上海市普陀区2015届高三三模理科数学试题 扫描版含答案
【VIP专享】2015年上海高考二模数学普陀区(理)
的表面积为
.
9.已知直线 l 和曲线 的极坐标方程分别为 sin cos 1和 1 ，若 l 和 相交于两点
A, B ，则 AB
.
10.如图，机车甲、乙分别停在 A，B 处，且 AB=10km ，甲的速度为 4 千米/小时，乙的速
度是甲的 1 ，甲沿北偏东 60 的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动 100 分钟， 2
则它们之间的距离为
千米.
11.一个袋子中有 7 个除颜色外完全相同的小球，其中 5 个红色，2 个黑色.从袋中随机地取
出 3 个小球.其中取到黑球的个数为 ，则 E
12.若正方形 ABCD 的边长为 1，且 AB a, BC b, AC c, 则 3a 2b 6c
13.已知复数 z1, z2 满足 z1 1 ， 1 Re z2 1， 1 Im z2 1 ，若 z z1 z2 ，则 z 在复平面
A
C
B
第1题0 图
60
.
为短半轴，
D
（结果用最简分数作答）.
F
.
.
为左焦点的
2015 年普陀高考二模理 1
.
.
13 普陀理
上对应的点组成的图形的面积为
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
14. x R ，用记号 N x 表示不小于实数的最小整数，例如 N 2.5 3 ， N 2 1 ，
N 1 1 ；则函数 f x N 3x 1 2x 1 的所有零点之和为
13 普陀理
2015 届普陀区高三二模数学试卷（理科）2015.04
一、填空题（共 14 题，每题 4 分，满分 56 分）
1.不等式
2.若
mi 1 i
1
x
上海市嘉定区2015年高考理科数学三模拟卷
上海市2015高考数学模拟卷（嘉定三模）数学试卷（理）注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．设i 为虚数单位，则复数iiz +-=143在复平面内对应的点在第___________象限． 2．已知集合}1||{<=x x A ，}0{2>=x x B ，则=B A ____________________．3．函数12)(+=x x f （0≥x ）的反函数=-)(1x f________________________．4．若双曲线122=+my x 的焦距是4，则=m __________． 5．已知点)0,0(O ，)2,1(A ，)5,4(B ，且AB t OA OP ⋅+=．若点P 在x 轴上，则实数t 的值为_____________．6．设一个圆锥的侧面展开图是半径为a 的半圆，则此圆锥的体积为____________． 7．在n x )12(+（*N ∈n ）的二项展开式中，各项系数之和为n a ，各项的二项式系数之和为n b ，则=++++∞→nn n n n b a b a 11lim___________．8．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，04=+a a k ，72S S =，则=k ________．9．已知直线l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 23,211（t 为参数），曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin ,cos y x （θ为参数），设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，则=||AB ____________．10．在△ABC 中，C A C A B 222sin sin sin sin sin +≥+，则角B 的取值范围是__________．11．某同学在一次数学考试中有3个选择题（每题5分）不太会做，于是采用排除法，每个题目都有A 、B 、C 、D 四个选项，他对这3个题的每个题都顺利排除了一个干扰选项，在此基础上对每个题随机各选一个答案，则该同学这3个题的得分的数学期望值是________．12．函数x x x x x f 2cos 2sin cos )tan 1()(2++=的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛4,0π，则)(x f 的值域为__________．13．已知数列}{n a ：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，依它的前10项的规律，则10099a a +的值为______________． 14．已知函数x xax f -=)(，对任意)1,0(∈x ，不等式1)1()(≥-⋅x f x f 恒成立，则实数a 的取值范围是________________．二．选择题（每小题5分，满分20分）15．某高级中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数1650800==k ，即每16人抽取1人．在16~1中随机抽取1个数，如果抽到的是7，则从48~33这16个数中应抽取的数是…………………………………………………………………………………………（ ）A ．37B ．39C ．42D ．46 16．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别为1AB 、1BC 的中点．给出如下结论：①1AA MN ⊥；②MN ∥11C A ；③⊥MN 平面1BC ；④MN 与BC 所成角的大小为︒45．其中正确的结论是……………………………………………………………………………（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．②③④17．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a，则||c的最大值是……………………………………………………………………………（ ）A ．2B ．3C ．2D ．118．在平面直角坐标系xOy 中，)0,1(-A ，)0,1(B ，)1,0(C ，经过原点的直线l 将△ABC分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为1S 、2S ，则22211)1(S S -+取得最小值时，直线l 的斜率为………………………………………………………………………………（ ）A ．1B ．1-C ．21D ．不存在三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分）已知向量)sin ,(cos x x a = ，)sin ,(sin x x b = ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,83ππx ，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求实数λ的值．20．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示的多面体中，ADEF 是正方形，ABCD 是梯形，⊥ED 平面ABCD ， AB ∥CD ，CD AD ⊥，2==AD AB ，4=CD ，M 为EC 的中点．（1）求证：BM ∥平面ADEF ； （2）求点F 到平面BDM 的距离．AC D F EM21．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分）已知抛物线px y 22=（0>p ）的焦点为F ，点P 是抛物线上横坐标为3且位于x 轴上方的点，P 到抛物线焦点F 的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l ，2l ，1l 与抛物线交于A 、B 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，求△FMN 面积的最小值．· F MO NA B CP已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，点⎪⎭⎫⎝⎛nS n n ,在直线21121+=x y 上．数列}{n b 满足0212=+-++n n n b b b （*N ∈n ）且113=b ，前9项和为153．（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列}{n c 的前n 项和为n T ，求n T 及使不等式2014k T n <对一切*N ∈n 都成立的最小正整数k 的值；（3）设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈-==,)(2,,)(12,)(**N N l l n b l l n a n f n n 问是否存在*N ∈m ，使得)(5)15(m f m f =+成立？若不存在，请说明理由．若函数)(x f 的定义域为R ，且对任意实数1x 、2x ，有)()()(2121x f x f x x f +<+，则称)(x f 为“V 形函数”．若函数)(x g 定义域为R ，0)(>x g 对R ∈x 恒成立，且对任意实数1x 、2x ，有)](lg[)](lg[)](lg[2121x g x g x x g +<+，则称)(x g 为“对数V 形函数”．（1）试判断函数2)(x x f =是否为“V 形函数”，并说明理由； （2）设2)(2+=x x g ，证明：)(x g 是“对数V 形函数”；（3）若函数)(x f 是“V 形函数”，且满足对任意R ∈x ，有2)(>x f ，问)(x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．。
