高考数学第2章基本初等函数、导数及其应用第7讲对数与对数函数知能训练轻松闯关理北师大版
高考数学总复习 第2单元第7节 对数与对数函数 文 新人教A版
【例2】 (2010天津)设a=log54，b=(log53)2，
c=log45，则( )
A. a＜c＜b
B. b＜c＜a
C. a＜b＜c
D. b＜a＜c
分析： 简单的对数值的比较一般利用对数函数 的图象或对数函数的单调性，较复杂的对数式 比较大小，通常再结合作差或作商来比较．
解： a=log54＜1,0＜log53＜log54＜1， ∴b=(log53)2＜log53＜log54=a. 又∵c=log45＞1，∴b＜a＜c. 故选D.
;
③底的对数等于1,即 logaa=1(a>0，且a ≠ 1) .
(3)对数恒等式: alogaN=N(a>0，且a ≠ 1，N>0) . (4)常用对数:通常将以10为底的对数叫做常用 对数, N的常用对数log10N简记为 lg N . (5)自然对数:以e=2.718 28…为底的对数称为 自然对数,N的自然对数logeN简记作 ln N .
变式2-1 比较下列各数的大小：1.10.9，log1.10.9，log0.70.8 .
解析： ∵log1.10.9＜log1.11=0， log0.70.8＞log0.71=0,1.10.9＞1.10=1， 又∵log0.70.8＜log0.70.7=1， ∴1.10.9＞log0.70.8＞log1.10.9.
∴(2)∵xy 24 a=∴5b=lmog，2 xy∴alo=gl2o4g=24m. ，b=log5m，
∴ 1 a b 1 lo g 1 2 m lo g 1 5 m lo g m 2 lo g m 5 lo g m 1 0
∴m2=10，∵m＞0，∴m= 1 0 .
题型二 对数值(式)的大小比较
B. y∈(1,2)
高考数学5年真题备考题库 第二章 第7节 对数与对数函
第2章 函数、导数及其应用 第7节 对数与对数函数1. (2014天津，5分)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．选D.答案：D2. (2014重庆，5分)函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝12时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－143. (2014福建，5分)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析：选B 因为函数y ＝log a x 过点(3,1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，所以y ＝3－x不可能过点(1,3)，排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1,1)，排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.4．(2014辽宁，5分)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C a ＝2－13∈(0,1)，b ＝log 213∈(－∞，0)，c ＝log 1213＝log 23∈(1，＋∞)，所以c >a >b .解析：选D 根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f(x ＋y)＝f (x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以D 正确．5．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解析：本题主要考查对数的基本运算以及同真数不同底数对数值大小的比较，意在考查考生分析问题与合理运用知识巧妙求解问题的能力．a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c ，故选D.答案：D6．(2013陕西，5分)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：本题主要考查对数的有关运算，考查运算能力．利用对数的换底公式进行验证，log a b ·log c a ＝log c blog c a·log c a ＝log c b ，则B 对．答案：B7．(2013四川，5分)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：本题考查对数运算、排列组合等基本知识和基本技能，意在考查考生分析问题和解决问题的数学应用能力．lg a －lg b ＝lg a b ，lg a b 有多少个不同值，只要看a b不同值的个数，所以共有A 25－2＝20－2＝18个不同值．答案：C8．(2013四川，5分)lg 5＋lg 20的值是________．解析：本题主要考查对数的运算，意在考查考生对基本性质与公式的掌握．lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 10＝1.答案：19．（2013浙江，5分）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x·2lg y解析：本题考查理解有理指数幂的含义、幂的运算，考查指数、对数函数的概念及其运算性质，意在考查考生基本的运算能力．取特殊值即可．如取x ＝10，y ＝1,2lg x ＋lg y＝2,2lg(xy )＝2,2lg x＋2lg y＝3,2lg(x ＋y )＝2lg 11,2lg x ·lg y＝1,2lg x·2lg y＝2.答案：D10．（2012新课标全国，5分）设点P 在曲线y ＝12e x 上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．1－ln 2 B.2(1－ln 2) C ．1＋ln 2D.2(1＋ln 2)解析：根据函数y ＝12e x和函数y ＝ln 2x 的图像可知两函数图像关于直线y ＝x 对称，故要求|PQ |的最小值可转化为求与直线y ＝x 平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线y ＝12e x 上的切点为A (m ，n )，则A 到直线y ＝x 的距离的2倍即为最小值．因为y ′＝(12e x)′＝12e x ，则12e m＝1，所以m ＝ln 2，切点A 的坐标为(ln 2,1)，切点到直线y ＝x 的距离为d ＝|ln 2－1|2＝1－ln 22，所以2d ＝2(1－ln 2)．11．（2012湖南，5分）已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434解析：数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x Dx C －x A，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m .同理可得x C ＝2－82m ＋1，x B ＝2m，x D ＝282m ＋1，所以b a ＝2m －282m ＋12－82m ＋1－2－m ＝2m －282m ＋11282m ＋1－12m ＝2m－282m ＋12m－282m ＋12m·282m ＋1＝282m ＋1＋m ，由于82m ＋1＋m＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故b a 的最小值为272＝8 2. 答案：B12．（2010新课标全国，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：由a ，b ，c 互不相等，结合图象可知 ： 这三个数分别在区间(0,1)，(1,10)，(10,12)上， 不妨设a ∈(0,1)，b ∈(1,10)，c ∈(10,12)， 由f (a )＝f (b )得lg a ＋lg b ＝0，即lg ab ＝0，所以ab ＝1，所以abc ∈(10,12)． 答案：C13．（2010天津，5分）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，log 12－x ， x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0log 2a >－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0log 12－a >log 2－a ，解之可得a >1或－1<a <0. 答案：C。
2022版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第七讲对数与对数函数学案含解析新人教版
＞0__
＜0__
在(0，＋∞)上为__增函数__
在(0，＋∞)上为__减函数__
2．反函数
指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与对数函数__y＝logax__(a>0 且 a≠1)互为反函数，它们的图
象关于直线__y＝x__对称．
1．指数式与对数式互化
归纳拓展
2．换底公式的两个重要结论 ①logab＝ 1 ；
a<c<b.故选
A．
3
7．(2017·全国卷Ⅱ，5 分)函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( D )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
[解析] 由 x2－2x－8>0，得 x<－2 或 x>4.因此，函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，
题组三 走向高考
6．(2020·课标Ⅲ，10,5 分) 设 a＝log32，b＝log53，c＝23，则( A )
A．a<c<b
B．a<b<c
C．b<c<a
D．c<a<b
[解析]
因为
3 a＝log32＝log3
3 8<log3
9＝2＝c， 3
3 b＝log53＝log5
3 27>log5
25＝2＝c，所以
1，1 2
.
