分数拆项法5
分数的拆项
分数的拆项【专题简析】前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。
一般地，形如1a×(a+1)＝1a－1a+1；形如1a×（a+n）＝1n×（1a－1a+n），形如a+ba×b ＝1a+1b等等。
同学们可以结合例题思考其中的规律。
【经典题例】例题1。
计算：11×2+12×3+13×4+…..+199×100练习1计算下面各题：1.14×5+15×6+16×7+…..+139×402.110×11+111×12+112×13+113×14+114×153. 12+16+112+120+130+142 4. 1－16+142+156+172例题2。
计算：12×4+14×6+16×8+…..+148×50练习2计算下面各题：1.13×5+15×7+17×9+…..+197×992.11×4+14×7+17×10+…..+197×1003.11×5+15×9+19×13+…..+133×374.14+128+170+1130+1208例题3。
计算：113 －712 +920 －1130 +1342 －1556练习3计算下面各题：1. 112 +56 －712 +920 －11302. 114 －920 +1130 －1342 +15563. 19981×2 +19982×3 +19983×4 + 19984×5 +19985×64. 6×712 －920 ×6+ 1130 ×6例题4。
分数多项式拆分
分数多项式拆分
将一个分数多项式拆分成简单的部分，可以利用部分分式分解
的方法。
首先，假设给定一个分数多项式，如：(3x^2 + 4x + 5) / (x + 2)
要将其拆分，首先需要确定分母的因式。在这个例子中，分母
是一个一次因式，即 x + 2。
然后，我们将分数多项式表示为部分分式的和：(3x^2 + 4x + 5)
/ (x + 2) = A / (x + 2) + B
接下来，我们将部分分式的分子分别表示为未知数 A 和 B。
然后，将分数多项式通分，得到：(3x^2 + 4x + 5) = A + B(x +
2)
然后，我们可以根据等式两边系数相等的原则，将等式两边的
多项式进行相应的对应。
对多项式 x^2 部分，等式两边的系数分别为 3 和 0，因此有：
3 = 0
对多项式 x 的部分，等式两边的系数分别为 4 和 B，因此有：
4 = B
对常数部分，等式两边的系数分别为 5 和 2B，因此有：5 =
2B
求解上述方程组，可以得到：B = 2 和 A = -3
因此，原分数多项式可以拆分为：(3x^2 + 4x + 5) / (x + 2) = -3
/ (x + 2) + 2
这就完成了将分数多项式拆分成简单的部分。
分数裂项技巧
分数裂项技巧
1. 嘿，你知道分数裂项技巧有多神奇吗？就像一把钥匙能打开复杂数学题的大门！比如计算 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20，运用裂项技巧，把各项拆分成两个分数之差，就会发现其中的奇妙之处啦！
2. 哇塞，分数裂项技巧真的能让难题迎刃而解呀！想想看，当你面对一堆分数不知所措时，它就像救星一样出现！像 1/3 + 1/15 + 1/35，用裂项技巧来试试，绝对会让你惊喜不已！
3. 喂喂喂，可别小看了分数裂项技巧哦！这可是数学江湖中的利器呢！例如算 1/4 + 1/20 + 1/40，一旦掌握了它，那些看似困难的题目瞬间就变得简单啦！
4. 哎呀呀，分数裂项技巧简直太有用啦！它就好像是给你增添了一双翅膀，能在数学的天空自由翱翔！瞧瞧 1/5 + 1/30 + 1/60 这样的式子，用
裂项轻松搞定！
5. 嘿呀，分数裂项技巧难道不是很厉害吗？就跟拥有了魔法一样！面对像 1/6 + 1/42 + 1/72 这种，不用裂项技巧那可就亏大啦！
6. 哇哦，分数裂项技巧真的超棒的好不好！就如同在迷雾中找到了方向！拿 1/7 + 1/56 + 1/112 来说，有了裂项技巧，一切都变得容易多啦！
7. 哈哈，分数裂项技巧可是个宝呀！这就像是找到了数学的宝藏图！比如处理 1/8 + 1/72 + 1/144，不用裂项技巧你舍得吗？
8. 哟呵，分数裂项技巧可别小瞧了它呀！那可是攻克难题的秘密武器！想想算 1/9 + 1/90 + 1/180 时，裂项技巧多厉害啊！
9. 反正我觉得分数裂项技巧特别重要！就像打开知识大门的金钥。
小学数学分数裂项(20210723004735)
分数裂差考试要求（ 1）灵巧运用分数裂差计算惯例型分数裂差乞降（ 2）能经过变型进行复杂型分数裂差计算乞降知识构造一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这类拆项计算称为裂项法 .裂项分为分数裂项和整数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
碰到裂项的计算题时，要认真的察看每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的同样的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相像部分，让它们消去才是最根本的。