2015年普陀区高三数学质量检测评分标准
392012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分•题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分三•解答题（本大题满分 74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤.434 319.【解】（1） d 二 6cm , R 二 3cm , V 球R 27 二 36二 cm ......... 2 分3323h =2 , V 圆柱-R h -二 9 2 =18二 cm .......................... 2 分 V 二V 求 V 圆柱=36二 18二=54二：169.6 cm 3 ......... 2分2 2(2) S 球表=4二R =4 - 9 =36二 cm ..................... 2分2S 圆柱侧=2二Rh=2 二 3 2 =12二 cm .................... 2 分36 兀 +12 兀 4821个“浮球”的表面积S 144二m 210 104822500个“浮球”的表面积的和 S 2500 = 2500 4二=12二m 210所用胶的质量为10012薦=1200二（克） ...... 2分答：这种浮球的体积约为 169.6 cm 3 ；供需胶1200二克.20.【解】、填空题（本大题满分 56分）本大题共有14题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接1. [1,3]2. 3.{ -1, 0} 4.【理科】 arct an 2 ；【文科】60 '5.26. a * = 3n - 2(n N )7. 3 8.18059.-110.311.【理科】点【文科】210 12.1 13.1 :114.吩2）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答（1）由题意可知，动点A的轨迹为抛物线，其焦点为F（2, 0），准线为x=—239设方程为y 2 = 2px ，其中P = 2，即p=4 ................ 2分 2所以动点A 的y 2 = 8xB ，根据抛物线定义，可得| AB |=| AF |AK = J2|AF ，所以AAFK 是等腰直角三角形=1 4 4=8 2221.【解】(1 )在厶ABC 中，由余弦定理得，a 2148 = 36 c 2-2 c 6 ()••… 3 2 2=b c - 2bc cos A2即 c 4c-12=0，(c 6)(c-2)=0，解得 c=2 (2)由cosA：：：0得A 为钝角，所以sinA = 2、233(2)过A 作AB _丨，垂足为由于其中| KF | = 4X所以S A F K在厶ABC 中，由正弦定理，得sin Asin Bc 2- 26 x b sin A 3 则 sin B 34、3■.<3cos B ……2分32 2由于B 为锐角，则sin 2B =2sin B cosB =2 6 33 3匚v'2所以 cos(2B ) (cos2B sin2B)二4 2.2 1 2.2、4-、2 2(一3 3 " 622.【理科】【解】(1)由已知条件得，AA 2 =(1,1), AA 2二0A -0人，所以0A =(1,2)A n Am =(1,1)，贝V OA ni —OA n =(1,1)设 OA n =匕.皿)，则 X . 1 - X . = 1 ,『n 1 - Y n = 1所以 X n = 0 (n -1) 1 二 n -1 ； y n = 1 (n -1) 1 = n即A n = (n -1, n)满足方程y =x • 1，所以点A 在直线y ^x 1上. .............. 1分 (证明 A 在直线y = x • 1上也可以用数学归纳法证明 .) (2)由(1)得 A n (n —1,n)-------- - --------- -------- 2 B n B n1 =OB 「1 -OB n = (3 (-)n ,0) ...................... 1 分设 B n (U n ，V n )，则 “ =3 , W = 0V n 1 - V n = 0，所以 V n = 022 U n 1 -山=3 (-)n ,逐差累和得，U n =9(1 -(一T),3 32所以 B n (9(1-(2)n ),0) ................ 2 分3设直线y=x 1与x 轴的交点P -1,0，贝Ua n =5 (n -2)(2)n 」,n N3a :：. a ? :：. a 3 :：. a^ — a 5, a 5 .■ ■■ a^ .■■■ a ?数列a 冲项的最大值为补^5译，则卩畔，即最小的正整数p 的值为6，所以，存在最小的自然数 p = 6，对一切n • N 都有a n ：：： p 成立 . ... 2分【文科】22.【解】(1 )证明：函数f (x)与g(x)互为“ H 函数“，则对于—x R , f (g(x)) = g( f (x)) 恒成立.即 a(mx n) b = m(ax b) n 在 R 上恒成 立2分化简得 amx (an b)二 amx (bm n) ............................... 2-分所以当 an b = bm n 时，f (g(x)) = g( f (x))，即 f (n) = g(b)……！分an=S pA n1B n1._SPA n B n]10吨丿J(n +1T 10-9〔i)]n(3)由(2)an 1 _ a n2 n 」 *a n =5 (n -2)(3), n N3r.n -1口 Z …2分3 3曰是,(2)假设函数f(x)与g(x)互为“ H 函数”，则对于任意的x. Mf(g(x)) =g(f (x))恒成立.即cosx 2=cos 2x ，对于任意x “-2,2］恒成立…2分. 当 x = 0 时，cosO=cosO=1.不妨取 x = 1，则 cosl 2= cosl ，所以 cosl 严 COS 21 ........................2分所以假设不成立，在集合 M 上，函数f (x)与g(x)不是互为“ H 函数” ............. 1分. (3)由题意得，a x + = a x +1( a>0 且 a^1) ............... 2 分变形得，a x (a -1) = 1，由于a . 0且a =11 1a x 二丄，因为a x ■ 0，所以丄 0，即a . 1............................... 2分a — 1 a — 1此时 x - -log a (a -1)，集合 M ={x| x 二-log a (a - 1),a1 ......... 2分23.【解】(1 )由 f (g(x^ g( f (x))得 2sin x=s in 2x化简得，2 si n x(1-cosx) = 0 , si nx =0 或 cosx =1 ................. 2 分(若学生写出的答案是集合 M ={x | x = k — k • Z}的非空子集，扣1分，以示区别。
2015上海市高考数学(理科)试卷(精校word版有答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U AB =ð ．2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ．5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．7.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．10.设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ．11.在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．13.已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ．14.在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532C ．112D ．13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 18．设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞-=-（ ）A ．1-B ．12-C ．1D ．2 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-； （2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin3xh x x =+是以π6为周期的余弦周期函数； （2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T .上海数学（理工农医类）参考答案一、（第1题至第14题） 1.}{1,4 2.1142i + 3.16 4.4 5.2 6.3π7.2 8.120 9.32yy x =± 10.4 11.45 12.0.2 13.8 14. 1615-二、（第15至18题） 题号 15 16 17 18 代号BDBA三、（第19至23题）19. 解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A 1(2，0，1)、C 1(0，2，1)、E(2，1，0)、F （1，2,0）、C （0、2、0）、D （0,0,1）.因为)0,2,2(11-=C A，(1,1,0)EF =-， 所以11//EF AC ， 因此直线1AC与EF 共面， 即，1A 、1C 、F 、E 四点共面.设平面EF C A 11的法向量为(,,)n u v w =， 则n ⊥EF ，n ⊥1FC ，又(1,1,0)EF =-，1FC =(1,0,1)-,故0,u .0,u v v w u w -+=⎧==⎨-+=⎩解得取u=1，则平面EF C A 11 的一个法向量n =(1,1,1).又1(0,2,1)CD =-, 故111515||CD n CD n ⋅=-⋅因此直线1CD 与平面FE C A 11所成的角的大小1515arcsin . 20. 解：（1）138t =， 设乙到C 时甲所在地为D ，则AD=158千米。
