纠错编码引论-008
纠错编码
在中,为提高信息传输可靠性,广泛使用了具有一定纠错能力的信道编码技术,如奇偶校验码、行列监督码、恒比码、汉明码、()等编码技术。
这些编码技术因其比较简单,其检错、纠错能力都不是很强,无法满足系统中高可靠传输的性能要求,必须采用高性能的强纠错编码技术。
下面介绍几种高性能强纠错编码技术：1里德- 索罗门码( - Solomon)里德-索罗门码,简称RS码,是一种重要的线性分组编码方式,对突发性错误有较强的纠错能力。
该编码技术是利用创造的伽罗华域(Galois Field)中的数学关系来把传送数据包的每个字节映射成伽罗华域中的一个元素(又称符号) ,每个数据包都按码生成多项式为若干个字节的监督校验字节,组成RS的误码保护包,接收端则按校验矩阵来校验接收到的误码保护包是否有错,有错时则在错误允许的范围内纠错。
RS纠错编码具有很强的纠正突发误码的能力。
为了纠正一个错误,要2个符号的检测码,一个用来确定位置,一个用来纠错。
一般来说纠t个错误需要2t个检验符,这时要计算2t个等式,确定t个位置和纠t个错。
能纠t个符号的RS码生成多项式为: g ( x) = ( x + a0 ) ( x + a1 ) ( x + a2) …( x + a2t - 1 ) 。
2(Convolution codes)卷积码是一种非分组编码,适用于前向纠错法。
在许多实际情况下,卷积码的性能常优于分组式编码。
卷积编码是将信息序列以k个码元分段,通过编码器输出长为n的一个码段。
卷积码的监督码元并不实行分组监督,每一个监督码元都要对前后的信息单元起监督作用,整个编解码过程也是一环扣一环,连锁地进行下去。
卷积编码后的n个码元不仅与本段的信息元有关,而且也与其前N - 1段信息有关,故也称连环码,编码过程中互相关联的码元个数为nN。
卷积编码的结构是:“信息码元、监督码元、信息码元、监督码元…”。
在解码过程中,首先将接收到的信息码与监督码分离,由接收到的信息码再生监督码,这个过程与编码器相同;再将此再生监督码与接收到的监督码比较,判断有无差错,并纠正这些差错。
通信系统中的纠错编码技术研究
通信系统中的纠错编码技术研究现代通信技术的发展，已经让人们可以在不同时间和地点之间，通过各种数字化通信产品进行交流。
但是，由于客观条件的限制，通信系统中存在很多因素可能导致接收到的信息出现错误，这会给信息交流带来很大的问题。
在通信领域中，人们采用的一种重要技术就是纠错编码。
这种技术能够通过特定的编码方式，在数字信号传输过程中，检测和修正信号中的错误信息。
纠错编码技术是通过添加一定量的冗余信息来实现的。
这些冗余信息可以用来检测或修正传输过程中出现的任何错误。
通信系统的纠错编码技术可以分为两大类: 码和卷积码。
我们将逐一介绍它们。
纠错码纠错码（Error-Correcting Code）是指能够在数据传输中自动检查出并纠正错误的编码。
按照不同运算规则和检测能力的不同，纠错码可以分为循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Check 简称CRC）、海明码、RS码、Reed-Solomon码等。
其中，海明码是目前广泛应用的一种纠错编码技术，尤其在数据传输和数字储存中有着广泛的应用。
海明码有两个重要概念: 指数位和检验位。
指数位采用二进制编码来表示数据块中的数据位数量，并在其高位添加冗余位，通常表示为n，表示数据块中有2 ^ n - 1 个数据位；检验位（或校验码）是结合指数位而产生的。
海明码既可以实现单比特的纠错，也可以实现多比特的纠错。
卷积码卷积码（Convolutional Code）是一种精巧的数字信号处理技术，是一种频域编码和频域解码技术，被广泛应用于数字通信中。
包括螺旋码（FIR）和循环码（CR）等。
卷积码的编码原理是将信息比特输入到一个移位寄存器中，依照一个已知的多项式进行移位寄存器的运算，将运算结果作为输出进行传输。
同时，为了能够纠正传输过程中出现的错误，卷积码在传输数据时，植入了特定的校验位，用于在接收端进行纠错。