1、关于分母能够写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b ，ba那么有 1b 1 (11 )a b a a b2、关于分母上为 3 个或 4 个自然数乘积形式的分数，我们有：1 1 [ 1 1 ]n (n k ) ( n 2k) 2k n (n k ) ( n k)( n 2k )1(n 1 [ 12k ) (n1 ]n (n k ) ( n 2k) 3k) 3k n (n k) ( n k) ( n 2k ) (n 3k)3、关于分子不是 1k 1 1 的状况我们有：k) n n kn(nh h 1 1n n k k n n k2k1 1n n k n 2k n n k n k n 2k3k1 1n n k n 2k n 3k n n k n 2k n k n 2k n 3kh h1 1n n k n 2k2k n n k n k n 2kh h1 1n n k n 2k n 3k3k n n k n 2k n k n 2k n 3k21 1 12n2n 1 2n 1 12n 1 2n 12二、裂差型裂项的三大重点特点：（ 1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，可是只需将x 提拿出来即可转变为分子都是1 的运算。
小学数学竞赛第五讲 分数的拆分问题
第五讲分数的拆分问题一、分数拆分的初步知识我们已经学过分数的加法运算，反过来你能把一个分数拆成几个分数的和的形式吗？我们先看下面的例题：形式，叫做分数的拆分。
怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们仍以通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤：叫做扩分。
注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。
③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。
即：④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。
例1 填空：事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子、分母都乘以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。
解：18分解质因数后共有六个约数：1、2、3、6、9、18，取不同的两个约数的和，可以得到不同的解。
如：……可以看出，由于每次所选用的两个约数不同，所得的解也不相同。
但是当选用的四个约数成比例时，它们的解就相同。
如：选用1和2，3和6，9和18；或选用2和3；6和9时，解就相同。
二、把一个分数拆成几个分数的和以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。
解：18的约数有1、2、3、6、9、18。
可以任意取其中三个约数，得到不同的解。
……答案不只一种。
三、把一个分数拆成两个分数的差能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。
观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。
以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。
当n、n+d，都是自然当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。
利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。
例5把下面各分数写成两个分数差的形式。
观察下面等式，左右两边有什么关系。
通过上面算式，可以得出这样的结论：由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。
四、拆分方法在分数加法运算中的应用例6 计算：解：由公式（2）解：由公式（3）例9计算：解：由等差数列求和公式由此，本题中的各个分数可以拆分为：因此，本题解法如下：例11 计算解：根据公式（4）解：先把同分母的分数相加，看看有什么规律。
分数拆项公式
分数拆项公式
（原创版）
目录
1.分数拆项公式的定义
2.分数拆项公式的应用
3.分数拆项公式的优点
4.分数拆项公式的注意事项
正文
1.分数拆项公式的定义
分数拆项公式，又称分数分解公式，是一种将一个分数拆分成两个或两个以上的分数的数学公式。
这种拆分方法可以使得分数的计算更加简便，同时也有助于更深入地理解分数的性质。
2.分数拆项公式的应用
分数拆项公式在数学中有广泛的应用，尤其是在代数、微积分等数学领域中。
例如，当我们需要计算一个复杂的分数时，可以通过分数拆项公式将其拆分成更简单的分数，从而简化计算过程。
此外，分数拆项公式还可以用于解决一些实际问题，如金融、物理等领域的问题。
3.分数拆项公式的优点
分数拆项公式的最大优点是能够简化分数的计算，提高计算效率。
通过分数拆项公式，可以将复杂的分数计算转化为简单的分数计算，从而降低计算难度。
此外，分数拆项公式还有助于提高对分数性质的理解，加深对数学知识的掌握。
4.分数拆项公式的注意事项
在使用分数拆项公式时，需要注意以下几点：
（1）分数拆项公式适用于任意分数，但不是所有分数都可以拆分成最简形式。
（2）在拆分分数时，需要保证拆分后的分数的和等于原分数，乘积等于原分数的乘积。