上海市普陀区2015届高三12月质量调研(一模)数学文试卷 Word版含答案
2014学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作评分依据．．．．．. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 若集合}1lg |{<=x x A ，},sin |{R x x y y B ∈==，则=B A .2. 若12lim=+∞→n ann ，则常数=a .3. 若1>x ，则函数11-+=x x y 的最小值为 .4. 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4tan πx y 的单调递增区间是 .5. 方程6lg )1lg(lg =-+x x 的解=x .6. 如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为3，则异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 . 8. 函数11)(--=x x f （2≥x ）的反函数是 .9. 在二项式81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含5x 项的系数为 （结果用数值表示）. 10 .若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 外，则实数m 的取值范围是 .11. 在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ， 120=A ，则=∆ABC S .12. 若无穷等比数列}{n a 的各项和等于公比q ，则首项1a 的取值范围是 .ABC1C1B1A第6题13. 设a 为大于1的常数，函数⎩⎨⎧≤>=00log )(x ax x x f xa ，若关于x 的方程0)()(2=⋅-x f b x f恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 . 14. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点， 不同的取法共有 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15．若<<b a ，则下列不等式中，一定成立的是……………………………………………………（ ）)(A 22b ab a << )(B 22b ab a >> )(C ab b a <<22 )(D ab b a >>2216. “点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程02=+y x ”的…………………………（ ）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件17.要得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=42cos πx y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像………………………………（ ）)(A 向左平移8π个单位 )(B 向右平移8π个单位 )(C 向左平移4π个单位 )(D 向右平移4π个单位18. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n (∈n N *，2≥n )等分点， 沿向量BC的方向依次为121,,,-n P P P ，记AC AP AP AP AP AB T n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，131-n 2k 第18题第14题若给出四个数值:①429 ②1091 ③18197④33232，则n T 的值不可能的共有…………………（ ）)(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数x x b x x f cos sin sin 2)(2+=满足2)6(=πf（1）求实数b 的值以及函数)(x f 的最小正周期；（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ）（加工中不计损失）. （1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题5分，第（2）小题6分，第（3）小题5分已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N *（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知32+=n c n （∈n N *），记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由. （3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列；23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 的局部对称点.（1）若∈a R 且0≠a ，证明：函数a x ax x f -+=2)(必有局部对称点； （2）若函数b x f x+=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数b 的取值范围； （3）若函数324)(21-+⋅-=+m m x f x x在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.2014学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. ]1,0(2.13.34.⎪⎭⎫⎝⎛+-43.4ππππk k （Z k ∈）5.36.41arctan7.),3()2,2(+∞- 8.)0(22)(21<+-=-x x x x f 9.28 10.10<<m 11.3 12.]41,0()0,2( - 13. 10≤<b 14. 141二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)【解】设),(y x P ，其中22≤≤-x ……………………2分则222)(||y m x PM +-==2221212)(2222++-=-+-m mx x x m x ……5分 222)2(21m m x -+-=，对称轴m x 2=0>……7分 （1） 若220<<m ，即10<<m ，此时当m x 2=时，2min 2||m PM -=；……9分（2） 若22≥m ，即1≥m ，此时当2=x 时，|2|44||2min -=+-=m m m PM ；……11分综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=1|,2|10,2||2min m m m m PM …………12分20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 【解】 （1）由26=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，得22321412=⨯⨯+⨯b ……2分，解得32=b ……3分 将32=b 代入xx x x f cos sin 32sin 2)(2+=得x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=所以)(x f x x 2sin 32cos 1+-=……4分)62sin(21π-+=x …………5分所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T …………6分（2）由（1）得，1]6)(2sin[2)(+-+=+πt x t x f ，所以1622sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πt x x g ……8分函数)(x g 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有)()(x g x g =-成立。
上海市浦东新区2015届高考数学三模试卷文(含解析)
