘿，咱今儿就来唠唠立体几何里那三线共点的证明方法！这可是个挺有意思的事儿呢！你想想看啊，三条线在那立体空间里，要证明它们能在一个点上交汇，就好像是要找到它们的“约会地点”一样。
那怎么找呢？咱可以从已知条件入手呀，就像侦探找线索一样。
先看看那些线和其他图形有没有啥特殊关系。
有时候，一条线可能是两个面的交线，另一条线又和其中一个面有特殊联系，那咱就从这些地方开始琢磨。
比如说，咱能通过证明其中两条线相交得到一个交点，然后再证明这个交点在第三条线上，这不就成了嘛！这就好比你知道了两个人要在某个地方见面，然后你又发现第三个人也会去那个地方，那他们不就都在那一块儿了嘛！还有啊，咱也可以利用一些定理来帮忙。
那些定理就像是我们的秘密武器，用对了就能轻松搞定。
就好像你有一把钥匙，能打开那通往三线共点秘密的大门。
有时候，可能会觉得有点难，觉得那些线怎么就这么不听话，不好好地共个点呢！但别着急呀，咱得耐心点，仔细分析分析。
就像解一道难题，一开始可能摸不着头脑，但慢慢想，总会找到突破口的。
你说要是能一下子就找到三线共点的方法，那该多爽呀！就像你一下子就找到了宝藏的位置一样兴奋。
可这也正是立体几何的魅力所在呀，得让我们动动脑筋，费点心思。
咱在证明的时候，可不能马虎，每个细节都得注意到。
要是漏了一点，那可能就找不到那个神奇的共点啦！这就跟拼图似的，少了一块都拼不完整。
哎呀，想想在那立体的世界里，三条线最终能汇聚到一个点，多神奇呀！咱可得好好掌握这些证明方法，让那些线都乖乖地听话，都到该去的地方集合。
这样咱就能在立体几何的世界里畅游啦，不怕遇到什么难题，都能迎刃而解！所以呀，别害怕三线共点的证明，加油去探索吧！就不信搞不定它们！。
立体几何线线垂直的证明方法
立体几何线线垂直的证明方法在立体几何中，线线垂直是一种非常重要的关系，它在很多问题中都有着重要的应用。
本文将介绍几种线线垂直的证明方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一关系。
一、垂线段的垂线段垂直首先介绍的是垂线段的垂线段垂直的证明方法。
具体来说，如果有两个垂直于同一个平面的线段AB和CD，且它们之间有一条垂线段EF，则EF和CD垂直。
证明如下：1、连接AE和CF，得到平面ACEF。
2、由于AB和CD垂直于平面ACEF，所以它们的交点O在平面ACEF 内。
3、由于EF垂直于平面ACEF，所以它与平面ACEF的任意一条交线都垂直，特别地，它与CF垂直。
4、因此，EF和CD垂直。
二、平面的法线和平面内的任意直线垂直接下来介绍的是平面的法线和平面内的任意直线垂直的证明方法。
具体来说，如果有一个平面P和一条直线L在平面P内，且L与P垂直，则L与P的法线垂直。
证明如下：1、连接L和P的交点O。
2、在平面P内任意取一点A，连接OA。
3、由于L与P垂直，所以OA与L垂直，即OA和L在点O处垂直。
4、由于P的法线垂直于P，所以它与P内任意一条直线都垂直，特别地，它与OA垂直。
5、因此，L与P的法线垂直。
三、垂线段和平面的法线垂直最后介绍的是垂线段和平面的法线垂直的证明方法。
具体来说，如果有一条垂直于平面P的直线L，且L与平面P上的一条线段AB相交于点O，则OA和OB的中垂线与P的法线垂直。
证明如下：1、连接OA和OB，得到线段AB的中垂线CD。
2、连接CO和DO，得到平面COD。
3、由于L垂直于平面P，所以L和P的法线在平面P内的交点O 处垂直。
4、由于OA和OB在点O处相交，所以它们的中垂线CD也经过点O。
5、因此，CD与P的法线垂直。
以上就是三种线线垂直的证明方法，它们都非常简单易懂，但是能够解决很多实际问题。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的证明方法，以便更好地解决问题。