八年级数学公理与定理教案
北师大八年级数学教案-定理与证明(1)
7.2 定義與命題第2課時定理與證明第一環節：回顧引入活動內容：①什麼叫做定義？舉例說明．②什麼叫命題？舉例說明．活動目的：回顧上節知識，為本節課的展開打好基礎．教學效果：學生舉手發言，提問個別學生．第二環節：探索命題的結構活動內容：①探討命題的結構特徵觀察下列命題，發現它們的結構有什麼共同特徵？（1）如果兩個三角形的三條邊對應相等，那麼這兩個三角形全等．（2）如果一個三角形是等腰三角形，那麼這個三角形的兩個底角相等．（3）如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那麼這個四邊形是平行四邊形．（4）如果一個四邊的對角線相等，那麼這個四邊形是矩形．（5）如果一個四邊形的兩條對角線互相垂直，那麼這個四邊形是菱形．②總結命題的結構特徵（1）上述命題都是“如果……，那麼……”的形式．（2）“如果……”是已知的事項，“那麼……”是由已知事項推斷出的結論．（3）一般地命題都可以寫成“如果……,那麼……”的形式，其中“如果”引出的部分是條件，“那麼”引出的結論，每個命題都有條件和結論．活動目的：對命題的結構進行分析，讓學生會判斷一個命題的條件和結論．教學效果：分小組交流討論，教師引導進行歸納．應告誡學生當一個命題改寫成“如果……那麼……”的形式時，要注意改寫時不要機械地添上“如果”和“那麼”，應適當地補充一些修飾語句，使改寫後的語句通順，完整。
第三環節：思考探討活動內容：①找出下述命題中的條件和結論，指出它們哪些是正確的命題？哪些是不正確的命題？你又是如何知道的呢？（1）如果兩個角相等，那麼它們是對頂角；（2）如果a＞b，b＞c，那麼a＝c；（3）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等；（4）菱形的四條邊都相等；（5）全等三角形的面積相等．②探究真假命題的驗證說明一個命題是假命題，通常舉出一個反例就可以了，使之具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子稱為反例，但是要說明一個命題是正確的無論驗證多少個特例，也無法保證命題的正確性．如何驗證命題的正確性呢？結論：正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題．活動目的：使學生瞭解命題有真假之分，並且知道怎樣去判斷真假命題。
华师大版数学八年级上册《13.1.2 定理与证明》教案
《13．1.2 定理与证明》教案教学目标1．知识与技能了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性．2．过程与方法结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识．3．情感、态度与价值观初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值．教学重点知道什么是公理，什么是定理．教学难点理解证明的必要性．教学过程一、导入新知前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了.这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题．今天，我们就一起来学习《13.1.2 定理与证明》。
（板书课题）二、探究新知(一)基本事实讲解新知：(1)两点确定一条直线；(2)两点之间，线段最短；(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．上述五个命题是被公认的真命题，我们将它们当作基本事实，是我们用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．(二)定理与证明教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的．从而说明证明的重要性．1．教师讲解：请大家看下面的例子：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝1；当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝1；当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝1.我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数(n2－5n＋5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝25.2．教师再提出一个问题让学生回答：如果a＝b，那么a2＝b2.由此我们猜想：当a＞b 时，a2＞b2.这个命题是真命题．答案：上面的说法不正确，举一个反例来看，因为3＞－5，但32＜(－5)2.教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质．但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性．也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题．教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．(三)定理的证明直角三角形两锐角互余．教师引导：将文字语言转化为几何语言，注意推理步步有据，并在后面的括号里写上每步的依据．教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据．三、课堂练习1．请你说出学过的知识中，哪些是公理，哪组说得又多又准就是获胜者．如：(1)两点确定一条直线；(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．试证明：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角的角平分线互相垂直．3．如图，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：AB∥CD.四、归纳新知这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结．五、课后作业教材第58页练习第1，2题．六、教后反思。
新华师大版八年级上册初中数学 2-定理与证明 教学课件
新课导入
探 究 在现代哲学、数学、逻辑学、语言学中，命题是指一个判断 （陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定 义并观察的现象。命题不是指判断（陈述）本身，而是指所 表达的语义。当相异判断（陈述）具有相同语义的时候，他 们表达相同的命题。在数学中，一般把判断某一件事情的陈 述句叫做命题。
新课讲解
知识点3 证明
证明的一般步骤： ①审题，分清命题的条件和结论； ②画图，结合图形写出已知和求证； ③分析因果关系，找出证明途径； ④有条理地写出证明过程．
新课讲解
典例分析
例 直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图 13.1.2,在△ABC 中，∠C=90°.
