数字信号处理习题及答案

数字信号处理习题及答案

==============================绪论==============================

1. A/D8bit5V

000000000V

0000000120mV

0000001040mV

0001110129mV

==================第一章时域离散时间信号与系统==================

1.

①写出图示序列的表达式

答：y(n)={2,7,19,28,29,15}

表示(n) ②用

数字信号处理习题及答案 2. ①求下列周期

?n)sin((1)8?4

n)sin()(251n))cos((35??4nn))?sin(4()sin(58

确定其周期。若是周期的，②判断下面的序列是否是周期的;

）（2（1）。因此是周期序列，周期T=14因为ω=π, 所以, 这是有理数，解：（1）所以=16π, 这是无理数，因此是非周期序列。=, （2）因为ω③序列是周期序列的条件是。

3.加法乘法

1}__，相加为1}__{4，67，3，，相乘为，，，，与序列，，，序列{2321}{2352 。，，，___{49102}

移位。xx的x(-n)波形，画出x(n)翻转：①已知．

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②。波形，画出x(2n)及x(n/2)xxx(n)尺度变换：已知

卷积和：①33}?{0,,4,7,4，答案：x(n)*h(n)22y(n)=x(n)*h(n) x(n)={1,2,4,3},h(n)={2,3,5}, 求②已知)

h(-m)={5,3,2}(Step1:x(m)={1,2,4,3},h(m)={2,3,5}，则翻转y(n)={2,7,19,28,29,15} 解得③}{1,4,6,5,2?答案：x(n)

4. 如果输入信号为，求下述系统的输出信号。

解：首先写出输入信号的取样值

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该系统叫做恒等系统。(a)

。若初始(n)δ－1)+x(n)描述，输入x(n)=5. ①设某系统用差分方程y(n)=ay(n y(n)。条件y(-1)=0，求输出序列得?x(n)解：由初始条件y(?1)?0

及差分方程y(n)?ax(n?1)

ayny1??1)?δ(0?0时,0()?)(aayn，y?0)?δ(?1时1(1)?)(2ayayn?)δ(?2时,2(2)?)(1?

?n anynn?(?)时,n nuyna)(()?y(n)

，求若初始条件改为y(-1)=1naxnxyyn)((?1)?)?初始条件(?1)?1，方程(

ayayn??1)δ(0)??0时,0()?1(?aaynya)??(11时,1()?δ(0)?(1)?2aynaya))1?δ(2)?(???2

时,(2)1(

?n annyna)?(1?,时?()n nanuay)?1()()?(。②设差分方程如下，求输出序列

y(n)1?nyanny))δ)?1?解：()((?(

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?1yyan(1)?δ)?(1))(?0?1时,(0?1?1aayyn?))?((0)?0时,(?1)??δ

(0?1?2aanyy??(1))?((?1)?δ时??1,?(2)?

?n nnay??0(,)?③设LTI系统由下面差分方程描述：。

设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。

解：令x(n)=δ(n), 则

n=0时，

n=1时，

n=2时，

n=3时，

所以，

6.离散时间系统。请用基本组件，以框图的形式表示该系统。

解：

7.①①判断下列系统是线性还是非线性系统。．

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a）系统为线性系统。解：（ b）系统为线性系统。（ c）系统是非线性的。

（

（d）系统没有通过线性性检验。实际上，系统的输系统没有通过线性性检验的原因并不是因为系统是非线性的(?

。因此，输出不仅取决于输入还B，而是因为有个常数入输出表达式是线性的)的，B=0，则系统是xx的，如果B取决于常数。所以，当时B≠0，系统不是xx 也满足线性检验。）系统是非线性的。e（②证明是线性系统。证：系统是移变系统。y(n)=nx(n)②证明证：③①判断下述系统是因果的还是非因果的。．

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?( D ) ②下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统(n)B. h(n)=u(n)

δA.

C. h(n)=u(n)-u(n-1)

D. h(n)=u(n)-u(n+1)

④

h(n)，判断系统的因果性和稳定性。⑤以下序列是LTI系统的单位序列响应n1)nu(?0.3δ（1）(n?4)(2)?

）非因果、不稳定。）非因果、稳定（答案（12是因果序列。一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列响应h(n)⑥判断题：（错）8.①考虑下面特殊的有限时宽序列。把序列分解成冲激序列加权和的形式。解：

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②将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示。

3?k)?x(k)δ(n?(n2)x(2)(n?x(1)δ?1)?δ(n??x(3)δ?3)(n)x(0)1)(n1)x(x(n)??δ??δ1?k?③若用单位序列及其移位加权和表示。x(n)=

求系统对输入的响应。系统的单位冲激响应和输入信号分别为9.

