第七章 多元回归分析：异方差问题
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法多元线性回归是统计学中一种重要的简单线性回归模型，它可以用来研究两个或多个变量之间的关系。
然而，在多元线性回归中容易出现异方差性，这会影响回归结果的准确性。
为了解决多元线性回归中异方差性的问题，研究者提出了一种新的模型加权最小二乘法（WLS），其中权重由变量自身的方差决定。
1.加权最小二乘法（WLS）原理WLS是一种基于最小二乘法改进的新方法，它可以用来消除多元线性回归中的异方差性。
其基本原理是，在估计回归参数时利用各个观测数据的权重，以更好的拟合多元回归曲线。
其中，权重的定义如下：假设观测数据共有n组，那么第i组观测数据的权重可以定义为w_i = 1/sigma_i^2，其中sigma_i^2第i组观测数据的方差，即变量之间有异方差性。
2.权最小二乘法（WLS）的优点（1）WLS可以解决多元线性回归中异方差性的问题。
异方差性经常会影响多元线性回归模型的准确性，而WLS则可以通过调整变量之间的权重来消除异方差性。
（2）WLS也可以用来消除多元线性回归中的过度拟合问题。
WLS 的权重可以用来控制拟合曲线，从而改善模型的准确性。
（3）WLS还可以改善多元线性回归模型的稳健性。
WLS可以通过调整权重来降低一个变量对模型结果的影响，从而增加模型的稳健性。
3.权最小二乘法（WLS）的应用WLS在实际工作中得到了广泛的应用，其中最常见的是用于减少多元线性回归中异方差性的影响。
例如，在金融分析中，可以利用WLS来消除股票价格波动对投资收益的影响。
此外，WLS也可以用来消除多元线性回归中的过度拟合问题，从而提高模型的准确度。
综上所述，用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性是一种有效且有效的做法，它可以改善模型的稳健性和准确度，也可以有效地减少多元线性回归中对异方差性的影响。
多元线性回归模型的异方差问题的浅析
多元线性回归模型的异方差问题的浅析作者：尚云艳祝师强孙浩来源：《科技风》2022年第15期摘要：“应用回归分析”课程是高校应用统计学专业均开设的专业核心课程，多元线性回归模型是非常重要的知识内容，但是由于其理论内容复杂，学生学习难度大，针对此问题，本文从权的概念出发，利用权倒数的性质论证了加权线性回归的合理性。
并以北京市15个经济开发区的销售收入数据为例，运用加权最小二乘估计方法改进模型，最后从残差图和拟合值绝对误差（率）两个方面进行比较，结果均表明加权线性回归效果好。
该方法应用于教学，为教学内容的设计提供了新的思路，便于学生掌握并深入学习。
关键词：异方差;加权最小二乘估计;残差分析;权文献标识码：A回归分析的发展经历了很长的一段历史，早在18世纪，F.Galton提出利用最小二乘原理进行回归分析[1]，从那时开始，回归分析就越来越备受关注，但是随着回归分析的普及，在实际应用中往往出现违背线性回归假设的情况，比如，随机误差异方差、随机误差存在序列相关性、数据观测值异常等问题[2]。
特别是对随机误差异方差的情况，加权线性回归是对普通线性回归的一种改进，但是文献[3-4]中并未证明加权线性回归的合理性。
回归诊断是回归分析中必不可少的内容，由于回归假设都是针对随机误差项提出的，所以要从分析随机误差项ε的估计量（残差）入手，通过从残差和残差图分析来考察模型的合理性[5]。
本文主要讨论在随机误差异方差的情况下，怎样建立合理、合适的模型。
根据以往的经验，处理随机误差异方差问题的方法有加权最小二乘法（WLS）、BOX-COX变换法和方差稳定性变换法，这些方法应用于实际，可以消除或者减弱异方差对拟合模型造成的不良影响。
教科书上仅对加权线性回归的原理有所介绍，但是并没有涉及其本质内容。
本文通过权、权函数、权倒数的性质揭示了加权线性回归的本质，论证了其合理性。
以北京市经济开发区的销售收入数据为例，利用加权最小二乘法建立数学模型，并且进行比较分析，模拟结果表明加权线性回归比普通线性回归有一定的改进之处。
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性是一种有效的数据分析方法，它能够解决多元线性回归中非常常见的异方差性问题。
本文旨在讨论加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法，探讨它的作用、原理以及应用案例。
