正弦余弦均值不等式及其应用
正余弦均值不等式及其应用
石嘴山市一中 刘
先看个例子:
在 △ABC 中,分别判断满足下列条件的三角形形状 ?
⑴ sin A + sin B + sin C =
332
⑵ sin A·sin B·sin C = 338
⑶ cos A + cos B + cos C = 32
⑷ cos A·cos B·cos C = 18
⑸ sin A 2+ sin B 2+ sin C 2
= 32 ⑹2sin A +2sin B +2sin C = 94
⑺2cos A + 2cos B + 2cos C = 32 答案:以上各题的三角形均仅为正三角!
对于这样的题目,往往首先想到用三角恒等变形或正余弦定理直接导出 A = B = C 或 a = b = c 。实践证明,这种方法根本行不通! 这些题目一般思路是灵活借用判别式法、不等式法、数形结合法等进行所谓“巧妙变换”来解之。其“巧妙”程度因题而异,没有固定模式,不易掌握。实际上,这些题目属于同一类问题,应有统一解法,本文就此问题进行探讨。
定理1:对于任意角α、β,令 γ = 2αβ
+ ,则
│sinα+ sinβ│≤ 2│sinγ│ ①
sinα·sinβ ≤ 2sin γ ②
│cosα+ cosβ│≤ 2│cosγ│ ③
cosα·cosβ ≤ 2cos γ ④
当且仅当 α=β + 2 kπ( k ∈Z )时,取“=”号。
定理1 仅是本文的特例,我们可以称:
① 为 正弦和中值最大不等式;
② 为 正弦积中值最大不等式;
③ 为 余弦和中值最大不等式;
④ 为 余弦积中值最大不等式,
也可把它们统称为 正余弦中值定理 或 正余弦中值不等式。
证明:① ∵│sinα+ sinβ│=│2 sin 2αβ
+·cos 2αβ
-│≤│2 sin 2αβ
+│
∴│sinα+ sinβ│≤ 2│sinγ│
当且仅当 α=β + 2 kπ( k ∈Z )时,取“=”号。
② ∵ sinα·sinβ=
12
[cos(α-β) - cos(α+β)] = 12[cos(α-β) - 1 + 2·sin 2(2αβ+)]≤ sin 2(2αβ+) ∴ sinα·sinβ ≤ sin2γ
当且仅当 α=β + 2 kπ( k ∈Z )时,取“=”号。 ③、④ 同理可证。
注意:②、④ 没有绝对值符号,比如:α=2π,β=2π
-,得 sinα·sinβ<sin2γ,但│sinα·sinβ│>│sin2γ│。
定理2:对于任意角 α、β、γ ∈[0, 2
π],令δ= 3αβγ++,则 sinα+ sinβ+ sinγ ≤ 3 sinδ
sinα·sinβ·sinγ ≤ sin 3δ
cosα+ cosβ+ cosγ ≤ 3 cosδ
cosα·cosβ·cosγ ≤ cos 3δ
当且仅当 α=β=γ 时,取“=”号。
定理3:对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈[0, 2π],令δ=12
n n ααα+++,
( n ≥ 2 ,且 n ∈N ),则
sinα1 + sinα2 + + sinαn ≤ n sinδ
sinα1 ·sinα2 · ·sinαn ≤ sin n δ
cosα1 + cosα2 + + cosαn ≤ n co sδ
cosα1 ·cosα2 · ·cosαn ≤ cos n δ
当且仅当α1 =α2 ==αn 时,取“=”号。
定理4:对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈[0 ,π],令δ=12n n ααα+++ ,
( n ≥ 2 ,且 n ∈N ),则
sinα1 + sinα2 + + sinαn ≤ n sinδ
sinα1·sinα2 · ·sinαn ≤ sin n δ
当且仅当α1 =α2 ==αn 时,取“=”号。
定理5:对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈[2π-, 2π],令δ=12n n ααα+++,( n ≥ 2 ,且 n ∈N ),则
cosα1 + cosα2 + + cosαn ≤ n cosδ
cosα1 ·cosα2 · ·cosαn ≤ cos n δ
当且仅当α1 =α2 ==αn 时,取“=”号。
定理6:对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈[π,2π],令δ=12n n ααα+++,
( n ≥ 2 ,且 n ∈N ),则
│sinα1 + sinα2 + + sinαn │≤ n │sinδ│ │sinα1 ·sinα2 · ·sinαn │≤│sin n δ│
当且仅当α1 =α2 ==αn 时,取“=”号。
定理7:对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈[
2π, 32π],令δ=12n n ααα+++,( n ≥ 2 ,且 n ∈N ),则
│cosα1 + cosα2 + + cosαn │≤ n │cosδ│ │cosα1 ·cosα2 · ·cosαn │≤│cos n δ│
当且仅当α1 =α2 ==αn 时,取“=”号。
我们不妨统称上述定理为 正余弦均值定理 或 正余弦均值不等式。其中,定理2、定理3、定理6、定理7 的实质可以概括为 定理4 及
定理5 。当然,以上定理可以拓展到任意周期内的相应角,这里不再赘述。
因以上定理的证明大同小异,所以这里我们只给出 定理3 的证明,其它定理的证明类似。
我们知道,有下列著名的Jensen 不等式
若 )(x f 是上凸函数,则对 )(x f 定义域中任何 n x x x ,,,21 ,有
??