求证：∠A+ ∠B = 90°
.定理都是真命题，定理可以作为判断其他命题真假的依据．
新课讲解
知识点2 定理 定义、命题、公理、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题． (2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其 他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真 命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
第十三章 全等三角形
13.1 命题、定理与证明 2.定理与证明
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.正确理解公理、定理与证明的含义.（重点） 2.掌握命题证明的一般步骤.(难点） 3.掌握用举反例的方法判断假命题.（重点）
计算一下 2×3×5×7×11+1
与 2×3×5×7×11×1 3+1，你发现了
什么？
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数2开始，排 在前面的任意多个质数的乘积加1 一定也是质数.他的结论正确吗？
八年级数学上册第7章名师教案：定理与证明(北师大版)
北师大版数学八年级上册 7.2.2 定理与证明名师教案证明: ∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°(已知),∴∠3=180°-∠1,∠4=180°-∠2(等式的性质).又∠1=∠2(已知),∴∠3=∠4(等量代换).同理可证同角的补角相等.(2)证明过程与(1)类似.(3)任取三角形的两个顶点,根据公理“两点之间线段最短”可知命题正确.为了使我们的解答更为规范和有条理,请同学们根据此题总结一下证明一个命题的一般步骤.证明一个命题的一般步骤:1.已知:写出命题的条件(必要时结合图形).2.求证:写出命题的结论.3.证明:写出演绎推理的过程.已知：如图,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD.证明：∵直线AB与直线CD相交于点O,∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义).∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义).∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).由上面的例题，我们可以得到定理：对顶角相等.[知识拓展]1.对于公理:①公理是不需要推理证实的真命题,②公理可以作为判断其他命题真假的根据.2.对于定理:①定理都是真命题,但真命题不一定都是定理;②定理可以作为推证其他命题的依据.3.证明的一般步骤:①根据题意,画出图形;②根据条请学生板演,其他学生在练习本上完成.做完后小组之间开展互评.教师巡视,适时点拨.学生完成后及时点评,借助多媒体展示正确答案,让学生对出现的问题进行矫正.在小组交流的基础上,在教师的引导下,首先归纳总结出证明一个命题的一般步骤,然后让学生对照步骤,学生进一步理解和巩固证明的含义,引导学生利用公理、定义、已经证明的真命题解决实际问题,训练思维的严谨性、逻辑性,强化证明步骤的规范性.件和结论,结合图形写出已知和求证;③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.4.假命题的判断:判断一个命题是假命题,只要举出反例来说明即可.完善各自的解题过程.课堂练习 1.下列叙述错误的是( B )A.所有的命题都有条件和结论B.所有的命题都是定理C.所有的定理都是命题D.所有的公理都是真命题2.下列命题为假命题的是(C)A.三角形三个内角的和等于180°B.三角形两边之和大于第三边C.三角形两边的平方和等于第三边的平方D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半3.已知命题:等底等高的两个三角形面积相等,则这个命题的结论是(C)A.两个三角形B.两个三角形的面积C.两个三角形的面积相等D.两个三角形等底等高4.如图所示,已知∠AOC与∠BOD都是直角,∠BOC=65°.(1)求∠AOD的度数;(2)求证∠AOB=∠DOC;(3)若不知道∠BOC的具体度数,其他条件不变,(2)的关系仍成立吗?若成立,说明理由.学生认真做课堂练习。
八年级数学上册 13.1 命题、定理与证明 13.1.2 定理与证明教案 (新版)华东师大版
