专题：构造全等三角形方法总结

专题：构造全等三角形
利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）
倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。

1、如图1，在△ABC中，AD是中线，BE交AD于点F，且AE＝EF．
试说明线段AC与BF相等的理由．
简析由于AD是中线，于是可延长AD到G，使DG＝AD，连结BG，则
在△ACD和△GBD中，AD＝GD，∠ADC＝∠GDB，CD＝BD，所以△ACD≌△GBD（SAS），所以AC＝GB，∠CAD＝∠G，而AE＝EF，所以∠CAD＝∠AFE，
又∠AFE＝∠BFG，所以∠BFG＝∠G，所以BF＝BG，所以AC＝BF．
说明要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个
三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形．
利用三角形的角平分线来构造全等三角形
法一：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

在AB上截取AE=AC，连结DE。

（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。

）
法二：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

延长AC到F，使AF=AB，连结DF。

(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。

)
法三：在△ABC中，AD平分∠BAC。

作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。

(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形)
图1
G
C
F
B
A
E D
（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）
2、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°
法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。

法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。

∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠1=∠2（角平分线定义）
在△ABD和△EBD中在△BFD和△BCD中
∵AB=EB（已知）BF=BC（已知）
∠1=∠2（已证）∠1=∠2（已证）
BD=BD（公共边）BD=BD（公共边）
∴△ABD≌△EBD（S.A.S）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）
∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等）DF=DC（全等三角形的对应边相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DE=DC（等量代换）∴DF=AD（等量代换）
∴∠4=∠C（等边对等角）∴∠4=∠F（等边对等角）
∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），∵∠F＝∠C（已证）
∠A＝∠3（已证）∴∠4=∠C（等量代换）
∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义）
∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）
法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。

∵BD是∠ABC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）
∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义）
在△NBD和△MBD中
∵∠N=∠DMB （已证）
∠1=∠2（已证）
BD=BD（公共边）
∴△NBD≌△MBD（A.A.S）
∴ND=MD（全等三角形的对应边相等）
∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）
∴△NAD和△MCD是Rt△
在Rt△NAD和Rt△MCD中
∵ND=MD （已证）
AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）
∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）
∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），
∠A ＝∠3（已证）
∴∠A+ ∠C ＝180°（等量代换）
法四：作DM ⊥BC 于M ，DN ⊥BA 交BA 的延长线于N 。

∵ BD 是∠ABC 的角平分线（已知） DN ⊥BA ，DM ⊥BC （已知）
∴ ND=MD （角平分线上的点到这个角的两边距离相等） ∵ DN ⊥BA ，DM ⊥BC （已知） ∴△NAD 和△MCD 是Rt △ 在Rt △NAD 和Rt △MCD 中 ∵ ND=MD （已证）
AD=CD （已知）∴Rt △NAD ≌Rt △MCD （H.L ） ∴ ∠4=∠C
（全等三角形的对应角相等） ∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义） ∠A ＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C ＝180°（等量代换）
利用高可以高线为对称轴构造全等三角形
3、在△ABC 中，AD ⊥BC ，若∠C ＝2∠B ．试比较线段BD 与AC +CD 的大小．
简析 由于AD ⊥BC ，所以可在BD 上截取DE ＝DC ， 于是可得△ADE ≌△ADC （SAS ），所以AE ＝AC ，∠AED ＝∠C ， 又∠C ＝2∠B ，所以∠AED ＝2∠B ，而∠AED ＝∠B +∠BAE ，
即∠B ＝∠BAE ，所以BE ＝AE ＝AC ，所以BD ＝BE +DE ＝AE +DE ＝AC +CD ． 说明 利用三角形高的性质，在几何解题时，可以高线为对称轴构造全等三角形求解．
利用特殊图形可通过旋转变换构造全等三角形
4、设点P 为等边三角形ABC 内任一点，试比较线段P A 与PB +PC 的大小．
简析 由于△ABC 是等边三角形，所以可以将△ABP 绕点A 旋转60°到△ACP ′的位置，连结PP ′，则△ACP ′≌△ABP （SAS ），所以AP ′＝AP ，CP ′＝BP ，△APP ′是等边三角形，即PP ′＝P A ，在△CPP ′中，因为PP ′＜PC +P ′C ，所以P A ＜PB +PC ．
说明 由于图形旋转的前后，只是位置发生了变化，而形状和大小都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题．
E D
C B A
图4
P ′
P
B
A
C
利用利用平行线构造全等三角形
5、△ABC中，AB＝AC，E是AB上任意一点，延长AC到F，连接EF交BC于M，且EM＝FM试说明线段BE与CF相等的理由．
简析由于BE与CF的位置较散，故可考虑将线段CF平移到
ED，所以过点E作ED∥CF，则∠EDB＝∠ACB，∠EDM＝∠FCM，
由于EM＝FM，∠EMD＝∠FMC，所以△EMD≌△FMC（AAS），
所以ED＝CF，又因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB，即∠B＝∠EDB，
所以EB＝ED，所以BE＝CF．
说明这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度
降低．
综合练习
1、如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B 法一：证明：在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。

∵AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
在△AED和△ACD中
∵AE=AC（已知）
∠1=∠2（已证）
AD=AD（公共边）
∴△AED≌△ACD（S.A.S）
∴∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等)
ED=CD（全等三角形的对应边相等）
又∵AB=AC+CD=AE+EB（已知）
∴EB=DC=ED（等量代换）
∴∠B=∠4（等边对等角）
∵∠3= ∠B+∠4= 2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）
∴∠C=2∠B（等量代换）
法二：延长AC到F，使CF=CD，连结DF。

∵AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∵AB=AC+CD，CF=CD（已知）
∴AB=AC+CF=AF（等量代换）
在△ABD和△AFD中
∵AB=AF（已证）∠1=∠2（已证）AD=AD（公共边）F
图5 M
E
A
B
C D
∴△ABD≌△AFD（S.A.S）
∴∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等）
∵CF=CD（已知）
∴∠B=∠3（等边对等角）
∵∠ACB= 2∠F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）
∴∠ACB=2∠B（等量代换）
2、如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。

求证：AD+AB=BC。

法一：证明：延长AE，交直线PQ于点F。

法二：延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。

法三：延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。

3、已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE⊥BC，BD是∠ABC的角平分线，GF ∥BC ，求证：AD=FC。

证明：过D作DH⊥BC，垂足为H。