均值不等式的4种变形及应用yqh
函数均值不等式及其应用
函数均值不等式及其应用
函数均值不等式是一个重要的数学原理，它简单地解释了一些经典的问题，而它的应用能够提供我们一些新的视角来理解数学问题。
函数均值不等式是指: 对于有界函数f, 存在常数K，使得对于任意x,y属于函数f的定义域：
|f(x)-f(y)| <= K*|x-y|
K的值与函数的大小有关。
它是由函数的一阶导数所决定的，公式表达为：
K=sup|f'(x)|
式中，sup表示最大值。
函数均值不等式的有效性分析和推导可以溯源到18世纪的利玛窦，他通过大量的数学实验，能够证明这一结论。
函数均值不等式对于数学、物理、化学等数学研究具有巨大的价值。
比如，函数均值不等式能够记录函数存在极限值，它也能够估算函数从某一点向某一路径求极限时，函数值的变化率，从更加宽泛的角度理解函数极限。
函数均值不等式还用于定义连续函数，判断某一函数是否为连续函数。
由此，我们可以利用函数均值不等式式评估连续函数的“质量”。
由于函数均值不等式的广泛应用，它能够帮助我们求得更加精确的定义，更深入的了解函数，从而有效地解决各种数学问题。
均值不等式的四个公式
均值不等式的四个公式
嘿，咱来说说均值不等式的四个公式哈！
第一个就是平方平均数大于等于算术平均数，那就是
$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$。
比如说啊，小明和小红比赛跑步，小明速度是$a$，小红速度是$b$，那他俩速度的平方平均数就好像是他们整体表现的一个“厉害程度”，而算术平均数就是他们平均的速度，那肯定是整体表现的“厉害程度”不会比平均速度低呀！
第二个是算术平均数大于等于几何平均数，即$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$。
就好比你有两个篮子，一个篮子里有$a$个苹果，另一个篮子里有$b$个苹果，那把两个篮子混一起平均下来每个篮子的苹果数，肯定不会比这两个篮子苹果数相乘再开方要少呀，对不对？
第三个是几何平均数大于等于调和平均数，就是$\sqrt{ab} \geq
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$。
哎呀，这就好像你有两段路程，一段是$a$千米，一段是$b$千米，那整体路程的“平均效果”总不会比单独这么去算的调和平均数差嘛！
第四个是调和平均数小于等于平方平均数。
这就好像是一个团队比赛，调和平均数就像是最基本的要求，而平方平均数就是那种超级厉害的表现，那当然厉害的表现会比基本要求高啦！
怎么样，这四个公式是不是还挺好玩的？好好去体会体会吧！。
均值不等式
均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。
也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。
什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。
均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。
设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。
因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。
一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。
均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。
几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。
均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。
详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。
由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。
由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。
四个均值不等式的公式
四个均值不等式的公式好的，以下是为您生成的文章：咱们在数学的世界里溜达，那肯定绕不开四个均值不等式的公式。
这几个公式就像是数学王国里的神秘宝藏，藏着好多解题的关键密码。
先来说说算术平均数大于等于几何平均数这个公式。
简单说就是对于任意两个正实数 a 和 b ，有(a + b) / 2 ≥ √(ab) 。
就拿咱平时买水果来说吧，有一次我去买苹果，红苹果 5 块一斤，青苹果 3 块一斤。
我寻思着各买一点，红苹果买了 2 斤，青苹果买了 3 斤。
