2020届高考数学百题精炼系列11(文理合卷)
2020届高考数学百题精炼系列13(文理合卷) 精品
2020届高考数学百题精炼系列13注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中，不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，集合{}{}0107|,73|2<+-=<≤=x x x B x x A ，则()U C A B ⋂=（ ）A. ()),5(3,+∞⋃∞-B. ()),5[3,+∞⋃∞-C. ),5[]3,(+∞⋃-∞D.),5(]3,(+∞⋃-∞解析：{}{}520107|2<<=<+-=x x x x x B ，∴{}53<≤=⋂x x B A ()U C A B ⋂=()),5[3,+∞⋃∞-。
故选A2．已知复数1z i =-，则21z z =- A. 2B. －2C. 2iD. －2i解析：22(1)22111z i iz i i--===---- 故选A 3．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ，10413-=S ，则5a 与7a 的等比中项为 （ ）A.24B. 22±C.24±D. 32解析：由369-=S 可得5936a =-，∴45-=a ；由10413-=S 可得713104a =-， ∴87-=a ∴5a 与7a 的等比中项为24±。
故选C4．如果执行右面的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于A ．720 B. 360 C. 180 D. 60解析：1(641)3p =⨯-+=，1,k =3(642)12p =⨯-+=y=-ax +zy=x+1x=11oyx图２主视图224C 1B 1A 1CB A2,k =12(643)60p =⨯-+=，3,k =60(644)360p =⨯-+=，4k =而4m =，k m <不成立，循环结束，输出360p =故选B5．如图2，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为A ．16B ．23C ．43D ．83 解析：该三棱柱的侧视图是长为4，宽为23的矩形，故选D.6．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有 A ．242610A A个B.()2142610CA 个 C.()2142610C个 D.242610A 个解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()2142610C A 个，故选B. 7. 已知点(,)M x y 满足1,10,220.x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z ax y =+的最小值为3，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由各选项知a 取正值，设ax y z +=，结合图形易得当直线y ax z =-+ 过点(1,0)时，z ax y =+取得最小值，故3a =，选C.8．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()2(1)f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．2解析：()2(1)2f x f x ''=+，令1x =得(1)2(1)2f f ''=+，∴(1)f '=2-，故选B. 9．已知一组正数1234,,,x x x x 的方差为2222212341(16)4S x x x x =+++-，则数据122,2,x x ++ 342,2x x ++的平均数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：设1234,,,x x x x 的平均值为x ，则2222212341[()()()()]4S x x x x x x x x =-+-+-+-2222212341(4)4x x x x x =+++-∴2416x =，∴2x =∴12342,2,2,2x x x x ++++的平均数为4故选C.10．若双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（ ）A ．等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形解析：在双曲线12222=-by a x 中，22b a c +=，则a b a e 22+=；在圆12222=+by m x 中，22b m c -=，则m b m e 22-=。
2020届全国百校联考新高考原创冲刺模拟试卷(十一)理科数学
2020届全国百校联考新高考原创冲刺模拟试卷（十一）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题，共52分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 中元素个数是 A ．4B ．5C ．6D ．72．己知函数()1f x x =，则()2f '-等于 A ．4B ．14C ．4-D ．14-3．己知命题p ：,21000nn N ∃∈>，则p ⌝为 A ．,21000nn N ∀∈< B ．,21000nn N ∀∉< C ．,21000n n N ∀∈≤D ．,21000nn N ∀∉≤4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B c C +<， 则ABC ∆的形状是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形 D.不确定5．已知()[]3=sin 1,2,2f x x x x ππ-+∈-，若()f x 的最大值为M ，()f x 的最小值为N ，则M+N 等于 A ．0B ．2C ．4πD ．38π6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知40,20,C 60b c ===o， 则此三角形的解的情况是 A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定7．若一扇形的圆心角为72o ，半径为20cm ，则扇形的面积为 A ．240cm πB ．280cm πC ．240cmD ．280cm8.20世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部分还能发芽开花，己知碳14半衰期为5730年(注：半衰期为放射性元素残留量降为原来的一半所需要的时间)，若1单位的碳14经过x 年后剩余量为y 单位，则y 关于x 的函数表达式是 A ．57302x y -=B ．57302x y =C ．573012x y -=-D ．()573012xy -=-9．计算22sin 13cos 58cos58++oooo等于A ．12B ．2C ．2D ．210．函数()22ln 3f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为A ．4B ．3CD 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分。
2020届高考数学百题精炼系列6(文理合卷) 精品
2020届高考数学百题精炼系列63． 下列结论错误的．．．是 （ ）A ．命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题;B ．命题:[0,1],1xp x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真; C ．“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;D ．若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．【答案】C【分析】根据命题的知识逐个进行判断即可。
【解析】根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p q ∨为真命题，选项B 中的结论正确；当0m =时，22a b am bm <⇒=，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确。
【考点】常用逻辑用语 【点评】本题属于以考查知识点为主的试题，要求考生对常用逻辑用语的基础知识有较为全面的掌握。
4．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是（ ）A．12()S x x dx=-⎰B．12()S x x dx=-⎰C．12()S y y dy=-⎰D．10()S y y dy=-⎰【答案】B【分析】根据定积分的几何意义，确定积分限和被积函数。
