抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质
【教学目的】：
1、掌握抛物线中的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量；
2、能够熟练画出抛物线的草图，进一步提高学生“应用数学”的水平； 【教学重点】：抛物线的标准方程 【教学难点】：抛物线标准方程的不同形式 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教 具】：多媒体、实物投影仪 【教学过程】： 一、复习引入：
1、回顾椭圆和双曲线的定义
2、生活中抛物线的引例：
3、把一根直尺固定在图板上直线L 位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A ，取绳长等于点A 到直角标顶点C 的长（即点A 到直线L 的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F 用铅笔尖扣着绳子，使点A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线 二、讲解新课： 1、 抛物线定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 注: (1)定点F 不在这条定直线l ；
(1)定点F 在这条定直线l ，则点的轨迹是什么？ 2、推导抛物线的标准方程： 如图所示，建立直角坐标系，设KF p =（0p >）,
那么焦点F 的坐标为)0,2
(
p ，准线l 的方程为2p
x -=，
设抛物线上的点(,)M x y ，则有2
|)2(2
2p x y p x +=+-化简方程得 (022
>=p px y 方程()022
>=p px
y 叫做抛物线的标准方程（1）它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F )0,2
(p
， 它的准线方程是2
p x -
= （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22
-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下
3、抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出KF p =（0p >），则抛物
(1))0(22
>=p px y , 焦点:)0,2
(
p
，准线l ：2x =
(2))0(22
>=p py x , 焦点:)2
,0(p ，准线l ：2p y -=
(3))0(22
>-=p px y , 焦点:)0,2(p -，准线l ：2x =
(4) )0(22
>-=p py x , 焦点:)2,0(p -，准线l ：2
y =
相同点：(1)抛物线都过原点；
(2)对称轴为坐标轴； (3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称； 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
41，即2
42p
p =； 不同点：(1)图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，
方程右端为px 2±、左端为2
y ；
图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，
方程右端为py 2±，左端为x
（2）开口方向在x 轴（或轴）正向时，焦点在x 轴（或y 轴）的正半轴上，方
程右端取正号；
开口在x 轴（或y 轴）负向时，焦点在x 轴（或y 轴）负半轴时，方程右端取负号
三、讲解范例：
例1 （1）已知抛物线标准方程是x y 62
=，求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2），求它的标准方程
分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p 的代数式表示的，所以只要求出p 即可；
（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p ，问题易解。
解析：（1）3p =，焦点坐标是（
23，0）准线方程是3
2x =-． （2）焦点在y 轴负半轴上，2p
＝2，
所以所求抛物线的标准议程是y x 82
-=．
例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F （－5，0） （2）经过点A （2，－3）
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p ，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p 值就可以写出其方程，但要注意两解的情况 解：（1）焦点在x 轴负半轴上，
2p
＝5， 所以所求抛物线的标准议程是x y 202
-=．
（2）经过点A （2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y 2
＝2px 或x 2
＝－2py ． 点A （2，－3）坐标代入，即9＝4p ，得2p ＝
2
9 点A （2，－3）坐标代入x 2
＝－2py ，即4＝6p ，得2p ＝
3
4
∴所求抛物线的标准方程是2
y =
92x 或x 2＝－3
4y 例2 已知抛物线的标准方程是（1）2
12y x =，（2）212y x =，
求它的焦点坐标和准线方程．
分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p 的值． 解：（1）6p =，焦点坐标是（3，0）准线方程3x =- （2）先化为标准方程y x 212
=，241=
p ，焦点坐标是（0，48
1
）， 准线方程是148
y =-
. 四、课堂练习：
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）y 2
＝8x
（2）x 2＝4y （3）2y 2
＋3x ＝0 （4）26
1x y -
= 2．根据下列条件写出抛物线的标准方程（1）焦点是F （－2，0）
（2）准线方程是3
=
y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上 （4）经过点A （6，－2）
3．抛物线x 2
＝4y 上的点p 到焦点的距离是10，求p 点坐标
点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）p 表示焦点到准线的距离故p ＞0； （3）根据图形判断解有几种可能 五、小结 ：小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念； 六、课后作业： 七、板书设计（略）