那平均一斤苹果的价格咋算呢？就是（5×2 + 3×3）÷（2 + 3），这就是算术平均数。
而几何平均数呢，就像是把这两种价格以某种巧妙的方式结合，就像让它们“融合”在一起发挥作用。
再看看调和平均数小于等于几何平均数这个公式。
比如说，你开车去一个地方，去的时候速度是 60 千米每小时，回来的时候速度是 40千米每小时。
那全程的平均速度可不是简单的（60 + 40）÷ 2 哦，这就得用到调和平均数的概念。
有时候我们容易想当然，觉得平均速度就是两个速度的平均值，其实不是这样的。
这就像在数学的道路上，一不小心就会掉进这样的“小陷阱”里。
然后是平方平均数大于等于算术平均数。
想象一下，你参加了一场考试，语文考了 80 分，数学考了 90 分。
这两门成绩的平方平均数和算术平均数就有着不同的意义。
平方平均数更强调每个数值的“影响力”，就像每个数字都在大声呼喊着自己的重要性。
最后是加权平均数。
这在生活中的例子可太多啦，比如说评选优秀学生，学习成绩占 70%，品德表现占 30%，综合起来得出的分数就是加权平均数。
这四个均值不等式的公式，就像是四个小伙伴，各有各的特点和作用。
在解决数学问题的时候，它们总是能挺身而出，帮助我们找到答案。
咱们学习数学，可不能死记硬背这些公式，得理解它们背后的道理，就像了解每个小伙伴的性格一样。
只有这样，当遇到难题的时候，才能灵活运用这些公式，把难题一个个攻克。
均值不等式的一般形式
均值不等式的一般形式1. 均值不等式的基本概念说到均值不等式，这个词听起来是不是有点儿高深莫测？其实它就是在数学里帮助我们理解平均数的一个小工具。
简单来说，均值不等式告诉我们，在一定条件下，平均数的大小会有所不同。
比如说，当你在班里考试时，有的人得了100分，有的人只得了60分，那么这时班级的平均分就会被这两极化的分数影响得很大。
这种情况就好比一场足球赛，球队的整体表现受到几个明星球员的影响，虽然整体实力可能参差不齐，但结果往往是“看谁表现好”。
1.1 为什么要关心均值不等式？那么，为什么我们要关心均值不等式呢？其实，它不光在数学里有用，生活中也处处可见。
想象一下，吃饭时如果你们几个朋友一起点菜，可能有的人爱吃辣，有的人偏爱清淡，最后一桌子的菜拼在一起，大家的口味都不一样，这就像是在演绎均值不等式，吃的结果就是大家都觉得好，但各自的喜好却千差万别。
就像“萝卜青菜，各有所爱”，这就是生活中均值不等式的真实写照。
1.2 实际例子说到实际例子，咱们再来个简单的。
假设你跟几个小伙伴一起去唱K，结果你高音一出，大家都被震惊了，纷纷让你继续唱。
这样一来，你的“表现”就提升了整体的“均值”。
而若是你旁边那位唱得不那么好，结果大家都默默低下头，不愿意点歌，这时候你们的整体表现就会受到影响。
这个现象不就是均值不等式在生活中的生动体现吗？2. 均值不等式的数学表达好啦，进入一些数学层面的东西，其实也没那么复杂。
均值不等式通常可以用一些公式来表示，比如算术均值、几何均值等。
我们常说的算术均值，就是把所有数字加起来再除以数量，这就是我们小时候学的“平均数”。
可是，你知道吗？在某些情况下，几何均值更能反映真实情况，比如在计算利率时，就不能只看简单的算术均值。
这就像是你不可能只看表面，要深入去“刨根问底”。
2.1 均值不等式的应用均值不等式的应用可真不少！在金融、统计学甚至是物理学中，它都能发挥大作用。
比如说，在投资时，大家总想找到最佳投资组合，而均值不等式就是帮助大家评估风险与收益的关键因素。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时，“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等";② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数,拼凑定和，求积的最大值。
例１ （1) 当时,求(82)y x x =-的最大值.(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值.解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-,即13x =时，上式取“=".故max 3227y =。
评注:通过因式分解,将函数解析式由“和"的形式,变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积"的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解:()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
均值不等式的推导过程四个常用均值不等式均值不等式意义变形
均值不等式
根据题干中的不等关系(大于、小于、大于等于、小于等于)列出不等式，然后求出未知量的取值范围，这是不等式在数学运算中的典型运用。
【举例说明】甲、乙共有100个苹果，已知乙的苹果数小于甲的苹果数的1/4，问乙最多有多少个苹果?
