山西省2020届高三高考考前押题卷(三模)理科数学试题PDF版含答案
【附28套精选模拟试卷】山西省太原市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试卷(含答案)
山西省太原市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷（含答案）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z满足2ziz=+，则复数z在复平面内对应的点的坐标是（）A．11(,)22- B．(1,1)- C．11(,)22- D．(1,1)-2.已知全集U R=，集合{|(2)0}A x x x=+<，{|||1}B x x=≤，则下图阴影部分表示的集合是（）A．(2,1)- B．[1,0][1,2)-U C．(2,1)[0,1]--U D．[0,1] 3.已知随机变量X服从正态分布(3,1)N，且(4)0.1587P X≥=，则(24)P X<<=（）A.0.6826 B．0.3413 C.0.4603 D．0.92074.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++L中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得512x=.3232++L（）A.3 B．1312C.6 D．225.执行下面的程序框图，如果输入的3a=，则输出的n=（）A ．2B ．3 C.4 D ．56.在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点P 是ABC ∆内一点（含边界），若23AP AB AC λ=+u u u r u u u ru u u r，则||AP uuu r 的取值范围为（ ）A.21033[2,]+ B ．8[2,]3 C.213[0,]3 D ．213[2,]3 7.已知某产品的广告费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：x3 4 5 6 y25304045由上表可得线性回归方程^^^y b x a =+，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是（ ） A ．59.5 B ．52.5 C ．56 D ．63.5附：121^1221()())=()(n ni ii nii iii nii x y nx yb xx x y y n x x x ====-⋅---=-∑∑∑∑；^^a yb x =-8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．33．2621 D ．259.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A.2n n S T = B ．21n n T b =+ C. n n T a > D ．1n n T b +<10.已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，且对于任意1x ，2[0,1]x ∈，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<，设82()11a f =，50()9b f =-，24()7c f =，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >> C.b c a >> D ．c a b >>11.已知实数x ，y 满足条件480,2360,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若222x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．5B ．43D ．8312.已知点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆221()(4)12x y ++-=上，则||PQ 的最小值为（ ） A．12- B．12-C.1 D1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ．14.21sin )x dx -⎰= ．15.在ABC ∆中，2AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且ACB DE DEB ∠=∠=∠，则DC = ．16.已知过点(2,0)A -的直线与2x =相交于点C ，过点(2,0)B 的直线与2x =-相交于点D ，若直线CD 与圆224x y +=相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 .三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知(3,cos )33x x m =，(cos ,cos )33x xn =()f x m n =⋅. （1）若函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若a ，b ，c 分别是ABC ∆分内角A ，B ，C 所对的边，且2a =，(2)cos cos a b C c B -=，3()2f A =，求c . 18.购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均购次数不小于4次的市民称为购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关？购迷 非购迷 合计 年龄不超过40岁 年龄超过40岁合计（2）若从购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；20()P K k ≥0.15 0．10 0.05 0.01 0k2.0722.7063.8416.63519.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，160A AC ∠=︒，124AC AA ==，点D ，E 分别是1AA ，BC 的中点.（1）证明：//DE 平面11A B C ；（2）若2AB =，60BAC ∠=︒，求直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 20. 已知动点C 到点(1,0)F 的距离比到直线2x =-的距离小1，动点C 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）若直线:(0)l y kx m km =+<与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且5OA OB ⋅=u u u r u u u r，证明：直线l 经过一个定点.21. 已知函数2()21f x x x =-+，()2ln(1)g x a x =-()a R ∈.（1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）当0a >时，若存在实数k ，m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||42AB =α的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数1()2||||f x x a x a=++-(0)a ≠.（1）当1a =时，解不等式()4f x <； （2）求函数()()()g x f x f x =+-的最小值.数学（理） 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5BCAAC 6-10DABDB 11、12：DA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.0.4 14.2π15.13416.221(0)4x y y +=≠ 三、解答题（本大题共70分）17.解：（1）Q 2()cos cos 333x x xf x m n =⋅=+，212(cos 1)323x x =++=21sin()362x π++， ∴()f x 的最小正周期为3π，令2222362x k k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，则332k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间为[3,3]2k k ππππ-++()k Z ∈；（2）Q (2)cos cos a b C c B -=，∴2sin cos A C =sin cos cos sin sin B C B C A +=，Q 0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，∴3C π=，∴213()sin()3622A f A π=++=，∴2sin()136A π+=，∴22362A k πππ+=+，k Z ∈，∴2A π=，∴sin 2sin 3c a C π===18.解：（1）由题意可得列联表如下：假设购迷与年龄不超过40岁没有关系，则2100(2030455)65352575k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.297 2.706>. 所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关；（2）由频率分布直方图可知，购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2，22022519(0)30C P C ξ===，112052251(1)3C C P C ξ===，252251(2)30C P C ξ===，∴ξ的分布列为∴012303305E ξ=⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）证明：取AC 的中点F ，连接DF ，EF ，Q E 是BC 的中点，∴//EF AB ， Q 111ABC A B C -是三棱柱，∴11//AB A B ，∴11//EF A B ，∴//EF 平面11A B C ，Q D 是1AA 的中点，∴1//DF A C ，∴//DF 平面11A B C ， ∴平面//DEF 平面11A B C ， ∴//DE 平面11A B C ；（2）过点1A 作1A O AC ⊥，垂足为O ，连接OB ，Q 侧面1ACC A ⊥底面ABC ，∴1A O ⊥平面ABC ， ∴1A O OB ⊥，1A O OC ⊥，Q 160A AC ∠=︒，12AA =，∴1OA =，13OA =， Q 2AB =，60OAB ∠=︒，由余弦定理得， 2222cos 3OB OA AB OA AB BAC =+-⋅∠=，∴3OB =，90AOB ∠=︒，∴OB AC ⊥，分别以OB ，OC ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -， 由题设可得(0,1,0)A -，(0,3,0)C ，(3,0,0)B ，1(0,0,3)A ，13(0,,)22D -，33(,,0)22E ， 设111(,,)m x y z =u r是平面11ABB A 的一个法向量，则10,0,m AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rr u u u r∴111130,30,x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令11z =，∴(1,3,1)m =-u r ， Q 33(,2,)22DE =-u u u r ，∴cos ,m DE <>=u r u u u r 2330||||m DE m DE ⋅-=u r u u u ru r u u u r ，∴直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值为2330.20.解：（1）由题意可得动点C 到点(1,0)F 的距离等于到直线1x =-的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，∴12p=，∴2p =， ∴动点C 的轨迹E 的方程为24y x =；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2,4y kx m y x=+⎧⎨=⎩得222(24)0k x km x m +-+=， ∴12242kmx x k-+=，2122m x x k ⋅=. Q 5OA OB ⋅=u u u r u u u r ，∴1212x x y y +=221212(1)()=k x x km x x m ++++2245m km k +=，∴22450m km k +-=，∴m k =或5m k =-.Q 0km <，m k =舍去，∴5m k =-，满足16(1)0km ∆=->， ∴直线l 的方程为(5)y k x =-， ∴直线l 必经过定点(5,0).21. 解：（1）由题意得2()(1)2ln(1)h x x a x =---，1x >，∴22[(1)]'()1x a h x x --=-，①当0a ≤时，则'()0h x >，此时()h x 无极值；②当0a >时，令'()0h x <，则11x <<'()0h x >，则1x >+∴()h x 在(1,1上递减，在(1)+∞上递增；∴()h x 有极小值(1(1ln )h a a +=-，无极大值；（2）当0a >时，有（1）知，()h x 在(1,1+上递减，在(1)+∞上递增，且有极小值(1(1ln )h a a +=-，①当a e >时，(1(1ln )0h a a +=-<，∴(1(1f g <+， 此时，不存在实数k ，m ，使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立；②当0a e <≤时，(1(1ln )0h a a +=-≥，2()21f x x x =-+在1x =+)y a =-，令()())]u x f x a =--，1x >，则2()[(10u x x =-≥，∴)()a f x -≤，令())()v x a g x =--=)2ln(1)a a x ---，1x >，则(1'()1x v x x -+=-，令'()0v x <，则11x <<+'()0v x >，则1x >+∴()(1v x v ≥+=(1ln )0a a -≥，∴())g x a ≤-，∴())()g x a f x ≤-≤，当k =m a =-时，不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，∴0a e <≤符合题意；由①，②得实数a 的取值范围为(0,]e .22.