一、加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的作用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性，也就是根据残差平方和，按给定权重来重新估计回归参数，从而有效减少异方差性对线性回归结果的影响。
主要使用的是基于最小二乘的统计模型。
它首先假定在给定的变量的条件下，观察到的残差遵从正态分布，其方差不随观察数改变而改变，即观察到的残差是加性误差、具有同一的方差。
二、加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的原理加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的基本原理是：将多元线性回归方程中的异方差性用权重修正，使得残差平方和和最小。
为此，建立最小二乘估计模型是必要的，它对残差有以下假设：（1）总体误差ε平均为0；（2）总体误差ε服从正态分布；（3）总体误差ε的方差为ε～N（0，σ2）。
以回归分析中的总体误差平方和为最小二乘估计的准则函数，采用梯度下降法，估计出回归系数的值，从而实现对多元线性回归方程中的外生性问题的消除。
三、加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的应用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的应用非常广泛，在金融、经济、市场营销等领域有着重要的作用。
例如，在股票投资领域，投资人可以利用多元线性回归分析来预测股票价格，由于有异方差性的存在，因此可以通过加权最小二乘法来提高预测的准确性。
此外，在宏观经济分析领域，也可以利用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性，从而更精确地检测经济趋势，从而使政策制定更加有效。
结论本文简要介绍了加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法，并阐述了它的作用、原理和应用案例。
整个方法基本上是利用梯度下降法，以残差平方和最小为准则函数，重新估计观察数据的回归参数，从而有效减少异方差性对线性回归的影响。
r语言多元回归异方差检验并处理
r语言多元回归异方差检验并处理以下是关于r语言多元回归异方差检验并处理的文章：1. 引言在统计学中，多元回归分析是一种常用的技术，用于研究自变量对因变量的影响。
然而，在实际应用中，数据可能存在异方差的问题，即误差方差与自变量之间存在相关性。
本文将介绍如何使用R语言进行多元回归异方差检验并处理。
2. 异方差的概念异方差是指在多元回归分析中，误差项的方差不是恒定的，而是与自变量之间的差异有关。
这可能导致参数估计的不准确性，从而影响对因变量的预测和解释。
3. 多元回归异方差检验在R语言中，我们可以使用许多方法来检验多元回归模型中是否存在异方差。
其中最常用的方法是利用residuals()函数来获取模型的残差，然后使用对应的统计检验方法来检验残差的异方差性。
4. 处理异方差的方法一旦检测到存在异方差，就需要采取相应的处理方法。
在R语言中，可以使用诸如加权最小二乘法（WLS）或广义最小二乘法（GLS）等方法来处理异方差。
5. 个人观点与理解对于多元回归异方差检验并处理，我个人认为这是一个非常重要的统计问题。
在实际应用中，数据往往不满足经典统计假设，因此需要我们针对具体情况进行检验和处理，以确保模型的合理性和准确性。
6. 总结通过本文的介绍，我们了解了R语言中多元回归异方差检验并处理的基本方法和步骤。
在实际应用中，我们需要仔细对待数据的异方差问题，以确保多元回归模型的有效性和稳健性。
通过以上内容，我希望你能对r语言多元回归异方差检验并处理有更深入的了解和掌握。
如果还有任何问题或需要进一步解释，请随时与我联系。
多元回归分析是一种应用广泛的统计技术，它可以用来研究多个自变量对一个因变量的影响。
然而，在实际应用中，我们常常会遇到异方差的问题，即误差项的方差不是恒定的，而是与自变量之间的差异有关。
这可能会对参数估计和模型的预测产生影响。
在R语言中，我们可以使用许多方法来检验多元回归模型中是否存在异方差。
其中最常用的方法是利用residuals()函数来获取模型的残差，然后使用对应的统计检验方法来检验残差的异方差性。
