北师大版高中数学必修一函数概念与性质.docx
函数概念课件 高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
函数值与函数值域
用()表示函数()当 = 时的函数值.例如，对于函数() = 3 2 + 2 − 1来说，
(5) = 3 × 52 + 2 × 5 − 1 = 84,其中84就是函数()当 = 5时的函数值.
求下列函数的函数值：
(1)已知() = 5 − 3,求(4);(2)已知() = 4 3 + 2 − 7,求(2);
1
的定义域是{
−1
∣ ≠ 1};
(2)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为0，即
+ 3 ⩾ 0,
解得
≠ 0,
1
⩾ −3,
所以函数 = + 3 + 的定义域是{ ∣ ⩾ −3,且 ≠ 0};
≠ 0.
(3)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，即
自变量是伸长量，定义域就不可能包含负数了.
函数定义域求解举例
例2 求下列函数的定义域：
(1) = 2 + 3
1
+
;(2)
−1
= +3
1
+ ;(3)
= + 3 + − − 3.
解(1)为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，即 − 1 ≠ 0,解得 ≠ 1.
所以函数 = 2 + 3 +
(3)已知() = , () = 62 + − 3,求(3) + (2).
梳理与小结
1.集合语言定义函数；
2.函数的三要求：定义域、对应关系、值域；
3.同函数关系的判定依据：定义域、对应关系；
4.简单函数的定义域求解；
第二章-4.2-简单幂函数的图象和性质高中数学必修第一册北师大版
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
教材帮|必备知识解读
知识点1 幂函数的概念
例1-1 在函数 = −4 , = 3 2 , = 2 + 2, = 1中,幂函数的个数为( B
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】函数 = −4 为幂函数;
函数 = 3 2 中 2 的系数不是1,所以它不是幂函数;
的增大而减小；
当 = −3时，2 − 2 − 3 = 12, = 12 是幂函数，但不满足当 ∈ 0, +∞ 时，
随的增大而减小，故舍去.
∴ 实数的值为2.
【学会了吗|变式题】
2.(2024·广东省汕头市期末)已知函数 = 2 − 2 − 2 ⋅ −2 是幂函数，且在
故A正确；
幂函数 = 的图象只在第一象限内和原点，故B不正确；
当 > 0时， > 0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故C不正确；
幂函数 = 与 = 3 的图象的交点为 −1, −1 ， 0,0 ， 1,1 ，共三个，故D不正确.
方法帮|关键能力构建
题型1 幂函数的定义域和值域
0, +∞ 上单调递增，则实数 =( C
A.−1
B.−1或3
)
C.3
D.2
【解析】由题意知,2 − 2 − 2 = 1，即 + 1 − 3 = 0，
解得 = −1或 = 3，
∴ 当 = −1时， − 2 = −3，则 = −3 在 0, +∞ 上单调递减，不合题意；
当 = 3时， − 2 = 1，则 = 在 0, +∞ 上单调递增，符合题意，∴ = 3，
高一数学北师大必修第一册课件第2章221函数概念
3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定 义域．(重点、难点)
学运算素养.
NO.1 情境导学·探新知
1．函数的定义是什么？ 2．函数的自变量、定义域是如何定义的？ 3．函数的值域是如何定义的？
知识点 1 函数的有关概念
给定实数集 R 中的两个_非__空__数__集__A 和 B，如果存在一
函数的定义 个对应关系 f，使对于集合 A 中的每一个数 x，在集合 B 中都有_唯__一__确__定__的数 y 和它对应，那么就把对应关
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 函数的概念 类型2 求函数的定义域 类型3 求函数值和值域
类型 1 函数的概念 【例 1】 判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数． (1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
(2)为使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足x3－－1x≥≥00， . 解得 1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
x－1≠0， (3)为使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足x＋2 1≥0，
x＋1≠0.
