数e 来龙去脉

数e 来龙去脉李 忠(北京大学数学科学学院 100871)在中学里如何给学生讲述自然对数的底e ,是一大难题. 我国中学教材处理这个问题的办法历来是,不讲它的意义和定义,只告诉学生数e 是一个无理数, e = 2.71828 ⋯⋯. 这使得数e 变得很神秘. 至于数e 和自然对数有何用处,学生们则更是茫然.当然,讲清常数e 的意义,要比讲清圆周率π的意义困难得多. 圆周率π有明显易懂的几何意义:圆的周长与其直径之比;而数e 就似乎缺乏这样简单明了的解释与模型.从历史上来看,数e 的出现要比π晚得很多。

人们知道圆周率至少是在公元前200 多年前的事,而数e 的出现则在17 世纪.本文将简要介绍发现数e 的历史, 除了讲述Euler 的贡献之外,还要重点解释Bernoulli 关于数e 模型以及Huygens 关于自然对数的几何模型. 最后讲讲数e 在分析学中的意义.1 数e 的由来历史上数e 的出现与关于对数的研究紧密相关.17 世纪初,苏格兰数学家John Napier 等人发明了对数. 基于对数的理论,人们编制了对数表,制成了计算尺,使之成为数值计算的有效工具. 当时除了Napier 对数之外,还有一种自然对数. 在1618 年出版的Napier 的著作中, 就附录了一个自然对数的对数表. 尽管没有标明注明这张表的编制者,但后来人们几乎完全可以肯定它的编制者是William Ought red.自然对数的出现是历史上第一件与数e 有关的事. 但是,当时人们并不知道自然对数的底———常数e. 这似乎让人感到有点奇怪:为什么当时有了自然对数的表, 却不知道它的底呢? 我们需要作一点必要的解释.利用对数表或计算尺来计算大数的乘积和商,其基本原理是通过对数函数把两个数乘除运算化成了加减运算. 当时人们关于对数的思考,与现代的想法不同. 现代的做法是, 先给定某个数a ,把它作为底,然后根据方程y x a =,将x 的对数定义为y . 但那时人们考虑对数的办法并不是这样,而是直接从一个对数函数出发. 若一个函数f(x)在(0 , + ∞)上连续并严格单调, 且对于任意两个正数x 与y 都有:()()()f xy f x f y =+,则称之为对数函数. 对数函数不只一个, 人们可以用不同的方式构造这种函数. 一旦有了这样的函数(或相应的算法) 就可以利用它编制对数表.1661 年, Huygens 作了一个重要观察:他考察了双曲线y = 1/ x 的下方的某种曲边梯形的面积,并发现这种面积与对数函数有关. 他的发现实际上给出了自然对数的一个几何模型. 后面我们还要详细介绍他的结论.令人意外的是,不曾研究对数的数学家J acobBernoulli (雅可布·贝努力) , 却首次给出了数e 的定义. 他在1683 年研究复利时, 证明了当n 趋于无穷时,数列{(11/)}n n +有极限, 并且证明了这个极限介于2 与3 之间. 这个极限值就是后来人们称之为e 的数. 当然,Jacob Bernoulli 当时并没有认识到这个极限与对数的关系,也没有把两者联系在一起.数e 作为一个数学常数第一次被正式提出,是在1690 年. 那年,著名数学家Leibniz (莱布尼斯) 在写给Huygens 的信中,提出了这个常数. 但他把它记为b, 而不是e.把这个常数记作e 、并对它作了全面深入研究的数学家是Euler (欧拉) . 他从1727 年就开始研究它, 并记之为e. 他得到了众多的发现. 在1748 年出版的书《无穷小分析引论》中,他把自己的发现作了完整的叙述与总结.他同样把数e 定义为极限lim(11)n n n →∞+, 并证明了 11/1!1/2!1/3!e =++++他取了上述公式的20 项进行计算,给出了数e 的前18 位:e ≈2.718281828459045235他定义了以e 为底的指数函数与对数函数(即自然对数) . 此外他还给出了数e 和以e 为底的指数函数的幂级数展开式,以及它们的连分数展开式.最难能可贵的是借助于e ,他证明了著名公式:cos sin ix e x i x =+,被称作Euler (欧拉) 公式. 自Euler 之后, 以e 为底的指数函数与以e 为底的对数函数, 开始进入了数学的各个领域,成为分析学不可缺少的工具.附带指出, 有一些人误以为这里的字母e 是人们为了纪念Euler ,才使用了他的名字的第一个字母. 其实不然,是Euler 自己首先使用这个记号,而后来的人只是跟随了他而已. 人们猜测Euler 使用e 的原因,可能是由于字母e 是“exponential ”(指数) 的第一个字母的缘故. 当然,也可能是其他原因. 