【解析】两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[]0,1上，2x x≥，故求曲线2y x=与y x=所围成图形的面12()S x x dx=-⎰。
6．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）正视图侧视图俯视图O thhtOhtOO thA ．B ．C ．D ． 【答案】B【分析】可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断。
【解析】容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少，正确选项B 。
2020高考数学(文科)全国一卷高考模拟试卷(11)
2020高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（11）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，0]B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．∅2．（5分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（5分）某车间生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量之比分别为5：k ：3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B 种型号的产品共抽取了24件，则C 种型号的产品抽取的件数为（ ） A ．12B ．24C ．36D ．604．（5分）已知点（1，2）在双曲线y 2a 2−x 2b 2=1的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．√5C ．√52D ．√625．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．1D ．26．（5分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，E 为棱CC 1上的点，且CE =13CC 1，三棱锥E ﹣BCD 的体积为V 2，则V 2V 1=（ ）A ．13B ．16C ．19D ．1187．（5分）已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a 2+3a 3＝4a 4，则S 5＝（ ） A ．10B ．12C ．16D ．328．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．11√22π3B ．44√11π3C ．44√11πD ．11√22π9．（5分）函数y ＝x 2e x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）抛物线y ＝﹣8x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，﹣2）B ．（﹣2，0）C ．（0，−132）D ．（−132，0）11．（5分）在等比数列{a n }中，若2a 2，3a 3，4a 4成等差数列，则公比q 为（ ） A ．1B ．2C ．1或12D ．1212．（5分）若α为第二象限角，下列结论错误的是（ ） A ．sin α＞cos α B ．sin α＞tan α C ．cos α+tan α＜0D ．sin α+cos α＞0二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量m →=(−2，1)，n →=(4，y)，若m →⊥n →，则|2m →+n →|= ． 14．（5分）已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n ＝2n ，则a n ＝ ． 15．（5分）若x ∈（0，π2），sin （x +π6）=35，则sin （2x +π12）＝ ．16．（5分）已知函数f(x)=ae x−12x2(a∈R)，若函数有两个极值点x1，x2，且x2x1≥2，则实数a的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在△ABC中，AC＝2，∠A=π3，点D在线段AB上．（1）若cos∠CDB=−13，求CD的长；（2）若AD＝2DB，sin∠ACD=√7sin∠BCD，求△ABC的面积．18．（12分）如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且CF＝2FC1，求A1到平面ABF的距离．19．（12分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365天）内100天的PM2.5空气质量指数（AQI）的监测数据，统计结果如表：AQI指数[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]（300，+∞）空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数41318302015记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），AQI指数为x．当x在区间[0，100]内时，对企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时，对企业造成的经济损失与x成直线模型（当AQI指数为150时，造成的经济损失为1100元，当AQI指数为200时，造成的经济损失为1400元）；当AQI指数大于300时，造成的经济损失为2000元．（1）试写出S （x ）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取1天，该天经济损失S 大于1100且不超过1700元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，这30天中有8天为严重污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关？ P （K 2≥k 0） 0.250.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d非严重污染严重污染合计 供暖季 非供暖季 合计20．（12分）已知两定点A(−13，0)，B(13，0)，点P 是平面内的动点，且|PA →+BA →|+|PB →+AB →|=4，记动点P 的轨迹W ． （Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点C （﹣1，0）作两条相垂直的直线分别交轨迹于G ，H ，M ，N 四点．设四边形GMHN 面积为S ，求|GH|2+|MN|2S的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x +（2﹣b ）x ，g （x ）＝ax 2+b （a ，b ∈R ），若y ＝g （x ）在x ＝1处的切线为y ＝2x +1+f ′（0）． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥kg （x ）﹣2k +2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围； （Ⅲ）设θ1，θ2，⋯，θn ∈(0，π2)，其中n ≥2，n ∈N *，证明：f （sin θ1）•f （cos θn ）+f （sin θ2）•f （cos θn ﹣1）+…+f （sin θn ﹣1）•f （cos θ2）+f （sin θn ）•f （cos θ1）＞6n ． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1，直线l 的极坐标方程为θ=π(ρ∈R)．（1）求：①曲线C1的普通方程；②曲线C2与直线l交点的直角坐标；（2）设点M的极坐标为(6，π3)，点N是曲线C1上的点，求△MON面积的最大值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当f（2）+f（﹣2）＞4时，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，∀x，y∈（﹣∞，a]，不等式f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，求a的取值范围．