解：（1）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=，.Q 4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=； （2）由（1）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-sin()|4πα=-=∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，Q 0απ<<，∴34πα=.23. 解：（1）Q 1a =，∴原不等式为2|1||1|4x x ++-<，∴12214x x x <-⎧⎨---+<⎩，或11,2214,x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或1,2214,x x x >⎧⎨++-<⎩ ∴513x -<<-或11x -≤<或∅，∴原不等式的解集为5(,1)3-.（2）由题意得()()()g x f x f x =+-=112(||||)(||||)x a x a x x a a++-+++- 222|2|4||||||a a a a ≥+=+42≥， 高考模拟数学试卷说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，24道小题，共150分.其中（1)〜（21)小题为必做题，（22)〜（24)小题为选做题.二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅第把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案. 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡_并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. (1) 复数=(A) 1+2i (B) 1-2i (C) 2-i (D) 2+i (2) 在的展开式中，常数项为(A) 36 (B) -36 (C) 84 (D) -84 (3) 已知命题则为(A) (B)(C)(D)(4) 函数的图象可以由函数的图象(A)向左平移个单位得到（B)向右平移-个单位得到 (C)向左平移.个单位得到（D)向右平移个单位得到(5) 已知，则=(A) 3 (B) 4 (C) 3.5 (D) 4.5(6) 等比数列{a n}的公比，则=(A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 己知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(A)(B)(C) 2(D) 8(8) 算法如图，若输入m=210,n = 119,则输出的n为(A) 2(B) 3(C) 7(D) 11(9) 在中，，则=(A) 10 (B) -10 (C)，4 (D) 4(10) 点A、B、C、D均在同一球面上，其中是正三角形，AD平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为(A) (B) (C) (D)(11) 抛物线的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1, 2).若点F恰为的重心，则直线BC的方程为(A) x+y=0 (B) 2x+y-1=0(C) x-y=0 (D) 2x-y-1=0(12) 定义在R上的奇函数满足，当时，.又,则集合等于(A) (B)(C) (D)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13) 设变量x、y满足约束条件则的最大值为_______.(14) 函数的值域是______.(15) 在数列中，，则数列的通项=______.(16) 的一个顶点P(7,12)在双曲线上，另外两顶点F1、F2为该双曲线的左、右焦点，则的内心坐标为______.三、解答题：本大-共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.(17) (本小题满分12分）在，中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=2B.(I )若，求的值；(I I)若C为钝角，求的取值范围.(18) (本小题满分12分）某媒体对“男女同龄退佈”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数)：(I)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)进一步调查：(I )从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；(II )从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为,求的分布列和均值.附：(19) (本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B l C1中，CC1丄底面ABC,底面是边长为2的正三角形，M, N分别是棱CC1、AB的中点.(I)求证：CN//平面AMB1;(II)若二面角A-MC为45°,求CC1的长.(20)(本小题满分12分）中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2, 2),且(I )求椭圆E的方程；(II)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.(21) (本小题满分12分)设函数.(I )讨论f(x)的单调性；(I I)( i )若证明：当x>6 时，(ii)若方程f(x)=a有3个不同的实数解，求a的取值范围.请考生在第（22)、（23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.(22) (本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与圆O的一个交点为P.过点A作直线交圆O于点Q,交圆B于点M、N.(I )求证：QM=QN;(I I)设圆O的半径为2,圆B的半径为1,当AM=时，求MN的长.(23) (本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为，(I )求曲线C的直角坐标方程：(II)设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设.(I)求不等式的解集S(II )若关于X不等式有解，求参数T的取值范围.理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：（13）5 （14）(－1，1) （15）n2（16）(1， 3 2)三、解答题：（19）解：（Ⅰ）设AB 1的中点为P ，连结NP 、MP ． ∵CM ∥＝ 1 2AA 1，NP ∥＝ 12AA 1，∴CM ∥＝NP ， ∴CNPM 是平行四边形，∴CN ∥MP ． ∵CN ⊄平面AMB 1，MP ⊂平面AMB 1， ∴CN ∥平面AMB 1．…4分（Ⅱ）如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C —xyz ，使x 轴、y 轴、z 轴分别与NA →、CN →、CC 1→同向． 则C(0，0，0)，A(1，3，0)，B(－1，3，0)， 设M(0，0，a)（a ＞0），则B 1(－1，3，2a)， MA →＝(1，3，－a)，MB 1→＝(－1，3，a)， CM →＝(0，0，a)，…6分设平面AMB 1的法向量n ＝(x ，y ，z)，则n ·MA →＝0，n ·MB 1→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －az ＝0，－x ＋3y ＋az ＝0， 则y ＝0，令x ＝a ，则z ＝1，即n ＝(a ，0，1)． …8分设平面MB 1C 的一个法向量是m ＝(u ，v ，w)，则m ·MB 1→＝0，m ·CM →＝0， 即⎩⎨⎧－u ＋3v ＋aw ＝0，aw ＝0，则w ＝0，令v ＝1，则u ＝3，即m ＝(3，1，0)． …10分C A 11C 1MNPxz y所以cos 〈m ，n 〉＝3a2a 2＋1， 依题意，〈m ，n 〉＝45︒，则3a 2a 2＋1＝22，解得a ＝2， 所以CC 1的长为22． …12分（20）解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1（a ＞b ＞0），则4a 2＋4b2＝1， ① …1分记c ＝a 2－b 2，不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则CF 1→＝(－c －2，－2)，CF 2→＝(c －2，－2)，则CF 1→·CF 2→＝8－c 2＝2，c 2＝6，即 a 2－b 2＝6．②由①、②得a 2＝12，b 2＝6． 所以椭圆E 的方程为x 212＋y26＝1．…4分（也可通过2a ＝|CF 1→|＋|CF 2→|求出a ） （Ⅱ）依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， 代入椭圆E 方程，得3x 2－4mx ＋2m 2－12＝0． 由Δ＝16m 2－12(2m 2－12)＝8(18－m 2)，得m 2＜18． 记A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－123．…6分圆P 的圆心为(x 1＋x 2 2，y 1＋y 2 2)，半径r ＝22|x 1－x 2|＝22(x 1＋x 2)2－4x 1x 2当圆P 与y 轴相切时，r ＝|x 1＋x 2 2|，则2x 1x 2＝(x 1＋x 2)24，即2(2m 2－12)3＝4m 29，m 2＝9＜18．…9分当m ＝3时，直线l 方程为y ＝－x ＋3，此时，x 1＋x 2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆P 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4； 同理，当m ＝－3时，直线l 方程为y ＝－x －3，圆P 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x)＝－e －x[x 2－(a ＋2)x ＋2a]＝－e －x(x －2)(x －a)．…1分（1）若a ＝2，则f '(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． …2分（2）若0≤a ＜2，当x 变化时，f '(x)、f(x)的变化如下表：x (－∞，a) a (a ，2) 2 (2，＋∞)f '(x) －＋－f(x)↘极小值ae－a[↗极大值(4－a)e－2↘ 此时f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)单调递减，在(a ，2)单调递增． …3分（3）若a ＞2，当x 变化时，f '(x)、f(x)的变化如下表：x (－∞，2) 2 (2，a) a (a ，＋∞)f '(x)－＋－f(x)↘极小值(4－a)e－2↗ 极大值ae－a↘ 此时f(x)在(－∞，2)和(a ，＋∞)单调递减，在(2，a)单调递增．…4分（ⅱ）根据（Ⅰ），（1）若a ＝2，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解．…7分（2）若0≤a ＜2，令⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＜2，ae －a＜a ，(4－a)e －2＞a ，解得0＜a ＜4e 2＋1．……………………8分当x ＞6时，f(x)＝e －x(x 2－ax ＋a)＝e －x[x 2－a(x －1)]＜x 2e －x＜ 1 x， 则当x ＞6且x ＞ 1a 时，f(x)＜a ．又f(0)＝a ，所以当0＜a ＜4e 2＋1时，方程f(x)＝a 有3个不同的实数解．10分 （3）若a ＞2时，由于f(a)＝ae －a＜a ，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解．…11分综上，a的取值范围是(0，4e2＋1)．…12分高考模拟数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
山西省太原市2020届高三年级数学理科模拟试题(三) (含答案)
第 I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.己知集合A = { xlx2 - 3x + 2 注0},B = { xix + 1 注α｝，若A UB=R ，则实数α的取值范围是
A.[2, +oo)
B. ( -oo,2]
A. 0
B. 1
C.2
D. 3
，
高三数学（理） 第3页（共8页）
。
高三数学（理） 第4页（共8页）
太原市2020年高三年级模拟试题（三）
数 山｛子 试卷（理科）
三、解答题：共70，分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17：时21题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
高三数学（理） 第1页（共8页）
4.已知 sinα － cosα ＝ 〉豆，αε （0， τ ），则 tana =
A.-1
B －－一－ 2
c.