? ??+++≤+++n x x x f n x f x f x f n n 2121)()()( 。 当且仅当 n x x x === 21 时,等号成立。
证明:
(1) 当 ]2,0[π
∈x 时,函数 x sin 和 x cos 都是上凸函数,所以根据 Jensen 不等式,当 ]2
,0[,,,221π
ααα∈ 时,必有 n n αααsin sin sin 21+++ ??
? ??+++≤n n ααα 21sin , n n αααcos cos cos 21+++ ??? ??+++≤n n ααα 21cos , 当且仅当 n ααα=== 21 时,取“=”号。
令 n n
αααδ+++= 21 ,则有
δαααsin sin sin sin 21n n ≤+++ ,
δαααcos cos cos cos 21n n ≤+++ 。
(2)当 ]2,0(π
∈x 时,函数 x sin ln 是上凸函数,所以根据 Jensen 不等式,
当 ]2,0(,,,221π
ααα∈ 时,必有 n n αααsin ln sin ln sin ln 21+++ ??? ??+++≤n n ααα 21
sin ln ,
当且仅当 n ααα=== 21 时,取“=”号。
令 n
n
αααδ+++= 21 ,则有
δαααsin ln sin ln sin ln sin ln 21n n ≤+++ , )ln(sin )sin sin ln(sin 21δαααn n ≤??? ,
δαααn n sin sin sin sin 21≤??? 。
如果有某些 0=i α ,由于 00sin sin ==i α ,所以
δαααn n sin 0sin sin sin 21≤=??? ,
这时不等式也成立。
(3)当 )2,0[π
∈x 时,函数 x cos ln 是上凸函数,所以根据 Jensen 不等式,
当 )2,0[,,,221π
ααα∈ 时,必有 n n αααcos ln cos ln cos ln 21+++ ??? ??+++≤n n ααα 21cos ln ,
当且仅当 n ααα=== 21 时,取“=”号。
令 n
n
αααδ+++= 21 ,则有
δαααcos ln cos ln cos ln cos ln 21n n ≤+++ ,
)ln(cos )cos cos ln(cos 21δαααn n ≤??? , δαααn n sin cos cos cos 21≤??? 。
如果有某些 2πα=i ,由于 02
cos cos ==παi ,所以 δαααn n sin 0cos cos cos 21≤=??? ,
这时不等式也成立。
上述证明过程不只是为我们推导了 正余弦均值不等式 ,更重要的是它为我们提供了一个解决本文开头就提出的例子的一般性方法: 其中对于 ⑴、⑵、⑸ 则是 定理4 的特例。
对于 ⑶、⑷ 则可设 角C为最大角,角B为最小角,
令 C'=C B 2+,B'=C B 2
-, A'=A, 由 A+B+C=π,得 A'、B'、C' 均为锐角,并且由正余弦中值定理的证明方法可得,
cos A'+ cos B'+ cos C' ≥ cos A+ cos B+ cos C cos A'·cos B'·cos C' ≥ cos A·cos B·cos C
当且仅当 A=B=C 时,取“=”号。
问题从而转化为 定理2 的特例。
对于 ⑹、⑺ 又可通过正余弦半角公式、和差化积、积化和差公式等变形为 ⑷,便可得出结论。
可以看出,⑴ 题 ─── ⑹ 题表面为等式,其本质为 不等 ! 这是 等 与 不等 的辩证的统一。
正余弦均值不等式 有其重要的应用价值,一般对于诸如:
① 在三角形中,已知 a=10,A=20°,求三角形面积的最大值?
② 定圆中三角形面积的最大值?
③ 定圆中三角形边长的最大值?
④ 平面凸 n 边形 n 个内角满足什么关系时其正弦值之和最大?