2020高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（11）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，0]B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．∅【解答】解：∵集合A ＝{x |（x ﹣1）（x +1）＜0}＝（﹣1，1}， B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}＝（0，+∞）， ∴A ∩B ＝（0，1）． 故选：C ．2．（5分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．3．（5分）某车间生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量之比分别为5：k ：3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B 种型号的产品共抽取了24件，则C 种型号的产品抽取的件数为（ ） A ．12B ．24C ．36D ．60【解答】解：由题意可得24120=k 5+k+3，求得k ＝2．则C 种型号的产品抽取的件数为 120×35+2+3=36，故选：C ．4．（5分）已知点（1，2）在双曲线y 2a −x 2b =1的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．√5C ．√52D ．√62【解答】解：点（1，2）在双曲线y 2a 2−x 2b 2=1的渐近线上，可得ab =2，所以a 2＝4b 2＝4c 2﹣4a 2，4c 2＝5a 2，所以双曲线的离心率为：e =√52．故选：C ．5．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．1D ．2【解答】解：由程序框图可得第一次：S ＝2，k ＝1， 第二次，S ＝﹣1，k ＝3，不满足退出循环的条件； 第三次，S =12，k ＝5，不满足退出循环的条件； 第四次，S ＝2，k ＝7，不满足退出循环的条件； 第五次，S ＝﹣1，k ＝9，不满足退出循环的条件； 第六次，S =12，k ＝11，不满足退出循环的条件； …观察可知S 的值成周期为3的间隔存在， 第20162=1008次，S =12，k ＝2015，满足退出循环的条件；第1009次，S ＝2，k ＝2017，满足退出循环的条件； 故输出S 值为2， 故选：D ．6．（5分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，E 为棱CC 1上的点，且CE =13CC 1，三棱锥E ﹣BCD 的体积为V 2，则V 2V 1=（ ）A ．13B ．16C ．19D ．118【解答】解：∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为V 1=S ADD 1A 1×AB ，E 为棱CC 1上的点，且CE =13CC 1， 三棱锥E ﹣BCD 的体积为V 2=13×S △BCE ×AB =13×12×13×S ADD 1A 1×AB ， ∴则V 2V 1=118．故选：D ．7．（5分）已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a 2+3a 3＝4a 4，则S 5＝（ ） A ．10B ．12C ．16D ．32【解答】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0， 由a 2+3a 3＝4a 4，∴1+3q ＝4q 2，解得q ＝1． ∴S 5＝2×5＝10． 故选：A ．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．11√22π3B ．44√11π3C ．44√11πD ．11√22π【解答】解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A ﹣BCD ，F 为BD 的中点， 外接球球心O 在过CD 的中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上， 又点O 到A ，B ，D 的距离相等，∴O 又在过左边正方体一对棱的中点M ，N 所在直线上， 在△OEN 中，由NF NE=MF OE，即23=2OE，得OE ＝3，∴三棱锥A ﹣BCD 外接球的球半径R =√OE 2+BE 2=√32+(√2)2=√11，V =44√11π3． 故选：B ．9．（5分）函数y ＝x 2e x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：任意x ∈R ，y ＝x 2e x ＞0，排除C ． y ′＝2xe x +x 2e x ＝（x 2+2x ）e x ，在区间（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上，y ′＞0，y 单调递增， 在区间（﹣2，0）上，y ′＜0，y 单调递减， 故选：A ．10．（5分）抛物线y ＝﹣8x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，﹣2）B ．（﹣2，0）C ．（0，−132） D ．（−132，0） 【解答】解：抛物线y ＝﹣8x 2的标准方程为：x 2=−18y ，所以抛物线的焦点坐标（0，−132）． 故选：C ．11．（5分）在等比数列{a n }中，若2a 2，3a 3，4a 4成等差数列，则公比q 为（ ） A ．1B ．2C ．1或12D ．12【解答】解：等比数列{a n }中，若2a 2，3a 3，4a 4成等差数列，可得6a 3＝2a 2+4a 4， 即有3a 1q 2＝a 1q +2a 1q 3， 即为2q 2﹣3q +1＝0， 解得q ＝1或12，故选：C ．12．（5分）若α为第二象限角，下列结论错误的是（ ） A ．sin α＞cos α B ．sin α＞tan α C ．cos α+tan α＜0D ．sin α+cos α＞0【解答】解：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，A ，B ，C 都对，D 错误． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量m →=(−2，1)，n →=(4，y)，若m →⊥n →，则|2m →+n →|= 10 ． 【解答】解：根据题意，向量m →=(−2，1)，n →=(4，y)， 若m →⊥n →，则m →•n →=−8+y ＝0，解可得y ＝8； 则2m →+n →=（0，10）， 故|2m →+n →|＝10； 故答案为：10．14．（5分）已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n ＝2n，则a n ＝ {2，n =12n−1n，n ≥2 ．【解答】解：当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， ∵a 1+2a 2+3a 3+…+na n ＝2n ，①故a 1+2a 2+3a 3+…+（n ﹣1）a n ﹣1＝2n ﹣1（n ≥2），②由①﹣②得na n ＝2n ﹣2n ﹣1＝2n ﹣1，∴a n =2n−1n ．显然当n ＝1时不满足上式，∴a n ={2，n =12n−1n，n ≥2，故答案为：a n ={2，n =12n−1n，n ≥2．15．（5分）若x ∈（0，π2），sin （x +π6）=35，则sin （2x +π12）＝17√250． 【解答】解：∵x ∈（0，π2），∴x +π6∈（π6，2π3），又sin （x +π6）=35＜√32，∴cos （x +π6）=45，∴sin2（x +π6）＝2sin （x +π6）cos （x +π6）=2425， cos2（x +π6）＝2cos 2(x +π6)−1=2×(45)2−1=725． ∴sin （2x +π12）＝sin[2（x +π6）−π4] ＝sin2（x +π6）cos π4−cos2（x +π6）sin π4=2425×√22−725×√22=17√250． 故答案为：17√250．16．（5分）已知函数f(x)=ae x −12x 2(a ∈R)，若函数有两个极值点x 1，x 2，且x 2x 1≥2，则实数a 的取值范围为 (0，ln22] ．