在通信系统中，卷积码的应用最广泛的是Viterbi解码器。
Viterbi解码器是一种非常高效的纠错解码算法，它可以在紧凑的硬件结构下实现对高速数字通信数据流的解码，因此，Viterbi解码器成为了卷积码解码的重要工具。
第9章 信道(纠错)编码
检错与纠错原理
• 检错、纠错的目的是要根据信道接收端接收 到的信息序列 R 来判断 R 是否就是发送的序 列，如果有错则尽可能纠正其中的错误。 • 要纠正传输差错，首先必须检测出错误。而 要检测出错误，常用的方法是将发送端要传 送的信息序列(常为二进制序列)中截取出长度 相等的码元进行分组，每组长度为k，组成k 位码元信息序列 M 并根据某种编码算法以 一定的规则在每个信息组的后面产生 r 个冗 余码元，由冗余码元和信息码元一起形成 n k r ，因而纠错 C 有 n 位编码序列 “ 编码是冗余编码，如图6.1所示。
9.3.1 线性分组码的基本概念
• 定义：对信源编码器输出的二进制序列进行分
组，设分组长度为 k ，相应的码字表示为： 信道编码(纠错编码)的目的是将信息码字 M 进行 变换，使其成为以下形式：
M (mk , m2 ,
C (cn
, m1 )
c2c1 )
其中： n k ，我们称全体码字 C 的集合为分 组码。若由 M 到 C 之间的变换为线性变换， 则称全体码字 C 的集合为线性分组码，常用 线性分组码 ( n, k ) 表示全体码字 C 的集合.
• 所以，奇偶校验方式只能检测出位 代码中出现的任意奇数个错误，如 果代码中错码数为偶数个，则奇偶 校验不能奏效。由于奇偶校验码容 易实现，所以当信道干扰不太严重 以及码长不很长时很有用，特别是 在计算机通信网的数据传送中经常 应用这种检错码。
9.3
线性分组码
• 线性分组码是纠错码中非常重要的一 类码，虽然对于同样码长的非线性码 来说线性码可用码字较少，但由于线 性码的编码和译码容易实现，而且是 讨论其他各类码的基础，至今仍是广 泛应用的一类码。
• 例1 设信源编码器输出的信息序列 为 M (mk m2m1 ) ，其中 mi (1 i k ) 是二进制 数。信道编码器输出的码字 C (cn c2c1 ) ， 其中 ci (1 i n, n k ) 也是二进制数。若从 M 到 C 的变换规则为： c m
第二节 纠错编码原理
第二节 纠错编码原理一、纠错编码的原理一般来讲，信源发出的消息均可用二进制信号来表示。
例如，要传送的消息为A 和B ，则我们可以用1表示A ，0表示B 。
在信道传输后产生了误码，0错为1，或1错为0，但接收端却无法判断这种错误，因此这种码没有任何抗干扰能力。
如果在0或1的后面加上一位监督位（也称校验位），如以00表示A ，11表示B 。
长度为2的二进制序列共有种组合，即00、01、10、11。
00和11是从这四种组合中选出来的，称其为许用码组，01、10为禁用码。
当干扰只使其中一位发生错误，例如00变成了01或10，接收端的译码器就认为是错码，但这时接收端不能判断是哪一位发生了错误，因为信息码11也可能变为01或10，因而不能自动纠错。
如果在传输中两位码发生了错误，例如由00变成了11，译码器会将它判为B ，造成差错，所以这种1位信息位，一位监督位的编码方式，只能发现一位错误码。
224=按照这种思路，使码的长度再增加，用000表示A ，111表示B ，这样势必会增强码的抗干扰能力。
长度为3的二进制序列，共有8中组合：000、001、010、011、100、101、110、111。
这8种组合中有三种编码方案：第一种是把8种组合都作为码字，可以表示8种不同的信息，显然，这种编码在传输中若发生一位或多位错误时，都使一个许用码组变成另一个许用码组，因而接收端无法发现错误，这种编码方案没有抗干扰能力；第二种方案是只选四种组合作为信息码字来传送信息，例如：000、011、101、110，其他4种组合作为禁用码，虽然只能传送4种不同的信息，但接收端有可能发现码组中的一位错误。