①一个LTI

的响应②一个松弛线性时不变系统。求系统对于x(n)y(n)。解：用式中的卷积公式来求解．

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③一个线性时不变系统的冲激响应为。请确定该系统的单位阶跃响应。解：分和输入x(n)分别有以下几种情况，④设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n) 。别求输出y(n) －δ(n）

h(n)=2R4(n) ,x(n)=δ(n)－（1）（2

1} 2，，3，4{1，2，3，，41解：（）-2}

，，-20，2，，0{2（2）并y(n)，，求对于任意输入序列x(n)的输出

h(n)=u(n),⑤设系统的单位脉冲响应检验系统的因果性和稳定性

使得系统稳定。确定a的取值范围，，该系统的冲激响应为LTI10. ①考虑一个，

解：首先，系统是因果的。否则，系统是不稳定。|a|<1因此，系统稳定的条件是

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实际上，h(n)必须随n 趋于无穷呈指数衰减到0，系统才是稳定的。

②考虑冲激响应为的线性时不变系统，若该系统稳定，则a和b的取值范围为多少?

解：显然系统是非因果的，

所以，系统稳定的条件是 |a|<1 且 |b|>1 。

11. 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式xx级数

解：直接代入公式有

_______的信号。___12. 数字信号是指时间幅度都离散的判断：数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理 )

对目的的。(

）错（判断：单位阶跃序列与矩形序列的关系是。

)

错( 判断：因果系统一定是稳定系统。．

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判断：如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，则这种系统称为时不变系统。（对）

判断：所谓稳定系统是指有界输入、有界输出的系统。（对）

判断：差分方程本身能确定该系统的因果和稳定性。(错。差分方程

本身不能确定该系统的因果和稳定性，还需要用初始条件进行限制。)

判断：若连续信号属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs<2Ωc，那么让采样信号通过一个增益为T、截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号。( 错。角频率Ωs≥2Ωc )

设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（当n<0时，h(n)=0）

=======================第二章 z变换与DTFT

=======================

1. ①设x(n)=RN(n)，求x(n)的xx变换。

??N?n?n??2?1j?j)(/j?j?nXR???e?()e解：(?)ee

?N?N?N?N/j2/?j2?j?j/2N?N1??/1?e2?eesin())e(

当N=4时，其

N?????2/?/2j?jj?j/2/2)sin(1?ee(e?e)nn0????

幅度与相位随频率ω的变化曲线如图所示：

。变换为xx②序列的．

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③设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0

完成下面各题：求出系统输出序列y(n)；分别求出x(n)、 h(n)

y(n)的xx变换。和2nnn?2)u(n[δ(n)?δ(n?2)] ?a2au(n)??解：（1）

y(n)?h(n)?x(n)?au(n)?

（2）

??n?j?jωnωjωnn??H(e)?eaau(n)e?jωae1?0?nn????j2ω2e?1jωωjjω?H(e)?X(e)Y(e)? ??1

④

ω?j ae?1

1sinωnω0njω?0?d?解：x(n)ωeπ2πnω?0

2.

?88e (n)e(k)X解：?x???πππ?jkk?jkj2π3ππ?jk7~~222)sin(eπk/2)?e1?e(e k?j?jkn

ππππk/8)sin(πkj?kkkj?jj?0?n

8848)e?1(ee?e

3. ①．

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②

变换。4. ①x(n)=u(n), 求其Z 解：|z|>1 时 X(z)存在，因此收敛域为|z|>1当变换及其收敛域。（有限长序列）②x(n)=RN(n)的Z 解：收敛域为： 0<|z|≤∞变换及收敛域。③求序列的Z（右边序列之因果序列）解：

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这是无穷等比级数,公比是，

在什么情况下收敛？

本例，极点为z=a。

④求序列 z变换及收敛域（左边序列之反因果序列）

解：

本例，极点为：z=b

?1zbz X(z)???,z?b?1z?b1?bz

⑤求序列 z变换及收敛域

解：

本例，极点为：z=a,z=b

⑥的Z变换为 1/(1-az-1) ____ ，收敛域为___∣z∣>∣a ___。的Z变换为 1/(1-az-1) ____ ，收敛域为___∣z∣<∣a ___。

5.①已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a, 求其逆Z变换x(n)。（留数法）

解：

n≥0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=a； n<0时，F(z)在c内有2个极点：；）xx（z1=a, z2=0．

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（留数法）②PPT例11 （部分分式展开法）③PPT例12 z反变换。求！！）已知，！④（考原题！！！！！！！:

解 n≥0时的情况。n<0时，x(n)=0。只需考虑所以当1n?z n1?zFzzX?())?(?

1)?z)(z(4?4，可知如图所示，取收敛域的一个围线

c ，内有两个一阶极点n≥0时, C 当所以

反变换。z⑤已知，求．

数字信号处理习题及答案n1?z n1?zzFzX?))??解：((1zz))(?(4?4，如图所示，取收敛域的一个围线c 分两种情况讨论： z=1/4时，C

内只有一个一阶极点（1）n≥－1

1n1?zxnzz)])((/()?Res[4??14z?411n1?zzzz)]?/(4(??)()?[144z?4n1?14)(1/n?n1,????4?154?1/

4

1n?unnx?1?4(或记作：())?15（2）当n<-1时，

C内有极点：z=1/4(一阶), z=0（xx）；

而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点，且F(z)的分母多项式比分子多

项式的最高次数高2阶以上，

n?1141n?2n?11??4n??,?/(4x(n)??Res[z?z)(z?)]

