方程的根与函数的零点课后习题高中数学高考
方程的根与函数的零点练习题及答案解析(必修1)
方程的根与函数的零点练习题及答案解析(必修1)新课标第一网不用注册，免费下载！1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.2x( )A.(－1,0) C．(1,2) D．(2,3)x解析：选C.设f(x)＝e－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0(1,2)C.x2＋2x－3，x≤03．(2022年高考福建卷)函数f(x)＝)－2＋lnx，x＞0A．0 B．1 C．2 D．32解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x＋2x－3＝0，得x1)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为C.2________．x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，g(x)＝bx2－ax的零点是( )( ) )C．(3,4) D．(e,3)2解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln30，3∴f(2)f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．4．下列函数不存在零点的是( )1A．y＝x－B．y2x－x－1x新课标第一网系列资料新课标第一网不用注册，免费下载！x＋1 x≤0C．y＝x－1 x＞0x＋1 x≥0D．y＝x－1 x＜01解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－，1；2只有D中函数无零点．5．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．无法确定解析：选C.令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数．1－6．设函数y＝x3与y＝()x2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )2A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)1－解析：选B.设f(x)＝x3－()x2，21－1－1则f(0)＝0－(20；f(1)＝1－10；f(2)＝23－00.(1,2)上．22227．函数f(x)＝ax＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1________．解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，2a由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，a故x＝－3，即另一个零点为－3.则a的取值范围是________．所以有f(－1)f(1)≤0，－1.0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有②错，应有三个零点．新课标第一网系列资料新课标第一网不用注册，免费下载！③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.答案：③④10．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．解：设f(x)＝x2－2ax＋a. 由题意知：f(0)f(1)＜0，即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．a＞0，a＜0，或1－a＜0，1－a＞0，∴a ＜0或a＞1.111．判断方程log2x＋x2＝0在区间内有没有实数根？为什么？22解：设f(x)＝log2x＋x，__∵f(＝log2＋()2＝－1＋＜0，__1f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴ff(1)＜0，函数f(x)＝log2上是连续21的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2 212．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0(1)方程有一正一负两根；2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)f 1 ＞0f 1 ＜0，不等式组无解．所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，x1－1 x2－1 ＞0即x1－1 ＋x2－1 ＞0x1x2－x1＋x2 ＋1＞0 . x1＋x2＞2新课标第一网系列资料新课标第一网不用注册，免费下载！12 a＋1 1＞0 a－aa所以2 a＋1a＞2a＜0 ，不等式组无解．a＞0即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(3)(4)所示，a＞0 a＜0 所以必须满足或，解得a＞0. f 1 ＜0 f 1 ＞0。
2022年高中数学3-1-1方程的根与函数的零点习题含解析新人教A版必修
方程的根与函数的零点班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________寒假作业【基础过关】1．在区间上有零点的一个函数为A. B.C. D.2．方程的解所在的区间为A. B. C. D.3．函数的零点所在的大致区间是A. B. C. D.4．函数有两个零点、,且,则A.,B.C.,D.,5．若函数的零点为2,那么函数的零点是 . 6．根据下表，能够判断有实数解的区间是 .-10123-0.677 3.011 5.432 5.9807.651-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 (1)(-1,0) (2)(0,1)(3)(1,2) (4)(2，3)7．已知二次函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围.8．已知函数恒有零点.(1)求的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求的值.【能力提升】判断函数f(x)=x-3+ln x的零点的个数.答案【基础过关】1．C【解析】本题考查二分法判断零点的基本方法.由题知对A有恒成立，故没有零点；对B，，故在上没有零点；对C，，故在上存在零点，故选C.2．C【解析】本题主要考查判断函数零点的方法，关键是构造函数，转化为确定函数的零点位于的区间.3．C【解析】∵，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1＜0，，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3＞0，又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C.4．C【解析】数形结合，f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位，逆向思维为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象中坐标系的x轴上移1个单位，则在新坐标系中得到f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象.由图易得出结论.5．0，【解析】∵函数有一个零点是2，∴，∴，∵，∴函数的零点是0，.6．(2)【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147＜0，F(0)＝－0.44＜0，F(1)＝0.542＞0，F(2)＝0.739＞0，F(3)＝0.759＞0，所以F(0)•F(1)＜0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2).7．设，有两种情况.第一种情况，如图，解得.第二种情况，如图，此不等式组无解.综上，m的取值范围是.8．(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点，当m＋6≠0时，由，得，∴且m≠6时，二次函数有零点.综上，.(2)设，是函数的两个零点，则有，，∵，即，∴，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，△＞0符合题意，∴m＝－3.【能力提升】方法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y=ln x,y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.又f(x)=x-3+ln x在(0,+∞)内是增函数,所以函数f(x)只有一个零点.。