但有一点可以肯定,他使用e 与自己的名字无关, 因为人们知道Euler 是个十分谦逊的人.2 数e 的贝努力模型为了增进对数e 的具体了解, 现在我们回到前面提到的Jacob Bernoulli 的结果. 它实际上给我们提供了一个关于数e 的具体模型.现在让我们虚构一个有关复利计算的故事.某处有一家银行, 它对客户储蓄的年利率是1 =100 %. 某客户甲在年初存入1 元,年终取出,其本利和为1 + 1 = 2 元. 某客户乙在年初存入1 元,而在年中时(假定恰好是1 年之半时) 取出,然后再将当时的本利和一并存入该行,则他在年终取出时本利和应为(1 + 1/ 2) (1 + 1/ 2) = (1 + 1/ 2) 2 = 2.25 ,多于客户甲之所获. 某客户丙在年初存入1 元,然后以一季(一年的1/ 4) 为周期, 每一季办理一次存取手续,以获得复利. 这样,客户丙在年终时,本利和应为(1 + 1/ 4)4 ≈2.4414063 ,更多于某甲之所获. 某客户丁在年初存入1 元,然后要求银行, 以天为单位作复利计算, 那么年终时,他所得本利和应为(1 + 1/ 365) 365≈2.7145675.从理论上探讨,如果计算复利的周期无限缩短,或者说如果银行允许对客户时时刻刻均以复利计息,依旧假定年利率为100 % ,那么年初1 元的本金到了年终时其本利和应为lim(11/)( 2.718281828)n n n e →∞+==这个故事为我们提供了我们了解数e 的一个有趣模型. 如果可能的话把它介绍给学生们,不是很好吗?序列{(11/)}n n +的极限的存在性主要基于该序列的单调递增性与有界性,而这两点是不难证明的. 当然, 面向学生时, 这种证明是可以省掉的.上述极限很容易推广成下列形式lim(11/)x x x e →∞+= 这个极限是微积分学中两个重要极限之一. 有了它立刻就推出lim(1/)n x n x n e →∞+=其中x 为任意实数. 这个结果仍可用复利做出解释:上式告诉我们,如果银行的年利率不是1 ( = 100 %) , 而是x ( = 100 x %) , 在每时每刻以复利计息的条件下,那么年初的1 元本金到了年终则其本利和为x e .这些故事当然是虚构的. 但自然界确实存在着每时每刻“复利计息”的例子:比如放射物质的衰变所遵从的规律就是0()kt m t m e -= ,其中0m 为放射物的初始质量, ()m t 为放射物在时刻t 时的质量, k 为一正的常数. 放射物质的衰变,相当于在前述例子中,利率为负数(- k) 的情况, 初始值由1 改为0m ,而时间间隔从一年换成了从0 到t. 这样,以e 为底的指数函数描述这类自然现象时有特殊意义.3 自然对数的几何模型前面我们讲到了Huygens 的重要观察,并提到他观察实际上给出了自然对数的一个几何模型. 现在我们来介绍他的观察.假定在平面上给定了坐标系Ox y ,并考虑由双曲线1y x =、x 轴、直线x = a 和x = b 所围成的一个曲边梯形,也即集合{(,)|;01/}x y a x b y x ≤≤≤≤由于这个曲边梯形依赖于参数a 和b , 所以我们把曲边梯形的面积记为(,)S a b .Huygens 的重要结论是, (1,)y S x =是一个对数函数,也即满足下列条件:(1,)(1,)(1,)(0,0)S ab S a S b a b =+>> .正像前面所指出的,有了这样一个函数,人们就可以利用它编制对数表,设计计算尺,把乘除运算变成加减运算.假如在今天, 我们运用微积分的知识, Huygens 的这个结论是十分显然的:函数1y x =自1到一点x 0(>0) 的定积分就是lnx 0 . 因此,这里的(1,)y S x =实际上就是y=lnx.当时Huygens 并不知道微积分———虽然Huygens 与Newton 和Leibniz 是同一时代的人,但Huygens 做该项研究时,有关微积分的论文都未发表. 那么, Huygens 是如何得到他的结论呢?其实,事情并不复杂. 利用面积的可加性, 立刻可以看出:(1,)(1,)(,)S ab S a S a ab =+因此,为了证明我们的结论只需说明(,)S a ab =(1,)S b 就足够了.事实上,读者可以自行验证, 在(1,)S b 所对应的曲边梯形{(,)|1;01/}x y x b y x ≤≤≤≤,与(,)S a ab 所对应的曲边梯形{(,)|;01/}u v a u ab v u ≤≤≤≤之间,存在着一个一一对应: u = ax , v = y/ a.它是一个线性变换,在x 方向拉长了a 倍,同时在y 方向缩短了a 倍.