（3）在实际应用中，需要根据问题的具体要求选择合适的拆分方法，以达到最佳的计算效果。
分数裂项计算范文
分数裂项计算范文分数裂项计算是指将一个分数拆分成若干个较小的分数之和。
这个概念在数学中经常使用，尤其在分式的化简和运算中起到关键作用。
本文将介绍分数裂项计算的基本原理和常见的方法，帮助读者更好地理解和应用分数裂项计算。
首先，我们先了解一下基本的分数形式。
一个分数通常由一个分子和一个分母表示，如：a/b。
其中，a为分子，b为分母，分子和分母都是整数，并且分母不能为零（b≠0）。
例如，2/3就是一个分数，其中2为分子，3为分母。
要将一个分数进行裂项计算，我们需要找到一个或多个较小的分数，使其和等于原始分数。
这里有几种常见的方法：方法一：分数的分子是一个连续的整数序列。
这种情况下，我们可以将分数的分母保持不变，将分数的分子分解成多个连续的整数。
例如，对于分数7/12，我们可以将分子7分解成3+4，得到(3+4)/12=3/12+4/12=1/4+1/3方法二：分数的分母是一个连续的整数序列。
这种情况下，我们可以将分数的分子保持不变，将分数的分母分解成多个连续的整数。
例如，对于分数7/12，我们可以将分母12分解成4+8，得到7/(4+8)=7/4+7/8方法三：分数的分子和分母都是一个连续的整数序列。
这种情况下，我们可以将分数的分子和分母同时分解成多个连续的整数。
例如，对于分数7/12，我们可以将分子7分解成3+4，将分母12分解成4+8，得到(3+4)/(4+8)=3/4+4/4+3/8+1/8=3/4+1+3/8+1/8以上是常见的几种分数裂项计算方法，当然还有其他更多的方法，可以根据具体情况灵活使用。
在实际操作中，我们通常会选择其中最简单和最直观的方法来进行计算。
下面我们来看几个例子，以便更好地理解和应用分数裂项计算。
例1：将分数7/12进行裂项计算。
根据方法一，我们将分数的分子7分解成3+4，得到7/12=3/12+4/12=1/4+1/3例2：将分数5/6进行裂项计算。
根据方法二，我们将分数的分母6分解成2+4，得到5/(2+4)=5/2+5/4例3：将分数9/16进行裂项计算。
(完整版)六年级奥数-分数裂项
分数裂项计算授课目的本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行合适的变形，也许先进行一部分运算，使其变得更加简单了然。
本讲是整个奥数知识系统中的一个精华部分， 列项与通项归纳是密不可以分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的表现，对学生要求较高。
知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法. 裂项分为分数裂项和整数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话， 找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即 a b ，a b那么有1 1 1 1a b b a ()a b(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n ( n1) (n2)( n 1)( n 2)( n n 3)n ( n 1(n 2)1 [ 1 1) (n1 ] 1)2 n (n 1)(n 2) 11 [ 1 1n ( n 1) (n2) (n3) 3 (n 1) (n ]n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大要点特色：（ 1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将 x提取出来即可转变成分子都是1 的运算。
（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：（ 1）a 2 2 2 2b ab1 1 （ 2）a ba bab a b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的比：裂差型运算的核心是“两两抵消达到化的目的” ，裂和型运算的目不有“两两抵消”型的，同有化“分数凑整”型的，以达到化目的。
小学六年级数学第13讲：分数裂项与分拆(教师版).docx
(2 3 3 4910丿
+ 2x
iii)
1+
(2x3 3x49x10
31、Βιβλιοθήκη + 2x<1
1、
_7
1
1
_23
X
2
<2
一90丿
<2
~10>
_4
_60
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_石
也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2〃 +3,所以
2/1 + 3
nx(n + l)x(n + 2)(n+ l)x(n + 2) nx(n + l)x(n + 2)
…3 + 23 + 43 + 16
1x2x3 2x3x48x9x10
(1 1 1
11—
(1x2x3 2x3x48x9x10
=3x
+ 2x
12 8 )
1•
1x2x3 2x3x48x9x10丿
_3xlx
211x2 2x3 2x3 3x4
3 ( 11)
=—x
2(1x2 9x10丿
1 1
—+
8x9 9x10丿
=—r!?]
