高一【数学(人教B版)】均值不等式及其应用(1)-课件
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人教版高中数学B版必修一《第二章 等式与不等式——均值不等式及其应用》课件
一
二
三
课前篇 自主预习
3.做一做 已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab( ) A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值 C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0 解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得 |ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2. 答案:A
课前篇 自主预习
一
二
三
知识点二、均值不等式
1.填空 (1)给定两个正实数 a,b,数������+2������称为 a,b 的算术平均值,数 ������������称为
a,b 的几何平均值.
(2)均值不等式:如果 a,b 都是正数,那么������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立.均值不等式也称为基本不等式,其实质是:两个正实数
解:(1)1������
+
1 ������
=
1 ������
+
1 ������
(2x+y)=2+2������������
+
������������+1=3+2������������
+
������ ������
≥3+2
2������ ������
·������������=3+2
2,
当且仅当2������
第二章 等式与不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.了解均值不等式的证明过程, 理解均值不等式成立的条件,等 号成立的条件及几何意义. 2.会运用均值不等式解决最 值、范围、不等式证明等相关
2.2.4第1课时均值不等式课件-高一上学期数学人教B版
几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大
思考：均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的关系如何？请对此进行讨论。 提示：(1)在 a2＋b2≥2ab 中，a，b∈R；在 a＋b≥2 ab中，a，b>0. (2)两者都带有等号，等号成立的等件从形式上看是一样的，但
实质不同(范围不同)。 (3)证明的方法都是作差比较法。 (4)都可以用来求最值。
解析：(1)∵x>54，∴4x－5>0， ∴4x－2＋4x1－5＝4x－5＋4x1－5＋3≥2 4x－5·4x1－5＋3＝5， 当且仅当 4x－5＝4x－1 5，即 x＝23时取等号． ∴当 x＝23时，4x－2＋4x1－5取得最小值 5.
(2)∵x<54，∴4x－5<0，∴5－4x>0， ∴4x－2＋4x1－5＝4x－5＋4x1－5＋3 ＝－[(5－4x)＋5－14x]＋3≤－2 5－4x·5－14x＋3 ＝－2＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时取等号． 故当 x＝1 时，4x－2＋4x1－5取得最大值 1.
均值不等式与最值 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
思考ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ应用上述两个结论时，要注意哪些事项？ 提示：应用上述性质时注意三点：(1)各项或各因式均为正； (2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．即 “一正二定三相等”。
基础自测
下列不等式中正确的是( D )
归纳提升：常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题。应用此种方法求解最值 的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)。 (2)把确定的定值(常数)变形为1。 (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构 造和或积的形式。 (4)利用均值不等式求最值。
人教数学B版必修一《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第1课时均值不等式)
20
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21
1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注 条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即 a＋ b≥2 ab成立的条件是 a>0，b>0，等号成立的条件是 a＝b；a2＋ b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R，等号成立的条件是 a＝b.
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22
2．如果 0＜a＜b＜1，P＝a＋2 b，Q＝ ab，M＝ a＋b，那么 P，
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34
当堂达标 固双基
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35
1．思考辨析 (1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成立．( )
(2)若 a≠0，则 a＋1a≥2 a·1a＝2.( )
(3)若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b2.(
)
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36
[提示] (1)任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，当 a，b 都为正 数时，不等式 a＋b≥2 ab成立．
27
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＝b＋a c·a＋b c·a＋c b
≥2
bc·2 ac·2 abc
ab＝8，
当且仅当 a＝b＝c 时取等号，
∴1a－11b－11c－1＞8.
28
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29
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考 虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方 面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边 建立联系．
[思路点拨] 看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”， 裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．
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[证明] ∵a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，
人教高中数学必修一B版《均值不等式及其应用》等式与不等式说课教学课件
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语第1课时 命题与量词
任意
∀
全称量词
∀x∈M，
个体
部分
∃
存在量词
∃x∈M，
命题概念的核心要素
命题真假的判断
全称量词和全称量词命题
存在量词和存在量词命题
全称量词命题和存在量词命题的改写
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:∵x<2,∴2-x>0,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
利用均值不等式比较大小
分析:这是一个有趣的不等式链,取特殊值可判断其大小关系.借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究四
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
均值不等式在实际问题中的应用例4 某学校拟建一块周长为400 m的操场,操场的两边是半圆形,中间是矩形(如图所示).学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,应如何设计矩形?
解:设半圆的直径为d m,矩形的另一边长为x m,中间的矩形区域面积为由题知
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
利用均值不等式求范围或最值
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语第1课时 命题与量词
任意
∀
全称量词
∀x∈M，
个体
部分
∃
存在量词
∃x∈M，
命题概念的核心要素
命题真假的判断
全称量词和全称量词命题
存在量词和存在量词命题
全称量词命题和存在量词命题的改写
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解:∵x<2,∴2-x>0,
探究一
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利用均值不等式比较大小
分析:这是一个有趣的不等式链,取特殊值可判断其大小关系.借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法.