2
5.(必修 1P75AT10 改编)已知图中曲线 C1，C2，C3，C4 是函数 y＝logax 的图象，则曲线 C1，
C2，C3，C4 对应的 a 的值依次为( B )
A．3,2，1，1 32
B．2,3，1，1 32
高中数学 电子题库 第二章 7知能演练轻松闯关 必修4 试题(共7页)
(2)t小时后两车的间隔 是多少？
(3)何时两车的间隔 最短？
解：(1)由题意知，
| |2＝( － )2
＝| |2＋| |2－2| || |cos60°
＝302＋102－2×30×10× ＝700.
故| |＝10 (km)．
(2)设甲、乙两车t小时后的位置分别为P，Q，那么| |＝60t，| |＝60t.
答案：1
向量a＝(1，－1)，b＝(2，1)，p＝2a－b，q＝a＋2b，那么以向量p，q为邻边的平行四边形的ห้องสมุดไป่ตู้长的对角线长为________．
解析：∵p＝2a－b＝2(1，－1)－(2，1)＝(0，－3)，
q＝a＋2b＝(1，－1)＋2(2，1)＝(5，1)，
∴|p＋q|＝|(0，－3)＋(5，1)|
即| |＝10 .
(3)∵108t2－36t＋7＝108 ＋4，
∴当t＝ 时，即在第10分钟末时，两车的间隔 最短，且最短间隔 为10 ＝20 km.
内容总结
（1）高中数学电子题库第二章7知能演练轻松闯关北师大版必修4eq \a\vs4\al(1.)△ABC，eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b且a·b<0
＝－(－1，－2)＝(1，2)．
(2021·质检)过点A(－2，1)且平行于向量a＝(3，1)的直线方程为____________．
解析：设P(x，y)是所求直线上的任一点，
＝(x＋2，y－1)．
∵ ∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0.
即所求直线方程为x－3y＋5＝0.
答案：x－3y＋5＝0
一个(yī ɡè)重20N的物体从倾斜角30°，斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底端，那么重力做的功是________．
高考数学总复习 第2单元第7节 对数与对数函数课件 文 新人教A
12(log23)1 1
8
24
4. 若y=log56log67log78log89log910，则有( )
A. y∈(0,1)
B. y∈(1,2)
C. y∈(2,3)
D. y∈{1}
B 解析：
yllg g6 5llg g7 6llg g7 8llg g8 9llg g 1 9 0llg g 1 5 0log510
的取值范围
错解 ∵函数y=log2 ax2 a1x的14 值域为R，
∴ 对任意实数 ax2+(a-1)x+
1 4
恒0 成立．
a=0时不成立
若a≠0时，则
a
即00
a 0 (a 1)2 a 0
解得 3 5 a3 5
2
2
错解分析 ∵函数y=log2 ax2 a1x的14值域为R， ∴(0，+∞)必须是u=ax2+(a-1)x+ 值14 域的子集．
值域：
R
过定点
(1,0)
当x>1时，__y_>_0__； 当0<x<1时，__y_<_0__
当x>1时，_y_<_0___； 当0<x<1时，_y_>_0___
在(0，+∞)上是 _增__函__数___
在(0，+∞)上是 __减__函__数__
函数y=logax与y=logx的图象关于__x轴____对称
∴log55＜log510＜log552， ∴1＜log510＜2，∴y∈(1,2)．
经典例题
题型一 对数的运算
【例1】 求下列各式的值．
(1)已知lg x+lg y=2lg(x-2y)，求l o g
高考数学一轮复习7 第7讲 对数与对数函数
第7讲对数与对数函数最新考纲考向预测1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0且a≠1).命题趋势对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择、填空题为主，属中档题.核心素养数学运算、直观想象1．对数概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N(a>0，且a≠1) log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N(a>0且a≠1)运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式log a b＝logcblogca(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论1．换底公式的三个重要结论①log a b ＝1logba ；②log a m b n ＝nm log a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 2．对数函数图象的特点(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限． (2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1a x (a >0且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大． 常见误区1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，要特别注意M >0的条件，当n ∈N *，且n 为偶数时，在无M >0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |.2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a >1及0<a <1进行分类讨论．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝log a x 2与函数y ＝2log a x 是相等函数．( ) (4)若M >N >0，则log a M >log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．log 29·log 34＝( ) A ．14 B ．12 C ．2D ．4解析：选D.原式＝log 232×log 322＝4log 23×log 32＝4×lg 3lg 2×lg 2lg 3＝4. 3．函数y ＝log 2(x ＋1)的图象大致是( )解析：选C.函数y ＝log 2(x ＋1)的图象是把函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函数，故选C.4．(易错题)函数f (x )＝1lg （x ＋1）＋2－x 的定义域为________．解析：由f (x )＝1lg （x ＋1）＋2－x ，得⎩⎨⎧x ＋1>0，lg （x ＋1）≠0，2－x≥0，得x ∈(－1，0)∪(0，2]．答案：(－1，0)∪(0，2]5．(易错题)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或a ＝12.答案：2或12对数式的化简与求值[题组练透]1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B.19 C.18D.16解析：选B.方法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19，故选B.方法三：因为a log 34＝2，所以a 2＝1log34＝log 43，所以4a2＝3，两边同时平方得4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法四：因为a log 34＝2，所以a ＝2log34＝log39log34＝log 49，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法五：令4－a ＝t ，两边同时取对数得log 34－a ＝log 3t ，即a log 34＝－log 3t ＝log 31t ，因为a log 34＝2，所以log 31t ＝2，所以1t ＝32＝9，所以t ＝19，即4－a ＝19，故选B.方法六：令4－a ＝t ，所以－a ＝log 4t ，即a ＝－log 4t ＝log 41t .由a log 34＝2，得a ＝2log34＝log39log34＝log 49，所以log 41t ＝log 49，所以1t ＝9，t ＝19，即4－a ＝19，故选B. 2．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12. 答案：12 3．计算：(1)⎝⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12；(2)（1－log63）2＋log6 2·log618log64.解：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．对数函数的图象及应用(1)若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为____________．【解析】 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a >1，则y ＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象大致为选项B.(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ， 当a >1时不满足条件， 当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知，只需两图象在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点即可，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2≥log a 12，则a ≤22， 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22.【答案】 (1)B (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )解析：选 C.函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；函数y ＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.选C.对数函数的性质及应用 角度一 比较对数值的大小(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b【解析】 因为23<32，所以2<323，所以log 32<log 3323＝23，所以a <c .因为33>52，所以3>523，所以log 53>log 5523＝23，所以b >c ，所以a <c <b ，故选A.【答案】 A比较对数值的大小的方法角度二 解简单的对数不等式或方程(1)已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3x ，则满足不等式f (x )>0的x的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12（－x ），x<0，若f (a )<f (－a )，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意知y ＝f (x )的图象如图所示，所以满足f (x )>0的x 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．(2)由f (a )<f (－a )得⎩⎨⎧a>0，log2a<log 12a 或⎩⎨⎧a<0，log2（－a ）>log 12（－a ），即⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a<－log2a 或 ⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log2（－a ）>－log2（－a ），解得0<a <1或a <－1. 【答案】 (1)(－1，0)∪(1，＋∞)(2)(－∞，－1)∪(0，1)解对数不等式的函数及方法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式． 角度三 对数型函数的综合问题(1)(多选)已知函数f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )，则( ) A ．f (x )在(2，6)上单调递增 B ．f (x )在(2，6)上的最大值为2ln 2 C ．f (x )在(2，6)上单调递减D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)【解析】 (1)f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2，6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2，6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．【答案】 (1)BD (2)A解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．已知函数f (x )＝log 2(1＋2－x )，则函数f (x )的值域是( ) A ．[0，2) B ．(0，＋∞) C ．(0，2)D ．[0，＋∞)解析：选B.f (x )＝log 2(1＋2－x )，因为1＋2－x >1，所以log 2(1＋2－x )>0，所以函数f (x )的值域是(0，＋∞)，故选B.2．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)________f (a ＋1)．(填“<”“＝”或“>”)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，所以a ＋1>2.因为f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)<f (a ＋1)．答案：<3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上单调递增， 则y ＝ax 2－x 在[3，4]上单调递增， 且y ＝ax 2－x >0恒成立， 即⎩⎨⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞思想方法系列5 换元法的应用换元法又称变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将题目变为熟悉的形式，简化复杂的计算和推证．