nx(n+Qx(斤+2k)x(n +3k) 3k nx(n + fc)x(n + 2k) (n+灯x(〃 +2k)x(n +3k)
3对于分子不是1的情况我们有：=
〃（〃 + £）rt + k）
hh （11）
〃（〃 + £）k \ n%+ k丿
分数拆项与裂项
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通 项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简 便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b ，那么有 ab1 1 (1 1) ab ba a b(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3)1 1[ 1 1]n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)1 1[11]n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b a b 1 1 （2） a2 b2 a2 b2 a bab ab ab b aab ab ab b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
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分数的简便计算（五）
分数拆分 班级： 姓名： 【基础知识详解】
拆项法：把一个分数拆成几个分数的和或差后能互相抵消，达到简化计算的目的，这种方法叫做分数的拆分法，又叫裂项法、或拆项法。
计算规律： (1)
)1(1
+⨯a a =a 1-1
1+a
(2)b
a ⨯1=（a 1-
b 1）×a b -1（a<b ）
(3)若
a 、
b 、
c 是三个连续的自然数，并且a<b<c ，那么
c b a ⨯⨯1=（b a ⨯1-c
b ⨯1）×21
（4）若
a 、
b 、
c 、
d 是四个连续的自然数，并且a<b<c<d ，那么
d c b a ⨯⨯⨯1=（c b a ⨯⨯1-d c b ⨯⨯1）×3
1
典 型 例 题 精 讲
【例1】计算：211⨯+321⨯+431⨯+……+50
491⨯
试一试：计算：211⨯+321⨯+431⨯+541⨯+6
51
⨯
【例2】计算：311⨯+531⨯+751⨯+9
71⨯+ (99971)
【例3】计算：411⨯+741⨯+1071⨯+13101⨯+16131⨯+19
161
⨯
【例4】计算：21 +61+121+201+301+421+561+721+90
1
【例5】计算：151+351+631+991+1431+1951+255
1
【例6】计算：1+612+1213+2014+3015+4216+5617+7218+90
19 【例7】514⨯+954⨯+1394⨯+17134⨯+21174⨯+25214⨯+29
254⨯
【例8】614⨯+1164⨯+16
114⨯+……+76714⨯+81764⨯
【例9】211998⨯+321998⨯+431998⨯+541998⨯+6
51998
⨯
【例10】21-
34-154-354-634-994-1434-1954-255
4
思维拓展训练： （1）212⨯+322⨯+432⨯+542⨯+……+100
992⨯ （2）523⨯+853⨯+1183⨯+……+23
203
⨯ （3）437⨯+547⨯+657⨯+767⨯+877⨯+9
87
⨯
（4）318⨯+538⨯+758⨯+978⨯+11
98⨯ （5）1212-+1412-+1612-+1812
-+……+1
501
2-
（6）1-61+421+561+72
1 （7）21+61+121+201+301+421+561+72
1 （8）1-21-61-121-201-301-421-56
1
（9）81+241+481+801+1201+1681+2241+288
1
（10）41+281+701+1301+208
1
（11）42×（81+241+481+801+1201+168
1） （12）23+67+1213+2021+30
31 （13）2
11+612+1213+1214+……+9900199
（14）311+1512+3513+6314+9915+143
16 （15）411⨯+741⨯+1071⨯+13101⨯+……+100
971⨯
（16）67+1213+2021+3031+4243+5657+7273+90
91 （17）312⨯+532⨯+7
52⨯+ (99972)
（18）31 +151+351+631+99
1
（19）211⨯+321⨯+431⨯+541⨯+……+100
991⨯
（20）3122⨯+5342⨯+7562⨯+……+21
19202
⨯
（21）311⨯+531⨯+751⨯+971⨯+1191⨯+13
111⨯
（22）421⨯+641⨯+861⨯+10
81⨯+……+48461⨯+50481⨯
（23）211⨯+321⨯+431⨯+541⨯+……+200420031⨯+2005
20041
⨯
（24）1+381+5241+7481+9801+……+19360
1
（25）1121+1361+15121+17201+1930
1+21421
（26）12-21-43-87-1615-3231-64
63
（27）161+3121+5201+7301+942
1
（28）1+361+5121+7201+9301+11421+13561+15721+1790
1 （29）614⨯+1164⨯+16114⨯+21
164⨯+……+76714⨯+81764⨯
（30）851⨯+1181⨯+14111⨯+……+101
981
⨯ （31）
411⨯+741⨯+1071⨯+……+100
971
⨯
复习巩固：
（32）2002减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的4
1
，依次类推，一直到最后减去余下的2002
1
，那么最后得数是多少？
（33）12-
21-43-87-1615-3231-64
63。