线性变换习题课
七、线性变换习题课
1.复习线性变换的概念
例1 将C看成R上的线性空间,变换是线性的,看成C上的线性空间则不是。
证明:R上:有==
又
故A是R上线性空间C的线性变换。
C上:取及,有,而,故A不是C上线性空间C的线性变换。
由上例,变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。
2.利用运算的意义,运算律推证线性变换的等式,利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。
例2设A,B是线性变换,如果证明:
,(k>0)
证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法.
对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知
=AB=(BA+E)A+A-BA2
=BA2+A+A-BA2=2A 结论成立.
设当k时结论成立,即,也即.
当k+1时,
=ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1
=BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k
所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立.
例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.
证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.
设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.
因为,所以由得AB=BA.由的任意
性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换.
有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.
3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法.
A可逆10存在使=E.
A是双射.
A在基下的矩阵A可逆—有限维
例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关.
证明:证法一:
“”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关.
“”线性无关,
因dimV=n,故使得
=A()
令使=()
易见,且,即
又任给设=
有()==
故,从A可逆.
证法二:利用双射
“” A是双射,则0==A()
得0=(0对应0)
故,线性无关.
“”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射.
证法三:利用矩阵
A可逆A在下的矩阵A可逆
()A也是一组基=n
线性无关
例5设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆.
证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组