13.1.2定理与证明【教学过程】一、复习旧知,导入新课1.什么是命题?命题的结构是什么?2.命题如何分类?如何证明一个命题是假命题?今天我们将学习说明一个命题是真命题的方法.二、师生互动,探究新知(一)基本事实.教师讲解;并板书:(1)两点确定一条直线;(2)两点之间线段最短;(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;(5)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,两直线平行.上述五个命题是被公认的真命题,我们将它们当作基本事实,是我们用来判断其他命题真假的原始依据,即出发点.(二)定理与证明教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明证明的重要性.1.教师讲解:请大家看下面的例子:当n=1时,(n2-5n+5)2=1;当n=2时,(n2-5n+5)2=1;当n=3时,(n2-5n+5)2=1.我们能不能就此下这样的结论:对于任意的正整数(n2-5n+5)5的值都是1呢?实际上我们的猜测是错误的,因为当n=5时,(n2-5n+5)2=25.2.教师再提出一个问题让学生回答:如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想:当a>b时,a2>b2.这个命题是真命题.【答案】不正确,因为3>-5,但32<(-5)2.【教师总结】在前面的学习过程中,我们用观察、验证、归纳、类比等方法,发现了很多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道,这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就是说,由这些方法得到的命题的可能是真命题,也可能是假命题.【教师讲解】数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.(三)定理的证明直角三角形两锐角互余.【教师引导】将文字语言转化为几何语言,注意推理步步有据,并在后面的括号里写上每步的依据.【教师讲解】此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据,因此我们把它也作为定理.定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.三、随堂练习,巩固新知下列命题中,假命题是( )A.定理都是命题B.命题都是定理C.公理都是命题D.推理过程叫证明【答案】B四、典例精析,拓展新知【例】试证明:如果两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的角平分线互相垂直.【教学说明】教师引导文字命题证明步骤,先画图写出已知求证,再分析找出思路,最后写出证明过程,注意步步有据.五、运用新知,深化理解如图,AD∥BC,∠A=∠C,求证:AB∥CD.【教师说明】教师启发由AD∥BC,得到了什么?要证明AB∥CD,需要证明什么?与AB∥BC相关的信息是什么?如何书定使条理清晰,层次分明.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.1.可以推断它是正确的或是错误的句子叫做命题,正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.命题可以写成“如果……,那么……”的形式.要判断一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.2.从长期实践中总结出来为真的命题叫做公理,把一些用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理.【教学反思】本节课从同学们已学的五个性质入手,讲解了基本事实的概念作用与地位,从发现命题的结论不具有一般性让学生理解证明的必要性,从直角三角形两锐角互余的证明让学生感知证明的步骤与要求.本节课有很多理性认识,学生不可能一蹴就就,在学习中及时完善与提升.对证明的条理问题应提出更高的要求,以培养学生更严谨的逻辑思维能力.。
定理与证明-华东师大版八年级数学上册教案
定理与证明-华东师大版八年级数学上册教案一、教学目标1.了解定理与证明的基本概念和方法；2.能够正确运用定理和相关知识进行数学问题的证明；3.提高数学思维和解决问题的能力。
二、教学重难点1.定理的理解和运用；2.证明的方法与技巧；3.证明过程中思维的拓展。
三、教学内容1.定义：定理是一种真实的、重要的数学命题，需要经过证明才能成立；2.定理的分类：数形结合、解析几何、代数方程、数论等；3.定理的证明方法：直接证明、间接证明、归谬法等；4.基本定理的讲解和运用：比如射影定理、等腰三角形定理、余弦定理等；5.综合运用定理和公式解决实际问题。
四、教学过程1. 导入（5分钟）请学生们回忆上节课学过的定理和证明方法，并举例说明其运用。
2. 讲解定理与证明的基本概念和方法（20分钟）1.讲解定理的定义和分类，举例说明；2.讲解证明的基本方法和技巧，如直接证明、间接证明、归谬法等；3.举例说明定理的证明过程，并让学生模仿练习。
3. 讲解基本定理并运用于实际问题的解决（20分钟）1.介绍常见的基本定理，如射影定理、等腰三角形定理、余弦定理等；2.利用定理解决实际问题的案例分析，并让学生进行练习。
4. 合作探究与案例演示（20分钟）将学生分组，让他们自行查找和收集相关定理和证明的例题，进行合作探究；然后让其中一小组进行案例演示，展示其探究和归纳分析的结果。
5. 课堂小结（5分钟）1.对今天的教学内容进行回顾；2.强调掌握定理和证明的基本方法和技巧；3.提醒学生关注几何图形和代数方程的联系。
五、课后作业1.完成课堂练习题；2.完成课后练习题；3.查找和阅读相关数学文献，了解更多有关定理和证明的知识。
六、教学反思通过本次教学，学生们了解了数学中定理和证明的基本概念和方法，并掌握了一些基本定理的运用和证明。
在教学设计中，我采取了多种教学方法和形式，如讲解、案例分析、小组讨论等，注重培养学生的思维能力和团队合作意识。