一v'－2
2
D.1
5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于 “ 松竹并生 ” 的问题，松
长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如
图是源于其思想的一个程序框图
答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
’ log1x(O < x 运 11 I I
111二 13.已知函数J(x）＝� 2 , x2 - 1(x > 11
则11 \ \ IS －
．
＿付 14.�ABC的内角 A,B,C的对边分别为α，b 'c. 若A腻的面积为
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={2x2-x≥0}，B={y|y＞-1}，则A∩B=（）A. （-1，0]B. （-1，0]∪[）C. （-1，]D. [）2.若=m+ni，其中m，n∈R，则m-n=（）A. B. C. D.3.某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如图的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[20，30）的概率为（）A.B.C.D.4.记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=272，则a3+a9+a15=（）A. 24B. 36C. 48D. 645.《九章算术》卷第七--盈不足中有如下问题；“今有垣高九尺．瓜生其上，蔓日长七寸．瓤生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．”翻译为“今有墙高9尺．瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸．葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺．问需要多少日两蔓相遇．”其中1尺=10寸．为了解决这一问题，设计程序框图如图所示，则输出的k的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 86.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN=∠F2NM，则|MN|=（）A. 8B. 4C.D.7.函数f（x）=|sin x|+cos2x的值域为（）A. B. C. D.8.如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 32B. 20C. 10D. 89.已知a=ln，b=e-1，c=，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AAˈ⊥l，垂足为Aˈ，若四边形AAˈPF的面积为14，且，则抛物线C的方程为（）A. B. C. D.11.如图所示，体积为8的正方体中ABCD-A1B1C1D1，分别过点A1，C1，B作A1M，C1N，BP垂直于平面ACD1，垂足分别为M，N，P，则六边形D1MAPCN的面积为（）A. B. 12 C. D.12.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）＜0，且，则（）A. B.C. D. f（3）＜e2•f（1）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量=（2，4），=（-3，λ）λ∈R，⊥，则λ=______．14.若x，y满足约束条件，则的取值范围为______.15.（2-3x）2（1-x）7的展开式中，x3的系数为______．16.记正项数列{a n}的前n项和为S n，且当n≥2时，2a n=na n-（n-1）a n-1+7，若a2=9，则S40=______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，锐角△ABC中，，点D在线段BC上，且，△ACD的面积为，延长BA至E，使得EC⊥BC．（1）求AD的值；（Ⅱ）若，求AE的值．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=∠CAA1=90°，AA1=AB=2AC=A1B．（1）求证：A1B⊥BC；（2）若M是棱B1C1的中点，求二面角M-AB-C的余弦值．19.某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分．（Ⅰ）设消费者的年龄为x，对该款智能家电的评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，且年龄x的方差为，评分y的方差为．求y与x的相关系数r，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱．（Ⅱ）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．好评差评青年816中老年206附：线性回归直线=x的斜率=；相关系数r=独立性检验中的K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.82820.已知△ABC的周长为6，B，C关于原点对称，且B（-1，0）．点A的轨迹为Γ．（Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）若D（-2，0），直线l：y=k（x-1）（k≠0）与Γ交于E，F两点，若，，成等差数列，求λ的值．21.已知函数．（Ⅰ）若a＜0，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a≥0，证明：．22.已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），以原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）过点（-2，1）的直线l与曲线C交于两点，且|AB|=2，求直线l的方程．23.已知f（x）=|x+m|+|2x-3|．（Ⅰ）若m=2，求不等式f（x）＞6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|2x-3|+3x在[1，5]上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：；∴．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：C解析：【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得m，n，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．【解答】解：由==m+ni，得m=-，n=-，∴m-n=-．故选：C．3.答案：B解析：解：依题意．该公司共有20名员工，其中迟到次数在[20，30）的有6人，故所求概率为P=，故选：B．该公司共有20名员工，根据茎叶图，迟到次数在[20，30）的有6人，代入古典概型的概率公式即可，本题考查了茎叶图，概率的计算，考查运算求解能力及滑轨思想，属于基础题．4.答案：C解析：数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，S17=272===17a9，所以a9=16，所以a3+a9+a15=3a9=48，故选：C．S17=272===17a9，所以a9=16，所以a3+a9+a15=3a9=48，本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，是基础题．5.答案：B解析：解：第一次，S=9-1.7=7.3，k=2，第二次，S=7.3-1.7=5.6，k=3，第三次，S=5.6-1.7=3.9，k=4，第四次，S=3.9-1.7=2.2，k=5，第五次，S=2.2-1.7=0.5，k=6，第六次，S=0.5-1.7=-1.2，满足条件，输出k=6，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件，进行模拟运算是解决本题的关键．6.答案：C解析：【分析】根据双曲线的定义得出|F1M|和|F1N|的大小关系即可．本题考查抛物线的定义性质的应用，结合图形性质是解决问题的方法之一．【解答】解：由双曲线的性质可知：|F2M|-|F1M|=2a=4，|F1N|-|F2N|=2a=4，∴|F2M|=|F1M|+4，|F1N|=|F2N|+4，∵∠F2MN=∠F2NM，∴|F2M|=|F2N|，∴|F1N|=|F1M|+8，∴|MN|=|F1N|-|F1M|=8．故选：C．7.答案：C解析：【分析】本题考查了三角函数的化简求值，考查计算能力转化思想，属中档题．利用三角函数的平方关系式，化简函数的表达式，结合sin x的范围，然后求出函数的最值．【解答】解：f（x）=|sin x|+cos2x=，=，①当0≤sin x≤1时，f（x）=，∴当sin x=时，；当sin x=1时，f（x）min=0，∴f（x）∈[0，]，②当-1≤sin x＜0时，f（x）=，∴当sin x=时，；当sin x=-1时，f（x）min=0，∴f（x）∈[0，]，综上，f（x）的值域为：[0，]．故选：C．8.答案：B解析：【分析】本题考查三视图求解几何体的体积，判断三视图对应几何体的形状是解题的关键．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体的直观图如图：ABCD-EFGH，是底面边长为2的正四棱柱，被一个平面所截剩余的多面体，几何体的体积为：2×2×2+×2×2=20．故选：B．9.答案：D解析：【分析】考查对数的运算，构造函数解决问题的方法，以及根据导数符号判断函数单调性的方法．可先得出，然后设，根据导数符号即可判断出f（x）在[e，+∞）上单调递减，从而得出f（e）＞f（3）＞f（8），即得出b＞a＞c．【解答】解：；设，；∴x≥e时，（x）≤0；∴f（x）在[e，+∞）上单调递减；∴f（e）＞f（3）＞f（8）；∴；∴b＞a＞c．故选：D．10.答案：C解析：分析：本题主要考查了抛物线的定义标准方程及其性质、四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′．设|AF′|=3x，根据cos∠FAA′=，可得|AF|=5x，|F′F|=4x．由抛物线定义可得：|AF|=|AA′|=5x．|A′F′|=2x=p，解得x．利用四边形AA'PF的面积S=即可得出．解：过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′．设|AF′|=3x，∵cos∠FAA′=，∴|AF|=5x，|F′F|=4x，由抛物线定义可得：|AF|=|AA′|=5x，则|A′F′|=2x=p，解得x=，∴四边形AA'PF的面积S===14，解得p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．故选：C．11.答案：D解析：解：由题意可知正方体棱长为2，故△ACD1为边长为2的等边三角形，由对称性可知六边形D1MAPCN为正六边形，∴六边形的面积为2S=2××（2）2=4．故选：D．根据对称性可知六边形为正六边形，利用正六边形知识求出面积即可．本题考查了空间线面位置关系，考查空间想象与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：，所以f（x）+2f'（x）＜0．构造函数：g（x）=e x•f2（x），所以g'（x）=e x•f2（x）+2e x•f（x）•f'（x）=e x•f（x）•[f（x）+2f'（x）]＞0．所以函数g（x）在R上单调递增，所以g（2）＞g（1），即e2•f2（2）＞e•f2（1），即e•f2（2）＞f2（1）．故选：C．化简已知条件，构造函数，g（x）=e x•f2（x），利用函数的导数判断函数的单调性，转化求解即可．本题考查导数与函数的单调性，考查逻辑推理能力．13.答案：解析：解：依题意•=0，即-6+4λ=0，解得λ=，故答案为：．