上海市浦东新区2015届高考数 学三模试卷（文科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的 编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. （4 分）若集合 A=｛x|1 < x w 3｝，集合 B=｛x|x V 2｝，则 A A B=.22. （4分）函数f （x ） =x , （x V- 2）的反函数是.3. （4分）过点（1, 0）且与直线2x+y=0垂直的直线的方程.4. （4分）已知数列｛a n ｝为等比数列，前n 项和为S,且a 5=2S+3, a 6=2S+3，则此数列的公比 q=.5. （4分）如果复数z 满足|z+i|+|z- i|=2 （i 是虚数单位），则|z|的最大值为.6. （4分）函数y=cos 2x 的单调增区间为.4 2 k7. （4分）三阶行列式 -3 5 4 第2行第1列元素的代数余子式为-10,则k=.-1 1 -2I 2& （4分）设F 1、F 2是双曲线x 2-二=1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF 1|=4|PF 2| ,24则厶PF 1F 2的周长.10. （ 4分）从3名男生和4名女生中选出4人组成一个学习小组.若这 4人中必须男女生都 有的概率为.12. （ 4分）若也，|b|, c 均为平面单位向量，且9. （4分）设A B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同平面内, AB=BC=CD=DA=1球心到该平面的距离是球半径的「咅，则球的体积是.11. （ 4分）数列｛a n ｝中,且a 1=2，则数列｛a n ｝前2015项的积等于.F Ls+y- SCO13. （ 4分）已知P （ x ,y ）满足约束条件< x - y- 1<Q , O 为坐标原点，A （ 3,4），则|6?|?cos / AOP 的最大值是.14. （ 4分）记符号 m i n ｛c i , C 2,…，c n ｝表示集合｛c 1, C 2,…，c n ｝中最小的数.已知无穷项的正整数数列｛a n ｝满足 a i < a i+i , （i € N ），令 b k =min ｛n|a n >k ｝, （k € N ），若 b k =2k - 1,则数列｛a n ｝ 前100项的和为.二、选择题（本大题共有 4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项 是正确的，选对得 5分，否则一律得零分•直线 a 1X+b 1y=C 1, a 2x+b 2y=c 2不平行16. （ 5分）用符号（X]表示不小于x 的最小整数，如（n ]=4 , （- 1.2]= - 1 .则方程（x]- x=：在（1 , 4）上实数解的个数为（）2A. 0 B . 1 C. 2 D. 317.（ 5分）已知P 为椭圆二一+y 2=1的左顶点，如果存在过点M （ x o , 0） （ x o > 0）的直线交椭圆于A 、B 两点，使得S AAOB =2S ^AOP ,则X 。
2015年上海高考二模数学普陀区(理)
2015届普陀区高三二模数学试卷（理科）2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.不等式01xx >-的解集为 . 2.若1m i i i+=+（i 为虚数单位），则实数m = . 3.若函数()()sin sin 022x xf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω= .4.集合{{}2,4,R A x y B x y x x ====∈，则AB .5. 若0x π≤≤，则函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为 .6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 .7.函数())1f x x ≤，若函数()2g x x ax =+是偶函数，则()f a = . 8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 .9.已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB = .10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为ξ，则E ξ= （结果用最简分数作答）. 12.若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===则326a b c +-= . 13.已知复数12,z z 满足11z ≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为.6第题图北AC B∙D6010第题图14.R x ∈，用记号()N x 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(1N =-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 . 二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. ,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ）A.若//a b ，//a α，则//b αB. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥αC. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a bD.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 17.在*22)()nn N x∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ ）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项18.已知,,,m n i j 均为正整数，记,i j a 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a A a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；②2,12,22,2m a a a m +++=；③1,,12nn m n ma a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n m n m a →∞+=.其中正确的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.13普陀理2015年普陀高考二模理320.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面11ABB A 所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱1C D 上是否存在一点F ，使得1//BF 平面1A BE ，若存在，指明点F 的位置，若不存在，请说明理由.21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -（1）若11()(1)1f x f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]0,2内有解，求实数m 的取值范围；A1A B1B C1C D1D E22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ；（1）若1k =，31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MONS k=，当P 变化时，求动点T 轨迹方程；23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.13普陀理2015年普陀高考二模理52015届普陀区高三二模数学试卷（理科）答案2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.不等式01xx >-的解集为 ()0,1 . 2.若1m i i i+=+（i 为虚数单位），则实数m 1- . 3.若函数()()sin sin 022x xf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω=2 .4. 集合{{}2,4,R A x y B x y x x ====∈，则AB []0,1 .5. 若0x π≤≤，则函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为 536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， .6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 22182x y += .7.函数())1f x x ≤，若函数()2g x x ax =+是偶函数，则()f a = 1 . 8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 4π .9.已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB =10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米. 11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取6第题图北AC B ∙D6010第题图出3个小球.其中取到黑球的个数为ξ，则E ξ=67（结果用最简分数作答）. 12.若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===则326a b c +-= 5 . 13.已知复数12,z z 满足11z ≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 12π+ .14.R x ∈，用记号()Nx 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(1N =-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 4- . 