若x ，y ，z ∈R ＋，且3x ＝4y ＝12z ，x ＋yz ∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则n 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 设3x ＝4y ＝12z ＝t (t >1)， 则x ＝log 3t ，y ＝log 4t ，z ＝log 12t ， 所以x ＋y z ＝log3t ＋log4t log12t ＝log3t log12t ＋log4t log12t ＝log 312＋log 412 ＝2＋log 34＋log 43.因为1<log 34<2，0<log 43<1， 所以1<log 34＋log 43<3.又log 34＋log 43>2log34·log43＝2， 所以4<2＋log 34＋log 43<5， 即x ＋yz ∈(4，5)． 所以n ＝4. 【答案】 C换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中再研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于研究指数型、对数型函数的性质、三角函数式的化简求值、解析几何中计算等．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.答案：－14[A 级 基础练]1．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n ＝( ) A ．3 B ．34 C ．9D ．92解析：选D.因为log a 12＝m ，log a 3＝n ，所以a m ＝12，a n ＝3. 所以a m ＋2n ＝a m ·a 2n ＝a m ·(a n )2＝12×32＝92.2．函数y ＝log3（2x －1）＋1的定义域是( ) A ．[1，2]B ．[1，2)C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧log3（2x －1）＋1≥0，2x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log3（2x －1）≥log 313，x>12，解得x ≥23.故选C.3．(2021·河北九校第二次联考)设a ＝4－12，b ＝log 1213，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B.a ＝4－12＝1412＝12，b ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，c ＝log 32>log 33＝12，且c ＝log 32<log 33＝1，即12<c <1，所以a <c <b ，故选B.4.(多选)在同一平面直角坐标系中，f (x )＝kx ＋b 与g (x )＝log b x 的图象如图，则下列关系不正确的是( )A ．k ＜0，0＜b ＜1B ．k ＞0，b ＞1C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x g (1)＞0(x ＞0)D ．x ＞1时，f (x )－g (x )＞0解析：选ABC.由直线方程可知，k ＞0，0＜b ＜1，故A ，B 不正确；而g (1)＝0，故C 不正确；而当x ＞1时，g (x )＜0，f (x )＞0，所以f (x )－g (x )＞0.所以D 正确．5．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的为( )A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1，1)上单调递增解析：选BC.函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称， 所以f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数， 所以A 错误，B 正确； 根据偶函数性质可知D 错误；因为1－|x |≤1，所以h (x )≤log 21＝0，故C 正确． 6．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________．解析：因为2a ＝5b ＝m >0，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log2m ＋1log5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.所以m 2＝10， 所以m ＝10. 答案：107．(2021·贵州教学质量测评改编)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________；若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________．解析：令x ＋3＝1可得x ＝－2，此时y ＝log a 1－89＝－89，可知定点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－89.点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，故－89＝3－2＋b ，解得b ＝－1.所以f (x )＝3x －1，则f (log 32)＝3log 32－1＝2－1＝1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－89 18．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋b ，x>1，ex －2，x≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________．解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2，x>1，ex －2，x≤1.当x >1时，y ＝ln x ＋2>2；当x ≤1时，y ＝e x －2∈(－2，e －2]．故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞)．答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞) 9．已知函数f (x －3)＝log a x6－x (a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u 3－u(a >0，a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x3－x (a >0，a ≠1，－3<x <3)．(2)f (x )是奇函数，理由如下：因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，又定义域(－3，3)关于原点对称． 所以f (x )是奇函数．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x>0，3－x>0，得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 级 综合练]11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.12．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log2（x －1），x>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x≤1，则()A ．若f (a )＝1，则a ＝0B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0202 019＝2 019C ．若f (f (a ))＝2－f (a )，则0≤a ≤3D ．若方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则k ≥1解析：选BC.由f (a )＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a>1，log2（a －1）＝1或⎩⎨⎧a≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝1，解得a ＝3或a ＝0，故选项A 不正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0202 019＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log212 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log212 019＝2log 22 019＝2 019，选项B 正确；f (f (a ))＝2－f (a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12f （a ），所以f (a )≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧a>1，log2（a －1）≤1或⎩⎨⎧a≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ≤1，解得0≤a ≤3，选项C 正确；作出函数f (x )的图象(如图)，结合函数图象可知，当方程f (x )＝k 有两个不同的实数根时，k ≥12，选项D 不正确．13．已知函数f (x )＝－log 2x ，则下列四个结论中正确的是________．(填序号) ①函数f (|x |)为偶函数；②若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1；③函数f (－x 2＋2x )在(1，3)上单调递增．解析：对于①，f (|x |)＝－log 2|x |，f (|－x |)＝－log 2|－x |＝－log 2|x |＝f (|x |)，所以函数f (|x |)为偶函数，故①正确；对于②，若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则f (a )＝|f (b )|＝－f (b )，即－log 2a ＝log 2b ，即log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝0，得到ab ＝1，故②正确；对于③，函数f (－x 2＋2x )＝－log 2(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，所以函数f (－x 2＋2x )的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故③错误．答案：①②14．已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围．解：(1)因为函数f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，求得a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数． 所以a ＝0为所求．(2)因为函数f (x )的定义域是一切实数， 所以12x ＋a >0恒成立．即a >－12x 恒成立， 由于－12x ∈(－∞，0)， 故只要a ≥0即可．(3)由已知得函数f (x )是减函数．故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2⇒⎩⎨⎧a ＋12>0，a ＋1≥4a ＋2.故－12<a ≤－13.[C 级 创新练]15．形如y ＝1|x|－1的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数f (x )＝log a (x 2＋x ＋1)(a >0，a ≠1)有最小值，则“囧函数”与函数y ＝log a |x |的图象的交点个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选 C.令u ＝x 2＋x ＋1，则函数f (x )＝log a u (a >0，a ≠1)有最小值．因为u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，所以当函数f (x )是增函数时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上有最小值；当函数f (x )是减函数时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上无最小值．所以a >1，此时“囧函数”y ＝1|x|－1与函数y ＝log a |x |在同一平面直角坐标系内的图象如图，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.故选C.16．我们知道，互为反函数的指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称；而所有偶函数的图象都关于y 轴对称．现在我们定义：如果函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，即已知函数f (x )的定义域为D ，∀x ∈D ，若y ＝f (x )，x ＝f (y )也成立，则称函数f (x )为“自反函数”．显然斜率为－1的一次函数f (x )＝－x ＋b 都是“自反函数”，它们都是单调递减的函数．你认为是否还存在其他的“自反函数”？如果有，请举例说明，并对该“自反函数”的基本性质提出一些猜想；如果没有，请说明理由．解：有．举例如下：根据“自反函数”的定义，函数f (x )＝kx (k ≠0)是“自反函数”．“自反函数”f (x )＝kx (k ≠0)的定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当k >0时，f (x )＝k x 在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数；当k <0时，f (x )＝kx 在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数；f (x )＝kx (k ≠0)是奇函数，但不是周期函数．。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第二章 第七节 对数与对数函数 Word版含答案