依题意•=0，即-6+4λ=0，解得即可．本题考查了向量垂直的充要条件，考查了运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题．14.答案：[-5，]解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图所示；z=的几何意义为可行域内的动点M与定点D（10，-1）连线的斜率，由，解得A（1，0），由，解得B（9，4），计算k DA==-，k DB==-5，所以的取值范围是[-5，-]．故答案为：[-5，]．画出约束条件对应的可行域，根据z=的几何意义为可行域内的动点与定点D（10，-1）连线的斜率，结合图形找出最优解，从而求出z的取值范围．本题考查了线性规划的变形应用已经数形结合的解题思想，也考查了转化思想的应用问题，是基础题．15.答案：-455解析：解：由（1-x）7的展开式的通项为T r+1=（-x）r得：（2-3x）2（1-x）7=（4-12x+9x2）（1-x）7的展开式中，x3的系数为4××（-1）3+（-12）×（-1）2+9××（-1）1=-455，故答案为：-455．二项式定理及展开式通项公式得：（4-12x+9x2）（1-x）7的展开式中，x3的系数为4××（-1）3+（-12）×（-1）2+9××（-1）1=-455，得解．本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．16.答案：1840解析：解：当n≥2时，2a n=na n-（n-1）a n-1+7，∴2a n+1=（n+1）a n+1-na n+7，相减可得：（n-1）a n+1+（n-1）a n-1=2（n-1）a n，即a n+1+a n-1=2a n．∴数列{a n}是等差数列．n=2时，可得：2a2=2a2-a1+7，解得a1=7，∵a2=9=a1+d，∴d=2．则S40=40a1+d=40×7+=1840，故答案为：1840．当n≥2时，2a n=na n-（n-1）a n-1+7，2a n+1=（n+1）a n+1-na n+7，相减可得：a n+1+a n-1=2a n．可得数列{a n}是等差数列．n=2时，可得：2a2=2a2-a1+7，解得a1，又a2=9=a1+d，联立解得a1，d．利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：（Ⅰ）在△ACD中，=．所以．因为0°＜∠ACD＜90°，所以．由余弦定理得：AD2=CD2+CA2-2•CD•CA•cos∠ACD=56，可得：．（Ⅱ）因为EC⊥BC，所以．在△AEC中，由正弦定理得，可得：，所以．解析：（Ⅰ）在△ACD中，利用三角形的面积公式可求，结合范围0°＜∠ACD＜90°，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠ACD的值，根据余弦定理可得AD的值；（Ⅱ）由EC⊥BC，利用诱导公式可求sin∠ACE的值，在△AEC中，由正弦定理AE的值．本题考查诱导公式、三角形的面积公式、正余弦定理，着重考查运算求解能力以及数形结合思想，属于中档题．18.答案：解：（1）证明：∵∠BAC=∠CAA1=90°，即AB⊥AC，AC⊥AA1，AB∩AA1=A，AB，AA1平面ABB1A1，∴AC⊥平面ABB1A1，又A1B⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，设AA1=2，∴AB=A1B=2，∴=，∴A1B⊥AB，∵AC∩AB=A，AC,AB平面ABC，∴A1B⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴A1B⊥BC．（2）由（1）知，直线A1C1，A1B1，BA1两两互相垂直，如图，以A1为原点，分别以A1C1，A1B1，BA1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=2，则A1（0，0，0），A（0，-2，-2），M（1，1，0），B（0，0，-2），∴=（0，2，0），=（-1，-1，-2），设平面MAB的法向量为=（x，y，z），则，∴，取z=1，则=（-2，0，1），平面ABC的一个法向量=（0，0，1），∴cos＜＞==，由图知二面角M-AB-C的平面角为锐角，∴二面角M-AB-C的余弦值为．解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（1）推导出AC⊥平面ABB1A1，AC⊥A1B，A1B⊥AB，从而A1B⊥平面ABC，由此能证明A1B⊥BC．（2）以A1为原点，分别以A1C1，A1B1，BA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AB-C的余弦值．19.答案：解：（Ⅰ）由题意，计算相关系数为r==•=•=1.2×=0.96；据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强；（Ⅱ）根据列联表中的数据，计算K2=≈9.624＞6.635，所以有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．解析：（Ⅰ）由题意计算相关系数r的值，即可得出结论“相关性较强”；（Ⅱ）根据列联表中的数据计算K2，对照数表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了相关性强弱的判断问题，是基础题．20.答案：解：（Ⅰ）依题意，B（-1，0），C（1，0），故|BC|=2，则|AB|+|AC|=4＞|BC|=2，故点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故Γ的方程为．（Ⅱ）依题意，，故．联立，整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，．故==== =，则λ=2．解析：（Ⅰ）利用已知条件判断A满足椭圆定义，转化求Γ的方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合，，成等差数列，然后推出经过．本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力、推理论证能力．21.答案：解：（1）依题意，x∈（0，+∞），f′（x）=+a-==；令f′（x）=0，则x=1或x=-；当a≤-1时，ax+（a+1）＜0，由f′（x）＞0得x∈（0，1），由f′（x）＜0得x∈（1，+∞）；当a=-时，f′（x）=-×≤0；当a＞-1且-＜1，即：-1＜a＜-时，由，f′（x）＞0，得：x∈（-，1）；由f′（x）＜0得：x∈（0，-）；或x∈（1，+∞）；当-＞1时，即：-＜a＜0时；由f′（x）＞0，得：x∈（1，-）；由f′（x）＜0，得：x∈（0，1）或：x∈（-，+∞）；综上所述，当a≤-1时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a=-时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当-1＜a＜-时，函数f（x）在（0，-）和（1，+∞）上单调递减，在（-，1）上单调递增；当-＜a＜0时，函数在（0，1）和（-，+∞）上单调递减，在（1，-）上单调递增；（Ⅱ）要证明：．即证：≥．即证：ln x+ax+-2a≥；即证：ln x+ax+-2a-≥0；令F（x）=ln x+ax+-2a-；F′（x）=+a--=-=（x-1）（+）；因为a≥0，所以当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增所以F（x）min=F（1）=0，即F（x）≥0．故当a≥0时，得证．解析：（Ⅰ）若a＜0，求函数f（x）的导函数分类讨论a可得函数的单调性；（Ⅱ）若a≥0，分析法证明：．在令新函数F（x）=ln x+ax+-2a-；利用导数求最值可得答案．本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．属于难题．22.答案：解：（Ⅰ）由为参数），消去参数α，可得（x-2）2+（y-1）2=9．故x2+y2-4x-2y-4=0．就曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ-4=0；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在．设直线方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0．而|AB|=2，则圆心到直线l的距离d=．又d=，∴=，解得k=±1．∴直线l的方程为x+y+1=0或x-y+3=0．解析：（Ⅰ）直接消去参数α可得C的普通方程，进一步转化为极坐标方程；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0，再求出圆心到直线l的距离d，求解即可得答案．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．23.答案：解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=|x+2|+|2x-3|=，当x＜-2时，不等式f（x）＞6化为-3x+1＞6，解得x＜-，所以x＜-2；当-2≤x≤时，不等式f（x）＞6化为5-x＞6，解得x＜-1，所以-2≤x＜-1；当x＞时，不等式f（x）＞6化为3x-1＞6，解得x＞，所以x＞；综上所述，不等式f（x）＞6的解集为{x|x＜-1或x＞}；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤|2x-3|+3x化为|x+m|≤3x，所以-3x≤x+m≤3x，即-4x≤m≤2x在[1，5]上恒成立，所以，解得-4≤m≤2，所以实数m的取值范围是[-4，2]．解析：（Ⅰ）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）＞6的解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤|2x-3|+3x化为|x+m|≤3x，再根据绝对值的定义求出m的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想与转化方法，是中档题．。
2020届山西省太原市普通高中高三下学期三模考试数学(理)试题及解析
【解析】
根据双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】设|PF2|=m，则|PF1|=2m，显然点P在双曲线的右支上，
因此有 ，因此 ，
而 ，∠F1PF2＝60°，所以由余弦定理可知；
，
即 ，化简得：
故答案为：
16.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，记B1与F的轨迹构成的平面为α.
【答案】A
【解析】
由偶函数的性质将 化为： ，再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围.
【详解】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以 ，
则 为 ，
因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
所以|log2a|≤1，解得 a≤2，
则a的取值范围是[ ，2]，
故选：A.
当F为线段MN的中点时，可证明①；
②利用平移的思想，将直线B1F与直线BC所成角转化为B1F与B1C1所成的角，由于B1C1⊥平面MNC1，所以tan∠FB1C1即为所求，进而求解即可；
③平面MNB1与平面CDD1C1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan∠B1QC1即可；
④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断.
（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值.