解得
x>－1，且 x≠1， 所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且 x≠1}．
(2)f(x)与 f(a)有何区别与联系？
[提示] (1)这种看法不对．符号 y＝f(x)是“y 是 x 的函数”的数学 表示，应理解为 x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系， 它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述； y 是自变量的函数，当 x 允许取某一具体值时，相应的 y 值为与该自 变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”．在研究函数时，除用符号 f(x)外，还常用 g(x)，F(x)，G(x) 等来表示函数．
高中数学北师大版 必修一 函数概念 课件
课 堂 小 结
·
探
提
新 知
(1)求f(0)及ff12的值；
素 养
合 作
(2)求f(1－x)及f(f(x)).
课
探
时
究 释
分
[思路点拨] 先把自变量的值代入到函数的解析式中，再按解析 层 作
疑
难 式指明的运算进行运算．对于型如f(f(x))的求值，可由里向外，分层
业
·
计算．
返
首
页
18
·
自 主 预
[解] (1)f(0)＝11－ ＋00＝1.
养
作
课
探 究
(3)由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，
时 分
层
释 疑
所以x>－2且x≠－1.
作 业
难
所以函数y＝（x＋x＋1）2 0的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．
返 首
页
27
·
自
课
主
堂
预
小
习
探 新
1．函数f(x)＝x－x1的定义域为________．
·
结
提 素
堂 小
习
结
·
探 f(x)＝3x＋5，f 表示“自变量的 3 倍加上 5”，如 f(4)＝3×4＋5＝17. 提
新
素
知
养
·
·
合
作
课
探
时
究
3．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于 分
层
释 疑
函数的定义域和对应关系一旦确定，值域也随之确定，所以判断两个
作 业
难
函数是否相同只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可． 返 首 页
5.3 对数函数(第1课时 对数函数的概念、图象和性质)2024-2025学年高一上北师版必修1
3.反函数
指数函数y=2x和对数函数x=log2y刻画的是同一对变量x,y之间的关系,所不
同的是:在指数函数y=2x中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;而在对数
函数x=log2y中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞).我们称对数函数
规律方法
定义域问题注意事项
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式
被开方式大于或等于零等.
(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;
三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
探究点四
对数函数的图象
【例4】 函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.
(2)值域:R
(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
(4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0
(4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0
性质 (5)在定义域(0,+∞)上是增函数
(5)在定义域(0,+∞)上是减函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值
当x值趋近于正无穷大时,函数值
趋近于正无穷大;
A.-7
B.-9
C.-11
D.-13
解析 由题意知f(x)=2x,
故当x>0时,g(x)=2x+x2.
∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.
∴g(-1)+g(-2)=-11.
探究点三
与对数函数有关的定义域、值域问题
北师大版高中数学必修1《函数概念》教学课件
求函数 y＝ x－2· x＋2的定义域. 【错解】 y＝ x－2· x＋2＝ x2－4， 由 x2－4≥0，得 x≥2 或 x≤－2， ∴函数的定义域为{x|x≥2 或 x≤－2}.
【错因】 求函数定义域时，不能先进行变形，否则，会使定义域产生改 变，造成错误.因此，必须根据原始函数解析式来求定义域.
1.函数
(1)函数的定义 [JP2]给定两个 非空数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A 中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定 的数f(x)与之对应，那么就把对 应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作f：A →B 或y＝f(x)，x∈A .
(2)函数的定义域与值域 对于函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫作自变量， 集合A 叫做函数的定义域，
f(1－x)＝11－ ＋((11－ －xx))＝2－x x(x≠2). f(f(x))＝11－ ＋ff((xx))＝11－ ＋1111－ ＋ － ＋xxxx＝x(x≠－1).
(1)当x的取值用字母表示时，对应的函数值也用字母表示，但要注 意化简.
(2)当求多重函数值时，一般要由里到外逐步计算.
4.已知 f(x)＝1＋1 x，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(2)，g(2)，f(g(2))的值.
2 对函数的进一步认识
2.1 函数概念
1.初中时你学过哪些函数？y＝kx＋b，(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)，y k
(k≠0)分别叫 一次函数 ， 二次函数 ， 反比例函数 .
x
2.函数y＝kx＋b，已知kb＜0，则函数的图象经过第 一、二、四
或一、三、四 象限.
