纠错码——原理与方法

非时变信道
当各因子具有相同的转移概率形式时
有记忆信道
实际的连续信道通常会有符号间串扰（ISI）， 因此是有记忆的，但在一种较常见的特殊情况 下，即在加性平稳白高斯噪声下的线性信道 （y=Ax+n）时，可以等效于一个无记忆信道。
有记忆信道的无记忆化
对A作线性变换使正交化得：A=UTU，其中 为A的特征值矩阵。代入得 y= UTUx+n，令
第1章 纠错码基本概念
什么是纠错码？为什么要引入纠错码？纠错码在 通信系统中起什么作用？ 如何实现纠错码？ 如何衡量纠错码的纠错能力及性能？ 纠错码的发展概况
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
1.1 纠错码的作用
数字通信系统模型
收
发 能够发现错误的码 收 ARQ
应答信号
发
能够发现和纠正错误的码
收
HEC 应答信号
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纠错码的基本原理
——纠错码如何纠正错误？
引入信道编码 检错和纠错：对付信道引入的差错
直观的译码准则：最小距离译码
数字通信系统的简化模型
信源、信道与信道编码
信源：实时性与非实时性，可变速率，多媒体 信道：离散与连续，时变与非时变，有记忆与无 记忆
常见信道：模拟基带信道、射频信道、存储器等
不同的信源和信道类型所对应的最佳编码方案是 不同的。 信道编码：从消息到信道波形或矢量的映射 复接、代数编码、调制、成形滤波、扩频、上下 变频等等都属于广义的信道编码范畴
子科技大学出版社，高等学校教材； “差错控制编码 （第二版）”, Shu Lin，Daniel J.Costello, 机械工业出 版社，电子与电气工程丛书）
其他有关事项
课外阅读，以turbo code，LDPC code，喷泉码， polar码为引子 论文与编程：五年内的国外期刊，以一两篇为主， 结合自己的理解，按电子学报论文形式，有创见 更好，可以与编程结合。编程内容在随后的课程 中出题目。占50% 考试：基本概念，50% 联系方式：email: rsun@mail.xidian.edu.cn
无记忆信道
离散信道
当m=n，且P(y=b|x=a)=P(y1|x1)P(y2|x2)...P(yn|xn) 时， 各维的收符号只与相应的发符号有关，称为无记忆 离散信道，简写为DMC
连续信道
当m=n，且p(y=b|x=a)= p(y1|x1)p(y2|x2)...p(yn|xn) 时， 各维的收符号只与相应的发符号有关（无符号间串 扰），称为无记忆连续信道
x=UTx’，y’=UTy，n=UTn’，则有y’=x’+n’。于
是对x’和y’而言就形成了一个无记忆信道。由于 U为正交变换，不会产生信息量丢失，因此可 以认为X’-Y’信道与X-Байду номын сангаас信道是等价的。于是我 们就可以直接利用有关无记忆信道的编码了。
信道模型 离散无记忆信道DMC
p(0 | 0) p(1 | 0) p( q 1 | 0) P p ( 0 | 1 ) p ( 1 | 1 ) p ( q 1 | 1 )
二进制信道
二进制信道
DMC信道
DMC信道
二进制删除信道
二进制删除信道
二进制纯删除信道
二进制纯删除信道
错误类型
随机错误——随机错误信道：深空信道，卫星信 道等 突发错误——突发错误信道：无线信道，电缆传 输（开关脉冲噪声，串音），磁记录信道 混合错误——混合信道
差错控制系统分类
发
FEC
可纠正错误的码
信道编码：从消息到信道波形或矢量的映射
消息集中 一个元素
信道波形 空间中的 一个点
失真后 的波形
恢复的 消息
信源 编码
信道 编码
消息到波 形的映射
信道
信道 译码
判断是消 息集中的 哪个元素
信源 译码
引入失真
信
道
信道实际上也是从发空间X到收空间Y一 个映射函数 发空间的维数n与收空间的维数m可以不 等 根据收发空间中每一维所取的数域有限 或无限可分为离散信道和连续信道 这里借用了空间的名称，但只用到了它 的集合概念而没有用到空间中的运算
0
0.9 0.1 0.1 0.9 BSC信道
0
1
1
能够纠正一个错误，发现两个错误
n=4时
许用码组：0000，1111 禁用码组：0001, 0010, 0100, 1000, 0011, 0101, 0110, 1100, 1001, 1010, 0111, 1101, 1110, 1011 能够纠正一个错误同时发现两个错误 发现三个错误
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纠错码——原理与方法
有关事项
目的：了解信道编码的作用与意义，对信道编码 的研究方法和成果有广泛的基本认识，学会应用， 为进一步研究打下基础 特点：以概念和物理意义为主，数学推导尽量放 到课外 考核形式：论文/计算机仿真+开卷考试 参考书： “纠错码——原理与方法”，王新梅，西安电
信道特性的描述
离散信道
可用转移概率律描述：P(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)X, b=(b1,b2,...bm)Y,均为矢量 （或n(m)重符号）
信道特性的描述 连续信道
可用转移概率密度函数描述：p(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)X, b=(b1,b2,...bm)Y, 均为矢量 （或n(m)重符号） 根据奈奎斯特采样定理，带限的时域连续波 形可以用采样序列描述。
Shannon第二定理
当信息速率R小于信道容量C时，总存在 一种编码方式使差错率低于任一给定值e
接近信道容量
重复码
00…00 许用码字 11…11 若将每个比特重复n次，则构成一个码长为 n，信息位长度为1的(n,1)重复码,且编码效 率(码率)R=1/n
n=2时
许用码组：00，11
禁用码组：01，10 能够发现一个错误，但不能纠正错误 n=3时 许用码组：000，111 禁用码组：001, 010, 100, 011, 101, 110