探究一
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当堂检测
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当堂检测
均值不等式在实际问题中的应用例4 某学校拟建一块周长为400 m的操场,操场的两边是半圆形,中间是矩形(如图所示).学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,应如何设计矩形?
解:设半圆的直径为d m,矩形的另一边长为x m,中间的矩形区域面积为由题知
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
利用均值不等式求范围或最值
探究一
2.2.4均值不等式及其应用课件高一上学期数学人教B版
>
c>d
同向
5
同向可加性
6
同向同正可乘性
a>b>0 ⇒ac bd
>
c>d>0
同向
7
可乘方性
a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥2)
同正
8
可开方性
a>b>0⇒ > (n∈N，n≥2)
同正
9
可倒性
a>b⇒
同号
左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的
会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图
关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已
知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证
明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本
不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
(1 + x)(3-x) ≤
1+x+3-x
2
,
和定积
最大
3. 补“1”法
解
1 9
已知 x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求 x＋y 的最小值.
1 9
∵x>0，y>0，x ＋y ＝1，
1 9
y 9x
∴x＋y＝ x ＋y (x＋y)＝x＋ y ＋10
y 9x
≥6＋10＝16， 当且仅当 ＝ ，
已知 x>0 时，求 y= x ＋4x 的最小值,
并说明 x 为何值时 y 取最小值。
解
∵x>0，∴
c>d
同向
5
同向可加性
6
同向同正可乘性
a>b>0 ⇒ac bd
>
c>d>0
同向
7
可乘方性
a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥2)
同正
8
可开方性
a>b>0⇒ > (n∈N，n≥2)
同正
9
可倒性
a>b⇒
同号
左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的
会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图
关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已
知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证
明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本
不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
(1 + x)(3-x) ≤
1+x+3-x
2
,
和定积
最大
3. 补“1”法
解
1 9
已知 x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求 x＋y 的最小值.
1 9
∵x>0，y>0，x ＋y ＝1，
1 9
y 9x
∴x＋y＝ x ＋y (x＋y)＝x＋ y ＋10
y 9x
≥6＋10＝16， 当且仅当 ＝ ，
已知 x>0 时，求 y= x ＋4x 的最小值,
并说明 x 为何值时 y 取最小值。
解
∵x>0，∴
人教B版高中数学必修第一册2.2.4《均值不等式及其应用》课件
换法 解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表
达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商
二、提升新知·注重综合
题型二
利用均值不等式求最值
变式训练
1．[直接利用均值不等式求最值]已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值
为
A．16
( B )
B．25
C．9
解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
++
++
++
(2) + + =
+
+
=+
+
+
+
+
+
⩾ + + + = ，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
二、提升新知·注重综合
题型一
用均值不等式证明不等式
方法总结
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等
1．判断正误
(1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立． ( × )
(2)若a，b同号，则 + ≥2.
(3)若a>0，b>0，则ab≤
+
恒成立．
(4)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 .
( √ )
( × )
达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商
二、提升新知·注重综合
题型二
利用均值不等式求最值
变式训练
1．[直接利用均值不等式求最值]已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值
为
A．16
( B )
B．25
C．9
解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
++
++
++
(2) + + =
+
+
=+
+
+
+
+
+
⩾ + + + = ，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
二、提升新知·注重综合
题型一
用均值不等式证明不等式
方法总结
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等
1．判断正误
(1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立． ( × )
(2)若a，b同号，则 + ≥2.
(3)若a>0，b>0，则ab≤
+
恒成立．
(4)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 .
( √ )
( × )
均值不等式及其应用-高一数学教学课件(人教B版2019必修第一册)
2.2.4 均值不等式 及其应用
引入新课
要做一段周长为200米的的栅栏，如何使其面积最大？
新知讲解
思考：一般地，对于任意实数 x、y，我们有
x2 y2 2xy ，当且仅当 x=y 时等号成立.
你能给出它的证明吗？
证明: x2 y2 - 2xy = x;0 ,当 x y 时，等号成立．
sin x
有同学这样解0 x ,sin x 0, 4 0,
sin x
y sin x 4 2 sin x 4 4
sin x
sin x
所以, y sin x 4 最小值为4. sin x
反思：研究函数
最值的处理思路是：
（1）可以用基本不等式求解；（2）不能用基本不等式时就用单 调性求解。
因为 OD CD ， 所以 a b ab 2
当且仅当 C 与 O 重合，即 a b 时，等号成立．
D
ab
2
ab
O
C
B
例 1 设 a, b 均为正数，证明不等式
ab
1
2
1
.
ab
证明 因 a, b 均为正数，由基本不等式，可知
11 a b
1
2
ab
也即
ab
1
2
1
，当且仅当 a
b 时，等号成立．
（1）求x，y的函数关系式，并求x的取值范围； （2）问框架的横边长x为多少时用料最省？
x y
反思：根据图形，建立总长L(米）与横边长x(米）之间的函数 关系式，再用数学方法（本例用基本不等式）求最小值，解题 过程中要关注x的取值范围对问题解答的影响。
实际问题 数学问题 实际问题
小结
1.基本不等式的定义和应用; 2. 均值不等式链
引入新课
要做一段周长为200米的的栅栏，如何使其面积最大？
新知讲解
思考：一般地，对于任意实数 x、y，我们有
x2 y2 2xy ，当且仅当 x=y 时等号成立.