例如，若000中错了一位，变为100，或001或010，而这3种码为禁用码组。
接收端收到禁用码组时，就认为发现了错码，但不能确定错码的位置，若想能纠正错误就还要增加码的长度。
第三种方案中规定许用码组为000和111两个，这时能检测两位以下的错误，或能纠正一位错码。
纠错输出编码相关论文综述和要点
纠错输出编码相关论文综述和要点纠错输出编码相关论文综述和要点纠错输出编码相关论文综述和要点纠错输出编码（ECOC）综述和基本原理目录<机器学习导论> (1)《Solving Multiclass Learning Problems via Error-Correcting Output Codes》 (2)A Subspace to ECOC (3)中文参考文献 (5)<机器学习导论>在纠错输出编码中，主要的分类任务通过由基学习器实现的一组子任务来定义。
其思想是：将一个类从其他类区分开来的原始任务可能是一个困难的问题。
作为替代，我们定义一组简单的分类问题，每个专注于原始任务的一个方面，并通过组合这些简单的分类器来得到最终的分类器。
这时，基分类器是输出为-1/+1的二元分类器，并且有一个K*L的编码矩阵W，其K行是关于L个基学习器dj类的二元编码。
例如，M(2, ) [ 1 1 1 1]表示若一个样本属于第2类(C2)，则该样本应在h1和h4上取负值，在h2和h3上取正值；M(, 3) [ 1 1 1]T可理解为第三个基分类器h3的任务是将属于C1类的样本与属于C2和C3类的样本区分开。
同时M(, 3)也决定了如何构造基分类器h3的训练样本集T3：所有标记为C2类及C3类的样本形成正样本3 ，而标记为C1类的实例构成负样本 3 ，对h3的训练应使得 xi T3，当xi 3 时，h3(xi) 1；当xi 3 时，h3(xi) 1。
这样，编码矩阵使得我们可以用二分类问题定义多分类问题，并且这是一种适用于任意可以实现二分基学习器的学习算法的方法，例如，线性或多层感知器，决策树或初始定义的两类问题的SVM。
典型的每类一个判别式的情况对应于对角矩阵，其中L=K，例如，对于K=4，我们有W=【】这里的问题是：如果某一个基学习器存在错误，就会有误分类，因为类的码纠错输出编码相关论文综述和要点字之间非常相似，因而纠错码采用的方法是使L>K来增加码字之间的汉明距离。
纠错码
编码距离与纠错检测的关系
几个基本概念 码重:码组中“1”的个数成为码组的重量。 码距 :两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距离。我们把 某种编码中各个码组之间距离最小值称为最小码距（d0）。一种编码 的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力。
1011101 与 1001001 之间的码距是 2。
接收端收到禁用码组时，就认为发现了错误
这种方法只能检测错误，但不能纠正错误
比如：当接收端收到禁用码组100时，无法判决哪一位码 发生了错误
000（晴） 101（云） 110（雨） 错一位 100
要想纠正错误，需要增加多余度，比如，只准使用两个码组
000（晴）
111（阴）
其他均为禁用码组，则它可检测两个错码或能纠正一个错码。
译码:在接收端,利用这种规律性来鉴别传输过程是否发生错误或纠正 错误，恢复原始信息序列。
纠错编码的分类
按功能分：检错码和纠错码 按监督码元与信息码元之间是否存在线性关系分：线性码与非线性码 按信息码元与监督码元之间的约束关系不同分：分组码与非分组码如 卷积码 按纠正差错的类型分：纠正随机错误的码与纠正突发错误的码 按码元的取值分：二进制码与多进制码
1 1 n 1 0
v v ，若对任一 v a , a ,, a v 恒有 v a ,, a , a v ，则称 vn ,k 为循环码。
n,k n
0 1 n 1
n,k
n,k
在下表中给出了一种（7,3）循环码的全部码组
卷积码
