二次函数与一元二次方程经典教学案典型例题

二次函数与一元二次方程教学案

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.

图象与x 轴的交点个数：

①当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，

，，12()x x ≠，其中的12x x ，是

一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.

②当0?=时，图象与x 轴只有一个交点；

③当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；

2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

2.抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x 轴有无交点若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由:

⑵根据图象的位置判断二次函数中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑶二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2与

x 轴交点的.

⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）

⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是.

【例1】

已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．

⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；

⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称．

①求二次函数1y 的解析式；

②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；

⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，

，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数

23=++y ax bx c 的解析式．

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.

【解析】

解：（1）分两种情况：

当0m =时，原方程化为033=-x ，解得1x =，（不要遗漏）

∴当0m =，原方程有实数根.

当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程，

∵()()()2

22[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.

∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）

综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根.

（2）①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称， ∴0)1(3=-m .（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0）

∴1=m .

∴抛物线的解析式为121-=x y .

②∵()()2

21212210y y x x x -=---=-≥，（判断大小直接做差） ∴12y y ≥（当且仅当1x =时，等号成立）.

（3）由②知，当1x =时，120y y ==.

∴1y 、2y 的图象都经过()1,0.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）

∵对于x 的同一个值，132y y y ≥≥， ∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0. 又∵23y ax bx c =++经过()5,0-，

∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-.（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）

设)22(542

23---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=.

∵对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立，

∴320y y -≥，

∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥.

又根据1y 、2y 的图象可得0a >，

∴24(25)(42)04a a a y a

---=最小

≥.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）

∴2(42)4(25)0a a a ---≤.

∴2(31)0a -≤.

而2(31)0a -≥.

只有013=-a ，解得13

a =.

∴抛物线的解析式为3

5343123-+=

x x y . 【例2】关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.

（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）点()11A --，

是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求

解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.

【解析】：

（1）由题意得[]2

2224(1)0m m ?=---->（

） 解得54

m <

解得1m ≠±

当54

m <且1m ≠±时，方程有两个不相等的实数根.

（2）由题意得212(2)11m m -+-+=-

解得31m m =-=，

（舍）(始终牢记二次项系数不为0) （3）抛物线的对称轴是5

8

x =

由题意得1

14

B ??

-- ??

?，(关于对称轴对称的点的性质要掌握) 1

4

x =-与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)

另设过点B 的直线y kx b =+（0k ≠）

把1

14

B ??

-- ??

?，代入y kx b =+，得14k b -+=-，114

b k =- 整理得218(10)204

x k x k +--+=

有且只有一个交点，21(10)48(2)04

k k ?=--??-+=

解得6k =

综上，与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14

x =-，162

y x =+

【例3】已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．

（1）求b 的值；

（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．

【例4】

已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数.

（1）求k 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

()1

2

y x b b k =

+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.

解：（1）由题意得，168(1)0k ?=--≥．

∴3k ≤．

∵k 为正整数，

∴123k =，

，． （2）当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零；

当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；

当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根．

综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．

当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．

（3）设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于

A B 、两点，则(30)A -，

，(10)B ，． 依题意翻折后的图象如图所示．

当直线12y x b =

+经过A 点时，可得3

2b =； 当直线12y x b =

+经过B 点时，可得12

b =-． 由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为13

22

b -<<．