高一数学方程的根与函数的零点同步练习及答案
高一数学方程的根与函数的零点同步练习及答案1．y＝x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是()A．2；2 B．(2,0)；2C．－2；－2 D．(－2,0)；－22．函数f(x)＝x2＋4x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()A．a<4 B．a>4C．a≤4 D．a≥43．函数f(x)＝x2－4x－5的零点是________．4．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是()A．0 B．1C．2 D．32．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是()A．－1 B．1C．－2 D．23．设函数f(x)＝x3－12x－2的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)4．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝lnx－12二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2 009个零点，则这2 009个零点之和为________．6．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f(x)＝3x－x2，求方程f(x)＝0在区间[－1,0]上实根的个数．8．判断函数f(x)＝lnx－1x在区间(1,3)内是否存在零点．9．(10分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log19x)≥0的x的取值集合．。
高中数学必修一方程的根与函数的零点(一)
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定；
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定； 2. 数学思想方面： 函数与方程的相互转化，即转化思想 借助图象探寻规律，即数形结合思想.
课后作业
1. 阅读教材P.86~ P.88. 2. 《习案》3.1第一课时.
播放几何画板
思考题 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是 2和3，求loga25＋b2.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 ＝0 ＜0
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于ห้องสมุดไป่ตู้次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 两不相等实根 ＝0 ＜0
y
4 2
的零点，并画出它的图象.
-2
B O
2
x
零点为－1，1，2.
-2
-4
拓展
考察函数 ①y＝lgx ②y＝log2(x＋1)
③y＝2x
的零点.
④y＝2x－2
探究4
观察二次函数 f(x)＝x ―2x―3 的图象， 2 如右图，我们发现函数 f(x)＝x ―2x―3 在 y 区间[―2, 1]上有零点. 计算 f(―2)f(1)的乘积， 你能发现这个乘积有什么 特点？在区间[2, 4]上是否 x 也具有这种特点呢？ O
3.1.1方程的根与 函数的零点（一）
复习引入
观察下列三组方程与相应的二次函数 方 程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0 函 数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3
高中数学方程的根与函数的零点练习题及答案
高中数学方程的根与函数的零点练习题及答案高中数学方程的根与函数的零点练习题及答案一、选择题1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一实根 B．至多有一实根C．没有实根 D．必有唯一的实根[答案] D2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：x 1 2 3 4 5 6f(x) 123.56 21.45 －7.82 11.57 －53.76 －126.49函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个[答案] B3．(2013～2014山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上()A．一定有零点 B．可能有两个零点C．一定有没有零点 D．至少有一个零点[答案] B[解析] 若f(x)的'图象如图所示否定C、D若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)0，f(b)0，则否定A，故选B.4．下列函数中，在[1,2]上有零点的是()A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6[答案] D[解析] A：3x2－4x＋5＝0的判别式0，此方程无实数根，f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.在同一坐标系中画出y＝x3，x[1,2]与y＝5x＋5，x[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．f(x)＝0在[1,2]上无零点．C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．D：∵f(1)＝e＋31－6＝e－30，f(2)＝e20，f(1)f(2)0.f(x)在[1,2]内有零点．5．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是()A．－1和16 B．1和－16C．12和13 D．－12和－13[答案] B[解析] 由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，a＝5，b＝6.g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－16.6．(2010福建理，4)函数f(x)＝x2＋2x－3，x0－2＋lnx，x0的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析] 令x2＋2x－3＝0，x＝－3或1；∵x0，x＝－3；令－2＋lnx＝0，lnx＝2，x＝e20，故函数f(x)有两个零点．二、填空题7．