第七节对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式．其中常用对数：log10N⇔lg N；自然对数：log e N⇔lnN性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N❶log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N运算法则❷log a(M·N)＝log a M＋log a Na＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式换底公式：log a b＝log c blog c a(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)图象❸a＞10＜a＜1图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的性质定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0谨记运算法则有关口诀积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.①对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．②在直线x ＝1的右侧，当a ＞1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0＜a ＜1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．③函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图象关于x 轴对称.[熟记常用结论]1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a；(2)log am b n ＝n m log a b .其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ≠0，n ∈R.2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (2)log 2x 2＝2log 2x .( ) (3)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(4)若MN ＞0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、选填题1．函数y ＝lg|x |( )A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：选B y ＝lg|x |是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．2．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B.3．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为______．解析：要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －3＞0，log 0.5(4x －3)≥0，解得34＜x ≤1.答案：⎝⎛⎦⎤34，14．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________．解析：当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)． 答案：(2,2)5．计算：log 23·log 34＋(3)log 34＝________. 解析：log 23·log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋312log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4. 答案：4考点一 对数式的化简与求值[基础自学过关][题组练透]1．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m＋n的值为________．解析：由已知得a 2m ＋n ＝a 2log a 2＋log a 3＝a log a 4＋log a 3＝a log a 12＝12. 答案：122．已知log 189＝a,18b ＝5，则log 3645＝________(用关于a ，b 的式子表示)． 解析：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，又log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)1＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b2－a.答案：a＋b 2－a3．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)(lg 3)2－lg 9＋1·(lg27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1·⎝⎛⎭⎫32lg 3＋3lg 2－32 (lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝(1－lg 3)·32(lg 3＋2lg 2－1)(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝－32.(3)原式＝log32·log43＋log32·log83＋log92·log43＋log92·log83＝lg 2lg 3·lg 32lg 2＋lg 2lg 3·lg 33lg 2＋lg 22lg 3·lg 32lg 2＋lg 22lg 3·lg 33lg 2＝12＋13＋14＋16＝54.[名师微点]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.考点二对数函数的图象及应用[师生共研过关][典例精析][例1](2019·合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为()[解析] 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2＜x ＜2}，且f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D.由对数函数的单调性及函数y ＝2－|x |的单调性知A 正确．[答案] A[例2] 当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 易知0＜a ＜1，函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图，则由题意可知只需满足log a 12＞412，解得a ＞22，∴22＜a ＜1，故选B. [答案] B [变式发散]1．(变条件)将例2中“4x ＜log a x ”变为“4x ＝log a x 有解”，a 的取值范围为__________． 解析：若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 与函数y ＝log a x 的图象在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点．由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 12≤2，解得0＜a ≤22，即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，22. 答案：⎝⎛⎦⎤0，22 2．(变条件)若例2变为：已知不等式x 2－log a x ＜0对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围为__________．解析：由x 2－log a x ＜0得x 2＜log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2＜log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可． 当a ＞1时，显然不成立；当0＜a ＜1时，如图所示，要使x 2＜log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a ＜1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1. 答案：⎣⎡⎭⎫116，13．(变条件)若例2变为：当0＜x ≤14时，x ＜log a x ，则实数a 的取值范围为________．解析：若x ＜log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14上恒成立，则0＜a ＜1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14＜log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 12＞14，解得116＜a ＜1.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1. 答案：⎝⎛⎭⎫116，1[解题技法](1)识别对数函数图象时，要注意底数a 以1为分界：当a ＞1时，是增函数；当0＜a ＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y 轴为渐近线．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[口诀记忆]对数增减有思路，函数图象看底数；底数只能大于0，等于1来也不行；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(1，0)点.[过关训练]1．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝log a|x|的图象大致是()2．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2＜0 B．x1x2＝0C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1解析：选D作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.考点三对数函数的性质及应用[全析考法过关][考法全析]考法(一)比较对数值的大小[例1]设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a[解析] 因为a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，所以a ＞b ；又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，c ＞0，所以b ＞c .故a ＞b ＞c .[答案] A考法(二) 解简单的对数不等式[例2] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a )， 解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. [答案] C考法(三) 对数函数的综合应用[例3] 若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤43，3B.⎣⎡⎦⎤43，2C.⎣⎡⎭⎫43，2D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞[解析] 由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2，m ＋2≤5，3m －2＜m ＋2，解得43≤m ＜2.[答案] C[规律探求]看个性考法(一)是利用对数函数的单调性比较对数值的大小．常有以下题型及求法：考法(二)是直接考查对数函数的单调性，解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a 的值．考法(三)考查与对数函数有关的复合函数的单调性，解决此类问题有以下三个步骤： (1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性找共性无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性，变换不同的角度来应用．考法(一)与考法(二)是对数函数单调性的直接应用，利用单调性来比较大小、解不等式；考法(三)是对数函数单调性的迁移应用，根据单调性来求参数的范围，所以弄清对数函数的单调性是解题的关键，并注意有时需对底数字母参数进行讨论 [过关训练]1．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选A ∵a ＞0，∴2a ＞1，∴log 12a ＞1，∴0＜a ＜12.∵b ＞0，∴0＜⎝⎛⎭⎫12b ＜1，∴0＜log 12b ＜1，∴12＜b ＜1. ∵c ＞0，∴⎝⎛⎭⎫12c ＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1. ∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ，故选A.2．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b ＜ab ＜0B ．ab ＜a ＋b ＜0C ．a ＋b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a ＋b解析：选B ∵a ＝log 0.20.3＞log 0.21＝0，b ＝log 20.3＜log 21＝0，∴ab ＜0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3＞log 0.30.4＞log 0.31＝0，∴0＜a ＋bab ＜1，∴ab ＜a ＋b ＜0.3．若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )(a ＞0，且a ≠1)有最小值12，则实数a 的值等于________．解析：令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]． ①若a ＞1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最小值 a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6， 当x ＝6时，取最小值a －6，因此有⎩⎨⎧a ＞1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0＜a ＜1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意．综上，实数a ＝9. 答案：94．(2019·西安模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＞1等价于8－ax ＞a 在[1,2]上恒成立． 即a ＜⎝⎛⎭⎫8x ＋1min ＝83，∴1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＞1等价于0＜8－ax ＜a 在[1,2]上恒成立，即a ＞⎝⎛⎭⎫8x ＋1max 且a ＜⎝⎛⎭⎫8x min .解得a ＞4且a ＜4，故不存在． 综上可知，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83。
