大一轮之函数与方程

函数与方程[知识梳理]1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y ＝f(x)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么函数y＝f(x)在区间__(a，b)__内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个__c__也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数__两个____一个__零个(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)·f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)<0__，给定精确度ε.第二步，求区间(a，b)的中点x1.第三步，计算f(x1)：①若__f(x1)＝0__，则x1就是函数的零点；②若__f(a)·f(x1)<0__，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若__f(x1)·f(b)<0__，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．第四步，判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)．否则重复第二、第三、第四步．4．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()(4)若连续不断的函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()(5)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(6)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(7)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac<0时没有零点．()解析(1)错误．函数f(x)＝x2－1的零点为－1和1，而并非其与x 轴的交点(－1,0)与(1,0)．(2)错误．函数f(x)＝x2－x在(－1,2)上有两个零点，但f(－1)·f(2)>0.(3)正确．当b2－4ac<0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点．(4)正确．由已知条件，数形结合得f(x)与x轴在区间[a，b]上有且仅有一个交点，故正确．答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×(7)√二．考点突破考点一函数零点所在区间的判定例1.(1)(2019·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(B)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：解法一：∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．解法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．(2)函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( B ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)解析：f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)， 当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2x ＞0，所以f (x )＞0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln1＝1，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83.因为8＝22≈2.828＞e ，所以8＞e 2，即ln8＞2，即f (3)＜0.又f (4)＝12－ln3＜0，所以f (x )在(2,3)内存在一个零点．方法与技巧 1.判断函数零点(方程的根)所在区间的方法提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．2．利用函数零点存在性定理解题的步骤跟踪训练一(1)(2019·温州二模)在下列区间中，函数f (x )＝e －x ＋4x －3的零点所在的区间可能为( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析：函数f (x )＝e －x ＋4x －3是连续函数，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1e－1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝14e 3＋3－3＞0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＜0，故选D. (2)(2019·广州花都区二模)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝2.解析：对于函数y ＝log a x ，当x ＝2时，可得y ＜1，当x ＝3时，可得y ＞1，在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝－x ＋b 的图象，判断两个函数图象的交点在(2,3)内，∴函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)时，n ＝2.考点二 判断函数零点个数例2. (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( A )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由已知条件可得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x ＜0.函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示．由图可知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有2个交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2，故选A.(2)函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为2. 解析：f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin2x －|ln(x ＋1)|，x ＞－1，函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin2x (x ＞－1)与y 2＝|ln(x ＋1)|(x ＞－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．【条件探究】 将典例(1)中条件变为“函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0”，判断函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数． 解：由f (f (x ))＋1＝0，得f (f (x ))＝－1，由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，得f (x )＝－2或f (x )＝12. 若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4.方法与技巧 判断函数零点个数的方法 直接法 即直接求零点，令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法 即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法 即利用图象交点的个数，画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函跟踪训练二(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(D)A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－7，1,3} D．{－2－7，1,3}解析：求出当x＜0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可．令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋7＞0(舍去)或x＝－2－7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}．(2)(2019·广元三诊)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝sinπx＋2|sinπx|，则方程f(x)－|lg x|＝0在区间[0,10]上根的个数是(C)A．17B．18 C．19D．20解析：f (x )＝sinπx ＋2|sinπx |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sinπx ，0≤x ≤1，－sinπx ，1＜x ≤2， 由f (x ＋4)＝f (x )可知，f (x )是以4为周期的周期函数．方程f (x )－|lg x |＝0，即f (x )＝|lg x |，方程的根即为函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象交点的横坐标，作出两函数图象如图所示．由图象可知，方程f (x )－|lg x |＝0在区间[0,10]上根的个数是19.考点三 函数零点的应用角度1 由函数零点存在情况或个数求参数的范围例3. 