均值不等式常用变形及解题方法总结

均值不等式应用

（一）均值不等式

* 也可是值为正的代数式

1.调和平均数：

2.几何平均数：

3.算数平均数：

4.平方平均数：

·均值不等式：，当且仅当时等号成立

常用：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。（二）常见变形

1.

2.

3.

4.

5.

6.（）

7.（）

8.

9.（）

10.（）

11.

12.

（三）解题技巧（一定、二正、三相等、四同时）

1.计算函数最值

·

形函数

例：求函数2

y =

的值域。

(2)t t =≥

2

y =

1

(2)t t t ==+≥

当1

t t

=时函数在x 轴正半轴有最小值，在y 轴负半轴有最大值，即1t =± ∵1t =±不属于区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 ∵1y t t

=+在区间[)1,+∞单调递增， ∴52

y ≥

∴所求函数的值域为5,2

⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

·分离法

例3.：求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。

解：

当,即

时,4

21)591

y x x ≥+⨯

+=+（，当且仅当x ＝1时等号成立

·换元法

例：已知 ，则

解：令 则

·拼凑（系数、常数）

例：已知x ，y 为正实数，且x 2

＋y 2

2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.

解：x 1＋y 2

＝x

2·1＋y 2

2 ＝ 2 x ·

12 ＋y 22

x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 2

2 ≤ 2

x 2

＋(

12 ＋y 22 )22 ≤ 3

4

2

例：已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。 解：∵54

x <

∴540x -> ∴11425432314554y x x x x ⎛

⎫=-+

=--++≤-+= ⎪--⎝

⎭ 当且仅当1

5454x x

-=

-，即1x =时等号成立 ∴当1x =时，max 1y =。

·化积为和（因式分解、平方）

例：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1

ab 的最小值

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

解一：由已知得a ＝30－2b b ＋1 ，ab ＝30－2b b ＋1 ，b ＝－2 b 2＋30b

b ＋1

∵a ＞0 ∴0＜b ＜15

令t ＝b +1，则1＜t ＜16

∴ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16

t ）＋34

∵t ＋16t ≥2t ·16

t ＝8 ∴ ab ≤18

∴ y ≥ 1

18

当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

解二：由已知得30－ab ＝a ＋2b

∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab

令u ＝ab ，则u 2

＋2 2 u －30≤0，－5 2 ≤u ≤3 2 ∴ab ≤3 2 ，ab ≤18

∴y ≥118

例：已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 解一：利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 2

2

3x ＋2y ≤ 2

（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2

3x ＋2y ＝2 5

解二：条件与结论均为和的形式，通过平方化函数式为积的形式，向“和为定值”条件靠拢。

∵W ＞0

W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20 ∴ W ≤20 ＝2 5

例：求函数15

()22

y x =<<的最大值。

分析：注意到21x -与52x -的和为定值。

解：2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=

∵0y >

∴0y <≤当且仅当21x -=52x -，即3

2

x =时取等号

∴max y =

·化和为积（化简、1的代换） 例：已知0,0x y >>，且

19

1x y

+=，求x y +的最小值。 解：∵19

0,0,1x y x y

>>+=

∴()1991061016y x

x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭

当且仅当

9y x x y

=时，上式等号成立 ∵

191x y

+= ∴4,12x y ==时，()min 16x y += 。

·三角函数法

例：设实数x, y, m, n 满足 ，求mx+ny 的最大值。 解：令

原式

2. 证明不等式、比较大小（作差法、做商法、中间值法-1,0,1、基本不等式） 例：已知0,0x y >>且

19

1x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。 解：令,0,0,

x y k x y +=>>191x y

+= ∴

99 1.x y x y

kx ky +++= ∴

1091y x k kx ky

++= ∴10312k k

-

≥⋅ ∴16k ≥ ，(],16m ∈-∞

例：若)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b

a R

b a Q b a P b a +=+=

⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .

分析： ∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a

∴2

1

=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg ∴Q ab ab b a R ==>+=lg 2

1

lg )2lg(

∴