【详解】解：（1）根据题意填写2x2列联表，
计算K2 6.272＜6.635，
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；
（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；
【6月15日太原三模理数】2020年6月山西省太原市高三年级模拟试题(三)理科数学试卷含答案
第 5 页 共 5 页 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分 直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin 4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,222x y =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)，………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2232922t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分 1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB⋅||21t t ==4, 所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ………………………………3分 解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分 （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集. 33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分 注：以上各题其他正确解法相应得分。
2020届山西省高三高考考前押题卷(三模考试)理科综合试卷(A卷)及答案
2020届山西省高三高考考前押题卷（三模考试）理科综合试卷（A卷）
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2020届山Βιβλιοθήκη 省高三高考考前押题卷（三模考试）理科综合试卷（A卷）
2020届山西省高三高考考前押题卷（三模考试）理科综合试卷（A卷）
2020年山西省太原市高考数学(理科)三模试卷 (解析版)
2020年太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．15．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．26．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a3﹣8，且S3＝13，则a2＝（）A．﹣3B．3C．−353D．3或−3537．平面向量a→，b→共线的充要条件是（）A．a→⋅b→=|a→||b→|B．a→，b→两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，b→=λa→D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．129．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+1210．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（log12a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[12，2]B．[1，2]C．(0，12)D．（0，2]11．已知抛物线C：x2＝8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣4D．不能确定12．点M在曲线G：y＝3lnx上，过M作x轴垂线l，设l与曲线y=1x交于点N，若OP→=OM→+ON→3，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”则曲线G上的“水平黄金点”的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= ． 14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝ ． 15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 ．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =1nn，求数列{c n }的前n 项和S n ． 18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60°，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． （Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； （Ⅱ）求二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．21．已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 2（a ∈R ）． （1）讨论函数的极值点个数；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣x 有两个极值点x 1，x 2，试判断x 1+x 2与x 1•x 2的大小关系并证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]【分析】求出集合A，B，由A∪B＝R，能求出实数a的取值范围．解：∵集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x+1≥a}＝{x|x≥a﹣1}，A∪B＝R，∴a﹣1≤1，解得a≤2，∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．解：z＝（1﹣2i）•i＝2+i，z=2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）【分析】直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果．解：①由于a＞b＞1，所以0＜1a＜1b，c＜0，故ca＞cb，选项A错误．②当c＝﹣2，a＝3，b＝2时，c a＞c b，故选项B错误．③由于a＞b＞1，c＜0，故a c＜b c，选项C正确．④由于a＞b＞1，c＜0，所以a﹣c＞b﹣c，故log a（b﹣c）＜log b（a﹣c），故错误．故选：C．4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．1【分析】由条件可得1﹣2sinαcosα＝2，求得sin2α＝﹣1，可得2α的值，从而求得tanα的值．解：∵已知sinα−cosα=√2，α∈(0，π)，∴1﹣2sinαcosα＝2，即sin2α＝﹣1，故2α=3π2，∴α=3π4，tanα＝﹣1．故选：A．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝1n＝1a=92，b＝2不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝2，a =274，b ＝4 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝3，a =818，b ＝8 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝4，a =24316，b ＝16 此时，满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为4． 故选：B ．6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 3﹣8，且S 3＝13，则a 2＝（ ） A ．﹣3B ．3C ．−353D ．3或−353【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 解：设公比为q ，易知q ≠1． 由{a 1=a 3−8S 3=13得{a 1=a 1q 2−8a 1(1−q 3)1−q =13， 解得{a 1=1q =3或{a 1=253q =−75， 当{a 1=1q =3时，a 2＝a 1q ＝3； 当{a 1=253q =−75时，a 2=a 1q =−353 所以a 2＝3或a 2=−353， 故选：D ．7．平面向量a →，b →共线的充要条件是（ ）A ．a →⋅b →=|a →||b →|B ．a →，b →两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b →=λa →D ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a →+λ2b →=0→【分析】写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论． 解：由共线向量基本定理可知，若平面向量a →，b →共线，则存在不为零的实数λ，使b→=λa→（a→≠0→），即λa→−b→=0→，其等价命题为存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→．故选：D．8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．12【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率．解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p=mn=636=16．故选：A．9．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+12【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数f（x）＝sin2x=12−12cos2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）=12−12cos（2x−π6）的图象，故选：C．10．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1），则a 的取值范围是（ ）A ．[12，2]B ．[1，2]C ．(0，12)D ．（0，2]【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围． 解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以f （log 12a ）＝f （﹣log 2a ）＝f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）为：f （log 2a ）≤f （1），因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增， 所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，则a 的取值范围是[12，2]，故选：A ．11．已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣4D ．不能确定【分析】设出AB 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解y 0的值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1≠x 2，由x 2＝8y ，可得y ′=x 4，所以k MA =x14，k MB =x 24， 因为过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，所以，k MA •k MB =x24•x 14=−1，可得x 1x 2＝﹣16，直线MA 的方程为：y ﹣y 1=x14（x ﹣x 1），x 1x ＝4（y +y 1）…①，同理直线MB 的方程为：y ﹣y 2=x24（x ﹣x 2），x 2x ＝4（y +y 2）…②， ①×x 2﹣②×x 1，可得y =x 1x28=−2，即y 0＝﹣2， 故选：B ．12．点M 在曲线G ：y ＝3lnx 上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线y =1x 交于点N ，若OP →=OM →+ON →3，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】设M （x 1，3lnx 1），可得直线l 的方程，联立曲线y =1x，可得N 的坐标，再由向量的加法运算可得P 的坐标，再由P 的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数．解：设M （x 1，3lnx 1），则直线l ：x ＝x 1，由{x =x 1y =1x 可得y =1x 1，即N （x 1，1x 1）， OP →=OM →+ON →3=13（2x 1，3lnx 1+1x 1）＝（2x 13，lnx 1+13x 1）， 又P 的纵坐标始终为0，即lnx 1+13x 1=0，可令f （x ）＝lnx +13x （x ＞0），导数为f ′（x ）=1x −13x 2=3x−13x 2，由f ′（x ）＝0，可得x =13，则当0＜x ＜13时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减；x ＞13时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增． 可得f （x ）在x =13处取得极小值，且为最小值f （13）＝ln 13+1＝1﹣ln 3， 由1﹣ln 3＜0，则f （x ）在（0，+∞）有两个零点，即方程lnx 1+13x 1=0有两个不等实根，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= 8 ． 【分析】依题意得f （18）＝3，从而f （f （18））＝f （3），由此能求出结果．解：∵函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)， 则f （18）＝log1218=3；∴f(f(18))=f （3）＝32﹣1＝8．故答案为：8．14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝2π3．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ， △ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4=−√32bccosA ， 又因为S △ABC =12bcsinA =−√32bccosA ，所以tan A =−√3， 由A ∈（0，π）可得A =2π3． 故答案为：2π315．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 √3 ．【分析】根据点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，推出P 的位置，然后求解双曲线的离心率． 解：F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|， 可知：PF 2⊥F 1F 2，|PF 2|=b 2a ，tan ∠F 1PF 2=2cb 2a=√3，即2ac =√3（c 2﹣a 2），可得√3e 2﹣2e −√3=0，e ＞1， ∴e =√3． 故答案为：√3．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ①②③④ ．（写出所有正确的命题序号）【分析】分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB 1∥平面A 1BE ，从而确定平面MNB 1就是平面α． 当F 为线段MN 的中点时，可证明①；②利用平移的思想，将直线B 1F 与直线BC 所成角转化为B 1F 与B 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥平面MNC 1，所以tan ∠FB 1C 1即为所求，进而求解即可；③平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan ∠B 1QC 1即可； ④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断． 