问乙则设乙，设乙有x个，则甲有(100x)，得x<1/4(100x)，得x<20，x为整数，则乙最多有19个苹果。
中公点评：解不等式的方法与解方程类似，但要注意，当不等号两边同时乘以(或除以)同一个负数时，要改变不等号的方向。
如3x<12，不等号两边同时除以3，得到x>4。
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当
a=b时，等号成立。
不等号左边是两个数的算术平均数，右边是几何平均数，这个不等式就称为均值不等式。
由均值不等式，可以得到两个常用结论。
(1)两个正数，当它们的和是一个确定的数的时候，它们相等时乘积最大。
例如:a+b=10，则当a=b=5时，ab=25为最大。
复杂一点的情况如下：已知3a+2b=10，求ab的最大值?当3a=2b时，ab取得最大值。
(2)两个正数，当它们的积是一个确定的数的时候，它们相等时和最小。
例
如:a+b=100，则当a=b=10时，a+b=20为最小。
复杂一点的情况如下：已知ab=100，求a4b的最小值?当a=4b时，a+4b取得最小值。
【举例说明】
已知，要求x⊕y=2x+3y的最小值，利用结论，，当2x=3y=6时2x+3y取最小值，则x⊕y=2x+3y=12。
均值不等式公式
均值不等式特例。
均值不等式公式总结及应用
均值不等式应用1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a=时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x<，求函数14245y x x =-+-的最大值。
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均值不等式的四种变形及其应用定理：如果,a b R ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =取等号）。
这个定理至少有四种变式。
例如一 第一种变式为2222()()a b a b +≥+它是怎样用定理“如果,a b R ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =取等号），”推导出来的呢？只要在么222a b ab +≥的两边同时加上22a b +可推出为2222()()a b a b +≥+它可以用中文数学语言叙述成“两个非负数的平方和的2倍不小于这两个非负数的和的平方。
”什么时候用这一均值不等式的变式呢？凡带有根号形式的不等式证明题可用此第一种变式。
例1设0,0a b >>，1a b +=≤证明：22(2121)22(1)8a b a b ≤+++=⨯++=≤ 例2设x,y 均为正数,10=-y x 且,求证:x-2y 200≤（1987年列宁格勒数学奥林匹克试题）.证明：用均值不等式的变形公式（)(2)222b a b a +≤+y y y x y x y x 2200)100(2)10(10102+=+≤+=⇒+=⇒=-移项得x-2y 200≤.例3 若a,b,c +∈R 且a+b+c=1,求证:21141414≤+++++c b a .证明:用三元均值不等式的变形公式)(3)(2222c b a c b a ++≤++.21)141414(3)141414(2=+++++≤+++++c b a c b a两边开方得出21141414≤+++++c b a例4 若a,b,c,d +∈R 且a+b+c+d=1求证:2414141414≤+++++++d c b a证明: 用四个变量均值不等式的变形公式)(4)(22222d c b a d c b a +++≤+++32]4)(4[4)14141414(2=++++≤+++++++d c b a d c b a .两边开方得出所要证的结果.二 笫二种变形22a a b b≥-。
这个变形公式是如何证明的？用中文的数学语言如何表达？何时用这一变形公式？ 只要在定理222a b ab +≥（当且仅当a b =取等号）的两边同除以b 再移项即可得形22a a b b≥-。
叙述“成一个数的平方除以第二个数不小于第一个数的二倍减去第二个数”，证明分当式且分子是平方形式时，用此不等式来证明。
例1 若a,b 为正实数,求证b a ab b a +≥+22. 证明1：22a a b b≥-；又因为22b b a a≥-两式相加得22222()()a b a b a b a b a b a b b a+≥+--=+-+=+ 柯西不等式 设),,3,2,1(,,n i R b a i i =∈则有不等式∑∑∑===≤ni i n i ii n i i b a b a 121221))(()(成立;当且仅当),,2,1(,n i ka b i i ==时等号成立.（证明从略）证明2: (用柯西不等式)构造两组数:.,;,a b a b ba 代入柯西不等式之中[(22222][])()][()()a ab b ba ab ab ba +≥++两边同除以a b +推出b a ab b a +≥+22。
例2 :a,b,c 为正数,求证:.222c b a ac c b b a ++≥++ 证明1：2222,2,2a b c a b b c c a b c a ≥-≥-≥-以上三式相加得证:.222c b a ac c b b a ++≥++ 证明2：用柯西不等式证明是很容易的.先构造两组数a cb ac cb ba ,,;,,代入柯西不等式之中222222)()]()()][()()()[(c b a a c b ac cb ba ++≥++++.不等式之两边同除以(a+b+c)推出:.222c b a ac c b b a ++≥++ 例6若i x 均为正数,n i ,,3,2,1 =求证:n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- 211221322221(1984年省市自治区联合数学竞赛题)证明1：22212122312312;2;;2nn x x x x x x x x x x x x ≥-≥-≥-以上n 个不等式边边相加得出 证:n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- 211221322221。