二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. ,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ D ） A.若//a b ，//a α，则//b α B. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥αC. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a bD.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ A ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.非充分非必要条件 17. 在*22)()n n N x ∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ B ）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项18.已知,,,m n i j 均为正整数，记,i j a 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a A a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；②2,12,22,2m a a a m +++=；③1,,12nn m n ma a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n m n m a →∞+=.其中正确的个数是（ B ）A.0个B.1个C.2个D.3个 三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.13普陀理2015年普陀高考二模理7解：（1）()21cos2cos 2xf x x +==， 其对称轴为2,,2k x k x k Zππ==∈， 因为直线线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴， 所以,2k a k Z π=∈， 又因为()122g x x =+，所以()()()1122=22g a g k k ππ==+即()122g a =. (2)由（1）得 ()()()1cos2212sin 216h x f x g x x x x π=+=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1710,,2,,sin 2,2266662x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以()h x 的值域为122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在正方体1111ABCD A B CD -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面11ABB A 所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱11C D 上是否存在一点F ，使得1//BF 平面1A BE ，若存在，指明点F 的位置，若不存在，请说明理由.解：（1） （2）存在，F 在棱11C D 的中点.(提示：用空间向量)21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -（1）若11()(1)1f x f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]0,2内有解，求实数m 的取值范围；A1A B 1B C1C D1D E解：（1）23x =（2）92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ；（1）若1k =，31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MONS k=，当P 变化时，求动点T 轨迹方程；解：（1（2）1122k =或； （3）设()()()1122,,,,,M x kx N x kx T x y -，120,00x x k >>>，， 设直线OA 的倾斜角为α，则22tan ,sin21kk k αα==+，根据题意得 ()12112222x x x y x x k x x k y y x x OM x k ON x +⎧=⎪⎪⎧=+-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎪=⎪⎩ 代入11sin22MON S OM ON k α∆==化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；13普陀理2015年普陀高考二模理9（2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 解：（1）*12,N n b n n =-∈ (2)由tan 2tan 2n nn n n n a a θθ⋅==得代入()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭得12tan n n nS θ=，当2n ≥时，111112tan 2tan n n n n n n n a S S θθ---=-==， 因为tan 2n n n a θ=，代入上式整理得()1tan tan 2n n θθ-=，02nπθ<<所以1112,02n n n n θθθθ--==≠的常数. 当1n =时，111111111,,0,tan 1,424n a S a a a a πθθ⎛⎫=⋅=>∴===⎪⎝⎭所以数列{}n θ是等比数列，首项为4π，公比为12，其通项公式为 11*11,N 422n n n n πθπ-+⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）得*11tan ,N 22n n n a n π+=∈，它是个单调递减的数列， 所以 11111,0,2222n n n n a a a a a ≤=-≤∴-=-123111122222n n n c a a a a nS =-+-+-++-=-对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，所以()min n m c ≤. 由111110222n n n n n c c n n S S a ++++⎛⎫---=- ⎝-≥⎪⎭=知，1n n c c +≥ 所以数列{}n c 是单调递增的，n c 最小值为10c =，()min 0n m c ≤= 因此，实数m 的取值范围是(],0-∞.。
2015年高考仿真模拟卷江苏卷数学(三)
.2015 年高考仿真模拟卷·江苏数学卷（三）注意事项 :1．本试卷由填空题和解答题两部分构成，满分160 分，考试时间为120 分钟 .2.答题前，请您务势必自己的学校、姓名、考试号用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔填写在答题卡上规定的地方.3.答题时一定用书写黑色笔迹的 0.5 毫米署名笔写在答题卡上的指定地点，在其余地点作答一律无效 .一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．1 ．（ 2015·上海市十三校高三第二次联考（理）· 2）函数 1的定义域为__________.2．（ 2015·上海市闵行区高三一模（理）·1）已知会合 A={x||x ﹣| ＞} ，U=R，则C U A．3．（ 2015·苏锡常镇高三调研一（理）·2）若复数5m （ i为虚数单位）为纯虚数，则12i实数 m．4．（ 2015·上海市闵行区高三一模（理）· 8）已知会合M={1， 3} ，在 M 中可重复的挨次取出三个数 a， b， c，则“以 a，b， c 为边长恰巧构成三角形”的概率是．5．（ 2015·北京市旭日区高三一模（理）改编·5）某商场每日上午10 点开门，夜晚 19点停止进入．在以下图的框图中，t 表示整点时辰，（t）表示时间段 [t-1 ，）内进入商a t场人次， S 表示某天某整点时辰行进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内能够填．.6．（ 2015·上海市闵行区高三一模（理）· 6）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则 cosθ=．7．（2015 ·山东枣庄市高三一模（理）·15）若曲线C1: y a x2a0与曲线 C2 : y e x2有独一的公共点，则实数 a 的值为．x18．（ 2015·浙江嘉兴高三下二模（理）改编· 4）已知a0 ，实数 x, y 知足：x y 3，y a( x3)若 z 2 x y 的最小值为1，则 a．9．（ 2015·江苏连云港、南通、扬州高三二模·9）已知等差数列n的首项为4，公差为a2，前 n 项和为 S n．若 S k a k 5 44 （ k N），则 k 的值为．10．（2015·河南郑州市高三第二次质量展望（理）改编·12）已知双曲线x2y21( a 0,b 0) 的两焦点分别是 F1 , F2 ,过 F2的直线交双曲线的右支于P,Q两a2b2点，若 |PF1 | | F1F2 |,且 3| PF2 | 2 |QF2 |,则双曲线的离心率为．11．（ 2015·浙江温州高三第二次适应性测试（理）· 11）已知ABCDEF为正六边形，若向uuur( 3, 1)，则DC DE uuur uuur量 AB； EC FE（用坐标表示）．12 ．