(精典整理)--平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结

O

A

B D

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识方法总结

一. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：

平行四边形

矩形

菱形

正方形

图形

一般 性质

1．边：

且 ； 2．角： ；

； 3．对角线 ；

1．边：

且 ； 2．角： ；

； 3．对角线 ；

1．边：

且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ；

1．边：

且 ； 2．角： ；

； 3．对角线 ；

面积

二. 判断（识别）方法小结：

(1) 识别平行四边形的方法：（从边、角、对角线3方面）

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(2) 识别矩形的方法：（从定义、特殊元素（角、对角线）3方面） ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；（ t R ⊕∠一个 ） ②对角线相等的平行四边形是矩形； （ ⊕对角线 =） ③有三个角是直角的四边形是矩形； （3t R ∠个 ）

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（ ⊕对角线互相平分对角线 =） (3) 识别菱形的方法：（从定义、特殊元素（边、对角线）3方面） ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （ =⊕ 一组邻边 ）

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （ ⊕⊥对角线 ） ③四边都相等的四边形是菱形； （4= 边）

④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（ ⊕⊥对角线互相平分对角线 ） (4) 识别正方形的方法：（从边、角、对角线3方面） 抓本质：矩形+菱形 ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（ = Rt ∠⊕⊕ 一组邻边一个 ）

②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （

⊕⊕⊥=对角线 对角线）

③有一组邻边相等的矩形是正方形； （ =⊕ 矩形一组邻边 ） ④对角线互相垂直的矩形是正方形； （ ⊕⊥矩形对角线 ） ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； （ Rt ∠⊕菱形一个 ） ⑥对角线相等的菱形是正方形； （⊕=菱形 对角线）

⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （ ⊕⊕⊥=对角线互相平分对角线 对角线） 小结：把以上识别方法的编号分别填入下图中的每一条带方向的线上：（如平行四边形的第一种识别方法的编号为 (1) ①，其他方法类似）

三、其他性质：

1、平行四边形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）：都具有的

（1）和面积有关的：任意一条对角线分得的两部分面积___________；两条对角线分得的四部分面积________。

?推广：若一条直线过平行四边形（系列图形）对角线的交点，则直线被一组对边截下的

线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形（系列图形）的面积。

（2）和对称性有关的：平行四边形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）都是____________________图形；但只有：矩形、菱形、正方形为_________________图形；平行四边形______________图形。

即：矩形、菱形、正方形既是_________________图形，又是____________图形；平行四边形只是______________图形。

○1 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。

○

2 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在

E

D 的直线。

○

3 正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 2、矩形具有平行四边形的一切性质 菱形具有平行四边形的一切性质

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 3、拓展知识：

（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

推广（灵活使用）：

（结合：三角形的中位线；三角形中位线定理；三角形相似）

以右图△ABC 为例，在 ○

1 D 为AB 中点 ○

2 E 为AC 中点 ○

3 DE BC ∥ ○

4 1

=2

DE BC 中知道任意两个必能够推得另外两个。 （3）菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半。

推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。 （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 四、梯形：

1、定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。

3、直角梯形：有一个角是直角的梯形是直角梯形

4、等腰梯形的性质：

○

1 对称性：等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线所在的直线是对称轴， ○

2 角：等腰梯形同一底边上的两个角相等；同腰上的两个角互补。 ○

3 对角线：等腰梯形的两条对角线相等。 ○

4 边：两腰相等；上下底不等。 5、等腰梯形的判定定理

同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 6、等腰梯形的判定方法：

○1先判定它是梯形，○2再用两腰相等或同一底上的两个角相等来判定它是等腰梯形。

7、梯形常见的辅助线（解决梯形问题常用的方法：）

解梯形问题常用的辅助线：如图

1.延长两腰交于一点

作用：使梯形问题转化为三角形问题。

若是等腰梯形则得到等腰三角形。

2.平移一腰

作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。

3.作高

作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。

4.平移一条对角线

作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，

BE等于上、下底的和

（2）S梯形ABCD=S△DBE

5. 等积变形：当有一腰中点时，连结一个顶点和

一腰中点并延长交一个底的延长线。

作用：可得△ADE≌△FCE，

所以使S梯形ABCD=S△ABF。

.基础达标训练：

1填空：

（1）两条对角线___________________________的四边形是平行四边形；

（2）两条对角线___________________________的四边形是矩形；

（3）两条对角线___________________________的四边形是菱形；

（4）两条对角线___________________________的四边形是正方形；

（5）两条对角线___________________________的平行四边形是矩形；

（6）两条对角线___________________________的平行四边形是菱形；

（7）两条对角线___________________________的平行四边形是正方形；

（8）两条对角线___________________________的矩形是正方形；

C

F

B

E

D

A

C

B

E

A

F

D

（9）两条对角线___________________________的菱形是正方形。 2已知：如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB

的延长线于G ．

(1) 求证：△ADE ≌△CBF ；

(2) 若四边形 BEDF 是菱形，猜测：四边形AGBD 是

什么特殊四边形？并证明你的结论．

四边形练习

1．

ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，

则

ABCD 的周长为 ．

2．如图，在

ABCD 中，∠C=60o,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ．

（1）则∠EDF= ； （2）若AE=4，CF=7，则

ABCD 周长= ;

ABCD 面积= 。

3．(1)在平行四边形ABCD 中，若∠C=∠B+∠D ，则∠A= . (2)已知在ABCD ,∠A 比∠B 小20o，则∠C 的度数是 ．

(3)在

ABCD 中，周长为100cm ，AB-BC=20cm ，则AB= ,

BC= . （4）在

ABCD 中，周长为30cm ，且AB ：BC=3：2，则AB= cm.

（5）如图，若□ABCD 和□EBCF 关于BC 所在直线对称，

∠ABE ＝90°，则∠F ＝ °． 4．下列命题中，错误的是（ ）

A ．矩形的对角线互相平分且相等

B ．对角线互相垂直的四边形是菱形

C ．等腰梯形的两条对角线相等

D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 5.在下列命题中，正确的是（ ）

A ．一组对边平行的四边形是平行四边形

B ．有一个角是直角的四边形是矩形

C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6.下列错误的是( )

A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形

B ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

A B

C

D E

F A

C D B (

)

C ． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D ．一组邻边相等的矩形是正方形 7.下列命题中，真命题是（ ）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

8．已知矩形的对角线长为13，周长为34，则这个矩形的面积为 ．

9.如图，梯形纸片ABCD ， ∠B=60°，AD ∥BC ，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B 和点D 重合，

折痕为AE ，则CE=___________.

第9题图 第10题图

10.如图，折叠矩形的一边CD ，使点C 落在AB 上的点F 处，已知AB=10cm ， BC=8cm ，则EC 的长为________.

11、如图，AD 是△ABC 的角平分线.DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F .四边形AEDF 是菱形

吗？说明你的理由. （不用全等，你可以做出来吗？试试看）

12、如图，已知ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ，求证：OE =OF .

13、如图，等腰△ABC 中，AB=AC, D 是BC 边上的一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，通过观察分析线

段DE ，DF ，AB 三者之间有什么关系？试说明你的结论成立的理由。（不用全等，你可以做出来吗？试试看）

14、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE和CF相等吗？说明理由. （不用全等，你可以做出来吗？试试看）

15、四边形ABCD是等腰梯形，其中AD=BC，若AD=5，CD=2，AB=8，求梯形ABCD面积.（关键是会画出正确的图形）

16、以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF，

（1）试探索BE和CF的关系？并说明理由.

（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角.