解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，则MN ∥A 1B ，MB 1∥EA 1，∵MN 、MB 1⊂平面MNB 1，A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ，且MN ∩MB 1＝M ，A 1B ∩EA 1＝A 1， ∴平面MNB 1∥平面A 1BE ，∴当F 在MN 上运动时，始终有B 1F ∥平面A 1BE ，即平面MNB 1就是平面α． 对于①，当F 为线段MN 的中点时，∵MB 1＝NB 1，∴B 1F ⊥MN ，∵MN ∥CD 1，∴B 1F ⊥CD 1，即①正确；对于②，∵BC ∥B 1C 1，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角即为所求， ∵B 1C 1⊥平面MNC 1，C 1F ⊂平面MNC 1，∴B 1C 1⊥C 1F ，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角为∠FB 1C 1，且tan ∠FB 1C 1=FC1B 1C 1，而FC 1的取值范围为[√22，1]，B 1C 1＝2，所以tan ∠FB 1C 1∈[√24，12]，即②正确；对于③，平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，取MN 的中点Q ，因为B 1C 1⊥平面MNC 1，所以∠B 1QC 1就是所求角，而tan ∠B 1QC 1=B 1C 1QC 1=22=2√2，即③正确；对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面BCC 1B 1，平面ADD 1A 1，平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ，即④正确． 故答案为：①②③④．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =12nb n，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【分析】（1）先由题设条件求得a 1，再求a n ，进而论证数列{nb n }是常数列，最后求得b n ；（2）先由（1）求得c n ，再由错位相减法求S n ．解：（1）由已知得：a 1b 2+b 2＝b 1，∴a 1＝1．又∵{a n }是公差为1的等差数列，∴a n ＝n ．∵a n b n +1+b n +1＝nb n ，∴（n +1）b n +1＝nb n ，所以数列{nb n }是常数列，∴nb n ＝b 1＝1，∴b n =1n； （2）由（1）得：c n =12nb n =n •（12）n ， ∴S n ＝1×12+2×（12）2+3×（12）3+…+n •（12）n ①，又12S n ＝1×（12）2+2×（12）3+3×（12）4+…+n •（12）n +1②，由①﹣②可得：12S n =12+（12）2+（12）3+…+（12）n ﹣n •（12）n +1 =12[1−(12)n ]1−12−n •（12）n +1＝1﹣（n +2）•（12）n +1， ∴S n ＝2﹣（n +2）•（12）n ．18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．解：（1）根据题意填写2x 2列联表，年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝29 c ＝3 32 不了解 b ＝11 d ＝7 18 合计401050计算K 2=50×(29×7−11×3)240×10×32×18≈6.272＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）=C82⋅C42C102⋅C52=84225，P（X＝1）=C82⋅C41+C81⋅C21⋅C42C102⋅C52=104225，P（X＝2）=C81⋅C21⋅C41+C22⋅C42C102⋅C52=35225，P（X＝3）=C22⋅C41C102⋅C52=2225；所以随机变量X的分布列为：X0123P84225104225352252225所以X的数学期望为E（X）＝0×84225+1×104225+2×35225+3×2225=45．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60°，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D．（Ⅰ）求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．【分析】（Ⅰ）过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，推导出DE⊥AE，四边形AEDC为正方形，CE⊥AD，推导出△BAC≌△BAE，从而BC＝BE，CE⊥BO，从而CE⊥平面BAD，由此能证明平面BAD⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）推导出BO⊥AD，BO⊥CE，从而BO⊥平面AA1C1C，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．解：（Ⅰ）如图，过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，∵AC⊥AA1，∴DE⊥AE，又AD为∠A1AC的角平分线，∴四边形AEDC为正方形，∴CE⊥AD，又∵AC＝AE，∠BAC＝∠BAE，BA＝BA，∴△BAC≌△BAE，∴BC＝BE，又∵O 为CE 的中点，∴CE ⊥BO ，又∵AD ，BO ⊂平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴CE ⊥平面BAD ． 又∵CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．（Ⅱ）在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60°，∴BC ＝4， 在Rt △BOC 中，∵CO =12CE =2√2，∴BO =2√2，又AB ＝4，AO =12AD =2√2，∵BO 2+AO 2＝AB 2，∴BO ⊥AD ，又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ， 故建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （2，﹣2，0），A 1（2，4，0），C 1（﹣2，4，0），B 1(0，6，2√2)， ∴C 1B 1→=(2，2，2√2)，AC 1→=(−4，6，0)，C 1A 1→=(4，0，0)， 设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→，∴{−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0， 令x 1＝6，得m →=(6，4，−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→，∴{4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0，令y 2=√2，得n →=(0，√2，−1)， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=9√2102⋅3=3√1717，故二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值为3√1717．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．【分析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由过点的坐标，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分B 的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得MN 的中点的坐标，设M ，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出O 到直线MN 的距离的表达式，再由B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值．解：（1）由题意可得：{c =11a 2+94b2=1c 2=a 2−b 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）设B （m ，n ），记线段MN 中点D ，因为O 为△BMN 的重心，所以BO →=2OD →，则点D 的坐标为：（−m 2，−n2）， 若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m|2，即为1，若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣m ，y 1+y 2＝﹣n ， 又x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式相减(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0，可得：k MN =y 1−y 2x 1−x 2═−3m4n ，故直线MN 的方程为：y =−3m4n（x +m 2）−n 2，即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0， 则点O 到直线MN 的距离d =|3m 2+4n 2|√36m +64n ，将m 24+n 23=1，代入得d =√n +9，因为0＜n 2≤3，所以d min =√32，又√32＜1，故原点O 到直线MN 的距离的最小值为√32．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈一、选择题）．（1）讨论函数的极值点个数；（2）若g（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．【分析】（1）先求出f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则函数f（x）的极值点个数转化为函数Q（x）与y＝2a的交点个数，再利用导数得到Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，对a分情况讨论，即可得到函数f（x）的极值点个数情况；（2）g（x）＝xlnx﹣ax2﹣x，g'（x）＝lnx﹣2ax（x＞0），令g'（x）＝0，则lnx﹣2ax＝0，所以2a=lnxx，记h（x）=lnxx，利用导数得到h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，h（x）max＝h（e）=1e，当x＞e时，f（x）＞0，所以当0＜2a＜1e即1＜a＜12e时g（x）有2个极值点x1，x2，从而得到2a=ln(x1x2)x1+x2，所以ln（x1+x2）＜ln（x1x2），即x1+x2＜x1x2．解：（1）f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则Q'（x）=−lnxx2，令Q'（x）＞0，得0＜x＜1；令Q'（x）＜0，得x＞1，∴Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，∴当2a＞1，即a＞12时，f'（x）＝0 无解，∴f（x）无极值点，当2a＝1，即a=12时，f'（x）＝0有一解，2a≥1+lnxx，即lnx﹣2ax+1≤0，f'（x）≤0 恒成立，∴f （x ）无极值点，当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，f '（x ）＝0有两解，∴f （x ）有2个极值点， 当2a ≤0，即a ≤0时，f '（x ）＝0有一解，∴f （x ）有一个极值点，综上所述：当a ≥12时，f （x ）无极值点；0＜a ＜12时，f （x ）有2个极值点；当a ≤0时，f （x ）有1个极点；（2）g （x ）＝xlnx ﹣ax 2﹣x ，g '（x ）＝lnx ﹣2ax （x ＞0）， 令g '（x ）＝0，则lnx ﹣2ax ＝0，∴2a =lnxx， 记h （x ）=lnxx ，则h '（x ）=1−lnx x 2， 由h '（x ）＞0得0＜x ＜e ，由h '（x ）＜0，得x ＞e ，∴h （x ）在（0，e ）上是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，h （x ）max ＝h （e ）=1e， 当x ＞e 时，f （x ）＞0， ∴当0＜2a ＜1e即1＜a ＜12e时g （x ） 有2个极值点x 1，x 2， 由{lnx 1=2ax 1lnx 2=2ax 2得，ln （x 1x 2）＝lnx 1+lnx 2＝2a （x 1+x 2）， ∴2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2，不妨设x 1＜x 2，则1＜x 1＜e ＜x 2，∴x 1+x 2＞x 2＞e ， 又h （x ）在（e ，+∞） 上是减函数， ∴ln(x 1+x 2)x 1+x 2＜lnx 2x 2=2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2， ∴ln （x 1+x 2）＜ln （x 1x 2）， ∴x 1+x 2＜x 1x 2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ﹣6cos θ＝0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，转换为直角坐标方程为（x﹣3）2+y2＝9．直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．整理得参数方程为{x=−√22ty=2+√22t（t为参数）．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得(−√22t−3)2+(2+√22t)2=9，整理得t2+5√2t+4=0，所以：t1+t2=−5√2，t1t2＝4，所以求1|MA|+1|MB|=|t1+t2||t1t2|=5√24．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，再利用零点分段法解不等式f（x）＜4即可；（2）根据条件可知，m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集，然后求出f（x）的值域和m2﹣2m+4的取值范围，再求出a的范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|={2x−1，x＞23，−1≤x≤2−2x+1，x＜−1．∵f（x）＜4，∴{x＞22x−1＜4或{−1≤x≤23＜4或{x＜−1−2x+1＜4，∴2＜x＜52或﹣1≤x≤2或−32＜x＜−1，∴−32＜x＜52，∴不等式的解集为{x|−32＜x＜52}．（2）∵对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），∴m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集．∵f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|≥|2a+1|，∴f（x）的值域为[|2a+1|，+∞），又m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3≥3，∴|2a+1|≤3，∴﹣2≤a≤1，∴实数a的取值范围为[﹣2，1]．。
2020年山西省运城市高中联合体高考数学三模试卷(理科) (含解析)
