方程的根与函数的零点复习总结课.ppt
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优质《方程的根与函数的零点》ppt课件
由表和图可知：
f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内 有零点。
由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数，所以 它仅有一个零点。
y
14
.
12
.
10
.
8
.
6
.
4 2
..
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
. －2
－4
－6
16
变式:方程ln x 2x 6 0在下列哪个区
零点( B )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
20
（八）反思小结，培养能力
1、函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
2、等价关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
7
（三）生活实例、创设情景
生活实例：观察气象站温度变化图象，根据该图
象片段，推断哪一个图像说明在某时刻的温度为
0℃？ y
8
0
A -4
B 20 x
y
0
A -4
20
x B
8
（四）抽象实例、合情推理 问题4：结合生活实例，若将A、B看成是函数 图象的起点和终点，则A,B应满足什么条件就 能说明函数值在某点一定为0(即存在零点)？
问题8 若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点， 一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
y
bbb bb
b
0 a b b bb bb x
《方程的根与函数的零点》 ppt课件
又因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数， 所以它仅有一个零点。
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16
1．函数 f (x) x3 3x 5的零点所在的大致区间为（ ）
A．（-2,0） B．（1,2） C．（0,1） D．（0,0.5）
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17
小结
函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
那么函数f (x) 在区间1,7 上的零点至少
有3 _____个
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15
例3 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。 解：分别列出部分x、f(x)的对应值表如下：
x12 345
f (x) 4 ln22 ln 3 ln 4 2 ln5t;0，即f(2)·f(3)<0， 且f(x)在(0,+∞)单调递增。 说明这个函数在区间(2,3)内有零点。
方程的根与函数 的零点
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3
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点
零点是一个点吗?
注意：零点指的是一个实数
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4
方程是否有根
转化
相应的函数是 否有零点
求方程根的问题
转化
求相应函数的零 点问题的问题
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5
函数y=f(x)有零点
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12
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13
零点的存在性定理
f (x)在a,b上连续
f ( x)在 a,b上单调
f (a) f (b) 0
f ( x)在a, b有唯一
零点
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14
已知函数f (x) 的图像是连续不断的，有 如下表所对应值：
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16
1．函数 f (x) x3 3x 5的零点所在的大致区间为（ ）
A．（-2,0） B．（1,2） C．（0,1） D．（0,0.5）
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17
小结
函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
那么函数f (x) 在区间1,7 上的零点至少
有3 _____个
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15
例3 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。 解：分别列出部分x、f(x)的对应值表如下：
x12 345
f (x) 4 ln22 ln 3 ln 4 2 ln5t;0，即f(2)·f(3)<0， 且f(x)在(0,+∞)单调递增。 说明这个函数在区间(2,3)内有零点。
方程的根与函数 的零点
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3
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点
零点是一个点吗?
注意：零点指的是一个实数
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4
方程是否有根
转化
相应的函数是 否有零点
求方程根的问题
转化
求相应函数的零 点问题的问题
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5
函数y=f(x)有零点
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零点的存在性定理
f (x)在a,b上连续
f ( x)在 a,b上单调
f (a) f (b) 0
f ( x)在a, b有唯一
零点
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已知函数f (x) 的图像是连续不断的，有 如下表所对应值：
函数的零点与方程的根.ppt
例 6 （ 上 海 02 高 考 ）、 已 知 函 数
f
(x)
ax
x2 x 1
a
1。
(1)求 f(x)单调区间。
(2)若 a=3,求证方程 f(x)=0 有且仅有一个正根。
解:(1)定义证明.(2)因在 (1,) 为增函数,
故在 (0,) 为增,又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 以在(0,1)有且只有一个正根.下用二分法 约为 0.28(列表,区间,中点,中点函数值)
求函数F( x) f ( x) g( x)的零点可转化为 求函数y f ( x)与y g( x)图像交点的横坐标
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳：1、一元二次函数、不等式、方程的关系
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0 ）的 图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1 x2 )
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b 2a