因此, 它保持面积不变. 这样,我们就证明了(1,)S b = (,)S a ab , 进而也就证明了y = (1,)S x 是一个对数函数.现在我们来考察Huygens 所提出的对数函数y =(1,)S x 的底. 如果使用微积分的知识,可知(1,)S x = ln x , 那么它的底显然就是e. 现在, 我们要在不使用微积分的条件下来说明这件事.我们知道,一个对数函数()y f x =的底就是使得()f x = 1 的x 的值. 现在假定E 是对数函数y =(1,)S x 的底,也即(1,)S E = 1 ,下面要证明E = e. 显然, y =(1,)S x 是x 的连续函数, 严格递增. 所以为了证明E = e , 只要证明lim (1,(11/))1n n S n →∞+=就足够了. 我们考察曲边梯形 {(,)|111,01}n T x y x n y x =≤≤+≤≤ .让我们画出曲线y = 1/ x 与梯形n T 的图形,立刻就会从直观上看出, n T 的面积大于宽为1/ n 、高为1/ (1 + 1/ n) 矩形的面积,并且小于宽为1/ n 、高为1 的矩形的面积. 这也就是说1(1)(1,11)1n S n n +<+<由此就推出lim (1,11/)1n S n →∞+=. 另一方面, 由对数的性质,我们有(1,11/)(1,(11/))n nS n S n +=+.所以上述极限lim (1,11/)1n S n →∞+=就证明了我们所要的结论: Huygens 所提出的对数函数y=S(1,x) 的底就是数e —Bernoulli 所讨论的极限.总之, 我们把Bernoulli 关于数e 模型与Huygens 关于自然对数的几何模型完全沟通了.为什么要把这样的对数称作自然对数呢? 这是因为它在所有对数中是最简单的对数. 事实上, Huygens 的观察可以推广到关于曲线y = c/x 的情形,其中c ≠0 是任意常数. 对每一个c ≠0 ,曲线y = c/ x 都对应着一种对数函数. 反过来, 可以证明,每一种对数函数都有一个c ≠0 , 使得它是关于曲线y = c/ x 的一种曲边梯形的面积. 在所有对数中, c = 1 的情形最为简单,最便于计算,因此人们称之为自然对数.4 引入数e 意义数e 的发现与广泛使用, 在数学的发展中曾起了重要作用. 以e 为底的指数函数x y e =及以e 为底的对数函数y =lnx ,自Euler 之后, 便成为基本初等函数,在分析学以及其他应用领域中扮演着重要角色.在微积分的发展中, 数e 的引入与自然对数的建立的最大“功绩”是使得计算一般指数函数x y a =的导数成为可能. 学过微积分的人,都知道下列公式:()ln (0)x x a a a a '=>.这个公式表明,一般指数函数的导数计算,必然要借助于自然对数. 如果没有数e , 自然也就没有ln a ,那么函数x y a =的导数也就没法计算了.以e 为底的对数(即自然对数) , 在一般对数函数中是最简单对数函数. 这一点前面已经提到.它的简单性还体现在其导数上. 从微积分学中我们知道:(ln )1;(log )1(ln )a x x x x a ''==这里我们看到,一般对数的导数公式不仅较为复杂,而且还不可避免地还要用到自然对数. 可见,自然对数更为基本. 与公式(ln )1x x '=相对应的是下列简洁的事实:()x x e e '= ,即以e 为底的指数函数的导数是它本身. 这一事实使x e 的幂级数展开式有一个特别优美的形式:231/1!/2!/3!/!x n e x x x x n =++++++如果读者已经知道另外两个展开式:3521242sin /1!/3!/5!(1)/(21)!,cos 1/2!/4!(1)/(2)!n n n n x x x x x n x x x x n +=-+++-++=-+++-+那么,在x e 的展开式将x 换成ix ,立刻就导出了:cos sin ix e x i x =+.这便是已经提到的欧拉公式. 它是复数运算以及复变函数论中的最基本的公式. 在这个公式中,令x =π即得到1i e π=-数学中三个最重要的常数π, i , e ,在这里却如此简单巧妙地结合在一起,令人感叹不已.总之, 可以设想, 如果没有数e , 整个数学的面貌就不会像今天这样多姿多彩.注:本文是根据作者2006 年在一次北京数学会召开的中学数学教学改革研讨会上的讲演稿改写而成. 作者并不主张在中学的教学中讲述过多的有关数e 的内容, 没有那样的必要与可能. 但是,在讲到数e 时, 试着讲一讲它的定义, 让学生们知道什么是数e ,似乎没有大的困难.。