但是还需注意，在小组讨论和案例演示环节中，需关注每个小组的参与度和发言机会，让每个学生都能学有所获，提高教学效果。
八年级数学下册《19.2 定理与证明》教案 华东师大版
《19.2 定理与证明》教案教学目标1、知识与技能：了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性。
2、过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。
3、情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。
重点与难点 1、重点：知道什么是公理，什么是定理。
2、难点：理解证明的必要性。
教学过程一、复习引入教师讲解：前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了。
这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题。
二、探究新知（一）公理教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
我们已经知道下列命题是真命题：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角相等。
在本书中我们将这些真命题均作为公理。
（二）定理教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的。
从而说明证明的重要性。
1、教师讲解：请大家看下面的例子：当n=1时，（n2-5n+5)2=1;当n=2时，（n2-5n+5)2=1；当n=3时，（n2-5n+5)2=1。
我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=25。
2、教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞ b时，a2＞ b2。
这个命题是真命题吗？［答案：不正确，因为3＞ -5，但3 2＜（-5）2］教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质。
但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性。
也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题。
教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
北师大版八年级上册数学 7.2 第2课时 定理与证明 优秀教案
第2课时 定理与证明1．了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理；(重点) 2．体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性． 一、情境导入体验证明的步骤：对于命题“如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直”是否正确？转化为如图所示的图形，已知条件为AB∥CD，AB ⊥EF ，请问CD 与EF 垂直吗？为什么？二、合作探究探究点一：公理与定理下列平行线的判定方法中是公理的是( )A ．平行于同一条直线的两条直线平行B ．同位角相等，两直线平行C ．内错角相等，两直线平行D ．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线解析：A 是由公理推出的定理；C 是由B 推出的平行线的判定定理；D 是平行线的定义，只有B 是由画图实践得来的，符合公理的定义，故选B.方法总结：公理是不需要推理判断的公认的真命题；定理是需要用推理的方法来判断其正确的命题．探究点二：证明【类型一】直接证明非文字题如图所示，在直线AC 上取一点O ，作射线OB ，OE 和OF分别平分∠AOB 和∠BOC.求证：OE⊥OF.解析：要证明某个结论，可从条件入手分析，也可以从结论逆推进行分析．要证OE⊥OF ，只需证∠EOF ＝90°，而∠EOF ＝∠EOB ＋∠BOF ，因此只需证∠EOB ＋∠BOF ＝90°.由OE 、OF 平分∠AOB 和∠BO C 可得∠EOB ＋∠BOF ＝12(∠AOB ＋∠BOC)＝90°，所以得证OE⊥OF.证明：∵OE 和OF 分别平分∠AOB 和∠BOC，∴∠EOB ＝12∠AOB ，∠BOF ＝12∠BOC.又∵∠AOB ＋∠BOC ＝180°，∴∠EOB ＋∠BOF ＝12(∠AOB ＋∠BOC)＝12×180°＝90°，即∠EOF＝90°，∴OE ⊥OF. 方法总结：从结论逆推进行分析得出条件，反过来的过程就是证明结论的过程．【类型二】直接证明文字题求证：直角三角形的两个锐角互余．解析：分析这个命题的条件和结论，根据已知条件和结论画出图形，写出已知、求证，并写出证明过程．已知：如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°.求证：∠A 与∠B 互余．证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和等于180°)，又∠C＝90°，∴∠A ＋∠B＝180°－∠C＝90°.∴∠A 与∠B 互余．方法总结：解此类题首先根据题意将文字语言变成符号语言，画出图形，最后再经过分析论证，并写出证明的过程．三、板书设计命题⎩⎪⎨⎪⎧分类⎩⎪⎨⎪⎧公理：公认的真命题定理：经过证明的真命题证明：推理的过程经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理，让学生对真假命题有一个清楚的认识，从而进一步了解定理、公理的概念．培养学生的语言表达能力．。