2020版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第七节对数与对数函数学案理含解析
高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ：第七节对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a Nlog a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na＞0，且a≠1，M＞0，N＞0log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式换底公式：log a b＝log c blog c a(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0) y＝log a x a＞10＜a＜1图象性质定义域为(0，＋∞)值域为R过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；在区间(0，＋∞)上是增函数在区间(0，＋∞)上是减函数3．反函数指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．[小题体验]1．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是______(填序号)．答案：②2．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a ＞0，且a ≠1)的图象必过定点________． 答案：(－1，－2)3．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 4．(1)2log 323－log 3427－31＋log 32＝________；(2)412－(lg 2＋lg 5)＝________.答案：(1)－5 (2)11．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在没有M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围． [小题纠偏]1．函数y ＝log 0.54x －3的定义域为______．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤34，12．函数f (x )＝log (x ＋1)(2x －1)的单调递增区间是______．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 3．已知函数y ＝log a (2－ax )(a ＞0，且a ≠1)在[0,1]上为减函数，则a 的取值范围为________．解析：因为a ＞0，所以g (x )＝2－ax 为减函数，即任取x 1，x 2∈[0,1]，且x 1＜x 2，有g (x 1)＞g (x 2)，又log a g (x 1)＞log a g (x 2)，所以a ＞1.而又因为g (x )＝2－ax 在[0,1]恒大于0，所以2－a ＞0，所以a ＜2，综上，1＜a ＜2.答案：(1,2)考点一 对数式的化简与求值基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．计算：(1)4log 23＝________. (2)log 225·log 34·log 59＝________. 解析：(1)4log 23＝22log 23＝2log 29＝9 (2)原式＝lg 25lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·2lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝8. 答案：(1)9 (2)82．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷10012-＝______.解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg 122·52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－203.12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________. 解析：12lg 3249 －43lg 8＋lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43·12·3lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝12(lg 2＋lg 5)＝12. 答案：12[谨记通法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．考点二 对数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·苏北三市三模)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x (a ＞1)的图象上，则实数a 的值为________．解析：设C (x 0，log a x 0)，则2log a x B ＝log a x 0， 即 x 2B ＝x 0，解得x B ＝ x 0，故x C －x B ＝x 0－x 0＝2，解得 x 0＝4， 即B (2,2log a 2)，A (2,3log a 2)，由AB ＝2，可得3log a 2－2log a 2＝2，解得a ＝ 2. 答案： 22．若不等式log a x ＞(x －1)2恰有三个整数解，则a 的取值范围为________． 解析：由不等式log a x ＞(x －1)2恰有三个整数解，得a ＞1.在同一直角坐标系中画出y ＝log a x (a ＞1)与y ＝(x －1)2的图象，可知不等式的整数解集为{2,3,4}，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧log a 4＞4－12，log a 5≤5－12，解得165≤a ＜94. 答案：[165，94)[由题悟法]研究对数型函数图象的思路(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1或0＜a ＜1这两种不同情况．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[即时应用](2018·常州一中模拟)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0＜a ＜b . (1)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：ab ＝1； (2)在(1)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.证明：(1)结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1， ＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，即lg ab ＝0. 故ab ＝1.(2)因为0＜a ＜b ， 所以a ＋b2＞ab ＝1.由已知可得b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0，g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ，因为g (3)＜0，g (4)＞0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.考点三 对数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．常见的命题角度有： (1)比较对数值的大小； (2)简单的对数不等式；(3)对数函数性质的综合问题．[题点全练]角度一：比较对数值的大小1．已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为________(用“＞”表示)．解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26， 所以b ＞a ＞c . 答案：b ＞a ＞c角度二：简单的对数不等式2．(2018·启东联考)已知一元二次不等式f (x )＞0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，则 f (lg x )＜0的解集为________．解析：因为一元二次不等式f (x )＞0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以一元二次不等式f (x )＜0的解集为(1,2)，由f (lg x )＜0可得1＜lg x ＜2，从而解得10＜x ＜100，所以不等式的解集为(10,100)．答案：(10,100)角度三：对数函数性质的综合问题3．(2019·盐城中学第一次检测)已知函数f (x )＝lg(2＋x )＋lg(2－x )．(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)记函数g (x )＝10f (x )＋3x ，求函数g (x )的值域；(3)若不等式f (x )＞m 有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵函数f (x )＝lg(2＋x )＋lg(2－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＞0，2－x ＞0，解得－2＜x ＜2.∴函数f (x )的定义域为(－2,2)． ∵f (－x )＝lg(2－x )＋lg(2＋x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)∵f (x )＝lg(2＋x )＋lg(2－x )＝lg(4－x 2)， ∴g (x )＝10f (x )＋3x ＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254(－2＜x ＜2)，∴g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝254，g (x )min ＝g (－2)＝－6.∴函数g (x )的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－6，254. (3)∵不等式f (x )＞m 有解，∴m ＜f (x )max ， 令t ＝4－x 2，由于－2＜x ＜2，∴0＜t ≤4， ∴m ＜lg 4.∴实数m 的取值范围为(－∞，lg 4)．[通法在握]1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2．比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．[演练冲关]1．(2019·苏州模拟)已知函数f (x )＝log a x 2＋a |x |(a ＞0，且a ≠1)，若f (－3)＜f (4)，则不等式f (x 2－3x )＜f (4)的解集为________．解析：易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝log a x 2＋a |x |＝f (x )，∴f (x )在定义域上为偶函数，∴f (－3)＝f (3)． ∵f (－3)＜f (4)，∴f (3)＜f (4)，∴a ＞1，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．故不等式f (x 2－3x )＜f (4)满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ≠0，|x 2－3x |＜4，解得－1＜x ＜4，且x ≠0，x ≠3.故不等式f (x 2－3x )＜f (4)的解集为(－1,0)∪(0,3)∪(3,4)． 答案：(－1,0)∪(0,3)∪(3,4) 2．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12，使f (x )的最小值为0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·淮安调研)函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为________． 解析：由3x －1＞0，解得x ＞13，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞2．函数f (x )＝log 3(x 2－2x ＋10)的值域为________．解析：令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9≥9，故函数f (x )可化为y ＝log 3t ，t ≥9，此函数是一个增函数，其最小值为log 39＝2，故f (x )的值域为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞) 3．计算log 23log 34＋(3)3log 4log 34＝________.解析：log 23 log 34＋(3)3log 4＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋331log 42＝2＋3log 32＝2＋2＝4. 答案：44．(2019·长沙调研)已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________.解析：∵函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，将x ＝－2，y ＝－1代入f (x )＝3x ＋b ，得3－2＋b ＝－1，∴b ＝－109，∴f (x )＝3x －109，则f (log 32)＝3log 32－109＝2－109＝89.