3.函数y＝2x2＋3x＋1.当x＝－1时的函数值为 0 .
北师大版必修一函数知识点
函数知识点1函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f ： A T B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function ).记作：y=f(x) , x € A .其中，x 叫做自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值 的集合{f(x)| x € A }叫做函数的值域① "y=f(x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如"y=g(x) ”；② 函数符号"y=f(x) ”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘x .例已知函数f (x )的定义域为［—1,5］，在同一坐标系下，函数y =f (x )的图象与直线A . 0个B . 1个C . 2个D . 0个或1个例集合A = {x |0 w x w 4} , B = {y |0 w y < 2},下列不表示从A 到B 的函数是( 2区间的概念① 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ② 无穷区间； ③ 区间的数轴表示. 3如何求函数的定义域函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式 数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
(1 )如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2 )如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合(3 )如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合 .(4 )如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 (即求各集合的交集) (5)满足实际问题有意义.------ 1 例已知函数f (x) =、x 3 + —x = 1的交点为(1y 2xy=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函x 2 4如何判断两个函数是否为同一函数① 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域•由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如 果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)② 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
北师大版高中数学课件必修第1册第三章 §3 第1课时 指数函数的概念、图象与性质
(2)B
课堂篇 探究学习
探究一
指数函数的概念
例1(1)若指数函数f(x),满足f(2)-f(1)=6,则f(3)=
.
(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
(1)解析设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是
D.a<b<1<d<c
)
解析(方法一)①②中函数的底数大于0且小于1,在y轴右边,底数越小,图象
向下越靠近x轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大,图
象向上越靠近y轴,故有d<c.故选B.
(方法二)作直线x=1,与函数①②③④的图象分别交于
A,B,C,D四点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数
值,所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.由
图可知b<a<1<d<c.故选B.
答案B
反思感悟 指数函数图象的特点
指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:
在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下
相应的底数由小变大.
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线
是
.
解析∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象
恒过点(-1,4).
答案(-1,4)
反思感悟 指数型函数图象过定点问题的解法
因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数
第三章-§3-指数函数高中数学必修第一册北师大版
根据在轴右侧③的图象在④的图象上方可知 > ；根据在轴左侧①的图象在②的
图象下方可知 > .
综上可知 < < 1 < < .
方法2 作直线 = 1（如图3-3-3），则直线 = 1与题中四个函数图象
例12 若方程 3 − 1 = 有一解，则的取值范围为_____________.
【解析】函数 = 3 − 1 的图象是由函数 = 3 的图象向下平
移一个单位长度后，再把位于轴下方的图象沿轴翻折到轴上
方得到的，函数图象如图3-3-6所示.
当 = 0或 ≥ 1时,直线 = 与函数 = 3 − 1 的图象有唯一的
所以2 − 3 + 3 = 1，解得 = 2或 = 1，又 > 0且 ≠ 1，所以 = 2.
题型2 求指数型函数的定义域或值域
例7 ［教材改编P91 A组T1］求下列函数的定义域和值域：
（1） = 1 − 3 ；
【解析】要使函数式有意义，则1 − 3 ≥ 0，即3 ≤ 1 = 30 .
1 −4
2
2
− 4 ≥ −4,
= 16.
0,所以函数 =
2
1 −2−3
的值域为(0,16].
2
题型3 指数函数的图象及应用
例8 利用函数 = = 2 的图象，作出下列各函数的图象：
（1） − 1 ；（2） ；（3） − 1；
（4）− ；（5） − 1 ．
【解析】作出函数 = |3 − 1| − 1的图象如图3-3-8所示.