【解答】解：∵函数f （x ）由两个极值点x 1，x 2，∴f ′（x ）＝ae x ﹣x 有两个零点x 1，x 2， 即aex 1=x 1，aex 2=x 2，作比得e x 2e x 1=x 2x 1=e x 2−x 1，令x 2﹣x 1＝t …①，则有x 2x 1=e t ，∴x 2=x 1e t ，代入①，得x 1=te t −1， 由题意知，x 2x 1=e t ≥2，∴t ≥ln 2，令g(t)=t e t −1，（t ≥ln 2），∴g ′(t)=e t −1−te t(e t −1)2， 令h （t ）＝e t ﹣1﹣te t ，则h ′（t ）＝﹣te t ＜0，∴h （t ）单调递减， ∴h （t ）≤h （ln 2）＝1﹣2ln 2＜0，∴g （t ）单调递减， ∴g （t ）≤g （ln 2）＝ln 2，即x 1≤ln 2，而a =x 1e x 1，令u(x)=x e x ，则u ′(x)=1−x e x ＞0， ∴u （x ）在（﹣∞，ln 2]上单调递增， ∴u(x)≤ln22，即a ≤ln22，又f ′（x ）＝ae x ﹣x 有两个零点x 1，x 2，u （x ）在R 上与y ＝a 有两个交点，而u ′(x)=1−x e x ，在（﹣∞，1）上u （x ）单调递增，在（1，+∞）上u （x ）单调递减， u （x ）的最大值为u(1)=1e ，∴0＜a ＜1e ， 综上，0＜a ≤ln22． 故答案为：(0，ln22]． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在△ABC 中，AC ＝2，∠A =π3，点D 在线段AB 上． （1）若cos ∠CDB =−13，求CD 的长；（2）若AD ＝2DB ，sin ∠ACD =√7sin ∠BCD ，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）由cos ∠CDB =−13，得cos ∠CDA =−cos ∠CDB =13， ∴sin ∠CDA =2√23， 由正弦定理得CD sinA =AC sin∠CDA，即√32=2√23，解得CD =3√64； （2）在△ADC 中，由正弦定理，ADsin∠ACD=AC sin∠ADC①，在△BDC 中，由正弦定理，DB sin∠BCD=CB sin∠BDC②，又sin ∠ADC =sin ∠BDC ，AD =2DB ，sin ∠ACD =√7sin∠BCD ， 由①②得，CB =√7，由余弦定理可得，CB 2＝AC 2+AB 2﹣2AC •AB •cos A ，即7＝4+AB 2﹣2AB ，解得AB ＝3， ∴S △ABC =1AC ⋅AB ⋅sinA =3√3．18．（12分）如图，三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝1，BB 1＝3，D 是CC 1的中点，E 是AB 的中点． （Ⅰ）证明：DE ∥平面C 1BA 1；（Ⅱ）F 是线段CC 1上一点，且CF ＝2FC 1，求A 1到平面ABF 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取AA 1的中点G ，连接EG ，DG ， ∵D 是棱CC 1的中点，G 是棱AA 1的中点， ∴DG ∥A 1C 1，EG ∥BA 1，∵DG ⊄平面C 1BA 1，C 1A 1⊂平面C 1BA 1，EG ⊄平面C 1BA 1，BA 1⊂平面C 1BA 1， ∴DG ∥平面AB 1C 1，BA 1∥平面AB 1C 1， 又∵EG ∩DG ＝G ， ∴平面DEG ∥平面BA 1C 1， ∵DE ⊂平面DEF ∴DE ∥平面BA 1C 1；（Ⅱ）解：连接AF ，BF ，A 1F ，由已知BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，可得BC ⊥平面AA 1B ，则F 到底面AA 1B 的距离为BC ＝1．又AB ＝2，AA 1＝BB 1＝3，∴S △AA 1B =12×2×3=3． 由CF ＝2FC 1，得CF ＝2，则BF =√5，S △ABF =12×2×√5=√5． 设A 1到平面ABF 的距离为h ，则由V F−AA 1B =V A 1−ABF ， 得13×3×1=13×√5×ℎ，则h =3√55． 故A 1到平面ABF 的距离3√55．19．（12分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365天）内100天的PM2.5空气质量指数（AQI）的监测数据，统计结果如表：AQI指数[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]（300，+∞）空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数41318302015记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），AQI指数为x．当x在区间[0，100]内时，对企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时，对企业造成的经济损失与x成直线模型（当AQI指数为150时，造成的经济损失为1100元，当AQI指数为200时，造成的经济损失为1400元）；当AQI指数大于300时，造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（x）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取1天，该天经济损失S大于1100且不超过1700元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，这30天中有8天为严重污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关？P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d非严重污染严重污染合计供暖季非供暖季合计【解答】解：（1）依题意，可得函数解析式为S(x)={0，x ∈[0，100]6x +200，x ∈(100，300]2000，x ∈(300，+∞).；（2）设“在本年内随机抽取1天，该天经济损失S 大于1100元且不超过1700元”为事件A ，由1100＜S ≤1700，得150＜x ≤250，由统计结果，知P （A ）＝0.4，即在本年内随机抽取1天，该天经济损失S 大于1100元且不超过1700元的概率为0.4． （3）根据题中数据可得如下2×2列联表：非严重污染严重污染合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计8515100计算K 2的观测值k =100×(63×8−22×7)285×15×30×70=4.575＞3.841， 所以有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关．20．（12分）已知两定点A(−13，0)，B(13，0)，点P 是平面内的动点，且|PA →+BA →|+|PB →+AB →|=4，记动点P 的轨迹W ． （Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点C （﹣1，0）作两条相垂直的直线分别交轨迹于G ，H ，M ，N 四点．设四边形GMHN 面积为S ，求|GH|2+|MN|2S的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P （x ，y ），则PA →+BA →=（13−x ﹣y ）+（−23，0）＝（﹣1﹣x ，﹣y ）），PB →+AB →=（1﹣x ，﹣y ），所以√(−1−x)+(−y)2+√(1−x)2+(−y)2=4，设F 1（﹣1，0），F 2（1，0），则|PF 1|+|PF 2|＝4＞|F 1F 2|，则P 点的轨迹是以F 1，F 2为焦点且长轴长为4的椭圆，所以，动点P 的轨迹W 的方程为：x 24+y 23=1；（Ⅱ）当L GH 、L MN 其中一条直线斜率不存在时，另一条斜率为零，不妨设L GH 斜率不存在，则GH ＝3，NM ＝4，故|GH|2+|MN|2S=9+1612×3×4=256，当L GH 、L MN 两直线斜率都存在时，则设L GH 、L MN 的斜率分别为k 、k ′，则：kk ′＝1； 设L GH 的方程为：y ＝k （x +1），由{y =k(x +1)x 24+y 23=1得：（3+4k 2）x 2+8k 2x +4k 2﹣12＝0易△＞0知恒成立，设G （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8k23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k2故：GH =√1+k 2√(−8k23+4k2)2−44k 2−123+4k2=12(1+k 2)3+4k2，同理得：MN =12(1+k′2)3+4k′2=12(1+k 2)4+3k 2，由题：四边 形GMHN 面积S =12×MN ×GH ，故：|GH|2+|MN|2S=GH 2+MN 212×MN×GH =2（GHMN+MN GH），令GH MN=t ，则t =12(1+k 2)3+4k2×4+3k212(1+k 2)=4+3k 23+4k2=34+74(3+4k 2)∈（34，43）；故：|GH|2+|MN|2S =2（t +1t ）∈[4，256），则|GH|2+|MN|2S的取值范围为[4，256]．