一元二次方程的解法易错点剖析

一元二次方程易错题剖析

一、在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数a ≠0

题目1 关于x 的方程0)1(1222

＝＋＋－－－k x x k k k 是一元二次方程，求k 的值．

错解：∵2122＝－－k k 即0322＝－－k k ∴1k ＝3，2k ＝－1.

错因：方程02＝＋＋c bx ax （a ≠0）为一元二次方程，这里强调a ≠0.当2k ＝ －1时，使2k －1＝0，原方程是一元一次方程. 正解：

22

k 2k 12,k 10,⎧⎪⎨≠⎪⎩

－－＝

－ ∴k ＝3. 二、在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数a ≠0

题目2 关于x 的一元二次方程02332)1(2＝－＋＋＋m mx x m 有实根，求m 的取值范围. 错解：∵方程有实根，∴∆≥0， 即)23)(1(4)32(2－＋－m m m ≥0， ∴84＋－m ≥0，∴m ≤2.

错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足m ＋1≠0，即m ≠－1。 正解：

24(m 1)(3m 2)0,

m 10,⎧≥⎪⎨

≠⎪⎩

－＋－＋ ∴m ≤2，且m ≠－1.

三、忽视根的判别式和二次项的系数a 应满足的条件

题目3 已知关于x 的方程02＝－－n mx x 的两根之积比两根之和的2倍小2

1

，并且两根的平方和为22，求m ，n 的值.

错解：设两根分别为1x ，2x ，则1x ＋2x ＝m ，21x x ＝－n .

由题意，得12122212

12(x x )x x ,2x x 22,⎧

⎪⎨⎪⎩＋－＝

＋＝

即212m n ,2m 2n 22,⎧

⎪⎨⎪⎩

＋＝＋＝ 解得11m 7,27n ,2⎧⎪⎨⎪⎩＝＝－ 或 22m 3,13n .2

⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝ 错因：因为方程有两根，说明根的判断式∆≥0，即n m 42＋≥0，但m ＝7和n ＝－

2

27

不满足，应舍去.又这里二次项系数a ＝1是已知的，解题时可不考虑。 正解：

当m ＝7，n ＝－

227时，227

472⨯∆－＝＜0，不合题意，舍去； 当m ＝－3，n ＝213时，213

4)3(2⨯∆＋－＝>0，

∴m ＝－3，n ＝2

13

.

四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况 题目4 a 为何值时，方程

)

1(411＋＋＝＋＋＋x x a x x x x x 只有一个实数根. 错解：原方程化为0)1(222＝－＋－a x x .

此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根， ∴0)1(24)2(2＝－－－＝a ⨯∆， ∴2

1

＝a .

错因：当方程0)1(222＝－＋－a x x 的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原方程的根时，命题也成立. 正解：

把x ＝0代入0)1(222＝－＋－a x x ，得a ＝l ； 把x ＝－1代入0)1(222＝－＋－a x x ，得a ＝5.

∴当1a ＝2

1，2a ＝1，3a ＝5时，原分式方程只有一个实数根.

五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑是二次方程时的情况，忽视是一次方程时的情况.

题目5 已知关于x 的方程02)1(2＝＋＋－k kx x k 有实根，求k 的取值范围. 错解：当2

k 10(2k)4k(k 1)0≠⎧⎨

≥⎩－

，－－

，即2

2

k 1

4k 4k 4k 0≠⎧⎨

≥⎩，－＋时，方程有实根，

∴k ≥0且k ≠1时，方程有实根.

错因：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程. 正解：

当k －1＝O ，即k ＝1时，

方程化为012＝＋x ，∴1

x 2

＝-.

∴当k ≥0时，方程有实根. 六、不理解一元二次方程的定义 题目6 方程(m －1)x

m 2＋1

＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.

错解：由题意可得m 2＋1＝2，∴m ＝±1．

错因：一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．方程经整理可转化为一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件．

正解： 由题意可得，m 2＋1＝2，且m －1≠0，∴m ＝±1且m ≠1，∴m 的值是－1． 七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆 题目7 用配方法求2x 2－12x ＋14的最小值． 错解： 2x 2－12x ＋14＝x 2－6x ＋9－2＝(x －3)2－2．

∴当x＝3时，原多项式的最小值是－2．

错因：一元二次方程配方时，二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数．要注意等式与代数式变形的区别．

正解： 2x2－12x＋14＝2(x2－6x＋7)＝2(x2－6x＋9－2)＝2(x－3)2－4．

∴当x＝3时，原多项式的最小值是-4.

八、解方程中错误使用等式的性质

题目8解方程x2＝6x．

错解：x2＝6x，解这个方程，得x＝6．

错因：本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式．

正解：x2＝6x，

x2－6x＝0，

x(x－6)＝0，

∴x1＝0，x2＝6．

九、题目9关于x的方程2x－4－x＋k＝1，有一个增根为4，求k的值．

1.对增根概念理解不准确

错解1：把x＝4代入原方程，得2×4－4－4＋k＝1，解得k＝－3.

错因：本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中去，等式不应该成立．实际上解法中把4当作原方程的根，而没有当作增根来处理．2.忽略题中的隐含条件

错解2：将原方程化为整式方程，得 4(x＋k)＝(x－5－k)2． (*)

把x＝4代入整式方程(*)，得4(4＋k)＝(4－5－k)2．