由图象知 ≤ −1,
北师大版高中数学必修一函数的概念文字素材
函数概念一、知识清单1．映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，b=f(a)。
若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应,则称从A 到B 的映射为一一映射。
2．函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f (x )|x ∈A}为值域。
3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。
4．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。
函数定义域是研究函数性质的基础和前提。
函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。
5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R;② 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是24[,)4ac b a -+∞,当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]； ③ 反比例函数)0,0(≠≠=x k xk y 的值域为}0|{≠y y ；④ 指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；⑤ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ；⑥ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]；函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ；函数图像知识清单：图象变换：①y = f （x ））（轴对称x f y y -=−−−→−②y =f （x ））（轴对称x f y x -=−−−→−③y =f （x ））（原点对称x f y --=−−−→−④y =f (x )→y =f (|x |),把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称⑤y =f (x )→y =|f (x )|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。
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函数概念与性质
一、选择题（每小题5分，共50分）
1、下列哪组中的两个函数是同一函数
（A ）2()y x =与y x = （B ）33()y x =与y x =
（C ）2y x =与2()y x = （D ）33
y x =与2
x y x = 2、下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是
（A ）{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方；
（B ）{}{}f B A ,1,0,1,1,0-==：A 中的数开方；
（C ）,,A Z B Q f ==：A 中的数取倒数；
（D ）,,A R B R f +==：A 中的数取绝对值；
3、已知函数11)(22-+
-=x x x f 的定义域是（ ） （A ）[－1，1] （B ）{－1，1}
（C ）（－1，1） （D ）),1[]1,(+∞--∞ 4、若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ）
（A ）必是增函数
（B ）必是减函数 （C ）是增函数或是减函数 （D ）无法确定增减性
5、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．
的是( ) （A ）0)()(=+-x f x f （B ）)(2)()(x f x f x f -=--
（C ）)(x f ·)(x f -≤0 （D ）1)
()(-=-x f x f 6、函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则
()f x 在),(b a 上是 （A ）增函数 （B ）减函数
（C ）奇函数 （D ）偶函数
7、若函数()(()0)f x f x ≠为奇函数，则必有
（A ）()()0f x f x ⋅-> （B ）()()0f x f x ⋅-<
（C ）()()f x f x <- （D ）()()f x f x >-
8、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ）
（A ）f(π)>f(-3)>f(-2) （B ）f(π)>f(-2)>f(-3)
（C ）f(π)<f(-3)<f(-2) （D ）f(π)<f(-2)<f(-3)
9、函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，若对于12,x x R ∈都有
121()()
()f x f x f x +≥-+2()f x -成立，则必有 （A ）12x x ≥ （B ）12x x ≤
（C ）120x x +≥ （D ）120x x +≤
10、已知函数f （x ）、g （x ）定义在同一区间D 上，f （x ）是增函数，g （x ）是减函数，且g （x ）≠0,则在D 上 ( )
(A) f(x)+g(x)一定是减函数
(B) f(x)-g(x)一定是增函数
(C) f(x)·g(x)一定是增函数
(D) )
()(x g x f 一定是减函数 二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）
11、已知函数()23{|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿＿＿
12、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f
13、若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = _________________.
14、已知函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称，且在区间)0,(-∞上，当1-=x 时，)(x f 有最小值3，则在区间),4(+∞上，当=x ____时，)(x f 有最____值为_____.
三、解答题（共54分）
15．（10分）判断函数13+-=x y 的单调性并证明你的结论．
16、（10分）设函数22
11)(x
x x f -+=． ○
1 求它的定义域；○
2 判断它的奇偶性；○
3 求证：)()1(x f x
f -=．
17、（10分）在水果产地批发水果，100kg 为批发起点，每100kg40元；100至1000kg8折优惠；1000kg 至5000kg ，超过1000部分7折优惠；5000kg 至10000kg ，超过5000kg 的部分6折优惠；超过10000kg ，超过部分5折优惠。
(1)请写出销售额y 与销售量x 之间的函数关系；
(2)某人用2265元能批发多少这种水果？
18、（10分）快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h 和15 km/h ，已知AC=150km ，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
19、（14分）若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0<x 时，1)(>x f ；
（1）求证：()0f x > （2）求证：)(x f 为减函数
（3）当161)4(=
f 时，解不等式41)5()3(2≤-⋅-x f x f
附加题：（10分）
请自行设计一个盛水容器（画出大致形状），并在容器右侧作出向容器中匀速注水时，水深h 关于注水量V （或注水时间t ）函数的大致图象.
A B C D。