无实根 R
ax2 bx c 0
例7 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m
－1，g(x)＝x＋ex2(x>0)． (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范
围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)
＝0有两个相异实根．
y f (x) 有零点（即横坐标）。
若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，则零点 x0为不变号零点若函数f(x)的图像在x=x0处与x 轴相交，则零点x0为变号零点
方程的根与函数的零点 课件
此判定方法经常考，要注意条件一定要完备，缺一不可． 反之，若函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 不一定 成立． 因为 f(x)在(a，b)内的零点可能为不变号零点，也可能不止一个 零点．
(2)应用零点存在性定理应注意以下问题： ①并非函数所有的零点都能用该定理找到，当函数值在零点左 右不变号时就不能应用该定理，如函数 y＝x2 在零点 x0＝0 左右 的函数值都是正值，显然不能使用定理判断，只有函数值在零 点的左右两侧异号时才能用这种方法． ②利用零点存在性定理只能判别函数 y＝f(x)在区间(a，b)上零 点的存在性，但不能确定零点的个数．
2．解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与所给 端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在 写不等式时要注意条件的完备性．
方程的根与函数的零点
自学导引 1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把 使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞ ＞00， ，
题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
课件高一数学《方程的根与函数的零点》PPT课件_优秀版
方程x2－2x+1=0与函数y=x2－2x+1
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
1方程的根与函数的零点
函数
的零点是（ ）
（1）当 时，一元二次方程有两个不等的实数
求出下列一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象，并说出方程的根和函数图象的关系。
3、 函数零点存在的条件
方程x2－2x+3=0与函数y=x2－2x+3
方程的根与函数零点的关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
练习：判断函数 f(x)2x23x2有几个零点。
注 意：
• 函数的零点并不是以坐标形式出现的“点” 而是实数。
• 函数的零点亦即函数y=f（x）的图像与x轴 交点的横坐标。
问题3
对于任意的函数，如何判定这个函数是否有零点，有 几个零点？
• 若f（a）·f（b）＜0，能推出y=f（x）在 (a，b)有一个零点？
• 若在（a,b)上函数y=f（x）有零点，能否 推出 f（a）·f（b）＜0？
1方程的根与函数的零点
说明这个函数在区间(2,3)内
根
，相应的二次函数的图象与 轴有唯一的
即存在
，使得
，这个 也就是方程
的根。
3、 函数零点存在的条件
样的结 论或者 感受？
结 论？
一般地，如果函数 y f (x)在区间 [a , b ] 上的图 象满足 f(a)f(b)0 那么，函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有一个零点。
即存在 c(a,b) ，使得 f (c)0 ，这个 c也就
是方程 f (x)0的根。
思考
• 对于函数y=f（x）在[a，b] 不是一条连续 不断的曲线？
方程的根与函数的零点 课件
3.1.1 方程的根与函数的零点
例1、 求函数f(x) = lnx+2x-6的零点的个数。
解：用计数器作出x，f(x)的对应表如下 3 4 5 6 7 8 9 1.09 3.38 5.60 7.79 9.94 12.0 14.1 f(x) -4 -1.3069 86 63 94 18 59 794 972 x 1 2
3.1.1 方程的根与函数的零点
2、 函数的零点 对于函数 y = f(x) ，我们把使 f(x) = 0的实数x叫做 函数 y = f(x)的零点。
方程f(x) = 0有实数根
函数y = f(x) 的图象与x轴有交点 函数y = f(x) 有零点
3.1.1 方程的根与函数的零点
探究：
请同学们观察函数f(x)=x² -2x-3的图象，并 计算f(-2)与f(1)的乘积, f(2)与f(4)的乘积,有 什么特点？此时在相应的区间上有没有零 y=x² -2x-3 点？
3.1பைடு நூலகம்1 方程的根与函数的零点
3、
勘根定理
如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a)×f(b)<0， 那么，函数y=f(x)在区间(a ,b)内有零点，即 存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方 程f(x)=0的根。
探究一：有多少个零点？
探究二:如果在定理中再加入条件“在区间[a,b] 上单调”，那么有多少个零点？
3.1.1 方程的根与函数的零点
单位：大庆东风中学
制作: 申 占 宝
3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 大家思考一下： 一元二次方程 ax² + bx + c =0 的根与二次函数y = ax² + bx + c 的图象有什么关系？
4.4.1方程的根与函数的零点课件高一上学期数学
2≤m<16,
f(x)= ,
2
y=0,y= 共有
2
6个
规律方法
已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
(1)直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确
定参数的取值范围.
(2)数形结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)[h(x),g(x)的
y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,
再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2
(1)若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是( B )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1]
2 -2, ≤ 0,
3.已知函数 f(x)=
则函数 y=f(x)+3x 的零点个数是( C )
1
1 + , > 0,
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 根据题意,令x2-2x+3x=0,
解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;
1
令1+ +3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
探究点二
函数零点个数的判断
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
解 令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,
人教A版数学必修一3-1-1方程的根与函数的零点(68张).pptx
又 f(x)＝x－3＋lnx 在(0，＋∞)内是增函数，所以原函数 只有一个零点.
