高中数学圆锥曲线解题技巧总结
圆锥曲线解题技巧之八利用曲线的导数解题
圆锥曲线解题技巧之八利用曲线的导数解题圆锥曲线解题技巧之八：利用曲线的导数解题圆锥曲线是高中数学中重要的内容之一，解题时我们常常会遇到需要利用曲线的导数进行求解的情况。
本文将介绍一些常见的圆锥曲线解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、圆锥曲线的导数概念回顾在解题之前，我们首先对圆锥曲线的导数概念进行回顾。
圆锥曲线的导数，可以理解为曲线在某点处的切线斜率。
利用导数，我们可以求解曲线的切线方程，进而分析曲线的性质和特点。
二、利用导数求解直线与圆锥曲线的交点有时我们需要求解直线与圆锥曲线的交点，可以利用导数来进行求解。
假设直线方程为y=kx+b，圆锥曲线方程为y=f(x)，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 将直线方程代入圆锥曲线方程，得到一个关于x的方程f(x)-kx-b=0。
2. 求解方程f(x)-kx-b=0，得到曲线与直线的交点的横坐标x。
3. 将求得的横坐标x代入直线方程，得到交点的纵坐标y。
三、利用导数求解切线方程在解题过程中，有时我们需要求解曲线某点处的切线方程。
我们可以利用导数来求解切线方程，具体步骤如下：1. 求取曲线方程的导数，得到导函数。
2. 将导函数的值与给定点的坐标代入切线方程的公式y-y₁=k(x-x₁)，其中k为导函数的值。
通过以上步骤，我们可以得到曲线某点处的切线方程，进而分析曲线在该点的切线斜率和特性。
四、利用导数求解曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点是研究曲线特性的重要内容。
我们可以利用导数来求解曲线的凹凸性和拐点：1. 求取曲线方程的二阶导数，得到二阶导函数。
2. 判断二阶导函数的正负性：若二阶导函数大于0，则曲线在该点凹向上；若二阶导函数小于0，则曲线在该点凹向下。
3. 求解二阶导函数等于0的点，这些点即为曲线的拐点。
通过以上步骤，我们可以分析曲线的凹凸性和拐点，进一步掌握曲线的性质以及解题过程中的一些特殊情况。
结语本文介绍了利用圆锥曲线的导数进行解题的一些技巧和方法。
高中数学圆锥曲线有好用的公式
高中数学圆锥曲线有什么好用的公式吗那些考试拿高分的，一定是简单的题目做得又快又对，这样他们才有时间去思考难题。
因此，适当地掌握一些教材中没有提到，但是可以加速解题过程的公式和定理，对提高解题速度，尤其是选择和填空题的解题速度极为有效。
下面就来简单总结一下与圆锥曲线有关的好用公式：1.利用椭圆的焦点三角形快速求离心率通过这一简单的结论，我们可以把一些出现在选择和填空题中的求离心率类的题目迅速解决，只需要画出图，找出角度，代入公式，避免了a，b，c换来换去的繁琐运算，为我们后面的大题节约时间。
我们先证明一下这个公式：通过这一简单的结论，我们可以把一些出现在选择和填空题中的求离心率类的题目迅速解决，只需要画出图，找出角度，代入公式，避免了a，b，c换来换去的繁琐运算，为我们后面的大题节约时间。
【我们先不使用这个定理来解决这个问题】：【在知道公式的情况下】翻译的图像和条件不变：那我们比较这两种做法，显然第一种需要用数学三招去思考，去动点脑筋去想，但如果利用好这个公式，我们几乎不需要思考，只需要熟练的计算即可迅速解出答案！2.利用椭圆的切线方程快速解题只需记下这个简单的结论，在圆锥曲线中椭圆这一章中，遇到切线问题就可以思路更清晰，解题更迅速噢。
【直接记住结论解题】再盯住已经转化过的目标，要求上述式子的最小值，联想有关的定理和定义，我们想到了利用函数的性质或者不等式的方法求最值，所以要把x1•x2，y1•y2，x1+x2换成与m有关的代数式。
利用这个定理，有效的缩短了解题时间，让我们对这一类型的题目处理起来更得心应手。
不仅是椭圆，在圆上这个定理也是成立的：大家记住了吗？3.利用双曲线的焦点三角形快速求离心率通过这一简单的结论，我们可以把一些出现在选择和填空题中的求离心率类的题目迅速解决，只需要画出图，找出角度，代入公式，避免了a，b，c换来换去的繁琐运算，为我们后面的大题节约时间。
我们先证明一下这个公式：因为上次椭圆的已经进行简便性验证了，那么同学们多记这4个字——椭加双减，再加上本身这个公式就很好记，结合三角形对比一下，多记4个字又可以解决一类题，投资回报比是很高的！利用本质教育的第一招翻译，翻译出图形：再利用本质教育的第三招盯住目标立马联想我们背过的公式：椭加双减3.二次曲线弦长万能公式（另外一个类似，可以证明）这就是泽宇老师在录播课中提到的“韦达定理模式”，解大题的时候，把以上证明过程写出来即可。
圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，)0(12222>>=+b a by a x 则有。
02020=+k by a x （2）与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则)0,0(12222>>=-b a by a x 有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。
（1）求证离心率；βαβαsin sin )sin(++=e （2）求的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA⊥OB，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。
高中数学圆锥曲线切线题解题方法
高中数学圆锥曲线切线题解题方法在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的概念，而求解圆锥曲线的切线问题是其中的一个难点。
本文将介绍一些解题方法，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。
在解决圆锥曲线切线问题时，首先要明确题目给出的条件和要求。
例如，考虑以下题目：已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，点$P(x_0,y_0)$在椭圆上，求过点$P$的切线方程。
解决这类问题的关键是确定切线的斜率。
我们可以通过对椭圆方程进行求导来得到切线的斜率。
对椭圆方程两边同时对$x$求导，得到$\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0$。
由于点$P$在椭圆上，代入点$P(x_0,y_0)$，可得$\frac{2x_0}{a^2}+\frac{2y_0}{b^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0$。
进一步整理得到$\frac{dy}{dx}=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{b^2}{a^2}$。
由此可见，切线的斜率与点$P$的坐标有关。
接下来，我们可以利用点斜式或斜截式等方法求解切线方程。
例如，如果我们使用点斜式，切线方程可以表示为$y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)$。