4?z154?1/441n?2unxn?42?或记作：)()?(?15?1n?n??,14?nn??244?15nx ununxn?()因此)?2?)或记作：(?1(?)(??15151?n2?n24,???15?

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6.①已知，分析其因果性和稳定性。

解 H(z)的极点为z=a, z=a－1。

（1）收敛域为a－1<|z|≤∞: 对应的系统是因果系统，但由于收

敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。

（2）收敛域为0≤|z|

包含单位圆，因此是稳定系统。

②时域离散线性时不变系统的系统函数为。若要求系统稳定，则a的取值域为__|a|≠1__和 b的取值域为____|b|≠1____。

③时域离散线性时不变系统的系统函数为。若要求系统因果稳定，则a的取值域为__0≤|a|<1__和 b的取值域为___0≤|b|<1__。

④8、如果系统函数用下式表示: 。则下列关于收敛域的说法正确的是（ D ）

A．该系统无法通过选择适当的收敛域使该系统因果稳定

B．收敛域为|z|<0.5 时，系统因果稳定

C．收敛域为0.5<|z|<0.9时，系统因果稳定

D．收敛域为|z|>0.9时，系统因果稳定

7.①已知系统的差分方程为：。指出系统函数的零极点并分析系统的频响特性。

解：系统的传输函数为：

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∴极点为z=b ，零点为z=0

，试定性画出系统的幅频特性。－z－N②已知H(z)=1 解，这是一个z=0N阶极点，它不影响系统的幅频响应。极点：H(z)的极点为零点：零点有N个，由分子多项式的根决定。

③已知某数字滤波器的系统函数为：）画出零极点分布图（1 2（）利用几何确定法分析幅度特性，画出幅度特性图；带阻）。 3（）试

判断滤波器的类型（低通、 xx、带通、

:

（解： 1）将系统函数写成下式平面的原点，零极点分布图为：z，零点在z=0.9极点为，z=0系统的零点为

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幅度特性图为：0.9处，（2）不影响频率特性，而惟一的极点在实轴的

=0处，这是一个低通滤波器。（3）滤波器的通带中心在ω

D ）8.下列关系正确的为

（

对）xx判断：时域离散信号变换存在的充分条件是序列绝对可和。（

变换是频率序列的xx（非周期函数。错。 xx判断：序列的变

换是频率ω）的周期函数，周期是2π。ω ) z变换的收敛域内可以含有极点。( 错判断：序列 __）一定是因果_序列。n hZH 若（）的收敛域包括∞点，则（或收敛域在________ h(n)=0,n<0 h(n)线性时不变系统是因果系统的充要条件是。____________某圆的外面．

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线性时不变系统h(n)是稳定系统的充要条件是_________ h(n)绝对可和或收敛域包括单位圆___________。

序列的xx变换等于序列在(单位圆)上的Z变换。

====================第三章离散xx变换

(DFT)===================

1. ①已知，分别求8和16点DFT

解：

sin(πek/2)1?83πj?k0??k?e?782π

π2j?4k

k/8)sin(πjk?e1?8（2）N?16时kn2π15?13Nj?2πjkn????nk16eWx(n)??R(n)eX(k)?

sin(π?1ek/4)163πjk?0??e?k?15162π164N000n?n?n?2πj4k?

k/16)sin(πj?k e?116频率采样点数不同，DFT的xx不同，DFT 的结果也不同。

②．

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x(n)分别用下式表示③假设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和

输入信号y(n)

1）计算该系统的输出信号（令X(k)和H(k),h(n)分别进行12点DFT，得到和（2）如果对x(n)y1(n)

求y(n)={1,2,3,4,4,4,4,4,3,2,1} 1（）解：

y1(n)={ 1,2,3,4,4,4,4,4,3,2,1,0}

2）（

8点循环卷积。的h(n)与x(n)4点和的序列为2. ①计算下面给出的两个xx4

点循环卷积矩阵形式为4的x(n)与h(n)解：

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8点循环卷积矩阵形式为的h(n)与x(n)

②

的两个有限长序列：N=10为xx③已知．

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x2(n) x1(n)、（1）做图表示y1(n)=x1(n) * x2(n)

2）求（ xxL=10。* x2(n) ，循环卷积区间（3）求y2(n)=x1(n) 圈，就可以点DFTDFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个N3. 利用。N点DFTx1(n)计算出两个实序列和x2(n)的，得到：x(n)进行DFT解：构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对

，进行向左2点圆周移位后得到序列__{3，，{51，3，0，52}对4. 6点有限长序列，1} __。，0 5，2，5

点和h(n)的L。分别为和已知5.y(n)=x(n)*h(n)， x(n)h(n) 的xxM 和N x(n)（循w(n)=y(n)表示，的条件是___L≥M+N-1___________。w(n)），（循环卷积L>ML>N用环卷积等于线性卷积的条件）变换中，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含有周xx 离散)

对( 期性的意思。．