初中数学真理公理教案
初中数学真理公理教案教学目标：1. 理解公理、定理、定义、命题等基本数学概念。
2. 掌握欧氏几何中的十个基本公理。
3. 能够运用公理和定理解决实际数学问题。
教学重点：1. 公理、定理、定义、命题等基本数学概念的理解。
2. 欧氏几何中十个基本公理的掌握。
教学难点：1. 理解公理、定理、定义、命题等基本数学概念之间的关系。
2. 运用公理和定理解决实际数学问题的方法。
教学准备：1. 教室环境布置，准备黑板和粉笔。
2. 教案、PPT、教材等相关教学资料。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的数学知识，如直线、射线、线段等。
2. 提问：你们认为什么是真理？什么是公理？二、基本概念讲解（15分钟）1. 讲解公理、定理、定义、命题等基本数学概念。
公理：依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加以证明的基本命题。
定理：经过证明的真命题叫做定理。
定义：对数学对象或概念进行明确描述的语句。
命题：可以判断真假的陈述句。
2. 讲解欧氏几何中的十个基本公理。
（1）线段公理：两点之间，线段最短。
（2）直线公理：过两点有且只有一条直线。
（3）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
（5）垂直性质：经过直线外或直线上的垂线，垂线段最短。
（6）平行线的性质：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
（7）全等三角形的性质：对应边、对应角相等。
（8）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
（9）三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（10）斜边、直角边公理：斜边相等，直角边相等。
三、实例讲解（15分钟）1. 通过实例讲解如何运用公理和定理解决实际数学问题。
四、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生运用公理和定理解决问题。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，强调公理、定理、定义、命题等基本数学概念的重要性。
华东师大初中八年级数学上册《定理与证明》教案
定理与证明教学目标1.了解命题、公理、定理的含义,会区分命题的题设和结论,会判断真命题和假命题,会把命题改写为“如果……,那么……”的形式;会运用公理、定理进行简单的真命题的证明.2.让学生经历观察、分析、讨论的过程,得出可以用举反例的方法判断一个命题是假命题.3.初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.重点让学生分清命题的题设和结论,熟悉命题的表达式;会运用公理、定理进行简单的真命题的证明.难点将一个命题改写为“如果……,那么……”的形式.教学过程一、复习旧知,导入新课1.什么是命题?命题的结构是什么?2.命题如何分类?如何证明一个命题是假命题?今天我们将学习说明一个命题是真命题的方法.二、师生互动,探究新知(一)基本事实.教师讲解;并板书:(1)两点确定一条直线;(2)两点之间线段最短;(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;(5)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,两直线平行.上述五个命题是被公认的真命题,我们将它们当作基本事实,是我们用来判断其他命题真假的原始依据,即出发点.(二)定理与证明教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明证明的重要性.1.教师讲解:请大家看下面的例子:当n=1时,(n2-5n+5)2=1;当n=2时,(n2-5n+5)2=1;当n=3时,(n2-5n+5)2=1.我们能不能就此下这样的结论:对于任意的正整数(n2-5n+5)5的值都是1呢?实际上我们的猜测是错误的,因为当n=5时,(n2-5n+5)2=25.2.教师再提出一个问题让学生回答:如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想:当a>b时,a2>b2.这个命题是真命题.教师总结在前面的学习过程中,我们用观察、验证、归纳、类比等方法,发现了很多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道,这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就是说,由这些方法得到的命题的可能是真命题,也可能是假命题.教师讲解数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.