连续系统的时域分析

①求系统的特征根，写出rzi(t)的通解表达式。
②由于激励为零，所以零输入的初始值：
r (i) zi
(0)
r (i) zi
(0)
确定积分常数A1，A2， …，An
③将确定出的积分常数A1，A2， …，An代入通解表达式， 即得rzi(t) 。
3、零状态响应(0-时刻值为0) （1）即求解对应非齐次微分方程的解 （2）求rzs(t)的基本步骤
（1）假设
r (n) (t) Cm (m) (t) Cm1 (m1) (t)... C1 ' (t) C0 (t) A u
r (n1) (t) Cm (m1) (t) Cm1 (m2) (t) ... C1 (t) C0 u
...
...
①m<n，则
r (nm1) (t) Cm u r (nm) (t) ... r(t) 0
解得系数为 代入得
A1 2 A2 4
rzi (t ) 2e 2t 4e t , t 0
（3）零状态响应rzs(t) 满足 r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2δ(t) + 6u(t) 利用系数匹配法解得：
r
' zs
(0)
r
' zs
(0)
2
2
rzs (0) rzs (0) 0 0
[例2.1.3]：描述某系统的微分方程为r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2e’(t) + 6e(t),已知r(0-)=2，r’(0-)=0， e(t)=u(t)。求该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。
解：（1）r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2δ(t) + 6u(t) 利用系数匹配法分析列式得： r’’(t)=aδ(t) +b， r’(t)=a ， r(t)=0 代入原方程得a=2，b=0
r'(0) r'(0) 2 2 r (0) r (0) 0 2
根据微分方程经典求法：
齐次解： 2 2 0
齐次解形式为： rh (t ) A1e 2t A2 e t
特解,根据特解形式得到: rp (t ) B
解得 B＝3
解得全响应为：
r (t ) A1e 2t A2 e t 3 t 0
四．系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)
暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)
零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
①自由响应：也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励 形式无关。对应于齐次解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。
几种典型自由项函数相应的特解
[例2.1.1]描述某系统的微分方程为r”(t) + 5r’(t) + 6r(t)
= e(t)，求（1）当e(t) = 2et
-1时的全解；（2）当e(t) =e 2t
r’(0)=0时的全解。
，t≥0；r(0)=2，r’(0)= ，t≥0；r(0)= 1，
解: (1) 特征方程为 2 5 6 0
②m≥n，则
...
r (t ) C m (mn) (t ) ... C n1 u
（2）将r(t)及其各阶导数带入原方程，求出C0….Cm ; （3）对r(t)及各阶导数求（0－，0＋）的积分.
[例2.1.2]：描述某系统的微分方程为r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2e’(t) + 6e(t)，已知r(0-)=2，r’(0-)= 0， e(t)=u(t)，求r(0+)和r’(0+)。
②暂态响应：是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出 现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。 稳态响应：由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。
③零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始 时刻系统储能）所产生的响应。 零状态响应：不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零 ），由系统的外加激励信号产生的响应。
对t>0时，有 rzs”(t) + 3 rzs’(t) + 2 rzs(t) = 6
其齐次解为 rzsh (t ) A zs1e 2t A zs 2 e t
其特解为常数 3 ，
于是有
rzs (t ) Azs1e 2t Azs2e t 3
根据初始值求得:
A1 1 A2 4
rzs (t ) e 2t 4 e t 3， t 0
零状态是指 0－ 状态为零。
2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（0＋）和（0－）时刻值 的关系。 应用条件：如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导 数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－） 时刻的值。 原理： 利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0＋）
a0r(t) a1r ' (t) ... anr (n) (t) b0 u b1 (t) b2 ' (t) ... bm (m) (t)
解： 将输入e(t)=u(t)代入上述微分方程得 r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2δ(t) + 6u(t)
列式得： r''(t) a (t) b
r'(t) a r (t) 0
代入原方程得 a=2，b=0
得：
r '' (t) 2 (t) 0
r ' (t) 2 r (t) 0
相互关系
零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响 应的一部分和强迫响应构成 。
r(t) e2t 3 rzi (t) rzs (t) (2e2t 4et ) (e2t 4et 3)，t 0
强迫响应
自由响应
零状态响应 零输入响应
[例2.1.4] 某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知，当
x(0–) =1，输入因果信号e1(t)时，全响应r1(t) = et +
cos(πt)，t>0；当x(0-) =2，输入信号e2(t)=3e1(t)时，全
响应r2(t) = –2 et +3 cos(πt)，t>0；求输入e3(t) =
+2e1(t-1)时，系统的零状态响应。
解：设当x(0–) =1，输入因果信号e1(t)时，系统的零输入响应 和零状态响应分别为r1zi(t)、r1zs(t) 。 当x(0-) =2，输入信号e2(t)=3e1(t)时，系统的零输入响 应和零状态响应分别为r2zi(t)、r2zs(t) 。
其特征根α1= – 2， α 2= – 3。
齐次解为
rh (t) A1e2t A2e2t
由表2-2可知，当e(t) = 2 et 时，其特解可设为
rp (t) Be t
将其代入微分方程得 解得 B=1
Bet 5(Bet ) 6Bet 2et
于是特解为 全解为：
rp (t) et
r (t ) rh (t ) rp (t ) A1e 2t A2e 3t e t
解得 A1 + B0 = 2 A2= –1
最后得微分方程的全解为
r(t) 2e2t e3t te2t
上式第一项的系数A1+B0= 2，不能区分A1和B0，因而也不能 区分自由响应和强迫响应。
二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、0－ 状态和 0＋ 状态 0－ 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储 能产生的； 0＋ 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统 的储能，还受激励的影响。 从 0－ 状态到 0＋ 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－ 状态到 0＋ 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及 其各阶导数。
② 特征方程的根为n重根 当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、虚根、
复数根) α1= α 2=…= α n = α时，r (t)的通解表达式为:
r (t ) A1e t A2t et ... An t n 1e t
(2)特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。 根据输
入信号的形式设对应特解形式，用待定系数法确定。
由题中条件，有 r1(t) = r1zi(t)+ r1zs(t) =
et+ cos(πt)，t>0 （1）
e r2(t)= r2zi(t)+ r1zs(t) = –2 t +3 cos(πt)，t>0 （2）
第二章 连续系统的时域分析
微分方程的经典解法 0+和0-初始值 零输入响应与零状态响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 用算子符号p表示微分方程
2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解
C0
dn dt n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r(t) C1
d n1 dt n1
r(t) Cn1
d dt
r(t) Cnr(t)
其中待定常数A1,A2由初始条件确定。 r(0) = A1+A2+ 1 = 2， r’(0) = – 2A1 – 3A2 – 1= – 1
解得 A1 = 3 ，A2 = – 2 最后得全解
r(t) 3e2t 2e3t et
t≥0
（2）齐次解同上。
当激励e(t)= e2t 时，其指数与特征根之一相重。
三、零输入响应和零状态响应 1、定义： （1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始
状态所产生的响应。 （2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由
系统外加激励信号所产生的响应。
LTI的全响应：r(t) = rzi(t) + rzs(t)