把信源输出的信息序列，以个 k 0(k 0 通常小于 k)码元分为一段，通过 编码器输出长为 n 0(≥k 0 )一段的码段。 但是该码段的 n 0 k 0 个校验 元不仅与本组的信息元有关，而且也与其前m段的信息元有关，称m为 编码存贮。因此卷积码用(n 0， k 0， m)表示。
信息论与编码第八章1
T
H=[ Q I ] G=[ I P]
I I T Q P T 0 P
只有当PT=Q或P=QT时等式才成立。
例
(6,3)线性分组码，其生成矩阵是
1 1 1 0 1 0 G 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1
定义8.2 对于2k个n长码字全体构成的分组码， 其码字中的k位称为信息位，n-k位称为校验位 或监督位。
线性分组码：监督元与信息元之间的关系可用 一组线性方程组来描述的(n, k)分组码。
编码效率：一个组中信息所占的比重。
k R n
– k：信息码元的数目 – n：编码组码元的总数目 – r：监督码元的数目
n = k+ r
定义8.3若（n，k）分组码中k个信息位同原始k 个信息位相同，且位于n长码字的前（或后）k位， 为校验位位于其后（或前），则称该分组码为系 统码，否则为非系统码。 定义8.4两个序列之间的汉明距离定义为两个序 列之间对应位不同的位数。 例如：α和β为码组X中的两个不同码字，X为一 个长度为N的二元码组，其中：
第8章 纠错编码
8.1纠错编码的基本概念 8.2纠错编码的分类 8.3线性分组码
8.4循环码
8.1 纠错编码的基本概念
• 信源编码提高数字信号有效性 将信源的模拟信号转变为数字信号 降低数码率,压缩传输频带(数据压缩) • 信道编码提高数字通信可靠性 数字信号在信道的传输过程中,由于实际信道的 传输特性不理想以及存在加性噪声,在接收端往 往会产生误码。 目的在于提高通信（或存储）的可靠性，减 低误码率。
令 H=
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
纠错编码技术的研究
纠错编码技术的研究xxxxx指导教师：xxxxx1 引言在移动无线信道中由于无线电波传输不仅会随着传播距离的增加而造成能量损耗，并且会因为多种不利因素的影响而使信号快速衰落，码间干扰和信号失真严重，从而极大地影响了通信质量。
鉴于这些问题的存在，我们不断地研究和寻找多种先进的通信技术以提高移动通信的性能。
信道编码的最终目的是提高信号传输的可靠性，而纠错编码正是作为提高传输可靠性的最主要措施之一。
本文将主要关注几种重要的纠错编码技术以及它们在实际当中的应用，以展示纠错编码在现代数字通信中的是如何提高通信质量的。
2 纠错编码简介2．1 纠错码原理用于检测的信道编码被称作检错编码，而既可检错又可纠错的信道编码被称作纠错编码。
但现在，无论是具有检错功能还是纠错功能的编码，我们都统称为纠错编码。
可见纠错编码的范围已经扩大了。
纠错编码，就像它的字面解释的那样，是当消息经过有噪信道传输或要恢复储存的数据时用来纠错的。
因为纠错编码试图克服和恢复信道中噪声或其他因素造成的损害，其编码过程又称为信道编码。
纠错码的基本思想是在消息通过一个有噪信道伟输前以多余符号的形式在消息中增添冗余度，这种冗余度是在控制下添加的。
编码后的消息在传输时可能还会遭到信道中噪声的损害。
在接收端，如果错误数在该码所设计的限度内，原始消息可以从受损的消息中恢复。
图1显示了数字通信系统的框图。
注意图中最重要的部分就是噪声部分，如果没有了它就用不着信道编码器了。
图1 数字通信系统框图一种编码的纠检错能力决定于最小码距d 0的值。
下面用几何关系来说明纠/检错能力和最小码距的关系，有三种情况[10]。
（1） 检错e 个错码，则要求：10+≥e d （1）上式表明，若一种编码的最小码距为d0，则它能检测出（d0-1）个错码；反之，若要求检测e 个错码，则d0应小于（e+1）。
（2） 纠正t 个错码，则要求：120+≥t d （2）（3） 为了能纠正t 个错码，同时检测e 个错码，则要求：10++≥e t d （3） 这种情况是纠错和检错结合的工作方式，在这种情况下，当错码数量少时，系统按前向纠错方式工作，以节省重发时间，提高传输效率；当错码数量多时，系统就按反馈重发的纠错方式工作，以降低系统的总误码率。