答案：895．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．解析：当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4. 因为f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当a ＞1时，3＋log a x ＞3＋log a 2≥4，所以log a 2≥1，所以1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，3＋log a x ＜3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]． 答案：(1,2]6．(2018·镇江期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )＜0的解集是________．解析：当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )＜0，即log 2(－x )－1＜0，解得－2＜x ＜0；当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )＜0，即1－log 2x ＜0，解得x ＞2，综上，不等式f (x )＜0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·镇江中学调研)函数y ＝log 2x ＋log 2(4－x )的值域为________． 解析：由题意知，x ＞0且4－x ＞0，∴f (x )的定义域是(0,4)． ∵函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )＝log 2[x (4－x )]，∴0＜x (4－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋4－x 22＝4，当且仅当x ＝2时等号成立．∴log 2[x (4－x )]≤2，∴函数y ＝log 2x ＋log 2(4－x )的值域为(－∞，2]． 答案：(－∞，2]2．(2018·镇江中学学情调研)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则实数a 的值为________．解析：因为函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，所以当x ＞12时，1－a 2x ＞0，即a2x＜1，所以a ＜2x，所以x ＞log 2a .令log 2a ＝12，得a ＝212＝2，所以实数a 的值为 2. 答案： 23．若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)．答案：[1,2)4．(2019·连云港模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝________.解析：因为f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为－1＜x ＜1，所以f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (－a )＝－f (a )＝－12.答案：－125．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x ＞2且x ≠3，故函数定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：(2,3)∪(3,4]6．(2018·苏州调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x ≤2，log a x ＋5，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，f (x )∈[6，＋∞)，所以当x ＞2时，f (x )的取值集合A ⊆[6，＋∞)．当0＜a ＜1时，A ＝()－∞，log a 2＋5，不符合题意；当a ＞1时，A ＝(log a 2＋5，＋∞)，若A ⊆[6，＋∞)，则有log a 2＋5≥6，解得1＜a ≤2.答案：(1,2]7．函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－148．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12－x ，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12－a ＞log 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2－a ＞log 2－a .解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12－x ，x ＜0. (2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5，即不等式的解集为(－5，5)．10．(2019·如东上学期第一次阶段检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)若不等式f (x )≤c 恒成立，求实数c 的取值范围．解：(1)因为f (1)＝2，所以2log a 2＝2，故a ＝2，所以f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )，要使函数f (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞0，3－x ＞0，解得－1＜x ＜3，所以f (x )的定义域为(－1,3)．(2)由(1)知，f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2(－x 2＋2x ＋3)＝log 2[－(x －1)2＋4]，故当x ＝1时，f (x )有最大值2，所以c 的取值范围是[2，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南京五校联考)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x ＜0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )，若函数f (x )图象上存在点P 与函数g (x )图象上的点Q 关于y 轴对称，则a 的取值范围是________．解析：设点P (x 0，y 0)(x 0＜0)，则点P 关于y 轴的对称点Q(－x 0，y 0)在函数g (x )的图象上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 20＋e x 0－12，y 0＝－x 02＋ln －x 0＋a ，消去y 0，可得x 20＋e x 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a )， 所以e x 0－12＝ln(－x 0＋a )(x 0＜0)． 令m (x )＝e x －12(x ＜0)，n (x )＝ln(a －x )(x ＜0)，问题转化为函数m (x )与函数n (x )的图象在x ＜0时有交点．在平面直角坐标系中分别作出函数m (x )与函数n (x )的图象如图所示．当n (x )＝ln(a －x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，a ＝ e. 由图可知，当a ＜e 时，函数m (x )与函数n (x )的图象在x ＜0时有交点．故a 的取值范围为(－∞，e)．答案：(－∞，e)2．(2018·昆山测试)已知函数f (x )＝lgkx －1x －1(k ∈R)． (1)当k ＝0时，求函数f (x )的值域；(2)当k ＞0时，求函数f (x )的定义域；(3)若函数f (x )在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k 的取值范围．解：(1)当k ＝0时，f (x )＝lg 11－x，定义域为(－∞，1)． 因为函数y ＝11－x(x ＜1)的值域为(0，＋∞)， 所以f (x )＝lg 11－x的值域为R. (2)因为k ＞0，所以关于x 的不等式kx －1x －1＞0⇔(x －1)(kx －1)＞0⇔(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k ＞0.(*)①若0＜k ＜1，则1k ＞1，不等式(*)的解为x ＜1或x ＞1k；②若k ＝1，则不等式(*)即(x －1)2＞0，其解为x ≠1；③若k ＞1，则1k ＜1，不等式(*)的解为x ＜1k 或x ＞1.综上，当0＜k ≤1时，函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞；当k ＞1时，函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1k ∪(1，＋∞)．(3)令g (x )＝kx －1x －1，则f (x )＝lg g (x )．因为函数f (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数10＞1，所以当x ∈[10，＋∞)时，g (x )＞0，且函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数． 而g (x )＝kx －1x －1＝k x －1＋k －1x －1＝k ＋k －1x －1，若k －1≥0，则函数g (x )在[10，＋∞)上不是单调增函数；若k －1＜0，则函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数．所以k ＜1.①因为函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，所以要使当x ∈[10，＋∞)时，g (x )＞0，必须g (10)＞0，即10k －110－1＞0，解得k ＞110.②综合①②知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1.。
(江苏专版)高考数学一轮复习第二章第7讲对数与对数函数分层演练直击高考文
第7讲 对数与对数函数1．函数y ＝1－lg （x ＋2）的定义域为________．[解析] 由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg （x ＋2）的定义域为(－2，8]．[答案] (－2，8]2．lg 2＋lg 5＋20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5132×35＝________．解析：lg 2＋lg 5＋20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5132×35＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1323．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 2x ，x >0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为________．[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝3－3＝127.[答案] 1274．(2018·江西省高安二调改编)若0<x <y <1，则下列正确的序号是________． ①log x 3<log y 3；②3y<3x；③log 4x <log 4y ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y. [解析] 根据函数的性质，可知log x 3>log y 3，3y>3x，log 4x <log 4y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，故③正确．[答案] ③5．对任意的非零实数a ，b ，若a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ，a <b ，a ＋1b ，a ≥b ，则lg 10 000⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝________．[解析] 因为lg 10 000＝lg 104＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，所以lg 10 000⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4＋14＝54.[答案] 546．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为________．[解析] 当a >1时，a 2＋1>2×a ×1＝2a ＝a ＋a >a －1>0，因此有log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即有m >p >n .[答案] m >p >n7．(2018·常州模拟)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．答案：[1，2)8．函数f (x )＝lg(4x－2x ＋1＋11)的最小值是________．[解析] 令2x＝t ，t ＞0，则4x－2x ＋1＋11＝t 2－2t ＋11≥10，所以lg(4x －2x ＋1＋11)≥1，即所求最小值为1.[答案] 19．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．[解析] 作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图， 令|log a x |＝1. 得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a＝（1－a ）（a －1）a＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.[答案] 2310．(2018·瑞安四校联考改编)函数f (x )＝log 12|x －1|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f (0)，f (3)的大小关系为________． [解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)．