2020年山西省运城市高中联合体高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|2x >12}，B ={x|x+1x−2≤0}，则A ∩B =( )A. (−1,2)B. [−1,2)C. (−1,2]D. [−1,2]2. (−1+i)(2i +1)=( )(i 为虚数单位)A. 1−iB. 1+iC. −3−iD. −3+i3. 若函数f(x)={g(x),x >02−x −2,x<0为奇函数，则f(g(2))=( )A. −2B. −1C. 0D. 24. 若(x 2−a)(x +1x )10的展开式x 6的系数为30，则a 等于( )A. 13B. 12C. 1D. 25. 已知|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=5，a ⃗ ⋅b ⃗ =−3，则|a ⃗ +b⃗ |等于( ) A. 23 B. 35 C. √23D. √356. 若[x]表示不超过x 的最大整数，如[2.1]=2，[−2.1]=−3执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为4，M ，N ，P 分别是棱A 1D 1，A 1A ，D 1C 1的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截该正方体所得截面的面积为( )A. 2√3B. 4√3C. 6√3D. 12√38. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与直线y =2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. (1,√5)B. (1,√5)∪(√5,+∞)C. (√5,+∞)D. [√5,+∞)9.已知α∈(π4,π)，若sin2α=45，则cosα=()A. −2√55B. 2√55C. −√55D. √5510.已知A(5,3)，F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上的动点，则△PAF周长的最小值为()A. 9B. 10C. 11D. 1511.已知f(x)=sin(2x−φ)(0<φ<π2)在[0,π3]上是增函数，且f(x)在(0,7π8)有最小值，则φ的取值范围是()A. [π6,π2) B. [π6,π4) C. [π3,π2) D. [π4,π3)12.已知函数f(x)=e x−e−x，若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)>mx恒成立，则m的取值范围为()A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (−∞,2)D. (−∞,2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x,y满足{x−y+1⩾0,x+y−1⩾0,3x−y−3⩽0,则目标函数z=2x−y的最大值是____，满足条件的实数x,y构成的平面区域的面积等于____．14.已知高为8的圆柱内接于一个直径为10的球内，则该圆柱的体积为__________．15.在△ABC中，已知cosA=−14，AB=1，AC=2，∠BAC的平分线交BC 于点D ，则AD 的长为________．16.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+2 (a≠−1)，若f(x)=g(x)+ℎ(x)，其中g(x)为奇函数，ℎ(x)为偶函数。
2020年山西省阳泉市高考数学第三次质检试卷(理科)(三模) (含解析)
2020年山西省阳泉市高考数学第三次质检试卷(理科)(三模)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−4x<0}，B={x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A. (0,4]B. (−∞,4)C. [4,+∞)D. (4,+∞)2.若复数(1+ai)(2+i)是纯虚数，则实数a等于()A. 12B. 2 C. −12D. −23.在△ABC中，“sinB<cosC”是“△ABC为钝角三角形”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为()A. 19B. 29C. 16D. 135.执行如图所示的程序框图，则输出的S是()A. −1B. 1C. −3D. 36.函数f(x)=log32(|x|−1)的大致图象是()A. B.C.D.7. 如图，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗8. 已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=a n +n(n ∈N ∗)，则a 4等于( )A. −7B. 4C. 7D. 29. 如图，已知点P(√2,0)，正方形ABCD 内接于圆O ：x 2+y 2=1，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点．当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A. [−2,2] B. [−√2,√2] C. [−1,1]D. [−√22,√22]10. 设抛物线x 2=4y 的准线与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线相交于A ，B 两点，若|AB|=1，则双曲线C 的离心率是( )A. √5B. √52C. √17D. √17211. 如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB ，AC 上的点，当△APQ的周长为2时，则∠PCQ 的大小是( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°12. 已知P (x 0,y 0)是抛物线y 2=2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得，在y 2=2px 两边同时对x 求导，得2yy′=2p ，则y′=py ，所以过点P 的切线的斜率k =py 0，试用上述方法求出双曲线x 2−y 22=1在P(√2,√2)处的切线方程为( )A. 2x −y =0B. 2x −y −√2=0C. 2x −3y −√2=0D. x −y −√2=0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某医院响应国家精准扶贫号召，准备从3名护士和6名医生中选取5人组成一个医疗小组到扶贫一线工作，要求医疗小组中既有医生又有护士，则不同的选择方案种数是______.(用数字作答)14. (2x +√x 3)n的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x 2项的系数为________．15. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，设直线l 是抛物线C 的切线，且l//MN ，P 为l 上一点，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为________． 16. 如图，正三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB =4，AA 1=6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A—A 1EF 的体积是_____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sinB =3sinC ，a =b ．(1)求cos A ；(2)若a =3，求△ABC 的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AP=AB=1，F，E分别是PB，PC中点．(1)求DE与平面PAB所成角的正弦；(2)求平面ADEF与平面PDE所成锐二面角的值．19.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期(单位：天)[0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14]人数85205310250130155(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期>6天总计50 岁以上(含50岁)10050 岁以下55总计200(3)以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．(即概率最大．．．．．)是多少？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．20.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．求△OPQ的面积的最大值．21.已知函数f(x)=e x−e−x−2x，x∈R(1)证明f(x)为奇函数，并在R上为增函数；(2)若关于x的不等式f(x)≤me x−2x+2m−3在(0,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)设g(x)=f(2x)−4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值。
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷(理科)含答案解析
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，则A∩B的子集的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知复数=4+2i（i为虚数单位），则复数z在平面上的对应点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，若AF 与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A． +1 B．C．D．6．已知（+x6）4展开式中的常数项为a，且X～N（1，1），则P（3＜X＜a）=（）（附：若随机变量X～N）（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=99.74%）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.47727．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π8．若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n a n+1=2n，则S20=（）A．3066 B．3063 C．3060 D．306910．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，且f（x）＞1对于任意的x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]11．已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，点M（﹣2，4）满足•=0，则|AB|=（）A．6 B．8 C．10 D．1612．某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知数列{a n}、{b n}均为等差数列，且满足a5+b5=3，a9+b9=19，则a100+b100=_______．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，•=﹣2，||=2，则实数m=_______．15．已知实数x，y满足不等式组，则z=|x+5y﹣6|的最大值为_______．16．已知关于x的方程x3﹣ax2﹣x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为_______．三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．18．已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=a x﹣x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当λ＞0时，若不等式lna＞恒成立，求实数λ的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=•；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求•的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．2020年山西省晋城市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，则A∩B的子集的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集，即可确定出交集的子集个数．【解答】解：∵A={2，3，4，6}，B={2，4，5，7}，∴A∩B={2，4}，则集合A∩B的元素个数为22=4，故选：B．2．已知复数=4+2i（i为虚数单位），则复数z在平面上的对应点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由=4+2i，得，∴复数z在平面上的对应点的坐标为（），在第四象限．故选：D．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出特称命题的否定说明B错误；写出原命题的否命题说明C错误；由复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明D正确．【解答】解：对于A、由f（0）=0，不一定有f（x）是奇函数，如f（x）=x2；反之，函数f（x）是奇函数，也不一定有f（0）=0，如f（x）=．∴“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要的条件．故A错误；对于B、若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故B错误；对于C、命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1且x≠﹣1”．故C错误；对于D、如命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则￢p∧q为假命题，￢q∧p为真命题，则（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题；反之，若（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题，则￢p∧q或￢q∧p至少有一个真命题．若￢p ∧q真￢q∧p假，则p假q真；若￢p∧q假￢q∧p真，则p真q假；不可能￢p∧q与￢q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当T=，S=10时满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，T=40执行循环体，T=20，S=1，n=2不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=5，S=6，n=4不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=，S=10，n=5满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，若AF 与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A． +1 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出F（c，0），A（0，b），双曲线C的一条渐近线y=x，运用两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），A（0，b），若AF与双曲线C的一条渐近线y=x垂直，可得•=﹣1，即为ac=b2，由b2=c2﹣a2，即有c2﹣ac﹣a2=0，由e=可得e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去），故选：C．6．已知（+x6）4展开式中的常数项为a，且X～N（1，1），则P（3＜X＜a）=（）（附：若随机变量X～N）（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=99.74%）A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.4772【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；二项式定理的应用．