纠错编码技术
两种不同类型信道编码
分组码（Block codes）：将信息流或序列 分成多块或组，假定每组由k个比特（符号） 组成。可用u=[u_0,u_1,…,u_(k-1)], 称为一个 消息（message）,总共有2^k不同信息，如 果是M进制呢？ 编码器会将每个消息转化 为n维离散符号向量，v=[v_0,v_1,…,v_(n-1)], 称之为码字(co1d001e1 word), 一共多少码信息字流 ？此？ 个 k/n码=00R0字0 为集码合率100称0（之co为d1e（001 rna,tke)）分0011组码，比值分信组息后
息速率为
频谱效率？
Bandwidth
efficiency
第一章 绪论
1.1 引言 1.2 码类型 1.3 调制编码 1.4 最大似然译码(MLD, Maximum likelihood
decoding) 1.5 错误类型 1.6 差错控制策略 1.7 性能衡量 1.8 编码调制
MLD
和太空干扰源的背景辐射
常见的噪声信道3-细胞复制
父/母细胞
子细胞 子细胞
DNA会产生突变， 变异（恶劣环境产生的辐
射，污染）
常见的噪声信道4-计算机磁盘驱 动器
内存/硬盘/光盘
磁盘驱动器
内存/硬盘/光盘
磁盘驱动器通过将一小块磁介质校准到两个方向(1或0） ，磁介质小材料可能改变磁化方向，或者一个短时脉冲干 扰会导致数据读取电路读出错误值，磁盘运输或保存过程
离散信道模型和条件概率
• 如图1-7所示，编码器输出（调制器输入） 为离散的星座图符号，解调器输出是未 经量化的随机向量y属于-∞到+∞，此处 调制器，信道和解调器合成了一个离散 输入连续输出离散信道。如果信道噪声 是用AMW个G调Np(，件x x0概均0 /率1值) 密和1来N方0 e刻x差p 画为(y。NNo对E0/s )2于2 , 该M=信2，道可
信息论中的编码理论与纠错码
信息论中的编码理论与纠错码信息论是一门研究信息传输和处理的学科，它的核心是信息的编码与解码。
编码理论和纠错码是信息论中的重要内容，它们在保证信息传输可靠性和效率方面起着至关重要的作用。
一、编码理论的基本概念编码理论是指将信息转化为特定的编码形式，以便在传输和存储过程中能够更加高效地进行处理和传递。
编码理论的基本概念包括源编码和信道编码。
源编码是将信息源中的符号转化为编码序列的过程。
常见的源编码方法有霍夫曼编码、香农-费诺编码等。
这些编码方法通过对出现频率较高的符号进行较短的编码，从而提高信息的传输效率。
信道编码是为了提高信息传输在信道中的可靠性而进行的编码。
信道编码通过在发送端添加冗余信息，使得接收端能够在一定程度上纠正错误。
常见的信道编码方法有奇偶校验码、循环冗余校验码等。
二、纠错码的原理与应用纠错码是一种能够在传输过程中检测和纠正错误的编码方式。
它通过在发送端添加冗余信息，并在接收端利用这些冗余信息对接收到的信息进行纠错。
纠错码的原理是利用冗余信息进行错误检测和纠正。
常见的纠错码包括海明码、RS码等。
海明码通过在原始信息中添加冗余位，使得接收端能够检测到错误的位置，并进行纠正。
RS码则通过在原始信息中添加多余的校验位，使得接收端能够纠正一定数量的错误。
纠错码在通信领域中有着广泛的应用。
在无线通信中，由于信道的干扰和噪声，信息传输容易出现错误。
纠错码的应用可以提高信道传输的可靠性，保证信息的正确接收。
在存储介质中，纠错码也被广泛应用于磁盘、闪存等存储设备，以保证数据的完整性和可靠性。
三、编码理论与纠错码的发展编码理论和纠错码的发展经历了多个阶段。
早期的编码方法主要是基于统计学的方法，如霍夫曼编码。
随着信息论的发展，信息熵的概念被引入到编码理论中，使得编码方法更加高效和优化。
纠错码的发展也经历了多个阶段。
早期的纠错码主要是基于奇偶校验码的原理，但其纠错能力有限。
后来，海明码的提出使得纠错码的纠错能力得到了大幅提升。