[答案] f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0) 11．设函数y ＝f (x )且lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )． (1)求f (x )的解析式及定义域； (2)求f (x )的值域； (3)讨论f (x )的单调性．[解] (1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，所以lg y ＝3x ·(3－x )，且⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0，⇒0<x <3.所以f (x )＝103x (3－x )，x ∈(0，3)． (2)因为f (x )＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274，则f (x )＝10u，当x ＝32∈(0，3)时，u max＝274， 所以u ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，274.所以f (x )∈(1，10274]．(3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274是增函数， 而y ＝10u为增函数，所以在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32上，f (x )是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3上，f (x )是减函数．12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)＞－2.[解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12（－x ），x ＜0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．1．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．[解析] 令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 128＝－3.[答案] (－∞，－3]2．(2018·无锡质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧41－x，x ≤1，1－log 14x ，x >1，则满足不等式f (x )≤2的实数x的取值集合为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，41－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 14x ≤2，解得12≤x ≤1或1<x ≤4，即实数x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤4.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤43．当x ∈[n ，n ＋1)，(n ∈N )时，f (x )＝n －2，则方程f (x )＝log 2x 根的个数是________．[解析] 当n ＝0时，x ∈[0，1)，f (x )＝－2； 当n ＝1时，x ∈[1，2)，f (x )＝－1； 当n ＝2时，x ∈[2，3)，f (x )＝0； 当n ＝3时，x ∈[3，4)，f (x )＝1； 当n ＝4时，x ∈[4，5)，f (x )＝2； 当n ＝5时，x ∈[5，6)，f (x )＝3. [答案] 24．已知函数f (x )＝log 2x －2log 2(x ＋c )，其中c >0，若对任意x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1，则c 的取值范围是________．[解析] 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧c >0，x（x ＋c ）2≤2在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 即2x 2＋(4c －1)x ＋2c 2≥0(c >0)在x ∈(0，＋∞)上恒成立． 若－4c －14≤0，即c ≥14，则2c 2>0，所以c ≥14.若c <14，则Δ＝(4c －1)2－16c 2≤0⇒c ≥18，所以18≤c <14，综上可得c ≥18.[答案] c ≥185．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中x >0，a >0.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax>0.因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0. 当a >1时，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0<a <1时，定义域为(0，1－1－a )∪(1＋1－a ，＋∞)． (2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， 即a >－x 2＋3x 对x ∈[2，＋∞)恒成立，记h (x )＝－x 2＋3x ，x ∈[2，＋∞)，则只需a >h (x )max .而h (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，故a >2.6．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．[解] (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]． 故函数h (x )的值域为[0，2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0，2]时，k <（3－4t ）（3－t ）t 恒成立，即k <4t ＋9t－15恒成立，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3，即k ∈(－∞，－3)．。
(课标通用)2020版高考数学大一轮复习 第二章 7 第七节 对数与对数函数精练 理
第七节 对数与对数函数A 组 基础题组1.函数f(x)=√1-2x 的定义域是( )A.(-3,0)B.(-3,0]C.(-∞,-3)∪(0,+∞)D.(-∞,-3)∪(-3,0) 答案 A 因为f(x)=√1-2x,所以要使函数f(x)有意义,需使{x +3>0,1-2x >0,即-3<x<0.2.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a ≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( ) A.log 2x B.12x C .lo g 12x D.2x-2答案 A 由题意知f(x)=log a x(x>0).∵f(2)=1,∴log a 2=1.∴a=2.∴f(x)=log 2x. 3.若xlog 23=1,则3x+3-x=( ) A.53 B.52 C.32 D.23答案 B 因为xlog 23=1,所以log 23x=1,所以3x=2,3-x=12,所以3x +3-x=2+12=52.故选B.4.定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(-x),当x ∈(0,12]时,f(x)=log 2(x+1),则f(x)在区间(1,32)上是( ) A.减函数且f(x)>0 B.减函数且f(x)<0 C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0答案 B 因为f(x)是R 上的奇函数, 所以f(x+1)=f(-x)=-f(x). 当x ∈(1,32)时,x-1∈(0,12),所以f(x)=-f(x-1)=-log 2x,所以f(x)在区间(1,32)内是减函数且f(x)<0. 5.(2019湖北黄石模拟)定义a ·b={x ·x ,x ·x ≥0,xx,a·b <0,设函数f(x)=lnx ·x,则f(2)+f (12)=( )A.4ln2B.-4ln2C.2D.0答案 D 2×ln2>0,所以f(2)=2×ln2=2ln2.因为12×ln 12<0,所以f (12)=ln1212=-2ln2,则f(2)+f (12)=2ln2-2ln2=0.6.已知a>0且a ≠1,函数y=log a (2x-3)+√2的图象恒过点P.若点P 也在幂函数f(x)的图象上,则f(x)= . 答案 x 12解析 函数y=log a (2x-3)+√2的图象恒过点P(2,√2).设幂函数为f(x)=x α,因为点P 也在f(x)的图象上,所以2α=√2,所以α=12,故幂函数为f(x)=x 12.7.函数y=log 2|x+1|的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . 答案 (-∞,-1);(-1,+∞)解析 作出函数y=log 2x 的图象,再作出其关于y 轴对称的图象即可得到函数y=log 2|x|的图象,再将y=log 2|x|的图象向左平移1个单位长度,就得到函数y=log 2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数y=log 2|x+1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).8.已知函数f(x)={log 2x,x >0,3x ,x ≤0,且关于x 的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是 . 答案 (1,+∞)解析 如图,在同一直角坐标系中作出y=f(x)与y=-x+a 的图象,其中a 表示直线y=-x+a 在y 轴上的截距,由图可知,当a>1时,直线y=-x+a 与函数f(x)的图象只有一个交点.9.计算:(1)lg 37+lg70-lg3-√(lg3)2-lg9+1;(2)log 3√273·log 5[(412)log 210-(3√3)23-7log 72].解析 (1)原式=lg37×703-√(lg3)2-2lg3+1=lg10-√(lg3-1)2=1-|lg3-1|=lg3.(2)原式=log 33323·log 5[10-(332×23)-7log 72]=(32log 33-log 33)·log 5(10-3-2) =(32-1)·log 55 =12.10.已知函数f(x)=log a (x+1)-log a (1-x),a>0且a ≠1. (1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明. 解析 (1)要使函数f(x)有意义,则{x +1>0,1-x >0,解得-1<x<1. 故所求函数f(x)的定义域为(-1,1). (2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=log a (-x+1)-log a (1+x)=-[log a (x+1)-log a (1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.B 组 提升题组1.函数f(x)=log a (ax-3)在[1,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,13) D.(3,+∞)答案 D 由于a>0且a ≠1,所以u=ax-3为增函数,所以若函数f(x)在[1,3]上为增函数,则f(x)=log a u 在[1,3]上必为增函数,所以a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒为正,所以a-3>0,即a>3. 2.若函数f(x)=lo g x 2-1(2x+1)在(-12,0)上恒有f(x)>0,则实数a 的取值范围是 .答案 (-√2,-1)∪(1,√2) 解析 因为x ∈(-12,0),所以2x+1∈(0,1), 且lo g x 2-1(2x+1)>0, 所以0<a 2-1<1,解得-√2<a<-1或1<a<√2,所以实数a 的取值范围是(-√2,-1)∪(1,√2).3.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(0)=0,当x>0时,f(x)=lo g 12x.(1)求函数f(x)的解析式; (2)解不等式f(x 2-1)>-2.解析 (1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=lo g 12(-x).因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=lo g 12(-x),所以函数f(x)的解析式为f(x)={log 12x,x >0,0,x =0,log 12(-x),x <0.(2)因为f(4)=lo g 124=-2,f(x)是偶函数,所以不等式f(x 2-1)>-2可转化为f(|x 2-1|)>f(4). 又因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以|x 2-1|<4,解得-√5<x<√5. 即不等式的解集为(-√5,√5).4.(2019陕西西安联考)已知函数f(x)=log 4(ax 2+2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由. 解析 (1)因为f(1)=1,所以log 4(a+5)=1, 因此a+5=4,a=-1,此时f(x)=log 4(-x 2+2x+3).由-x 2+2x+3>0得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3). 令t=-x 2+2x+3,则t=-x 2+2x+3在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又y=log 4t 在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是(1,3). (2)存在.理由如下:假设存在实数a,使f(x)的最小值为0.令h(x)=ax2+2x+3,则h(x)有最小值1,因此应有{x>0,12x-44x=1,解得a=12.故存在实数a=12,使f(x)的最小值为0.。
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第7讲 对数与对数函数 1．(2016·焦作模拟)设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则a，b，c的大小关系为( ) A．aC．a解析：选B.因为y＝log5x在定义域内是增函数，所以bb.