证明2:（用柯西不等式法）构造两组数.,,,,;,,,13213221x x x x x x x x x x n n 代入哥西不等式212222121232221)(])()()][()()()[(∑=≥++++++ni i n n x x x x x x x x x x两边同除以∑=ni i x 1推出:n n x x x x x x x x x +++≥+++ 2112322221三 用笫三种变形a b +≥这个变形公式适用于“积定和最小” 的类型。
公式如何证明？注意如何中文数学语言叙述？何时用这一公式？ 例7若正数,x y 满足21,x y +=求11x y+的最小值？解：11x y += 2223332x y x y y x x y x y y+++=++≥+=+ 例8已知,x y R +∈且280x y xy +-=求x y +的最小值？ 解：由28x y x y +-=推导(8y x x-=，220,080,,88x xx y x y u x y x x x >>∴->==+=+-- 2(216)1616(8)888x x x x x x x x -+=+=+=-+---16(8)108)10188(8)x x x -++≥+=--。
例7' 已知5/4x <求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因为5/4x <所以450,540x x -<->数14245y x x =-+-= 1(54)323154x x --++≤-+=-当且仅当154154x x x-=⇒=-时，上式等号成立 故当max 1,1x y ==。
例8求证:)(21222R x x x ∈≥++分析: 把22+x 拆成21111111122222≥+++=+++⇒++x x x x x ,当且仅当11122+=+x x 时等号成立, 此时0112=⇒=+x x 取等号.例8'求证:24522≥++x x (x R ∈)分析: 把52+x 拆成142++x 便于使用均值不等式,24144142222≥+++=+++x x x x 当且仅当41422+=+x x 时, 即31422-=⇒=+x x 时取等号,X R ∈是不可能的. 这是“误等”的一个陷井, 只有寻求其它途径, 才能彻底激活这种类型的数学题.从以上两例进行比较, 发现一个矛盾: 例8用均值不等式所得答案是正确的, 而例8'用均值不等式所得答案是错误的.所谓比较数学就是将两道形式一样, 解题方法也类似的数学题进行比较而发现异同的数学. 比较数学在教学中应该有它的认识论, 激活论的重要作用.。
例8'的正确解法又怎样呢？证法1：（利用函数的 递增性来证明）设t x =+42则t ≥2,y=tt 12+取0)1)((1122121121212221212>--=+-+=-⇒≥>t t t t t t t t t t y y t t 可见y=t t 12+在(),2(∞是增函数, 故当x=2时,y 有最小值5/2, 即y=4522++x x 的最小值是5/2.证法2: 因为y=414452222+++=++x x x x 又242≥+x 可设αααπαα2sin 2tan 1tan )22(arctan ,,tan 42=+=⇒<≤=+y x 因为 παπ<≤<22arctan 22所以)2a r ct a2s in(2s i n 0≤≤α即0<sin254522)2(1222=⨯=+⨯≤α故函数y=4522++x x 的最小值是5/2. 与证法1得出的是殊途同归的结论.例8''已知x>0,求证xx 1632--的最大值是238- 解法1:(均值不等式法)38)163(383162163,0-≤+-⇒=⨯≥+∴>xx x x x x x ., 所以382)163(2-≤+-x x ,即xx 1632--的最大值是382-,什么时候取最大值呢? 3x=33431616==⇒x x 时, xx 1632--的最大值是238-。
例9求函数y=22213xx +的最小值. 解:(用均值不等式)6232)21)(3(22132222==≥+x x x x 当且仅当42261213=⇒=x x x 时,y 取得最小值6.关于“积定和最小” 的类型, 我们出示3道习题让学生练习:①0x >求21y x x =+的最小值（21)22x x y x x x =+=++；②0x >求21y x x=+的最小值；（22111)22y x x x x x=+=++上两题关键在于拆项的技巧）③0,0a b >>求2222sin cos a b y x x=+的最小值。
（提示：222222222222csc sec (tan 1)(cot 1)sin cos a b y a x b x a x b x x x=+=+=+++） 四 笫四种变形2()2a b ab +≤ 这个变形公式适用于“和定积最大” 的类型 例9求2sin cos ,(0,)2y x x x π=∈的最大值。
分析：231sin cos cos (1cos )(22cos ),(0,)221cos 1cos 22cos 1()232y x x x x x x x x x y π==+-∈+++-≤=虽然这种拆项能保证“和”一定的条件，但是却出现了“误等”的错误，事实上cos 1cos 22cos x x x =+=- 同时成立是不可能的。
可见“误拆”与“误等”是一对“孪生兄弟”， 用“和定积最大” 的方法是如下的正确解法。
解：2242221(0,),sin 0,cos 0,cos sin (2cos sin sin )22x x x y x x x x x π∈∴>>==2242223314cos sin(2cos sin sin )/3227y x xx x x =≤++=， 推出22max 2cos sin tan 2y y x x x x ≤==⇒=⇒=。