若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0 解析：令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图象有两个交点．由g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )＜0，即ln x ＜－1，可解得0＜x ＜1e ；令g ′(x )＞0，即ln x ＞－1，可解得x ＞1e ，所以，当0＜x ＜1e 时，函数g (x )单调递减；当x ＞1e 时，函数g (x )单调递增，由此可知，当x ＝1e 时，g (x )min ＝－1e .作出函数g (x )和h (x )的简图，据图可得－1e ＜a ＜0.角度2 求函数零点的和例4. (2019·河北保定一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－ 1≤x ≤3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴f (x )的周期为2.又f (x )为偶函数，∴f (1－x )＝f (x －1)＝f (x ＋1)，故f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－1≤x ≤3)的图象关于直线x ＝1对称，作出f (x )和g (x )的图象如图所示．由图象可知两函数图象在[－1,3]上共有4个交点，分别记从左到右各交点的横坐标为x1，x2，x3，x4，可知x＝x1与x＝x4，x＝x2与x ＝x3分别关于x＝1对称，∴所有交点的横坐标之和为x1＋x2＋x3＋x4＝1×2×2＝4，故选B.角度3比较大小例5.已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－log1x，h(x)＝log2x－x的零2点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(D) A．x1＞x2＞x3B．x2＞x1＞x3C．x1＞x3＞x2D．x3＞x2＞x1解析：由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－log1x＝0，h(x)＝log2x－x＝2x，log2x＝x.在坐标系中分别作出y＝2x，y＝0得2x＝－x，x＝log12－x；y＝x，y＝log1x；y＝log2x，y＝x的图象，由图象可知－1＜x12＜0,0＜x2＜1，x3＞1，所以x3＞x2＞x1.方法与技巧函数零点的应用主要体现在三类问题：一是函数中不含参数，零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题；二是函数中含有参数，根据零点情况求函数中参数的范围；三是函数中有参数，但不求参数，仍是考查零点的范围问题．这三类问题最终都是通过数形结合转化为两函数图象的交点进行解决．常用方法跟踪训练三(1)已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1＞x2)，则下列结论正确的是(A)A．1＜x1＜2，x1＋x2＜2 B．1＜x1＜2，x1＋x2＜1C．x1＞1，x1＋x2＜2 D．x1＞1，x1＋x2＜1(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．三．真题练习1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( C )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点等价于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0与h (x )＝－x －a 的图象存在2个交点，如图．当x ＝0时，h (0)＝－a ，由图可知要满足y ＝f (x )与y ＝h (x )的图象存在2个交点，需要－a ≤1，即a ≥－1，故选C.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( C )A ．－12 B.13 C.12D ．1解析：由函数f (x )有零点得x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝0有解，即(x－1)2－1＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝0有解，令t ＝x －1，则上式可化为t 2－1＋a (e t ＋e －t)＝0，即a ＝1－t2e t ＋e－t .令h (t )＝1－t 2e t ＋e－t ，易得h (t )为偶函数，又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0，所以a ＝1－02＝12，故选C.3．(2017·山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( B )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：①当0＜m ≤1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(mx －1)2与y ＝x ＋m 的图象，如图．易知此时两函数图象在x ∈[0,1]上有且只有一个交点； ②当m ＞1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(mx －1)2与y ＝x ＋m 的图象，如图．要满足题意，则(m －1)2≥1＋m ，解得m ≥3或m ≤0(舍去)，∴m ≥3.综上，正实数m 的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)．4．(2018·天津卷)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是(4,8)．解析：设g (x )＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋ax －2a ，x ＞0，方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解即函数y ＝g (x )有两个零点，即y ＝g (x )的图象与x 轴有2个交点，满足条件的y ＝g (x )的图象有以下两种情况：情况一：则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a 2－4a ＞0，Δ2＝a 2－8a ＜0，∴4＜a ＜8. 情况二：则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a 2－4a ＜0，Δ2＝a 2－8a ＞0，不等式组无解．综上，满足条件的a 的取值范围是(4,8)．5．(2018·浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ.当λ＝2时，不等式f (x )＜0的解集是(1,4)，若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是(1,3]∪(4，＋∞)．解析：当λ＝2时，不等式f (x )＜0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x 2－4x ＋3＜0，即2≤x ＜4或1＜x ＜2，故不等式f (x )＜0的解集为(1,4)．易知函数y ＝x －4(x ∈R )有一个零点x 1＝4，函数y ＝x 2－4x ＋3(x ∈R )有两个零点x 2＝1，x 3＝3.在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略)，要使函数f (x )恰有2个零点，则只能有以下两种情形：①两个零点为1,3，由图可知，此时λ＞4.②两个零点为1,4，由图可知，此时1＜λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4，＋∞)．四．[课时跟踪检测]进阶题1．(2019·重庆一中期中)函数f (x )＝e x ＋x －3在区间(0,1)上的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 由题知函数f (x )是增函数．根据函数的零点存在性定理及f (0)＝－2，f (1)＝e －2>0，可知函数f (x )在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.2．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C ∵x ∈[0,4]，∴x 2∈[0,16]，当x 2＝0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2时f (x )＝0都成立．∴f (x )的零点个数为6.故选C.3．(2019·江西三校联考)设函数y ＝log 2x －1与y ＝22－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C 令函数f (x )＝log 2x －1－22－x ，则f (2)＝－1，f (3)＝log 23－32＝log 23－log 2(8)>0，因为f (2)f (3)<0，所以函数f (x )在(2,3)上必有零点．又易知函数f (x )为增函数，所以f (x )在(2,3)上有且只有一个零点，所以x 0∈(2,3)，故选C.4．(2019·福州期末质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 根据题意，令x 2－2x ＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，即当x ≤0时函数有两个零点；又当x >0时，1＋1x ＋3x ＝0无解．故函数只有两个零点．故选C.5．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：选B f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥2，3－x ，x <2，如图，作出y ＝f (x )的图象，其中A (2,1)，则k OA ＝12.