（ 2015 ·上海市十三校高三第二次联考（理）· 14）在平面直角坐标系中有两点，以原点为圆心， r > 0为半径作一个圆，与射线交于点 M ，与 x轴正半轴交于 N ，则当 r 变化时，| AM |+|BN | 的最小值为__________．13．（ 2015·浙江温州高三第二次适应性测试（理）·14）若实数x, y知足 4 x2 2 x y 2y0 ，则 2x y 的范围是．14．（ 2015·山东威海市高三一模（理）·14）已知偶函数f （ x）知足 f （x+1）=﹣，且当 x∈[ ﹣ 1， 0] 时， f （ x）=x2，若在区间 [ ﹣ 1， 3] 内，函数g（ x） =f （ x）﹣ log a（ x+2）有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是．二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（ 2015·浙江丽水高三一模（理）·16）（本小题满分14 分）在△ ABC中，内角 A， B，C的对边分别为a， b， c，已知（sinB ﹣ cosB）（sinC ﹣ cosC） =4cosBcosC．.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB=psinC，且△ ABC是锐角三角形，务实数p 的取值范围．16．（ 2015·安徽省“江淮十校”高三 4 月联考（理）· 18）（本小题满分14 分）一个正四棱锥和一个正三棱锥的全部棱长都相等，以下左图，将他们全等的两面重合在一同拼成一个多面体 ABCDEF，以下右图（I）求证： AE//BF;（II ）过 A、 D、 F 三点作截面，将此多面体上下两部分，求上下两部分的体积比．17．（ 2015·南京市高三二模· 17）（本小题满分 14 分）右图为某库房一侧墙面的表示图，其下部是矩形 ABCD，上部是圆 AB，该圆弧所在的圆心为 O，为了调理库房内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（此中 E， F 在圆弧 AB 上， G， H 在弦 AB 上）．过 O 作 OP AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知 OP10, MP 6. 5 （单位：m） , 记通风窗 EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按以下要求成立函数关系式：（ i ）设POF( rad )，将S表示成的函数；（ii ）设MN x( m) ，将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积 S 最大？E N PFH MGA BODC第17题图18 ．（ 2015 ·重庆市巴蜀中学高三二模（理）· 21）（本小题满分16 分）已知椭圆2 2C :x2y 2 1(a b 0) 的右极点、上极点分别为 A 、B, 坐标原点到直线 AB 的距离为ab4 3，且 a2b.3（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 的左焦点 F 1 的直线 l 交椭圆于 M 、N 两点，且该椭圆上存在点 P , 使得四边形 MONP ( 图形上的字母按此次序摆列）恰巧为平行四边形，求直线l 的方程．MPF1OxN19．（ 2015·东北三校高三第二次联合考试·21）（本小题满分 16 分）20．（ 2015·江苏连云港、南通、扬州高三二模·9）（本小题满分16 分）设 a n是公差为 d 的等差数列， b n是公比为q（ q 1 ）的等比数列．记 c n a n b n．（1）求证：数列c n 1 c n d 为等比数列；（2）已知数列c n的前 4 项分别为 4， 10， 19， 34．①求数列a n和b n的通项公式；②能否存在元素均为正整数的会合A n1， n2，，n k（k≥4，k N ），使得数列 c n1， c n2，， c n k为等差数列？证明你的结论．数学Ⅱ（附带题）21．［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，假如多做，则按所做的前两题记分．A． [ 选修 4-1 ：几何证明选讲] （本小题满分10 分）10.（2015·河北省“五个一名校结盟”质量监测（一）（理）·22）（本小题满分10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O , BD是⊙O的直径，AE CD 于点 E , DA 均分BDE .（Ⅰ）证明：AE 是⊙ O 的切线（Ⅱ）假如AB 4，AE2,求 CD .B． [ 选修 4-2 ：矩阵与变换 ] （本小题满分10 分）301，A 的逆矩阵A1（2015 ·南京市高三二模）已知矩阵Aa 32 b 1（1）求 a,b 的值；（ 2）求 A的特点值．C．（本小题满分10 分，坐标系与参数方程选讲）（ 2015 ·九江第一次高考模拟（理）· 23）（本小题满分10 分）已知直线l的参数方程为x 12ty2t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线C sin的极坐标方程是 1 sin 2．（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线 C 的一般方程；（2）若点是曲线C上的动点，求到直线l的距离的最小值，并求出点的坐标．D．（本小题满分 10 分，不等式选讲）（ 2015·泰州高三二模）已知不等式a b2c | x2 1| 关于知足条件 a2b2c2 1 的随意实数 a,b,c 恒成立,务实数x的取值范围．［必做题］第22 题，第 23 题，每题 10 分，合计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（ 2015 ·江西八所要点中学4 月份联考（理）· 19）（本小题满分10 分）已知会合A {1,2,3,4}，函数 f ( x) 的定义域、值域都是 A ，且关于随意i A ，f (i )i 。
2015年上海市高考数学试卷(理科)
2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R ．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x |2≤x ≤3}，则Α∩∁U Β= ． 2．（4分）若复数z 满足3z +z =1+i ，其中i 是虚数单位，则z= ． 3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为(23c 101c 2)解为{x =3y =5，则c 1﹣c 2= ．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16√3，则a= ． 5．（4分）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．7．（4分）方程log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2的解为 ．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 9．已知点 P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±√3x ，则C 2的渐近线方程为 ．10．（4分）设f ﹣1（x ）为f （x ）=2x ﹣2+x 2，x ∈[0，2]的反函数，则y=f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值为 ．11．（4分）在（1+x +1x 2015）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2= （元）．13．（4分）已知函数f （x ）=sinx ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为 ．14．在锐角三角形 A BC 中，tanA=12，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥A B 于 E ，DF ⊥AC 于F ，则DE →•DF →= ．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z 1，z 2∈C ，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．（5分）已知点A 的坐标为（4√3，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．3√32B ．5√32C ．112D ．13217．记方程①：x 2+a 1x +1=0，方程②：x 2+a 2x +2=0，方程③：x 2+a 3x +4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 18．（5分）设 P n （x n ，y n ）是直线2x ﹣y=nn+1（n ∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限lim n→∞y n −1x n−1=（ ）A ．﹣1B ．﹣12C ．1D ．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E 、F 分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小．20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣12，求面积S的值．22．