(三)定理的证明直角三角形两锐角互余.【教师引导】将文字语言转化为几何语言,注意推理步步有据,并在后面的括号里写上每步的依据.教师讲解此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据,因此我们把它也作为定理.定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.三、随堂练习,巩固新知下列命题中,假命题是( )A.定理都是命题B.命题都是定理C.公理都是命题D.推理过程叫证明四、典例精析,拓展新知例试证明:如果两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的角平分线互相垂直.教学说明教师引导文字命题证明步骤,先画图写出已知求证,再分析找出思路,最后写出证明过程,注意步步有据.五、运用新知,深化理解如图,AD∥BC,∠A=∠C,求证:AB∥CD.教师说明教师启发由AD∥BC,得到了什么?要证明AB∥CD,需要证明什么?与AB∥BC相关的信息是什么?如何书定使条理清晰,层次分明.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.1.可以推断它是正确的或是错误的句子叫做命题,正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.命题可以写成“如果……,那么……”的形式.要判断一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.2.从长期实践中总结出来为真的命题叫做公理,把一些用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理.。
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八年级数学公理与定理
教案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
3.3公理和定理
一、教学目标：
1、了解公理、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解
本教科书所使用的定理。
2、通过介绍欧几里得的原本，使学生感受公理化方法对数
学发展和促进人类文明进步的价值。
二、教学重点、难点：
公理和定理的区别和联系
三、教法：引导发现法
四、教具准备：投影仪
五、教学过程：
一．创设情景
想一想
如何通过推理的方法证实一个命题是真命题呢？
在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得将前人积累下来的几何学
成果整理在系统的逻辑体系之中。他挑选了一部分不定义的数学
名词(称为原名)和一部分公认的真命题(称为公理)作为证实其他命
题的起始依据，定义出其他有关的概念，并运用推理的方法，证
实了数百个有关的命题，使几何学成为一门具有公理化体系的科
学。
二．回顾总结
通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。例如，
欧几里得将“两点确定一条直线”，“直角都相等”等五条基本几何事实
作为公理。通过推理得到证实的真命题叫做定理。
本教科书选用如下命题作为公理：
1、 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这
两条直线平行。
也可以简单说成：同位角相等，两直线平行。
2、 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
也可以简单说成：两直线平行，同位角相等。
3、 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
4、 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
5、 三边对应相等的两个三角形全等。
6、 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公
理。例如“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代
替”，简称为“等量代换”。
三．应用举例
由上面给出的公理，可以证明如下命题的正确性：等角的补
角相等。
已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180，∠2+∠4=180。
求证：∠3=∠4
证明：∵∠1+∠3=180，∠2+∠4=180(已知)，
∴∠3=180-∠1，∠4=180-∠2 (等式的性质)
∵∠1=∠2 (已知)，
∴∠3=∠4 (等式的性质)。
这样，我们便可以把上面这个经过证实的命题称作定理了。
已经证明的定理可以作为以后推理的依据。
证明一个命题的正确性，要按照“已知”、“求证”、“证
明”的顺序和格式写出。其中“已知”是命题的条件，“求证”
是命题的结论，而“证明”则是由条件(已知)出发，根据已给出
的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证
实结论(求证)的过程。
四、巩固练习：
课本随堂练习2、习题1、2
五、板书设计：
3.3公理和定理
一、 创设情景： 三、巩固练习：
二、 回顾总结： 四公理和定理的联系
（8条定理） 和区别