⑤ 平面凸 n 边形 n 个内角满足什么关系时其余弦值之和最小? (n ≥5)
等类型的问题可通过简单变形后得出结论或直接得到结论。其中⑤要注意条件(n ≥5),需稍作变换后可由 定理7 直得结果。在现行高中数学教材中这样的题目广泛存在,此处不再一一列举。本文谨此起一抛砖引玉的作用,不妥之处敬请同行们指正。
1.2.2正弦、余弦定理应用
1.2.2解斜三角形 学习目的: 1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用; 2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化; 3通过解斜三角形的应用的教学,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 学习重点:1实际问题向数学问题的转化;2解斜三角形的方法 学习难点:实际问题向数学问题转化思路的确定 课堂过程: 一、复习引入: 上一节,我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用,了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法,掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节,继续给出几个例题, 要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决 二、讲解范例: 应用二:测量高度 例1 如图,AB 是底部B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点。设计一种测量建筑物高度AB 的方法 分析:由于建筑物的底部B 是不可到达的,所以不能直接测量建筑物的高。由解直角三角形的知识,只要能测出一点C 到建筑物的顶部A 的距离CA ,并测出由点C 观察A 的仰角,就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长。 解:选择一条水平基线HG , 使H 、G 、B 三点在同一条直线上,由在H, G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别为α,β,CD=a. 测角仪器的高为h, 那么,在△ACD 中,根据正弦定理可得: sin sin() a AC βαβ= - sin asin sin = sin(-) AB AE h AC h h ααβαβ=+=++ 例2 如图,在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′, 在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′ 。已知铁塔BC 部分的高为27.3m, 求出山高CD (精确到1m ) 分析:根据已知条件,应该设法计算出AB 或AC 的长 解:在△ABC 中, ∠BCA=90°+ β , ∠ABC=90°-α, , ∠BAC= α -β, ∠BAD=α. 根据正弦定理得: E D G H C A B A α β
正弦函数余弦函数的图像(附答案)
正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. 知识点一 正弦曲线 正弦函数y =sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线. 利用几何法作正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象的过程如下: ①作直角坐标系,并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆,如图所示. ②把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x 轴的垂线,可以得到对应于0,π6,π3,π 2,…,2π等角的正弦线. ③找横坐标:把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份. ④平移:把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合. ⑤连线:用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来,即得y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象. 在精度要求不太高时,y =sin x ,x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0),(π2,1),(π,0),(3π 2,-1), (2π,0)五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可得正弦函数的简图. 思考 在所给的坐标系中如何画出y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象?如何得到y =sin x ,x ∈R 的图象? 答案 y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下: 只要将函数y =sin x ,x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y =sin x ,x ∈R 的图象. 知识点二 余弦曲线 余弦函数y =cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线.
正弦定理和余弦定理
04—正弦定理和余弦定理 利用正弦定理解三角形 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一确定,会出现两解、一解和无解三种情况. [例1] (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a sin B cos C +c sin B cos A =1 2 b ,且 a > b ,则B =( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π 6 (2)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =3,sin B =12,C =π 6,则b =________. [解析] (1)利用正弦定理的变形,得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,代入a sin B cos C +c sin B cos A =12b 中,得2R sin A ·sin B cos C +2R sin C sin B cos A =12×2R sin B ,所以sin A cos C +sin C cos A =12,即sin(A +C )=12,所以sin B =12.已知a >b ,所以B 不是最大角,所以B =π6 . (2)在△ABC 中,∵sin B =12,0b .又a +c =2b ,所以c =a -8,所以a 大于c ,则A =120°. 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(a -4)2+(a -8)2-2(a -4)·(a -8)·????-12,所以a 2-18a +56=0. 所以a =14或a =4(舍去).故选B. (2)由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab ,将其代入a cos C +32c =b 中得,a ×a 2+b 2-c 22ab +3 2 c =b ,化简 整理得b 2+c 2-a 2=3bc ,于是cos A =b 2+c 2-a 22bc =32,所以A =π6.[答案] (1)B (2)π 6 利用正、余弦定理解三角形 [例3] 设△ABC 1,A =2B . (1)求a 的值;(2)求sin ??? ?A +π 4的值. [解] (1)因为A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B .由正、余弦定理,得a =2b ·a 2+c 2-b 2 2ac .因为b =3,c =1,所以a 2=12,a =2 3. (2)由余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-1 3 .因为0 第二节应用举例 题型一 测量距离问题 A 、 B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C ,测出 AC 的距离是55m, 51=∠BAC , 75=∠ACB .求A 、B 两点间的距离(精 确到1.0m ). 分析 所求的边AB 的对角是已知的,又已知三角形的一边AC ,根 据三角形内角和定理可计算出AC 的对角,根据正弦定理,可以计算出边AB . 解答 根据正弦定理,得 ABC AC ACB AB ∠= ∠sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ∠∠= ∠∠=sin sin 55sin sin 76554 sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55?≈=--= (m) 点拨 本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,用正弦定理就可解决。 本题型的解题关键在于明确:(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题,再运用正弦定理解决。(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题,首先把求不可到达的两点之间的距离转化 A B C 为应用正弦定理求三角形的边长问题,然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。 衍生1★★ 如图所示,客轮以速度v 2由A 至B 再到C 匀速航行,货轮从AC 的中点D 出发,以速度V 沿直线匀速航行,将货物送达客轮,已知BC AB ⊥,且50=-BC AB 海里。若两船同时启航出发,则两船相遇之处距C 点 海里。(结果精确到小数点后1位) 解析 AB DB 2< ∴两船相遇点在BC 上,可设为E ,设x CE =,则 V BE AB DE 22+= 故 V x x 45cos 2252)225(22??-+V x 2)50(50-+= 得 3 5000 2= x ,∴8.40≈x 答案 8.40 点拨 本题考查了测量距离问题。 衍生2★★★如图所示,B A ,两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量B A , 两点间距离的方法。 分析 可以先计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离, 再测 A B C D α β A γ δ 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导; 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形; 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用; 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 基础知识梳理 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可 以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin _B ∶sin _C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos_A ,b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos_B ,c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos_C .余弦 定理可以变形:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab .正弦定理和余弦定理的应用
正弦定理和余弦定理详细讲解