已知函数f(x)＝x＋m的零点是2，则2m＝________.[答案] 14[解析] ∵f(x)的零点是2，f(2)＝0.2＋m＝0，解得m＝－2.2m＝2－2＝14.8．函数f(x)＝2x2－x－1，x0，3x－4，x＞0的零点的个数为________．[答案] 2[解析] 当x0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－12(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝2x2－x－1，x0，3x－4，x＞0有2个零点．9．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－，＋)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)[答案] ①②③[解析] 设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确．三、解答题10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？[解析] 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－12＜0，f(0)＝20－02＝1＞0，而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．11．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；(3)f(x)＝x2＋4x－12x－2；(4)f(x)＝3x＋1－7；(5)f(x)＝log5(2x－3)．[解析] (1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－18或x＝1，所以函数的零点为－18和1.(2)令x2＋x＋2＝0，因为＝12－412＝－70，所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．(3)因为f(x)＝x2＋4x－12x－2＝x＋6x－2x－2，令x＋6x－2x－2＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－6.(4)令3x＋1－7＝0，解得x＝log373，所以函数的零点为log373.(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点为2.12．(2013～2014北京高一检测)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．[解析] 设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，m＋2＞0，f1＜0，解得－2＜m＜－12.第二种情况，m＋2＜0，f1＞0，此不等式组无解．综上，m的取值范围是－2＜m＜－12.。
方程的根与函数零点练习与答案-数学高一必修1第三章函数与方程3.1函数与方程3.1.3人教A版
第三章函数与方程3.1.1 方程的根与函数零点测试题知识点一：函数零点的判断1.已知x=-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是()A.-1或1B.0或-1C.1或0D.2或12.(2015·大连高一检测)设函数f(x)=又g(x)=f(x)-1,则函数g(x)的零点是()A.1B.±C.1,-D.1,3.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为()A.1,2B.-1,-2C.1,D.-1,-4．函数y＝(x－2)(x－3)－12的零点为________．5．若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是______．6.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.知识点2 函数零点个数的判定7.函数f(x)=x2+x+3的零点的个数是()A.0B.1C.2D.38．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：x123456y123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个9.(2015·日照高一检测)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,ac<0,则函数的零点个数是()A.1B.2C.0D.无法确定10.偶函数f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且f(0)·f(a)<0,则方程f(x)=0在区间[-a,a]内根的个数是()A.3个B.2个C.1个D.0个11.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为x1,x2(x1<x2),函数f(x)的最小值为y0,且y0∈[x1,x2),则函数y=f(f(x))的零点个数是()A.3B.4C.3或4D.2或3知识点3 函数零点的应用12．函数y＝x2－bx＋1有二重零点，则b的值为()A．2B．－2C．±2D．不存在13．已知二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2等于()A．0B．3C．6D．不确定14.若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,则实数a的取值范围是.15.(2015·郑州高一检测)已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,则方程f(ax+b)=0的解集为.16.(2015·东营高一检测)已知函数f(x)=则满足方程f(a)=1的所有的a的值为.17.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的方程f(x)=c(c∈R)有两个实根m,m+6,则实数c的值为.18.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取值范围.【参考答案】1.【解析】选 C.因为x=-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,所以-a+b=0,所以a=b.所以g(x)=ax2-ax=ax(x-1)(a≠0),令g(x)=0,得x=0或x=1.2.【解析】选C.当x≥0时,g(x)=f(x)-1=2x-2,令g(x)=0,得x=1;当x<0时,g(x)=x2-4-1=x2-5,令g(x)=0,得x=±(正值舍去),所以x=-,所以g(x)的零点为1,-.3.【解析】选C.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则所以=-3,=2,于是f(x)=cx2+bx+a=a=a(2x2-3x+1)=a(x-1)(2x-1),所以该函数的零点是1,.4.【解析】y＝x2－5x－6＝(x＋1)(x－6)，令y＝0，解方程(x＋1)(x－6)＝0得x1＝－1，x2＝6，所以函数的零点为－1,6.【答案】－1,65.【解析】∵f(4x)＝，∴＝x，解得x＝，∴零点为.【答案】6.【解析】由题意知2a+b=0,即b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0,得x=0或x==-.答案：0或-7.【解析】选A.令x2+x+3=0,Δ=1-12=-11<0,所以方程无实数根,故函数f(x)=x2+x+3无零点.8.【解析】∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，∴至少有3个零点，分别在[2,3]，(3,4]，(4,5]上，故选B.