回归分析中的共和异方差性问题处理方法(七)
回归分析中的共和异方差性问题处理方法在统计分析中，回归分析是一种常用的方法，用于探究自变量和因变量之间的关系。
然而，在进行回归分析时，我们经常会面临共和异方差性问题。
共和异方差性指的是误差项的方差在不同的自变量取值下可能会发生变化。
这会对回归分析的结果产生影响，因此需要采取一些方法来处理共和异方差性问题。
共和异方差性问题的存在会导致回归系数估计的不准确性，使得对因变量的预测也不够可靠。
因此，处理共和异方差性问题是进行回归分析时必须要面对的难题。
下面将介绍一些处理共和异方差性问题的方法。
1. 加权最小二乘法在面对异方差性问题时，可以采用加权最小二乘法来解决。
加权最小二乘法可以通过对不同的数据点赋予不同的权重来降低异方差性带来的影响。
通常情况下，加权最小二乘法会基于方差的倒数作为权重，使得方差较大的数据点在回归系数估计中所占比重减小，从而提高了回归系数的准确性。
2. 异方差稳健标准误另一种处理异方差性问题的方法是使用异方差稳健标准误。
这种方法可以通过对标准误进行修正，从而减小异方差性对回归系数估计的影响。
异方差稳健标准误的计算基于对残差的方差进行修正，使得标准误能够更好地反映实际情况，从而提高了回归系数的准确性。
3. 残差的变换对残差进行适当的变换也是一种处理共和异方差性问题的方法。
通过对残差进行变换，可以使得残差的方差在不同的自变量取值下更加稳定，从而降低了异方差性的影响。
常见的残差变换方法包括对数变换、平方根变换等，这些变换可以有效地降低残差的方差，从而改善了回归分析的结果。
4. 异方差稳健回归除了上述的方法外，还可以采用异方差稳健回归来处理共和异方差性问题。
异方差稳健回归使用了一种修正的最小二乘法，通过考虑残差的异方差性来修正回归系数的估计。
这种方法可以有效地降低异方差性对回归分析结果的影响，提高了回归系数的准确性。
总结在进行回归分析时，共和异方差性问题是需要重点关注的难题。
通过采用加权最小二乘法、异方差稳健标准误、残差的变换以及异方差稳健回归等方法，可以有效地处理共和异方差性问题，从而提高了回归分析的准确性和可靠性。
南开大学计量课件多元线性回归异方差问题共43页文档
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
南开大学计量课件多元线性回归异方 问题
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
多元回归分析异方差73页PPT
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
Hale Waihona Puke 61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
南开大学计量多元线性回归异方差问题
和为
2
wi2
2
i
wi2
yi b0b1xi
获得的估计量就是加权最小二乘估计量。对于多元线性回
归模型y=Xβ＋u，令权数序列wi =1/i ，W为N×N对角矩 阵，对角线上为wi ，其他元素为0。则变换后的模型为
Wy WX Wu
（一）加权最小二乘法
方差未知的情形 （1）误差方差与xi成比例
（3）其他的与自变量xi的加权形式f(xi)
f xi r0 r1xi
（一）加权最小二乘法
方差未知的情形
Var
(
)
i
2 i
2
r
0
r
1x
i
y i
b0
b1xi
r0 r1xi r0 r1xi r0 r1xi
i
r0 r1xi
Var
i
1 Var
r 0 r1xi r 0 r1xi
下这个回归的R平方Ru22 。
4、检验零假设是
H0 :1 2 k 0
对方程（2）进行F检验，或计算LM统计量进行检验。
LM
n
•
R2 u2
~
2 k
（三）戈里瑟检验
1、通常拟合
e
和
X
之间的回归模型：
j
e
X
l j
根据图形中的分布选择
l 1,1或 1 2
2、再检验零假设 ＝0（不存在异方差）。如果零假设
纠正异方差性的一个可行程序
（1）将y对x1, x2,…xk做回归并得到残差u; （2）将残差进行平方，然后再取自然对数而得到log(u2); （3）做log(u2)对x1, x2,…xk的回归并得到拟合值g； （4）求拟合值的指数：h=exp(g) （5）以1/h为权数用WLS来估计方程。
多元回归异方差模型方差的局部多项式估计ppt
m(x0 )
m(x0 )(x
x0 )
m(x0 ) 2!