（16分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且Mm∈（﹣2，2）．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f （x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin x3是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R ．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x |2≤x ≤3}，则Α∩∁U Β= {1，4} ．【解答】解：∵全集U=R ，集合Α={1，2，3，4}，Β={x |2≤x ≤3}， ∴（∁U B ）={x |x ＞3或x ＜2}， ∴A ∩（∁U B ）={1，4}， 故答案为：{1，4}．2．（4分）若复数z 满足3z +z =1+i ，其中i 是虚数单位，则z= 14+12i ．【解答】解：设z=a +bi ，则z =a ﹣bi （a ，b ∈R ）， 又3z +z =1+i ，∴3（a +bi ）+（a ﹣bi ）=1+i ， 化为4a +2bi=1+i ， ∴4a=1，2b=1，解得a=14，b=12．∴z=14+12i ．故答案为：14+12i ．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为(23c 101c 2)解为{x =3y =5，则c 1﹣c 2= 16 ．【解答】解：由题意知{x =3y =5，是方程组{2x +3y =c 1y =c 2的解，即{c 1=6+15=21c 2=5，则c 1﹣c 2=21﹣5=16， 故答案为：16．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16√3，则a= 4 ． 【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为12•a•a•sin60°，正棱柱的高为a ， ∴（12•a•a•sin60°）•a=16√3，∴a=4，故答案为：4．5．（4分）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．【解答】解：因为抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，所以p2=1，所以p=2． 故答案为：2．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为π3．【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， 则圆锥的侧面积为：πrl ，过轴的截面面积为：rh ， ∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π， ∴l=2h ，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ=ℎl =12，故θ=π3，故答案为：π3．7．（4分）方程log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2的解为 2 ．【解答】解：∵log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2，∴log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2[4×（3x ﹣1﹣2）]，∴9x ﹣1﹣5=4（3x ﹣1﹣2）， 化为（3x ）2﹣12•3x +27=0，因式分解为：（3x ﹣3）（3x ﹣9）=0， ∴3x =3，3x =9， 解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去． ∴x=2． 故答案为：2．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示）． 【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师， 在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C 95=126种； 其中只有女教师的有C 65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种； 故答案为：120．9．已知点 P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±√3x ，则C 2的渐近线方程为 ．【解答】解：设C 1的方程为y 2﹣3x 2=λ，设Q （x ，y ），则P （x ，2y ），代入y 2﹣3x 2=λ，可得4y 2﹣3x 2=λ， ∴C 2的渐近线方程为4y 2﹣3x 2=0，即． 故答案为：．10．（4分）设f ﹣1（x ）为f （x ）=2x ﹣2+x 2，x ∈[0，2]的反函数，则y=f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值为 4 ．【解答】解：由f （x ）=2x ﹣2+x 2在x ∈[0，2]上为增函数，得其值域为[14，2]，可得y=f ﹣1（x ）在[14，2]上为增函数，因此y=f （x ）+f ﹣1（x ）在[14，2]上为增函数，∴y=f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值为f （2）+f ﹣1（2）=1+1+2=4． 故答案为：4．11．（4分）在（1+x +1x2015）10的展开式中，x 2项的系数为 45 （结果用数值表示）．【解答】解：∵（1+x +1x2015）10 =C 100(1+x)10⋅(1x 2015)0+C 101(1+x)9⋅(1x 2015)1+⋯， ∴仅在第一部分中出现x 2项的系数．再由T r+1=C 10r x r ，令r=2，可得，x 2项的系数为C 102=45． 故答案为：45．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2= 0.2 （元）． 【解答】解：赌金的分布列为ξ1 12345P15 15 15 15 15所以 Eξ1=15（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种， 若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，则P （ξ2=1.4）=4C 52=25，P （ξ2=2.8）=3C 52=310，P （ξ2=4.2）=2C 52=15，P （ξ2=5.6）=1C 52=110ξ2 1.42.84.25.6P25 310 15 110所以 Eξ2=1.4×（25×1+310×2+15×3+110×4）=2.8，则 Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元． 故答案为：0.213．（4分）已知函数f （x ）=sinx ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为 8 ．【解答】解：∵y=sinx 对任意x i ，x j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m ）取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8． 故答案为：8．14．在锐角三角形 A BC 中，tanA=12，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥A B 于 E ，DF ⊥AC 于F ，则DE →•DF →= ﹣1615． 【解答】解：如图，∵△ABD 与△ACD 的面积分别为2和4，∴12|AB →|⋅|DE →|=2，12|AC →|⋅|DF →|=4，可得|DE →|=4|AB →|，|DF →|=8|AC →|，∴|DE →|⋅|DF →|=32|AB →|⋅|AC →|． 又tanA=12，∴sinA cosA =12，联立sin 2A +cos 2A=1，得sinA =√55，cosA=2√55． 由12|AB →|⋅|AC →|sinA =6，得|AB →|⋅|AC →|=12√5． 则|DE →|⋅|DF →|=8√515．∴DE →•DF →=|DE →|⋅|DF →|cos ＜DE →，DF →＞=8√515×(−2√55)=−1615．故答案为：−1615．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z 1，z 2∈C ，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：设z 1=1+i ，z 2=i ，满足z 1、z 2中至少有一个数是虚数，则z 1﹣z 2=1是实数，则z 1﹣z 2是虚数不成立，若z 1、z 2都是实数，则z 1﹣z 2一定不是虚数，因此当z 1﹣z 2是虚数时， 则z 1、z 2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的必要不充分条件，故选：B ．16．（5分）已知点A 的坐标为（4√3，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．3√32B ．5√32C ．112D ．