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x +（2﹣b ）x ，g （x ）＝ax 2+b （a ，b ∈R ），若y ＝g （x ）在x ＝1处的切线为y ＝2x +1+f ′（0）． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥kg （x ）﹣2k +2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围； （Ⅲ）设θ1，θ2，⋯，θn ∈(0，π2)，其中n ≥2，n ∈N *，证明：f （sin θ1）•f （cos θn ）+f （sin θ2）•f （cos θn ﹣1）+…+f （sin θn ﹣1）•f （cos θ2）+f （sin θn ）•f （cos θ1）＞6n ． 【解答】解：（Ⅰ）由f ′（x ）＝e x ﹣e ﹣x +2﹣b ，得f ′（0）＝2﹣b ，由g ′（x ）＝2ax ，得g ′（1）＝2a ，根据题意可得{2a =2g(1)=a +b =2+1+2−b ，解得{a =1b =2；（Ⅱ）由不等式f （x ）≥kg （x ）﹣2k +2对任意x ∈R 恒成立知，e x +e ﹣x ﹣kx 2﹣2≥0恒成立，令F （x ）＝e x +e ﹣x ﹣kx 2﹣2，显然F （x ）为偶函数，故当x ≥0时，F （x ）≥0恒成立，F ′（x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2kx ，令h （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2kx （x ≥0），则h ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2k ，令H （x ）＝e x +e ﹣x ﹣2k （x ≥0），则H ′（x ）＝e x ﹣e ﹣x ，显然H ′（x ）为（0，+∞）上的增函数，故H ′（x ）≥H ′（0）＝0，即H （x ）在（0，+∞）上为增函数，H （0）＝2﹣2k ， ①当H （0）＝2﹣2k ≥0，即k ≤1时，H （x ）≥0，则h （x ）在（0，+∞）上单调递增， 故h （x ）≥h （0）＝0，则F （x ）在（0，+∞）上为增函数，故F （x ）≥F （0）＝0，符合题意；②当H （0）＝2﹣2k ＜0，即k ＞1时，由于H(ln(2k))=12k ＞0，故存在x 1∈（0，ln （2k ）），使得H （x 1）＝0，故h （x ）在（0，x 1）单调递减，在（x 1，+∞）单调递增，当x ∈（0，x 1）时，h （x ）＜h （0）＝0，故F （x ）在在（0，x 1）单调递减，故F （x ）＜F （0）＝0，不合题意． 综上，k ≤1；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，f(x 1)f(x 2)≥(x 12+2)(x 22+2)=x 12x 22+2x 12+2x 22+4≥2x 12+2x 22+4，当且仅当x 1＝x 2＝0时等号同时成立， 故f(sinθ1)f(cosθn )＞2sin 2θ1+2cos 2θn +4， f(sinθ2)f(cosθn−1)＞2sin 2θ2+2cos 2θn−1+4，……， f(sinθn )f(cosθ1)＞2sin 2θn +2cos 2θ1+4，以上n 个式子相加得，f （sin θ1）•f （cos θn ）+f （sin θ2）•f （cos θn ﹣1）+…+f （sin θn ﹣1）•f （cos θ2）+f （sin θn ）•f （cos θ1）＞6n ．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)． （1）求：①曲线C 1的普通方程； ②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；（2）设点M 的极坐标为(6，π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值． 【解答】解：（1）①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α＝1，所以（x ﹣1）2+y 2＝1，即曲线C 1的的普通方程为（x ﹣1）2+y 2＝1；②由ρ2＝x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝1，又直线l 的直角坐标方程为x ﹣y ＝0，所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22，√22)和(−√22，−√22)．（2）设N （ρ，θ），又由曲线C 1的普通方程为（x ﹣1）2+y 2＝1得其极坐标方程ρ＝2cos θ．∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|． 所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝x |x ﹣a |，a ∈R ．（Ⅰ）当f （2）+f （﹣2）＞4时，求a 的取值范围；（Ⅱ）若a ＞0，∀x ，y ∈（﹣∞，a ]，不等式f （x ）≤|y +3|+|y ﹣a |恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）f （2）+f （﹣2）＞4，可得2|2﹣a |﹣2|2+a |＞4，即|a ﹣2|﹣|a +2|＞2， 则{a ≤−22−a +a +2＞2或{−2＜a ＜22−a −a −2＞2或{a ≥2a −2−a −2＞2， 解得a ≤﹣2或﹣2＜a ＜﹣1或a ∈∅，则a 的范围是（﹣∞，﹣1）； （2）f （x ）≤|y +3|+|y ﹣a |恒成立，等价为f （x ）max ≤（|y +3|+|y ﹣a |）min ，其中当x ，y ∈（﹣∞，a ]，|y +3|+|y ﹣a |≥|y +3+a ﹣y |＝|a +3|＝a +3，当且仅当﹣3≤y ≤a 取得等号，而f （x ）＝﹣x （x ﹣a ）＝﹣（x −a2）2+a 24≤a 24，当且仅当x =12a 时取得等号． 所以a 24≤a +3，解得0＜a ≤6．。
2020届全国高考数学(理)刷题11(2019模拟题)模拟重组卷(五)(解析版)(2021年整理)
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2020届全国高考数学（理)刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（五）（解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·吉林实验中学模拟）在复平面内与复数z＝错误!所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（)A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i答案B解析∵复数z＝错误!＝错误!＝1＋i，∴复数的共轭复数是1－i，就是复数z ＝错误!所对应的点关于实轴对称的点A所对应的复数,故选B。
2．(2019·四川省内江、眉山等六市二诊)已知集合A＝｛0,1｝，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1答案A解析由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合C有｛2｝，｛2，0｝，{2,1},{2，0,1｝，共4种情况,故选A.3．(2019·河北一模)已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示,则剩余部分的表面积为( )A.错误! B．3＋错误! C。
2020届高考数学(理)全真模拟卷11(含解析)