(x
x0 )2
...
m
p (x0 p!
)
(x
x0
)p
O
(x x0 ) p1
在统计建模方面，对x0周围的局部点，我们建模
m(x) 为
p
m(x) j x x0 j
j0
参数 j依赖于 x0 ，故称为局部参数。显然局部
多元回归异方差模型方差 的局部多项式估计
重庆理工大学 数学与统计学院
苏理云
合作者：赵彦勇 2011.3.3
目标：
• 通过对异方差的多元局部多项式估计， 改进多元线性异方差回归模型对参数估 计的不精准性。本文利用局部多项式回 归的非参数方法用于多元线性异方差模 型中的方差进行两阶段估计，改进了传 统的两阶段法，得到了估计的渐近正态 性，并且使得估计的精度进一步提高。
K Xi
X，yi
y
(7)
达到最小解，其中 0,1, , p T 为待估参数，h 为
带宽，K Xi X，yi y KHi Xi X ，在这里 KHi
定义为 KHi
Xi X
1 Hi
KHi
H i 1
Xi X
待估参数.讨论较多也较详细的是假定 2 2 cT , xi 2 和 i2 2 expcT , xi 等情况.这些模型的讨论，一方
面要求模型分析着必须对问题的实际背景有较深
入的了解，如公司利润的方差常常与家庭 收入呈正比；另一方面，方差函数形式的假
多元回归分析异方差(共75张PPT)
Illustration of Heteroskedasticity 异方差图示
f(y|x)
wage
.
.
E(y|x) = b0 + b1x
.
primary secondary
college
Education level
5
A specific example: histograms of wage rates for each education degree, from only educated 1 year to 18 years. 一个具体例子：每一个教育年限（1－18年）对应人群的工资直方图
对异方差稳健的标准差，或
White standard error, or
White标准差，或 Huber standard error, or
Huber标准差，或
Eicker standard errors, or
Eicker 标准差
14
Robust Standard Errors 稳健标准差
残差平方和。
13
Variance with Heteroskedasticity 异方差存在时的方差
The square root of Var( bˆ j )is called: Var( bˆ j ) 开平方被称为
Heteroskedasticity-robust standard error, or
HSK－异方差稳健t, F, LM统计量
3
What is Heteroskedasticity (HSK) 什么是异方差
Recall the assumption of homoskedasticity implied that conditional on the explanatory variables, the variance of the unobserved error, u, was constant 同方差假定意味着条件于解释变量，不可观测误差的方差为常数
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3
What is Heteroskedasticity
Recall the assumption of homoskedasticity implied that conditional on the explanatory variables, the variance of the unobserved error, u, was constant
Example:Goldfeld-Quandt Test, (HR: Ex6.2, 154)
Insheet using [path]ex61.txt sort inc reg hexp inc if inc<15, get SSR1=0.230 reg hexp inc if inc>=15, get SSR2=2.024, n1=n2=10, k+1=2 Form statistic F=SSR2/SSR1=6.7467 The critical value F8,8=3.438 So we reject the null hypothesis and commit that the data are heteroskedasticity.
( ) ( )
The standard errors of the estimates are biased if we have heteroskedasticity
The OLS estimates aren’t efficient, that’s the variances of the estimates are not the smallest variances.