132【解答】解：∵点 A 的坐标为（4√3，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ=√1+(4√3)2=√49=17，cosθ=√3√1+(4√3)2=4√37，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则OB 的倾斜角为θ+π3，则|OB |=|OA |=√1+(4√3)2=√49=7，则点B 的纵坐标为y=|OB |sin （θ+π3）=7（sinθcos π3+cosθsin π3）=7（17×12+√32×4√37）=12+6=132， 故选：D ．17．记方程①：x 2+a 1x +1=0，方程②：x 2+a 2x +2=0，方程③：x 2+a 3x +4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a 12﹣4≥0，△2=a 22﹣8＜0， 即a 12≥4，a 22＜8， ∵a 1，a 2，a 3成等比数列， ∴a 22=a 1a 3， 即a 3=a 22a 1，则a 32=（a 22a 1）2=a 24a 12＜824=16，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=nn+1（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限limn→∞y n−1x n−1=（）A．﹣1 B．﹣12C．1 D．2【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=nn+1趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而y n−1x n−1可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴limn→∞y n−1x n−1=﹣1．故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小．【解答】解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得D 1C→=(0，2，−1)A 1C 1→=(−2，2，0)，A 1E →=(0，1，−1) 设平面A 1C 1EF 的法向量为n →=(x ，y ，z)则{n →⋅A 1C 1→=0n →⋅A 1E →=0，所以{(x ，y ，z)⋅(−2，2，0)=0(x ，y ，z)(0，1，−1)=0，即{−2x +2y =0y −z =0，z=1，得x=1，y=1，所以n →=(1，1，1)，所以|cos ＜n →，D 1C →＞|=|n →⋅D 1C →||n →||D 1C →|=√3√5=√1515， 所以直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小arcsin √1515．20．（14分）如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f （t ）（单位：千米）．甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待．设t=t 1时乙到达C 地． （1）求t 1与f （t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t ≤1时，求f （t ）的表达式，并判断f （t ）在[t 1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．【解答】解：（1）由题意可得t 1=AC v 乙=38h ，设此时甲运动到点P ，则AP=v 甲t 1=5×38=158千米，∴f （t 1）=PC=√AC 2+AP 2−2AC ⋅AP ⋅cosA=√32+(158)2−2×3×158×35=3√418千米；（2）当t 1≤t ≤78时，乙在CB 上的Q 点，设甲在P 点，∴QB=AC +CB ﹣8t=7﹣8t ，PB=AB ﹣AP=5﹣5t ，∴f （t ）=PQ=√QB 2+PB 2−2QB ⋅PB ⋅cosB =√(7−8t)2+(5−5t)2−2(7−8t)(5−5t)0.8 =√25t 2−42t +18，当78＜t ≤1时，乙在B 点不动，设此时甲在点P ， ∴f （t ）=PB=AB ﹣AP=5﹣5t∴f （t ）={√25t 2−42t +18，38≤t ≤785−5t ，78＜t ≤1∴当38＜t ≤1时，f （t ）∈[0，3√418]，故f （t ）的最大值没有超过3千米．21．（14分）已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．（1）设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣12，求面积S 的值．【解答】解：（1）依题意，直线l 1的方程为y=y 1x 1x ，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l 1的距离d=|y 1x 2x 1−y 2|√1+(y 1x 1)2=1212√x 12+y 12，因为|AB |=2|AO |=2√x 12+y 12，所以S=|AB |d=2|x 1y 2﹣x 2y 1|； 当l 1与l 2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立； （2）方法一：设直线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为﹣12k，设直线l 1的方程为y=kx ，联立方程组{y =kxx 2+2y 2=1，消去y 解得x=±√1+2k2， 根据对称性，设x 1=√1+2k 2，则y 1=√1+2k 2，同理可得x 2=√2k √1+2k 2，y 2=−√22√1+2k 2，所以S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|=√2．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为y1x1、y2x2，则y1y2x1x2=﹣12，所以x1x2=﹣2y1y2，∴x12x22=4y12y22=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（x12+2y12）（x22+2y22）=x12x22+4y12y22+2（x12y22+x22y12）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（x12y22+x22y12）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=12，即|x1y2﹣x2y1|=√22，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=√2．22．（16分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且Mm∈（﹣2，2）．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1 =2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴b n=12(a n+2b1−a1)，∴b n0=12(a n+2b1−a1)≥12(a n+2b1−a1)．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得a n=2λn−λ，①当﹣1＜λ＜0时，a2n=2(λ2)n−λ单调递减，有最大值M=a2=2λ2−λ；a2n−1=2λ2n−1−λ单调递增，有最小值m=a1=λ，∴Mm=2λ−1∈（﹣2，2），∴λ∈(−12，32)，∴λ∈(−12，0)．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，Mm=−3∉（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣12，0）时满足条件．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f （x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin x3是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【解答】解：（1）g（x）=x+sin x 3；∴cosg(x+6π)=cos(x+6π+sin x+6π3)=cos(x+sinx3)=cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f （T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；设其解为f（x1），f（x2），…，f（x n），（x1＜x2＜…＜x n）；则f（x1+T），f（x2+T），…，f（x n+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（x n）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（x i+T）=f（x i）+4π=f（x i）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．。
2015年上海高考二模数学普陀区(理)-推荐下载
2015 届普陀区高三二模数学试卷（理科）2015.04
一、填空题（共 14 题，每题 4 分，满分 56 分）
1.不等式
2.若
mi 1 i
1
x
i
x
（
i
0
的解集为
为虚数单位），则实数
3.若函数 f (x) sin x sin x 0的最小正周期为 ，则
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。