2020届高考数学（理）全真模拟卷11（本试卷满分150分，考试用时120分钟）第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}|1213A x x =-≤+≤，{}2|log B x y x ==，则A B =I （） A ．(]0,1 B ．[]1,0-C ．[)1,0-D ．[]0,1【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A,B ，根据交集的运算求解即可. 【详解】因为{}|1213[1,1]A x x =-≤+≤=-，{}2|log (0,)B x y x ===+∞，所以0,1]A B =I （， 故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题. 2．已知复数z =，则复数z 的共轭复数z =（ ）A 12i -B ．12- C 12i + D ．12+ 【答案】A 【解析】 【分析】复数z 实数化，即可求解. 【详解】因为2i z ===，所以12z i =-.故选:A本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题.3．已知向量a r，b r满足||a =r||1b =r ，且||b a -=rra r与b r的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=r r ，再由向量夹角公式，即可得出结果.【详解】因为向量a r ，b r 满足||a =r||1b =r ，且||b a -=r r所以2||2-=r r b a ，即2222+-⋅=r r r r b a a b ，因此12a b ⋅=r r ，所以cos ,⋅<>===r rr r r r a b a b a b 故选：C 【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型. 4．已知tan 3α=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．10B ．710C ．10-D ．710-【答案】B 【解析】 【分析】利用“1”的变换，所求式子化为关于sin ,cos αα的齐次分式，化弦为切，即可求解. 【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++. 故选:B本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题. 5．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ） A ．98B ．158C ．198D ．278【答案】C 【解析】 【分析】利用3=-n n S a n 得出1231n n a a -=+，先求出1a ，再利用递推式求出3a 即可.【详解】解：当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231nn a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=， 21323112a a ∴=+=+，得254a =， 321523114a a ∴=+=+，得3198a =，故选：C. 【点睛】本题考查数列递推式的应用，是基础题.6．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）A ．114B ．17C ．528D ．514【解析】 【分析】直接根据概率公式计算即可． 【详解】从八卦中任取两卦，基本事件有2828C =种，其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中， ∴这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p 514m n == 故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题． 7．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '=则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C 【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。
2020届高考数学百题精炼系列11(文理合卷)
2020届高考数学百题精炼系列11一、选择题：（每小题仅有一个选项符合题意，共5×12=60分）【解析】当(,0)x ∈-∞时，(0,)x -∈+∞，由于函数()f x 是奇函数，故()()(1)f x f x x x =--=+。
【考点】基本初等函数Ⅰ。
【点评】已知函数的奇偶性和函数在一个区间上的解析式求这个函数在其关于坐标原点对称的区间上的函数解析式，就是根据函数的奇偶性进行转化的，这类试题重点考查化归转化思想是运用。
3．抛物线24x y =上一点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标是（ ）A ．)2,1(B ．)0,0(C ．)1,21(D ．)4,1(【答案】C【分析】根据题意，直线54-=x y 必然与抛物线24y x =相离，抛物线上的点到直线的最短距离就是与直线54-=x y 平行的抛物线的切线的切点。
【解析】'8y x =，由84x =得12x =，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是1(,1)2，该点到直线45y x =-的距离是最短。
【考点】导数及其应用。
【点评】本题以数形结合思想为指导命制，通过形的分析把问题转化为求抛物线的斜率为4的切线的切点坐标。
本题也可以直接根据点到直线的距离公式求解，即抛物线上的点到直线45y x =-的距离是2214()4445452171717x x x x y d -+----===，显然这个函数当12x =时取得最小值，此时1y =。
4．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为 （ ）A ．32B ．12C ．33D ．36【答案】D【分析】由于是三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是2333⨯=，侧棱与底面所成角的余弦值就是这个数值除以侧棱长。
【解析】根据分析，所求的余弦值是33326=。
【考点】空间点、线、面位置关系。
【点评】正三棱锥的底面边长为a ，侧棱长为b 时，2213b a +侧棱与底面所成角的余弦值是33ab 等。
2020届高考数学百题精炼系列10(文理合卷)
2020届高考数学百题精炼系列10一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
【解析】512122i iz i i i ++===-，故其共轭复数是2i +。
【考点】数系的扩充与复数的引入。
【点评】复数的考查重点就是复数的有关概念、代数形式的四则运算以及简单的几何意义。
本题中计算要注意虚数单位i 的性质44142431,,1,()n n n n i i i i i i n +++===-=-∈Z 。
3．已知非零向量AB AC u u u r u u u r 与满足1()0,2||||||||AB AC AB AC BC AB AC AB AC +⋅=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r u u u r u u u r 则，则ABC ∆的形状为（ ）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形【答案】A.【分析】根据平面向量加法的几何意义，向量|||| AB AC AB AC+u u u ru u u ru u u r u u u r的中点在角A的内角平分线上，()0||||AB ACBCAB AC+⋅=u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r说明，角A的内角平分线垂直于对边，根据数量积的定义12||||AB ACAB AC⋅=-u u u r u u u ru u u r u u u r说明120A=︒。
【解析】根据()0||||AB ACBCAB AC+⋅=u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r，角A的内角平分线和BC边的高线重合，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义12||||AB ACAB AC⋅=-u u u r u u u ru u u r u u u r说明120A=︒。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)样卷(十一)解析
（3）二面角 的正切值是 （4） 与平面 所成角的正弦值是
答案：（3）（4）
画出图像，由图像判断（1）是否正确；计算 的体积来判断（2）是否正确；依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法判断（3），（4）是否正确.