命题方向 3 判断函数的零点、方程的根所在的区间
[例 3] (2010·天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一
个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[分析] 函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解．
f0＝2m＋1<0 观察图象可得ff－ 1＝1＝ 4m2＋>02<0 ，
f2＝6m＋5>0
解得－56<m<－12.
所以 m 的取值范围是(－56，－12)．
规律总结：这类题目一般是从几何角度入手，利用代数 方法解决．若题目改为函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的两个零
f0>0 点均在区间(0,1)内，则需满足不等式组fΔ≥1>00
(3)函数 y＝x2－2x＋3 与 x 轴没有交点，方程没有实根．
观察可知，二次函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标恰好是相 应方程 f(x)＝0 的根，这种关系对一般的一元二次函数与其相 应的方程之间的情况也成立，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的实根就 是 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标．
[解析] (1)令 f(x)＝0，即 3x＋2＝0，∴x＝－23. ∴f(x)＝3x＋2 的零点是－23. (2)令 f(x)＝x2－3x－4＝0，得 x1＝4，x2＝－1. ∴f(x)＝x2－3x－4 的零点是 4，－1. (3)令 f(x)＝log2x＝0，得 x＝1， ∴f(x)＝log2x 的零点为 1.
名师辩误做答
1．混淆了零点与点的概念 [例 5] 函数 f(x)＝x2－5x＋6 的零点是________． [错解] (2,0)，(3,0) 由题意，得 x2－55x＋6＝0，∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是(2,0)和(3,0)．
命题方向 3 判断函数的零点、方程的根所在的区间
[例 3] (2010·天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一
个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[分析] 函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解．
f0＝2m＋1<0 观察图象可得ff－ 1＝1＝ 4m2＋>02<0 ，
f2＝6m＋5>0
解得－56<m<－12.
所以 m 的取值范围是(－56，－12)．
规律总结：这类题目一般是从几何角度入手，利用代数 方法解决．若题目改为函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的两个零
f0>0 点均在区间(0,1)内，则需满足不等式组fΔ≥1>00
(3)函数 y＝x2－2x＋3 与 x 轴没有交点，方程没有实根．
观察可知，二次函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标恰好是相 应方程 f(x)＝0 的根，这种关系对一般的一元二次函数与其相 应的方程之间的情况也成立，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的实根就 是 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标．
[解析] (1)令 f(x)＝0，即 3x＋2＝0，∴x＝－23. ∴f(x)＝3x＋2 的零点是－23. (2)令 f(x)＝x2－3x－4＝0，得 x1＝4，x2＝－1. ∴f(x)＝x2－3x－4 的零点是 4，－1. (3)令 f(x)＝log2x＝0，得 x＝1， ∴f(x)＝log2x 的零点为 1.
名师辩误做答
1．混淆了零点与点的概念 [例 5] 函数 f(x)＝x2－5x＋6 的零点是________． [错解] (2,0)，(3,0) 由题意，得 x2－55x＋6＝0，∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是(2,0)和(3,0)．
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(a>0)的图象x1 ， x2
函函x1数-数-O42 yy==ff((xxx2))x的有图零象O点2 与x1 x轴x有交点-O12
123 x
函数的图象与x轴 两个交点
的交点
(x1,0), (x2,0)
一个交点 (x1,0)
没有交点
函数的零点
x1 ，x2
x1
无
(三)函数零点的判定(零点存在性定理)填空，口答
（y=f一(x)）的零函点数．的零点的定义什么？自由回答
注意： 1、零点指的是一个实数
零点是一个点吗?
2、求函数零点就是求方程 f(x) 的0实数根。
（二）请同学们根据下表填写的内容，结合一元二次方程的根与 相应的函数零点之间的关系，思考函数的零点、方程的根与函数 与x轴交点有什么关系？
判别方式Δ=b程2-4ac x2-Δ2>x-03=0
函数与方程
——方程的根与函数的零点
复习目标 1、掌握函数零点的概念，(1个概念)
2、结合二次函数图象，了解函数的零点与相 应方程根的关系，(1个关系）
3、掌握函数的存在性定理，能判断一个函数 零点所在区间, （1个定理）
4、会用图象的交点解决一个函数零点所在区 间及个数问题.（2种思想方法：数形结合、转化）
(3)f(x)在 (a,b)内有零点 f(a， )f(必 b)有 0
y
Oa
bx
零点存在性定理的条件 是充分条件，但不必要
（(45 ）)若 f(a )f(b )0 ,则在 (a ,b )内 区函 f间 (x)有 数 零点
二、回归课本 感受经典
请同学们在练习本上写出解题步骤。完成后代表展示。
1、直接求函数的零点
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
4.函数 f(x)lo 2x g 2x1的零点必落在区间（c ）
A. 1 , 1
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
B. 1 , 1 4 2
C. 1 ,1
2
D.(1,2)
5．根据下面表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0
的一个根所在的区间为___(_1_,_2_)___.