15
Example: Housing price Equation (Wooldridge, p267)
Estimated model
prîce =-21770.31+2.068lotsize + 122.778sqrft + 13852.52 bdrms predict res, r. we get the residuals ûi of above eq. gen ressq=res^2 reg ressq on lotsize, sqrft, bdrms ressq=5.52e9+201520.9lotsize+1691037sqrft+1.04e9bdrms F=5.34 p-value = 0.20% nR2=88×0.1601=14.1152 > χ2(3)=7.8147 p-value = 0.28% So, we have a strong evidence to reject the null hypothesis of homoskedasticity.
4
Example of Heteroskedasticity
f(y|x)
.
x1 x2 x3
.
.
E(y|x) = β0 + β1x
x
5
Patterns of heteroskedasticity
6
Why Worry About Heteroskedasticity?
7
Why Worry About Heteroskedasticity?
13
The Breusch-Pagan Test
Don’t observe the error, but can estimate it with the residuals from the OLS regression
regress y on x1,x2,…,xk. We get the residual ûi
OLS is still unbiased and consistent, even if we do not assume homoskedasticity
ˆ ˆ E β j = β j , or P lim β j = β j ∑ ( xi − x ) ui = β ˆ E βj = Eβj + j 2 ∑ ( xi − x ) The R2 and adj-R2 are unaffected by heteroskedasticity.
If the standard errors are biased, we can not use the usual t statistics or F statistics or LM statistics for drawing inferences 8
How to test the heteroskedasticity?
The F statistic is just the reported F statistic for overall significance of the regression, F = [R2/k]/[(1 – R2)/(n – k – 1)], which is distributed Fk, n – k - 1 The LM statistic is LM = nR2, which is distributed χ2k
9
Testing for Heteroskedasticity Golfeld-Quandt Test
10
Testing for Heteroskedasticity Golfeld-Quandt Test
Essentially want to test H0: Var(u|x1, x2,…, xk) = σ2, which is equivalent to H0: E(u2|x1, x2,…, xk) = E(u2) = σ2 H1: σi2 = cxi2. Goldfeld-Quandt test procedure:
var(u|x)=σ2 (homoskedasticity)
If this is not true, that is if the variance of u is different for different values of the x’s, then the errors
are heteroskedastic var(ui|xi)=σi2(heteroskedasticity)
第七章 多元回归分析 异方差问题的处理
1
contents
What’s heteroskedasticity? Why worry about heteroskedasticity? How to test the heteroskedasticity? Corrections for heteroskedasticity?
16
Example: Housing price Equation (Wooldridge, p267), cont.
We check whether there is heteroskedasticity in log form. Estimated model is
log(prîce) =5.611+0.168log(lotsize) + 0.700log(sqrft) + 0.037 bdrms predict resid, r gen residsq=resid^2 regress residsq on log(lotsize), log(sqrft), bdrms resîdsq=0.510 – 0.007 log(lotsize)-0.063 log(sqrft)+0.017 bdrms F=1.41 p-value=24.51% nR2=88*0.048=4.224, p-value=23.83%
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Testing for Heteroskedasticity
Essentially want to test H0: Var(u|x1, x2,…, xk) = σ2, which is equivalent to H0: E(u2|x1, x2,…, xk) = E(u2) = σ2 If assume the relationship between u2 and xj will be linear, can test as a linear restriction So, for u2 = δ0 + δ1x1 +…+ δk xk + v, this means testing H0: δ1 = δ2 = … = δk = 0
Example:
if we examine a cross section of firms in one industry, error terms associated with very large firms might have larger variances than those error terms associated with smaller firms; sales of larger firms might be more volatile than sales of smaller firms. Consider a cross-section study of family income and expenditures. It seems plausible to expect that low income individuals would spend at a rather steady rate, while the spending patterns of high income families would be relatively volatile.
After regressing the residuals squared on all of the x’s, can use the R2 to form an F or LM test
regress û2 on x1,x2,…,xk. And test the joint zero hypotheses of the regressors.