解：
画出图像如下图所示，由图可知（1）的判断显然错误.由于 ，故 是二面角 的平面角且 平面 ，故 .过 作 交 的延长线于 ，由于 ，故 是三棱锥 的高.在原图中， ， , , , ，所以 ，故（2）错误.以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系. , ，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ,即 .平面 的法向量是 .设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，故 ，则其正切值为 .故（3）判断正确.平面 的法向量为 ， ，设直线 和平面 所成的角为 ，则 ，故（4）判断正确.综上所述，正确的有（3），（4）.
点评：
本小题主要考查折叠问题，考查空间面面垂直的判断，考查锥体体积计算，考查二面角的计算以及线面角的计算，属于中档题.
14．设正数 满足 ，则 的最小值为__________
答案：
将 转化为 ，用这个“1”去乘求最小值的式子，化简后利用基本不等式来求得最小值.
解：
由 得 ，故 .
点评：
本小题主要考查利ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
A． B． C． D．
答案：A
令y=1,代入 ，得 ，即 ,由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0),所以直线 的斜率为 ，故选A
9．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为
A． B． C． D．
2020届广东省百校高三11月大联考数学（理）试题
【答案】B
【解析】转化条件得 ，根据复数的几何意义即可得解.
【详解】
由题意 ，
其在复平面内对应点的坐标为 ，位于第二象限.
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的运算与复数的几何意义，属于基础题.
3．已知 是等差数列 的前n项和， ， ，则 （）
A．46B．43C．40D．37
【详解】
有放回地取阳爻和阴爻六次，有 种情况，恰好出现四个阳爻和两个阴爻有 种情况，所以恰好出现四个阳爻和两个阴爻的概率 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了古典概型概率的计算和组合数的应用，属于基础题.
7．函数 的大致图象是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】通过函数 的奇偶性、单调性以及当 时 的值，逐个排除错误选项即可得解.
【点睛】
本题考查了导数几何意义的应用，属于基础题.
6．在古代典籍《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“——”表示阴爻，有放回地取出阳爻和阴爻六次合成一卦，恰好出现四个阳爻和两个阴爻的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，计算出共有 种情况，再计算出符合要求的情况有 种，计算即可得解.
【点睛】
本题考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力和方程思想，属于中档题.
10．蹴鞠起源于春秋战国，是现代足球的前身.到了唐代，制作的蹴鞠已接近于现代足球，做法是：用八片鞣制好的尖皮缝制成“圆形”的球壳，在球壳内放一个动物膀胱，“嘘气闭而吹之”，成为充气的球.如图所示，将八个全等的正三角形缝制成一个空间几何体，在几何体内放一个气球，往气球内充气使几何体膨胀，当几何体膨胀成球体（顶点位置不变）且恰好是原几何体外接球时，测得球的体积是 ，则正三角形的边长为（）
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2020届高考数学百题精炼系列11一、选择题：（每小题仅有一个选项符合题意，共5×12=60分）【解析】当(,0)x ∈-∞时，(0,)x -∈+∞，由于函数()f x 是奇函数，故()()(1)f x f x x x =--=+。
【考点】基本初等函数Ⅰ。
【点评】已知函数的奇偶性和函数在一个区间上的解析式求这个函数在其关于坐标原点对称的区间上的函数解析式，就是根据函数的奇偶性进行转化的，这类试题重点考查化归转化思想是运用。
3．抛物线24x y =上一点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标是（ ）A ．)2,1(B ．)0,0(C ．)1,21(D ．)4,1(【答案】C【分析】根据题意，直线54-=x y 必然与抛物线24y x =相离，抛物线上的点到直线的最短距离就是与直线54-=x y 平行的抛物线的切线的切点。
【解析】'8y x =，由84x =得12x =，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是1(,1)2，该点到直线45y x =-的距离是最短。
【考点】导数及其应用。
【点评】本题以数形结合思想为指导命制，通过形的分析把问题转化为求抛物线的斜率为4的切线的切点坐标。
本题也可以直接根据点到直线的距离公式求解，即抛物线上的点到直线45y x =-的距离是2214()4445452171717x x x x y d -+----===，显然这个函数当12x =时取得最小值，此时1y =。
4．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为 （ ）A ．32B ．12C ．33D ．36【答案】D【分析】由于是三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是2333⨯=，侧棱与底面所成角的余弦值就是这个数值除以侧棱长。
【解析】根据分析，所求的余弦值是33326=。
【考点】空间点、线、面位置关系。
【点评】正三棱锥的底面边长为a ，侧棱长为b 时，2213b a +侧棱与底面所成角的余弦值是33ab 等。
5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，则213b a+的最小值为（ ）A ．233 B ．33C ．2D ．【答案】A【分析】根据基本不等式21233b ba a+≥，只要根据双曲线的离心率是2，求出ba的值即可。
【解析】由于已知双曲线的离心率是2，故222221c a b ba a a+⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，解得3ba=所以213ba+的最小值是233。
【考点】圆锥曲线与方程。
【点评】双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率e和渐近线的斜率ba±之间有关系221bea⎛⎫=+± ⎪⎝⎭，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大。
6．极坐标方程(2)()0,(0)3πρθρ--=≥表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线【解析】当1F∠为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；同理当2F∠为直角时，这样的点P 有两个；由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P 也有两个。
故符合要求的点P 有六个。
【考点】圆锥曲线与方程。