【答案】 B9.【解析】选B.因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,所以该函数一定有两个零点.10.【解析】选B.由函数的单调性可知：函数在区间[0,a]上有且只有一个零点,设零点为x,因为函数是偶函数,所以f(-x)=f(x)=0,故其在对称区间[-a,0]上也有唯一零点,11.【解析】选D.由f(f(x))=0,可得f(x)=x1或f(x)=x2.因为函数f(x)的最小值y0∈[x1,x2),且x1<x2,故当y0>x1时,方程f(x)=x1无解,f(x)=x2有两解,故此时函数y=f(f(x))有两个零点.当y0=x1时,方程f(x)=x1有一解,f(x)=x2有两解,故此时函数y=f(f(x))有三个零点.12.【解析】∵y＝x2－bx＋1有二重零点，∴Δ＝b2－4＝0，即b＝±2，故选C.【答案】 C13.【解析】由题意，二次函数y＝f(x)的对称轴为x＝3，由二次函数的对称性知：x1＋x2＝6，故选C.【答案】 C14.【解析】①当a=0时,f(x)=-x-1是一次函数,显然仅有一个零点.②当a≠0时,Δ=1+4a=0,所以a=-.综上知：a=0或a=-.答案：a=0或a=-15.【解析】因为f(x)=x2+2x+a,所以f(bx)=(bx)2+2bx+a=b2x2+2bx+a=9x2-6x+2.则有即所以f(2x-3)=(2x-3)2+2(2x-3)+2=4x2-8x+5=0.因为Δ=64-80<0,所以方程f(ax+b)=0无实根.答案：?16.【解析】当a>0时,有log3a=1,解得a=3>0,符合题意;当a≤0时,有=1,解得a=0,符合题意,综上所述,a=0或a=3.答案：0或317.【解析】f(x)=x2+ax+b=+b-,因为函数f(x)的值域为[0,+∞),所以b-=0,所以f(x)=.又因为关于x的方程f(x)=c有两个实根m,m+6,所以f(m)=c,f(m+6)=c,所以f(m)=f(m+6),所以=,所以=+12+36,所以m+=-3.又因为c=f(m)=,所以c=9.答案：918.【解析】设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1.因为f(x)=0的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,所以即所以<k<.。
2020高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点习题 新人教A版必修1
3.1.1方程的根与函数的零点课后练习【基础过关】1．在区间上有零点的一个函数为A. B.C. D.2．方程的解所在的区间为A. B. C. D.3．函数的零点所在的大致区间是A. B. C. D.4．函数有两个零点、,且,则A.,B.C.,D.,5．若函数的零点为2,那么函数的零点是. 6．根据下表，能够判断有实数解的区间是.(1)(-1,0) (2)(0,1)(3)(1,2) (4)(2，3)7．已知二次函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围.8．已知函数恒有零点.(1)求的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求的值.答案【基础过关】1．C【解析】本题考查二分法判断零点的基本方法.由题知对A有恒成立，故没有零点；对B，，故在上没有零点；对C，，故在上存在零点，故选C. 2．C【解析】本题主要考查判断函数零点的方法，关键是构造函数，转化为确定函数的零点位于的区间.3．C【解析】∵，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1＜0，，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3＞0，又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C.4．C【解析】数形结合，f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位，逆向思维为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象中坐标系的x轴上移1个单位，则在新坐标系中得到f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象.由图易得出结论.5．0，【解析】∵函数有一个零点是2，∴，∴，∵，∴函数的零点是0，.6．(2)【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147＜0，F(0)＝－0.44＜0，F(1)＝0.542＞0，F(2)＝0.739＞0，F(3)＝0.759＞0，所以F(0)•F(1)＜0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2).7．设，有两种情况.第一种情况，如图，解得.第二种情况，如图，此不等式组无解.综上，m的取值范围是.8．(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点，当m＋6≠0时，由，得，∴且m≠6时，二次函数有零点.综上，.(2)设，是函数的两个零点，则有，，∵，即，∴，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，△＞0符合题意，∴m＝－3.。
方程的根与函数的零点经典练习及答案
[基础巩固]1．(多选)下列图象表示的函数有零点的是( )解析 观察图象可知A 选项中图象对应的函数没有零点．答案 BCD2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0，的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 解析 解法一 令f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0ln x ＝2， ∴x ＝－3或x ＝e 2，应选C.解法二 画出函数f (x )的图象可得，图象与x 轴有两个交点，则函数f (x )有2个零点． 答案 C3．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析 设函数f (x )＝ln x ＋x －4，则函数f (x )的图象是一条连续不断的曲线．f (1)＝ln 1＋1－4＝－3<0，f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4>0，所以f (2)·f (3)<0，所以x 0∈(2,3)．答案 C4．函数f (x )＝ln x －x 2＋2x ＋5的零点个数为________．解析 令ln x －x 2＋2x ＋5＝0得ln x ＝x 2－2x －5，画图可得函数y ＝ln x 与函数y ＝x 2－2x －5的图象有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.答案 25．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________．解析 ∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (1)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0.∴－1<b <0. 答案 (－1,0)6．判断方程log 2x ＋x 2＝0在区间⎣⎡⎦⎤12，1内有没有实数根？为什么？