你能给出它的证明吗？
证明: x2 y2 - 2xy = x;0 ,当 x y 时，等号成立．
sin x
有同学这样解0 x ,sin x 0, 4 0,
sin x
y sin x 4 2 sin x 4 4
sin x
sin x
所以, y sin x 4 最小值为4. sin x
反思：研究函数
最值的处理思路是：
（1）可以用基本不等式求解；（2）不能用基本不等式时就用单 调性求解。
因为 OD CD ， 所以 a b ab 2
当且仅当 C 与 O 重合，即 a b 时，等号成立．
D
ab
2
ab
O
C
B
例 1 设 a, b 均为正数，证明不等式
ab
1
2
1
.
ab
证明 因 a, b 均为正数，由基本不等式，可知
11 a b
1
2
ab
也即
ab
1
2
1
，当且仅当 a
b 时，等号成立．
（1）求x，y的函数关系式，并求x的取值范围； （2）问框架的横边长x为多少时用料最省？
x y
反思：根据图形，建立总长L(米）与横边长x(米）之间的函数 关系式，再用数学方法（本例用基本不等式）求最小值，解题 过程中要关注x的取值范围对问题解答的影响。
实际问题 数学问题 实际问题
小结
1.基本不等式的定义和应用; 2. 均值不等式链
人教数学B版必修一《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT(第1课时均值不等式)
故1x＋3y的最小值为
1＋
3 2.
栏目 导引
第二章 等式与不等式
本部分内容讲解结束
栏目 导引
第二章 等式与不等式
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键， 利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式 中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．
)
A．3 2－3
B．3
C．6 2
D．6 2－3
解析：选 D.y＝3(x2＋1)＋x2＋6 1－3≥2 3（x2＋1）·x2＋6 1－3 ＝2 18－3＝6 2－3，当且仅当 x2＝ 2－1 时等号成立，故选 D.
栏目 导引
第二章 等式与不等式
3．已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，则 x＋y 的最小值为________． 解析：x＋y＝(x＋y)1x＋9y ＝10＋xy＋9yx≥10＋2 xy·9yx＝10＋6＝16. 即 x＝4，y＝12 时等号成立，所以 x＋y 的最小值为 16. 答案：16
栏目 导引
第二章 等式与不等式
解：因为 x<2，所以 2－x>0， 所以 y＝x＋x－4 2＝－（2－x）＋2－4 x＋2≤ －2 （2－x）2－4 x＋2＝－2， 当且仅当 2－x＝2－4 x，得 x＝0 或 x＝4(舍去)， 即 x＝0 时，等号成立． 故 y＝x＋x－4 2的最大值为－2.
栏目 导引
栏目 导引
第二章 等式与不等式
1．已知 0＜x＜1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值为( )
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交半圆于 D ，
若 AC a ， BC b ，
A
则 CD ab ， OD OA a b ，
2
由图知： OD CD ，即 a b ab ．
2
D
• OC
B
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
（即：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值）
作业
通过实例判断三个正数 a,b,c 的算术平均值 a b c 与几何平 3
均值 3 abc 的大小关系，你能够证明吗？
谢谢
均值不等式及其应用（1）
高一年级 数学
1．知识引入
ab
前面所讲， 2 是作为数轴上 Aa ， Bb两点的中点坐标
出现的，显然这是几何上的表现．
ab
我们称 2 为实数 a,b 的算术平均值，即“形”到“数”．
x
a
b
x
x
a
2
b
，
类比得到， x b x2 ab ，此时 a,b 同号， ax
这里我们先考虑 a,b 都是正数，
则称 x ab 为正数 a,b 的几何平均值．
a
1
2
3
b
1
4
2
1
3
1
2
2．定义概念
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
已知： a 0,b 0ab a b 2 ab
4
当且仅当 a b 时，等号成立，所以， a b ab ． 2
（当 a 0,b 0 时， a b a2 b2 ）
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
（即：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值）
3．适当拓展
显然，从均值不等式的证明方法中都用到 (a b)2 0 ， 即 a2 b2 2ab ，即 a2 b2 ab ，
a b 0，
2
2
2
当且仅当 a b 0 ，即 a b 时，等号成立， 所以， a b ab ．
2
（a b ab 0）
已知： a 0,b 0 ，求证： a b ab ．
2
证明：（法二）
a
b 2
2
a2
b2 4
2ab
a2 b2 2ab 4ab
4
a b2
2
ab ab ab .
2 都可以看作均值不等式的推论，此时 a,b R ．
由两个正数的均值不等式类比得到：三个，四个，…， 多个正数的均值不等式，
如果 a,b,c 都是正数，那么 a b c 3 abc ， 3
当且仅当 a b c 时，等号成立．
均值不等式的几何形式体现：
如图， AB 是圆的直径， CD AB 于 C ，