【分析】根据二项式定理求出a，进而根据正态分布的对称性，结合已知中的公式，得到答案．【解答】解：（+x6）4展开式中通项为：x﹣2（4﹣r）•x6r=x8r﹣8，令8r﹣8=0，则r=1，故a==4，∵X～N（1，1），则P（﹣1＜X＜3）=95.44%，则P（﹣2＜X＜4）=99.74%，∴P（3＜X＜4）=（99.74%﹣95.44%）=0.0215，故选：B．7．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理建立方程，求出R，即可求出外接球O的表面积．【解答】解：由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理可得R2=（R﹣1）2+（）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：D．8．若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）【考点】函数的值域．【分析】由题意画出图形，得到0＜a＜1且，求出log a2的范围，则f（2）的取值范围可求．【解答】解：由f（x）=作出函数图象如图，由图象可知，0＜a＜1且，即．又f（2）=，∴f（2）∈[﹣，﹣）．故选：D．9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n a n+1=2n，则S20=（）A．3066 B．3063 C．3060 D．3069【考点】数列递推式．【分析】由a1=1，a n a n+1=2n，可得：n=1时，a2=2．n≥2时，==2，数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n a n+1=2n，∴n=1时，a2=2．n≥2时，==2，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．则S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=+=3×1023=3069．故选：D．10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，且f（x）＞1对于任意的x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用余弦函数的图象和性质，求得ω=1，再根据当x∈（﹣，）时，sin（x+φ）＞恒成立，可得﹣+φ≥，且+φ≤，由此求得φ的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为π，∵=2π，ω=1，f（x）=2sin（x+φ）．当x∈（﹣，），即x+φ∈（﹣+φ， +φ）时，f（x）＞1恒成立，∴sin（x+φ）＞恒成立，∴﹣+φ≥，且+φ≤．求得≤φ≤，故选：B．11．已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，点M（﹣2，4）满足•=0，则|AB|=（）A．6 B．8 C．10 D．16【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，直线y=k（x﹣2）过抛物线的焦点，将直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦定理表示出x1+x2及x1x2进而求得y1y2和y1+y2，由•=0即可求得k的值，由弦长公式即可求得|AB|．【解答】解：由抛物线C：y2=8x可得焦点F（2，0），直线y=k（x﹣2）过抛物线的焦点，代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∴x 1+x 2=，x 1x 2=4．∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣16，M （﹣2，4），═（x 1+2，y 1﹣4），=（x 2+2，y 2﹣4），•=（x 1+2，y 1﹣4）•（x 2+2，y 2﹣4）=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+y 1y 2﹣4（y 1+y 2）+16=0， 整理得：k 2﹣2k +1=0，解得k=1， ∴x 1+x 2=12，x 1x 2=4． |AB |=•=•=16，故答案选：D ． 12．某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M ，N 分别为B 1B ，B 1C 1的中点，F 点在A 1C 1上，且FC 1=，则该截面为AMNF ．利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M ，N 分别为B 1B ，B 1C 1的中点，F 点在A 1C 1上，且FC 1=，则该截面为AMNF ．连接MN ，并延长交CC 1的延长线于点E ，交CB 的延长线于点D ，三棱柱的体积为×2×4=4，设截去的部分和剩余的部分的体积分别为V 1，V 2，EC 1=2，BD=1， ∴=×2=．V M ﹣ABD =×2=．V A ﹣DCE ==3．∴V1=3﹣﹣=，V2=﹣=，∴=．二、填空题13．已知数列{a n}、{b n}均为等差数列，且满足a5+b5=3，a9+b9=19，则a100+b100=383．【考点】等差数列的性质．【分析】由数列{a n}、{b n}均为等差数列，可得数列{a n+b n}是等差数列，由已知求出数列{a n+b n}的公差，代入等差数列的通项公式求得a100+b100．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，设数列{a n}的首项为a1，公差为d1，数列{b n}的首项为b1，公差为d2，∴a n=a1+（n﹣1）d1，b n=b1+（n﹣1）d2，则a n+b n=a1+b1+（d1+d2）n﹣（d1+d2），∴数列{a n+b n}是以d1+d2为公差的等差数列．由a5+b5=3，a9+b9=19，得，∴a100+b100=a5+b5+95（d1+d2）=3+95×4=383．故答案为：383．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，•=﹣2，||=2，则实数m=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可在的两边同乘以向量便可得出，而根据条件可得到，带入上式即可求出m的值．【解答】解：在两边同乘以得：；∵；∴，且；∴4=0﹣2m；∴m=﹣2．故答案为：﹣2．15．已知实数x，y满足不等式组，则z=|x+5y﹣6|的最大值为13．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A，C的坐标，令a=x+5y﹣6得：y=﹣x++，通过图象求出|a|的最大值即z的最大值即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：三角形ABC的三边及其内部部分：联立⇒得：A（4，3）．联立⇒得：B（2，0）．令a=x+5y﹣6得：y=﹣x++，显然直线过A（4，3）时，a最大，此时a=13，直线过B（2，0）时，a最小，此时a=﹣4，故z=|a|，故z的最大值是13，故答案为：13．16．已知关于x的方程x3﹣ax2﹣x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为（﹣∞，1）．【考点】函数的零点．【分析】分离参数a=x，利用导数判断单调性，画出图象，求解极值，利用y=a，y=x﹣交点个数判断即可．【解答】解：x3﹣ax2﹣x+1=0，a=x，令y=x，y′=，x3+x﹣2=0，x=1x＜0时y′＞0，x＞1时，y′＞0，0＜x＜1时，y′＜0，∴函数在（﹣∞，0），（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，x=1时，函数取的极小值为1﹣1+1=1∴y=a，与y=x交点为1个时，a＜1，故答案为：（﹣∞，1）．三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．【考点】正弦定理．【分析】（1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c2+abcosC+a2=4，求出b2+c2=8﹣3a2，然后通过余弦定理求a．【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，且△ABC的面积为=bcsinA=bc，∴解得：bc=1，∵c2+abcosC+a2=4，cosC=，∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=．18．已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，由此利用对立事件能求出甲、乙两人所取球的颜色不同的概率．（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，则P（A）=1﹣=．（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，甲每次所取的两球颜色相同的概率为=，乙每次所取的两球颜色相同的概率为，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=++×=，P（X=3）=+=，P（X=4）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4PEX==．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1，从而GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，从平面GEF∥平面ABB1A1，由此能证明EF∥平面ABB1A1．（Ⅱ）连结AC1，推导出AC1⊥AA1，从而AC1⊥平面ABB1A1，再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，在△A1B1C1中，EG为中位线，∴EG∥A1B1，∴GE⊄平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1，∵EF⊂平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1．解：（Ⅱ）连结AC1，在△AA1C1中，，，∴由余弦定理得=+﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1=，∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1，又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，∴AC1⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，又∵侧面ABB1A1为正方形，∴AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0），C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0），∴=（2，1，﹣1），=（1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面CB1D的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，3），cos＜＞===，∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l1：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞0，综上可得，△MAB的面积的取值范围是（0，4]．21．已知函数f（x）=a x﹣x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当λ＞0时，若不等式lna＞恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）问题等价于lna=在（0，+∞）上有2个解，令F（x）=，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出F（x）的范围，得到关于a的不等式，解出即可；（Ⅱ）原不等式等价于＞恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣，根据函数的单调性求出λ的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：a x=x在（0，+∞）上有2个解，即xlna=lnx⇔lna=在（0，+∞）上有2个解，令F（x）=，F′（x）=，∴x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）递减，故x＞0时且x→0时，F（x）=lnx→﹣∞，x→+∞时，lnx＜x，F（x）=lnx→0，故F（x）的最大值是F（e）=，要使方程lna=有2个解，需满足0＜lna＜，解得：1＜a＜；（Ⅱ）由lnx1=x1lna，lnx2=x2lna，作差得：ln=（x1﹣x2）lna，即lna=，故原不等式等价于＞恒成立，∵0＜x1＜x2，∴ln＜恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣，又h′（t）=，0＜λ≤1时，即λ2t﹣1＜0时，h′（t）＞0，h（t）在（0，1）大致，又h（1）=0，h（t）＜0在（0，1）恒成立，符合题意，λ＞1时，t∈（0，）上大致，在t∈（，1）上递减，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）不能恒小于0，不合题意，舍去，综上，若不等式lna＞恒成立，只需0＜λ≤1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=•；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，证明，，即可证明：=•；（Ⅱ）求出DC，证明△ADC∽△ABE，可得比例线段，即可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，∴=，∠BAD=∠ADM，∵∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADM，∴AM=MD，∴，，∴，同理∴=•；（Ⅱ）解：∵AD•DE=BD•CD，，∴DC=，∵△ADC∽△ABE，∴，∴AD•AE=AB•AC，∴AD•（AD+DE）=AB•AC，∴AD2=AB•AC﹣AD•DE=AB•AC﹣BD•DC=3×=，∴AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求•的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）直线l的方程是y=6，利用y=ρsinθ可得极坐标方程．圆C的参数方程是（φ为参数），利用cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，进而化为极坐标方程．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．可得=．同理可得：=，即可得出．【解答】解：（I）直线l的方程是y=6，可得极坐标方程：ρsinθ=6．圆C的参数方程是（φ为参数），可得普通方程：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．化为极坐标方程：ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．∴|OP|=2sinα，|OM|=，可得=．同理可得：==．∴•=．当时，取等号．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解出即可得出．（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．利用单调性即可证明．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解得：，或，或．∴不等式f（x）＜x+3的解集为：．证明：（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．当x＞时，f（x）＞+a．当x＜﹣时，f（x）＞+．当时， +≤f（x）≤+a．∴f（x）min=+≥=，当且仅当a=时取等号．2020年9月15日。