解析 设f (x )＝log 2x ＋x 2，先设该方程有实数根，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＋⎝⎛⎭⎫122＝－1＋14＝－34＜0， f (1)＝log 21＋1＝1＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫12·f (1)＜0. ∵函数f (x )＝log 2x ＋x 2的图象在区间⎣⎡⎦⎤12，1上是连续的，∴f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，1内有零点，即方程log 2x ＋x 2＝0在区间⎣⎡⎦⎤12，1内有实根．[能力提升]7．已知f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．不能确定解析 因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f (x )有三个零点，则其和必为0.答案 A8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≤0，－2＋ln x ，x >0，若函数y ＝f (x )－k 有三个零点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[1,2]D ．[1,2)解析 函数y ＝f (x )－k 有三个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 有三个交点，f (x )的图象如上，由图象可得－2<k ≤－1.故选A ．答案 A9．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析 函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0<a <1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)的图象过点(0,1)，当直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a >1.答案 (1，＋∞)10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧ (－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a >0，a >1，解得2≤a <52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a <0，解得a >52. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝4>0，f (1)＝5－2a <0，f (6)＝40－12a <0，f (8)＝68－16a >0，解得103<a <174. [探索创新]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C. 答案 C。
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方程的根与函数的零点
1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ）
A 、12-+
B 、12--
C 、12
-± D 、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
3. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.
A. (1, 2)
B. (2 , 3)
C. (3, 4)
D. (4, 5)
4. 求证方程231
x x x -=
+在(0,1)内必有一个实数根.
5. （1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 .
（2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 .
6. 已知关于x 的方程x 2
＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．
7. 已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.
(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.
8. 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有三个零点，分别是0、1、2,如图所示，
求证:b <0.
1.C
2.D
3.易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数.
∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，
(3)ln366ln30f =+-=>.
∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B.
4. 证明：设函数2()31
x x f x x -=-+. 由函数的单调性定义，可以证出函数()f x 在(1,)-+∞是减函数.
而0(0)3210f =-=-<，115(1)3022
f =-
=>，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且只有一个. 所以方程231x x x -=+在(0,1)内必有一个实数根. 点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程231x x
x -=+的实根个数.
5. 解：（1）设函数2()21f x ax =-，由题意可知，函数()f x 在(0,1)内恰有一个零点.
∴ (0)(1)1(21)0f f a =-⨯-<， 解得12
a >
. （2）∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤，
∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得23
m ≤-. 所以， 实数m 的取值范围是2(,]3-∞-. 点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式
6. 解：令
2()223f x x mx m =+++有图像特征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）内需满足的条件是
解得3514m -
<<-。
7. 因为函数f (x )=|x 2
-2x -3|-a 的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x 2-2x -3|-a =0根的个数来讨论，即转化为方程|x 2-2x -3|=a 的根的个数问题,再转化为函数f (x )=|x 2-2x -3|与函数f (x )=a 交点个数问题.
解：设f (x )=|x 2-2x -3|和f (x )=a 分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它
们交点的个数，即函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 的零点个数.
(1)若函数有两个零点，则a =0或a >4.
(2)若函数有三个零点，则a
=4.
(3)函数有四个零点,则0<a <4.
8.证：因为f (0)=f (1)=f (2)=0,所以d =0,a +b +c =0,4a +2b +c =0. 所以a =3b -,c =32-b .所以f (x )=3b -x (x 2-3x +2)=3
b -x (x -1)(x -2). 当x <0时，f (x )<0，所以b <0.
证法二：因为f (0)=f (1)=f (2)=0,所以f (x )=ax (x -1)(x -2).
当x >2时,f (x )>0,所以a >0.比较同次项系数，得b =-3a .所以b <0.。