【点评】本题中当椭圆短轴的端点与两焦点的张角小于90︒时，P ∠为直角的情况不存在，此时等价于椭圆的离心率小于22；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角等于90︒时，符合要求的点P 有两个，即短轴的两个端点，此时等价于椭圆的离心率等于22；当当椭圆短轴的端点与两焦点的张角大于90︒时，根据椭圆关于y 轴对称这个的点P 有两个，再根据椭圆关于x 轴对称，可得这样的点P 共有四个。
8．将函数3sin2y x =的图像按向量(,1)6a π=-r 平移之后所得函数图像的解析式为（ ）A ．3sin(2)13y x π=++B ．3sin(2)13y x π=-+C ．3sin 216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．3sin(2)16y x π=++【答案】A【分析】按照向量(,1)6a π=-r 平移，即向左平移6π个单位，向上平移1个单位。
【解析】得到的函数解析式是3sin 2()13sin(2)163y x x ππ=++=++。
【考点】基本初等函数Ⅱ。
【点评】按照向量对函数图象进行平移在课标的考试大纲中是不作要求的，偶尔在新课标的一些模拟题中出现这类问题可能是命题者没有注意到该点。
实际上按照向量进行平行可以转化为左右平移和上下平移。
9．已知10101x y x y y +-≤⎧⎪-+>⎨⎪≥-⎩，且22448u x y x y =+--+，则u 的最小值为（ ）A ．322B ．92 C ．22D ．12【答案】B【分析】求解目标2222448(2)(2)u x y x y x y =+--+=-+-，其几何意义是坐标平面内的点(,)P x y 到点(2,2)的距离的平方，而点P 在平面区域10101x y x y y +-≤⎧⎪-+>⎨⎪≥-⎩内，画出区域，分析图形之间的关系即可。
【解析】不等式组所表示的平面区域是如图中的ABC ∆，根据题意只能是点(2,2)到直线10x y +-=的距离最小，这个最小值是2，故所求的最小值是92。
【考点】不等式。
【点评】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域、而二元函数的几何意义和数形结合思想。
这类问题解题的关键是在数形结合思想指导下，二元函数几何意义的运用，本题中点(2,2)能保证是在图中的圆与直线10x y +-=的切点处是问题的最优解，但如果目标函数是2244u x y y =+-+，则此时的最优解就不是直线与圆的切点，而是区域的定点C 。
10．若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，已知73n n S nT n =+，则55a b =（ ）A ．7B ．23C ．278 D ．214【答案】D【分析】根据等差数列的性质，把55a b 转化为99S T .【解析】195519919551999()22122()242a a a a a a S b b b b b b T ++=====++.【考点】数列。
【点评】如果两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，仿照本题解析的方法一定有关系式n nnn a S b T =。
11．已知(2,0),(2,2),(2cos ,2sin )OB OC CA αα===u u u r u u u r u u u r，则OA u u u r 与OB u u u r 夹角的取值范围是（ ）A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】(22cos ,22sin )OA OC CA αα=+=++u u u r u u u r u u u r，这是一个变动的向量，其终点轨迹的参数方程是22cos ,22sin ,x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其中α是参数，这个方程是圆的参数方程，而向量OBuuu r 是y 轴的一个方向向量，求解的问题就转化为求OA u u u r与y 轴的正半轴所成的角的范围，通过数形结合求解。
【解析】(22cos ,22sin )OA OC CA αα=+=++u u u r u u u r u u u r，设(,)A x y ，则22cos ,22sin ,x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其中α是参数，化为普通方程即22(2)(2)2x y -+-=，这是一个以点(2,2)为圆心、2为半径的圆，作出图象如图，从图中可知两向量,OA OB u u u r u u u r 夹角的取值范围是5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
【考点】平面向量。
【点评】本题考查平面向量，但解答试题不是单独依靠平面向量的知识所能解决的，其中涉及到圆的参数方程、直线与圆的位置关系，最重要的是得具备这种在不同学科知识之间进行相互转化的思想意识，这才是本题考查的核心所在。
12．已知M 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，两焦点为12,F F ，点P 是12MF F ∆的内心，连接MP 并延长交21F F 于N ，则||||PN MP 的值为 （ ）A ．22ba a -B ．22ba b- C ．22a b - D ．22a b -【答案】A【分析】由于三角形是内心是三个内角的平分线的交点，使用三角形内角平分线性质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系。
【解析】如图，连结12,PF PF 。
在1MF P∆中，1F P是1MF N∠的角平分线，根据三角形内角平分线性质定理，11MP MF PN F N=，同理可得22MP MF PN F N=，固有1212MPMF MF PNF NF N==，根据等比定理122222122MP MF MF PN F N F N a b a b +===+--。
【考点】圆锥曲线与方程。
【点评】本题考查主要圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形内角平分线性质定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口。
Ⅱ卷（非选择题，本卷共10小题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共5×4=20分）【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，焦点1(,0)4F ，准线方程14x =-，根据抛物线的定义，1211,44AF x BF x =+=+，所以12142AB x x =++=，所以12724x x +=，即AB 中点的横坐标是74，所以AB 中点到直线102x +=的距离是719424+=。
【考点】圆锥曲线与方程。
【点评】本题主要考查抛物线的定义在解决问题中的应用。
如果AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，则12AB x x p =++。
15．若c b a ,,是直角三角形ABC ∆的三边的长（c 为斜边），则圆4:22=+y x C 被直线0:=++c by ax l 所截得的弦长为 ．【答案】3【分析】根据圆的弦长、弦心距、半径之间的关系可得弦长的计算公式，再根据,,a b c 是直角三角形的三边进行化简。
【解析】圆4:22=+y x C 被直线0:=++c by ax l 所截得的弦长22222224c l r d a b ⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，由于222a b c +=，所以23l =。