基础知识 自主学习
填写内容： 《导学教程》33页左边的第一、二两部分，
填写要求： 1、填写、理解并熟记， 2、先独立填写，看能回忆多少，如果有疑问， 可阅读必修一课本87-88页内容， 3、填完后同桌核对答案， 4、时间约5分钟。
要点解析
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
是 (2，0) 、2
。
2、二次函数f (x)= ax 2 +bx + c（a≠0），ac<0,则函数的零点有
（ B ）个
A. 1
B. 2
C. 0
D. 不确定
3、已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：
x 1 23456 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间(1, 6)上的零点至少有（ C ）个
是（ B ）
A（1，2） B（2,3） C （3，4） D （4，5）
解法2：
y
将函数f(x)= lnx+2x-6的零点所在
6
的区间转化为函数 y= lnx与y=-2x +6的
图象交点的所在的区间．
y= lnx
O 1234
x
y= - 2x +6
三、迁移应用 巩固提升
1、函数y=2x-4的图象与x轴的交点坐标及其零点分别
（2,3）、（3,4）、（4,5）
（2）函数 f(x)ln x2x6的零点所在的大致区间 是（B ）
A（1，2） B（2,3） C（3，4） D（4，5）
二、确定零点的所在区间
异号定零位
（2）函数 f(x)ln x2x6的零点所在的大致区间
是（ B ）
A（1，2） B （2,3） C （3，4） D （4，5）
x
－1 0
1
2
3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3
至少有一个 若添加：y＝f(x)在区间[a，b]上具有单调
y
性，则只有一个零点
y
y
a
o
ac
b xO
bx
c Oa
b x
思考：已知函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断
的曲线，判断下列结论，正确的是_(_4_)___
(1 )若 f(a )f(b )0 ,则在 (a ,b 区 )内间 函 f(x)有 数且 有一个零点； (2 )若 f(a )f(b ) 0 ,则在 (a ,b )内 区函 f间 (x)无 数 零
1, - 5
（代数法）求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0 ； (3)写出零点.
二、确定零点的所在区间
异号定零位
例2、（1）已知函数f（x)的图象是连续不断的，且 有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
f(x) 136.34 15.4 -3.92 10.8 -42.4
函数在哪几个区间有零点？为什么？ f(2)f(3)0
解法1：估算f(x)在各整数处的取值的正负：
x 1 2 3 45 f(x)
f( 1 ) ln 1 2 6 0 2 6 0
f( 2 ) ln 2 4 6 ln 2 2 0
f(3 ) ln 3 6 6 ln 3 0
f(2)f(3)0
三、确定零点的区间与个数
画图定零数
[例2]函数 f(x)ln x2x6的零点的区间
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的
一条曲线，并且有_f_(a_)_·_f(_b_)_<_0_，那么函数y＝f(x)在区
间_(_a_，__b_) ___内有零点，即存在c∈(a，b)，使得
_f(_c_)＝__0__，这个c__也就是f(x)＝0的根． 思考：
1．在上面的条件下，(a，b)内的零点是否只有1个？
x2-Δ2x=+01=0
方程方ax程2 +的bx+根c=0 两x个1=不-1相，等x2=的3 有两x个1=相x2等=1的
(a>0函)的根 数
实数y=根x2yx-21 x、-3x2
实数y=根x2x-12=x+x12 y
x2-Δ2x<+03=0 无实数根 没有实数根 y=x2-2x+3
y
函数y=ax2等+bx价+c关系：2 方程f(x)=0有4 实数根 4
求根定零点
例1（ 1）、函数f (x)=x(x2-16)的零点为( D )
A. (0,0), (4,0)
B. 0, 4
C. (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D. – 4 , 0, 4
（2）、求下列函数的零点：
(1)f(x)= - x2+3x (2)f(x)=lg(x2+4x-4)
0, 3