通过上述步骤，我们可以得到切线的方程。
但是，在具体解题过程中，我们还需要注意一些细节。
首先，要注意点$P$的坐标是否满足椭圆方程。
如果点$P$不在椭圆上，那么切线方程将无意义。
其次，要注意椭圆方程中的参数$a$和$b$的取值范围。
当$a=b$时，椭圆退化为圆，此时切线方程的求解方法也会有所不同。
除了椭圆，我们还可以考虑其他类型的圆锥曲线，如双曲线和抛物线。
对于双曲线，我们可以通过类似的方法求解切线方程。
例如，已知双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，点$P(x_0,y_0)$在双曲线上，求过点$P$的切线方程。
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
2024圆锥曲线大题计算方法
2024圆锥曲线大题计算方法圆锥曲线是高中数学中的重要内容，其相关题目在各类考试中频繁出现，尤其是大题部分，对考生的计算能力提出了较高要求。
本文将针对2024年圆锥曲线大题的计算方法进行详细解析，帮助考生掌握解题技巧，提高解题效率。
一、圆锥曲线方程求解方法1.椭圆方程求解：对于椭圆题目，首先要根据题目条件列出椭圆的标准方程。
在求解过程中，注意运用以下方法：（1）画图、特值法：通过观察图形，选取特殊点或线，简化计算过程；（2）变换主元与换元法：在化简方程时，可适当变换主元或进行换元，降低计算难度；（3）整体消元法：在求解过程中，注意整体消元，避免繁琐的计算。
2.双曲线方程求解：与椭圆类似，双曲线的求解也要注意运用画图、特值法、变换主元与换元法以及整体消元法。
二、直线与圆锥曲线交点求解方法1.代入法：将直线方程代入圆锥曲线方程，求解交点坐标。
注意在代入过程中，尽量简化计算，避免繁琐的运算。
2.联立方程组法：将直线方程与圆锥曲线方程联立，构成方程组，求解交点坐标。
在求解过程中，注意运用消元法、代入法等简化计算。
三、中点问题求解方法1.定点定值问题：通过画图、特值法或高观点，找出题目中的定点或定值，从而简化计算。
2.调和线束的中点性质：在涉及中点问题时，可运用调和线束的中点性质，快速判断中点位置。
四、实例解析以2023-2024学年北京市朝阳区高三第一学期期末数学试卷第20题为例，题目要求求解椭圆方程，并判断点N是否为线段CM的中点。
1.椭圆方程求解：根据题目条件，列出椭圆的标准方程，并运用上述方法求解。
2.直线与椭圆交点求解：过点P(2, 1)的直线l与椭圆E交于不同的两点C、D，运用代入法或联立方程组法求解交点坐标。
3.中点判断：根据调和线束的中点性质，判断点N是否为线段CM的中点。
五、总结在解决圆锥曲线大题时，掌握以下方法有助于提高解题效率：1.熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质；2.学会运用画图、特值法、变换主元与换元法、整体消元法等简化计算；3.熟悉中点问题的求解方法，特别是调和线束的中点性质；4.注重实际操作，多做题，积累解题经验。
高考数学：圆锥曲线相关结论汇总_知识点总结
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在高中数学中，圆锥曲线占据难题的一席之地，题目一般比较难，但对于选择填空来说，记住一些结论有利于解题。
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2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
高中数学第八章圆锥曲线知识点
高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学的一个重要章节，本章内容涵盖了圆锥曲线的基本定义、性质和相关的解题方法。
在本文档中，我们将详细介绍圆锥曲线的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、圆锥曲线的基本定义1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个动点（在直线上移动）确定的几何图形。
根据焦点的位置和直线与曲线的交点情况，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种情况。
2. 椭圆的定义椭圆是平面上与两个固定点的距离之和等于常数的点（焦点），构成的几何图形。
3. 双曲线的定义双曲线是平面上与两个固定点的距离之差等于常数的点（焦点），构成的几何图形。
4. 抛物线的定义抛物线是平面上与一个固定点的距离等于另一个固定点到直线的距离，构成的几何图形。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆的离心率小于1，焦点在椭圆的内部。
椭圆有两个主轴，相互垂直，长度分别为2a和2b，其中2a是椭圆的长轴，2b是椭圆的短轴。
椭圆的面积为πab。
2. 双曲线的性质双曲线的离心率大于1，焦点在双曲线的外部。
双曲线有两个虚轴和两条实轴，相互垂直。
双曲线的面积无限大。
3. 抛物线的性质抛物线的离心率等于1，焦点在抛物线的内部。
抛物线有一个对称轴，与焦点和顶点的距离相等。
抛物线的面积为2/3 × a × h，其中a是焦点到顶点的距离，h是对称轴的长度。
三、圆锥曲线的解题方法1. 椭圆的解题方法（1）求解椭圆的标准方程，确定椭圆的中心、长轴和短轴；（2）求解椭圆的焦点和离心率；（3）利用椭圆的性质解题，例如求点到椭圆的距离或求椭圆上一点的坐标。
2. 双曲线的解题方法（1）求解双曲线的标准方程，确定双曲线的中心、虚轴和实轴；（2）求解双曲线的焦点和离心率；（3）利用双曲线的性质解题，例如求点到双曲线的距离或求双曲线上一点的坐标。
3. 抛物线的解题方法（1）求解抛物线的标准方程，确定抛物线的顶点、对称轴和焦点；（2）利用抛物线的性质解题，例如求点到抛物线的距离或求抛物线上一点的坐标。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
下面我们来详细总结一下圆锥曲线的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上时：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上时：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
（2）对称性：关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（3）顶点：＼（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）。
（4）离心率：＼（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上时：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在 y 轴上时：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
3、双曲线的性质（1）范围：＼（x ＼geq a\）或\（x ＼leq a\）。