要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，即函数f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点，由图可知12<k <1.故选B.6．(2019·辽宁朝阳普通高中模拟)方程4sin πx ＝21－x 在[－2，4]内根的个数为( )A ．6B ．7C ．5D ．8解析：选D 由原方程得2sin πx ＝11－x ，在同一坐标系中作出两函数y ＝2sin πx 和y ＝11－x的图象，如图．由图可知，两函数的图象在[－2,4]上共有8个交点，即原方程在[－2，4]内有8个根．故选D.7．(2019·广东佛山顺德区一模)对于实数a ，b 定义运算“D ○×”：aD ○×b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －a ，a <b ，b 2－a 2，a ≥b .设f (x )＝(2x －3)D ○×(x －3)，且关于x 的方程f (x )＝k (k ∈R)恰有三个互不相同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围为( )A ．(0,3)B ．(－1,0)C ．(－∞，0)D ．(－3,0)解析：选D ∵aD ○×b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －a ，a <b ，b 2－a 2，a ≥b ，∴f (x )＝(2x －3)D ○×(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x <0，－3x 2＋6x ，x ≥0， 其图象如图所示．不妨设x 1<x 2<x 3，由图可得x 1＝－k ，x 2x 3＝13k ， 故x 1x 2x 3＝－13k 2，k ∈(0,3)， ∴x 1x 2x 3∈(－3,0)．故选D.8．(2019·沈阳模拟)若函数f (x )＝log 2(x ＋a )与g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)存在相同的零点，则a 的值为________．解析：将函数f (x )＝log 2(x ＋a )的零点x ＝1－a ，代入x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝0得到(1－a )2－(a ＋1)(1－a )－4(a ＋5)＝0，解得a ＝5或a ＝－2.答案：5或－29．(2019·凉山州一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋1，x <0，2，x ≥0，则方程f (1＋x 2)＝f (2x )的解集是________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋1，x <0，2，x ≥0，方程f (1＋x 2)＝f (2x )， ∴当x <0时，2＝e 2x ＋1，解得x ＝0，不成立；当x ≥0时，f (1＋x 2)＝f (2x )＝2，成立．∴方程f (1＋x 2)＝f (2x )的解集是{x |x ≥0}．故答案为{x |x ≥0}．答案：{x |x ≥0}10．(2019·常德期末)设函数f (x )＝x 2，若函数g (x )＝[f (x )]2＋mf (x )＋m ＋3有四个零点，则实数m 的取值范围为________．解析：根据函数f (x )＝x 2≥0且g (x )＝[f (x )]2＋mf (x )＋m ＋3，令t ＝f (x )，结合函数f (x )＝x 2的图象及题意可知方程t 2＋mt ＋m ＋3＝0有两个不等正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，－m >0，m ＋3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ m >6或m <－2，m <0，m >－3，即－3<m <－2. 答案：(－3，－2)11．(2019·遵义月考)已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎨⎧ x ＋14x，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个不同的实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t (t <1)，则原方程化为g (t )＝a 有4个不同的实数根，易知方程f (x )＝t 在 (－∞，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不同的实数根等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，如图，画出函数g (t )的图象，结合图象可知，1≤a <54，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. 12．(2019·沈阳四校联考)已知函数f (x )＝2x－a 2x (a ∈R)，将y ＝f (x )的图象向右平移两个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数y ＝g (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 在x ∈[0,1]上有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，得g (x )＝2x －2－a2x －2. (2)设2x ＝t ，x ∈[0,1]，则t ∈[1,2]，原方程可化为t 2－at －a ＝0， t 2－at －a ＝0在t ∈[1,2]上有且仅有一个实数根．法一：设k (t )＝t 2－at －a ，图象的对称轴方程为t ＝a 2， 因为k (1)＝1－2a ，k (2)＝4－3a ，所以k (1)与k (2)不同时为0，所以k (1)·k (2)≤0，①或⎩⎨⎧ Δ＝0，1≤a 2≤2，②由①得(1－2a )(4－3a )≤0，即(2a －1)(3a －4)≤0，得12≤a ≤43.由②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＝0，2≤a ≤4，无解，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43. 法二：由t 2－at －a ＝0，t ∈[1,2]，得1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1t ，t ∈[1,2]．设u ＝1t ，则u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，1a ＝u 2＋u . 记h (u )＝u 2＋u ，则h (u )＝u 2＋u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增， 故h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤1a ≤h (1)，即34≤1a ≤2， 所以12≤a ≤43，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43. 难度题1．(2019·西安高三一检)设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12<33，则这样的零点有( ) A ．61个B ．63个C ．65个D ．67个解析：选C 依题意得sin πx 0＝0，所以πx 0＝k π(k ∈Z)，即x 0＝k ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π2＝cos πx 0＝cos k π，所以|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12<33，即|k |<33－cos k π，当k 为偶数时，|k |<32，则零点有31个；当k 为奇数时，|k |<34，则零点有34个．所以共有31＋34＝65个零点，故选C.2．(2019·绵阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当－1≤x ≤1时，f (x )＝|x |.若函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为( )A ．(4,5)B ．(4,6)C ．{5}D ．{6}解析：选C 因为f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )的周期为2.当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |.在同一直角坐标系下作出函数f (x )与g (x )＝log a x 的图象，如图所示．若函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象有且仅有4个交点，则a >1且函数g (x )＝log a x 的图象过点(5,1)，即a ＝5.故选C.3．(2019·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)．(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1， ∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1， ∴log 22x 1＋12x 2＋1<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)∵g (x )＝m ＋f (x )，∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1)＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1， ∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴log 213≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235， 故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.。