2．(2016·西安模拟)若函数y＝log2(mx2－2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是( ) A．(0，3) B．[0，3) C．(0，3] D．[0，3] 解析：选B.由题意知mx2－2mx＋3>0恒成立．当m＝0时符合题意；当m≠0时只需
m>0，
Δ＝（－2m）2－12m<0， 解得0综上0≤m<3，故选B. 3．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝
1＋log2（2－x），x<1，
2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12 解析：选C.因为－2<1， 所以 f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. 因为log212>1，
所以 f(log212)＝2log212－1＝122＝6. 所以f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C. 4．(2016·沈阳质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上递增，则( ) A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)解析：选B.因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上递增，所以a>1，f(1)又函数f(x)＝loga|x|为偶函数， 所以f(2)＝f(－2)， 所以f(1)5．已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上递增，则a的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．(0，1)
C.0，13 D．(3，＋∞) 解析：选D.由于a>0，且a≠1，所以u＝ax－3为增函数，所以若函数f(x)为增函数，则y＝logau必为增函数，因此a>1.又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，所以a－3>0，即a>3，故选D. 6．(2015·高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) A．aC．a解析：选B.因为f(x)是偶函数，所以m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由题意得a＝f(log0.53)＝f(－log23)＝f(log23)，因为log25>log23>0，所以f(log25)>f(log23)>f(0)，即b>a>c，故选B.
7．计算lg14－lg 25÷100－12＝________．
解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012
＝lg122·52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－20 8．(2016·云南省师大附中适应性考试)“10a>10b”是“lg a>lg b”的________条件． 解析：当lg a>lg b时，a>b>0，则10a>10b；当10a>10b时，a>b，无法得出lg a>lg b. 答案：必要不充分 9．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________． 解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－
∞，1]上递减，则有g（1）>0，a≥1，即2－a>0，a≥1， 解得1≤a<2，即a∈[1，2)． 答案：[1，2)
10．关于函数f(x)＝lgx2＋1|x|(x≠0)，有下列命题： ①其图像关于y轴对称； ②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数； ③f(x)的最小值是lg 2； ④f(x)在区间(－1，0)、(2，＋∞)上是增函数； ⑤f(x)无最大值，也无最小值． 其中所有正确命题的序号是________．
解析：根据已知条件可知f(x)＝lgx2＋1|x|(x≠0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题③正确；利用复合函数的单调性判定法则可知f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，f(x)为偶函数，故f(x)在(－1，0)上递增，在(－∞，－1)上递减，故命题④正确，命题②错误；函数f(x)有最小值，因此命题⑤错误． 答案：①③④
11．(1)计算：12lg 3249－43lg 8＋lg 245；
(2)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，求m的值． 解：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 ＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. (2)因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m， 所以1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 所以m＝10. 12．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的单调性． 解：(1)由ax－1>0，得ax>1， 当a>1时，x>0；当0所以当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)； 当0(2)当a>1时，设0故0所以loga(ax1－1)故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 类似地，当0综上知，函数f(x)在定义域上递增．
1．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间12，23上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( ) A.13，1 B.13，1 C.23，1 D.23，1 解析：选A.当00，即0<43－a<1，解得131时，函数f(x)在区间12，23上是增函数，所以loga(1－
a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是13，1.
2．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m上的最大值为2，则n＋m＝________． 解析：根据已知函数f(x)＝|log2x|的图
象知，0|log2m2|＝2，又0
所以n＋m＝52. 答案：52 3．(2016·浙江高考调研(一))已知函数f(x)＝lgx＋ax－2，其中x>0，a>0. (1)求函数f(x)的定义域； (2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋ax－2>0，得x2－2x＋ax>0. 因为x>0，所以x2－2x＋a>0. 当a>1时，定义域为(0，＋∞)； 当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)； 当0(2)对任意x∈[2，＋∞)恒有f (x)>0，
即x＋ax－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立， 即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立， 记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max.
而h(x)＝－x2＋3x＝－x－322＋94在[2，＋∞)上是减函数， 所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2. 4．(2016·许昌调研)设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1，2]上有零点，求m的取值范围． 解：法一：令F(x)＝0，即g(x)－f(x)－m＝0. 所以m＝g(x)－f(x) ＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log22x－12x＋1＝log21－22x＋1. 因为1≤x≤2， 所以3≤2x＋1≤5.
所以25≤22x＋1≤23，13≤1－22x＋1≤35.
所以log213≤log21－22x＋1≤log235， 即log213≤m≤log235. 所以m的取值范围是log213，log235. 法二：log2(2x－1)＝m＋log2(2x＋1)， 所以log2(2x－1)＝log2[2m·(2x＋1)]． 所以2x－1＝2m·(2x＋1)．
所以2x(1－2m)＝2m＋1，2x＝2m＋11－2m.
即x＝log22m＋11－2m. 因为1≤x≤2， 所以1≤log22m＋11－2m≤2.
所以2≤2m＋11－2m≤4， 解得13≤2m≤35， 即log213≤m≤log235. 所以m的取值范围是log213，log235.