第二讲 关于取整计算

第二讲关于取整计算
在数学计算中，有时会略去某些量的小数部分，而只需求它的整数部分．比如，用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料
们收水费时，为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数，而是先按用水量的整数吨数收费把余量推至下一个月一起收．所以数学上引进了符号〔〕，使我们的表述简明．
[a] 表示不超过a的最大整数，称为a的整数部分．
[a] 显然有以下性质：
①[a] 是整数；
②[x]≤x；
③x＜[x]+1；
④若b≥1，则［a＋b］＞〔a〕；
若b≤1，则〔a＋b〕≤[a]+1．
请你自己举些例子验证前三条性质．
性质④举例：a取2.7，则〔a〕=2．
若b=1.1，那么〔a＋b〕=〔2.7+1.1〕=3>2=〔a〕．
若b=0.5，那么［a＋b］=［2.7+0.5］＝〔3.2〕=3=〔a〕+1；
若b=0.1，那么［a＋b］=〔2.8〕=2<〔a〕＋1．
〔a〕还有许多性质．例：若n是整数，则有：
〔a+n〕=〔a〕+n．
与〔a〕相关的是数a的小数部分，我们用符号{a}表示．
显然，a=〔a〕+{a}，而且0≤{a}＜1．
下面我们应用取整符号〔〕解题．
例1判断正误：若2x+3〔x〕=1．则{x}=0．
解：不正确．
假设 {x}＝0，则：［x］=x．
原式为：2〔x〕＋3〔x〕=1，5［x］=1，
例2求1～1993中可被2或3或5整除的整数的个数．
多了，因为有些数被重复计算了．例如6及其倍数，既是2的倍数，又是3的倍数，被计算了两次．同理，重复计算两次的数还有10及它的倍数和
15
步还要考虑30及它的倍数，它们既是2、3与5的公倍数，也是6、10与15的公倍数．开始计算了三次，后来又减去了三次，所以要补上．
解：合题意的数有：
分析加法运算中常用高斯求和法简算．求[x]的基本方法是根据定义x=[x]+{x}．要善于观察特殊值．
在0至2之间的整数只有1．
例4求满足方程〔x〕+［2x〕=19的x的值．
分析解这道题的关键是由x=〔x〕+{x}求2x的整数部分和小数部分．解：因为x=[x]+{x}，
则 2x=2[x]+2{x}．
〔2x〕=［2[x]+2{x}］
=2[x]+［2{x}］．
因0≤{x}＜1，∴0≤2{x}＜2．
现在对{x}分段来讨论：
0≤2｛x｝＜1，
这时〔2x〕=2［X］，
此时无解．
这时〔2x〕=2〔x〕+1，原方程化为：3[x]+1=19，
∴ 3[x]＝18，
∴ [x]=6．
说明：此题运用了适当分类讨论的数学思想．
例5问下面一列数中共出现了多少个互不相同的数？
分析首先要考虑由已知条件我们能推出什么？
②可推知这一列数不等于同一个数，但也不是互不相同．
④考虑利用公式（a＋b）2=a2＋2ab＋b2分析项的变化．
数。

．1993．
也就是k＞996．
1993-997＋1=997（个）．
而当k≤996时，前996项的相邻两项相等或差1．因知第一项
同的数．
综上所述，这一列数共有997+498=1495个不同的数．
例6设A=100！＝12n·M，其中M、n均是自然数．则n最大取多少？
解：∵12=22×3，
∴ A=248×2+1·348·k＝2·（12）48· k=1248·M，
∴ n最大取48．
习题二
1．在1～10000这一万个自然数中，有多少个数能够被5或7整除？
求：S=？
3．求满足方程〔x〕+［2x］=18的x的值．4．k是自然数，且
习题二解答
1．解：在1～10000这一万个自然数中，能被5或7整除的数有
∴ S=198×48=9504．
3．解：∵x=〔x〕+{x}，2x=2[x]+2{x}，
∴〔2x〕=2［x］+〔2{x}〕
原方程化为3〔x〕=18，〔x〕=6，
原方程化为3〔x〕＋1=18，显然此时无解．∴适合方程的x为
4．解：由已知条件推知，k的最大值=1001·1002·…·1985·1986中因子11的个数，也就是11的幂次数．∵1001·1002·…·1985·1986=1986！÷1000！
而1986！中因子11的幂次数为：
1000！中因子11的幂次数为：
∴ k的最大值为197-98=99．。