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Q
解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，arr221
，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，
r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
（1）)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有02020kbyax。
（2）)0,0(12222babyax与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有02020kbyax （3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 （2）B在抛物线，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，2）
连PF，当A、P、F三点共线时，PFAPPHAP最小，此时AF的方程为)1(13024
xy 即
y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，（注：另一交点为(2,2
1)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去） .. . … . word. … xy0A
B
CMD
5
F′FPH
y
0x
A
（2）（1,41） 过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，QRBQQFBQ最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=41，∴Q(1,41) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 例2、F是椭圆13422yx的右焦点，A(1,1)为椭圆一定点，P为椭圆上一动点。 （1）PFPA的最小值为 （2）PFPA2的最小值为 分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。 解：（1）4-5 设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF 542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA
当P是FA的延长线与椭圆的交点时, PFPA取得最小值为4-5。 （2）3
作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=21，
∴PHPFPHPF2,2
1即
∴PHPAPFPA2 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca
例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。 分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的MDMC）。 解：如图，MDMC， ∴26MBMADBMBMAAC即 ∴8MBMA （*） .. . … . word. … ∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为1151622yx 点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4)1()1(2222yxyx，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！
例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A的轨迹方程。 分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA
∴BCACAB5
3
即6ACAB （*） ∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
所求轨迹方程为116922yx （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)
则0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx 由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
① ② ③ .. . …
. word. … xy0M
AB
A1
A2
M1
M2
B1
B2
xyF1F20
AB
CD
∴2
0
20041944xxy
，
1149)14(4944202020200xxxxy ≥,5192 4
5
0y
当4x02+1=3 即 220x时，45)(min0y此时)45,2
2(M
法二：如图，32222ABBFAFBBAAMM
∴232MM， 即234
1
1MM，
∴4
5
1MM， 当AB经过焦点F时取得最小值。
∴M到x轴的最短距离为45 点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。
例6、已知椭圆)52(1122mmymx过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=CDAB,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。 分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防
)()(22)(2)()(CDABCDABXxxxxxxxmf .. . … . word. … )()(2DACBxxxx
)(2CBXx
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。 解：（1）椭圆1122mymx中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0) 则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-)52(122mmm
12222)()(2)()(2)(2121mmxxxxxx
xxxxCDABmf
CACDAB
（2）)1211(2121122)(mm
mmf
∴当m=5时，9
210)(minmf
当m=2时，3
24)(maxmf
点评：此题因最终需求CB
xx，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C
坐标代入作差，得0100kmymx，将y0=x0+1，k=1代入得01100mxmx，∴120m
mx，可见
122mmxxCB
当然，解本题的关键在于对CDABmf)(的认识，通过线段在x轴的“投影”发现CB
xxmf)(是
解此题的要点。