2020年高考文科数学全国卷3(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}|315B x x =＜＜，则A B 中元素的个数为 ( )A .2B .3C .4D .52.若()1i 1i z +=-，则z = A .1i -B .1i +C .i -D .i3.设一组样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，…，10n x 的方差为( )A .0.01B .0.1C .1D .104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln193≈）( ) A .60B .63C .66D .69 5.已知πsin sin 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πsin 6θ⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A .12BC .23D.2 6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为( ) A .圆B .椭圆C .抛物线D .直线7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线()2:20C y px p =＞交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为( )A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭， C .()10，D .()20，8.点()01-，到直线()1y k x =+距离的最大值为( )A .1BCD .2 9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A. B.C.D.10.设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则( )A .a c b ＜＜B .a b c ＜＜C .b c a ＜＜D .c a b ＜＜ 11.在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =( )AB. C.D.12.已知函数()1sin sin f x x x=+，则( )A .()f x 的最小值为2B .()f x 的图像关于y 轴对称C .()f x 的图像关于直线πx =对称D .()f x 的图像关于直线π2x =对称毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≥，≤，则32z x y =+的最大值为________.14.设双曲线2222:1x y C a b-=()00a b ＞，＞的一条渐近线为y =，则C 的离心率为________. 15.设函数()xe f x x a =+，若()14ef '=，则a =________. 16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）设等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}3log n a 的前n 项和.若13m m m S S S +++=，求m .18.（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天空气质量不好附：()()()()2n ad bc a b c d a c K b d -=++++，.19.（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，在E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =，证明：数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内.20.（12分）已知函数()32f x x kx k =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围.21.（12分）已知椭圆()222:10525x y C m m+=＜＜，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为()222123x t tt t y t t ⎧=--⎪≠⎨=-+⎪⎩为参数且，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，1abc =. （1）证明：0ab bc ca ++＜；（2）用{}max a b c ，，表示a ，b ，c 中的最大值，证明：{}max a b c ，，毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷文科数学答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.由题意，{}5711AB =，，，故AB 中元素的个数为3. 故选：B【考点】集合的交集运算 2.【答案】D【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可.因为()()()21i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z ---====-++-，所以i z =.故选：D . 【考点】复数的除法运算，共轭复数的概念 3.【答案】C【解析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.因为数据i ax b +，()12i n =，，…，的方差是数据i x ，()12i n =，，…，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.011⨯=，故选：C . 【考点】方差 4.【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.()()0.23531t K I t e --=+，所以()()0.23530.951t KI tK e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *+≈≈. 故选：C .【考点】对数的运算，指数与对数的互化 5.【答案】B【解析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.由题意可 得：1sin sin 12θθθ+=，则：3sin 12θθ=1cos 2θθ+，从而有：sin coscos sin663ππθθ+=，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B .【考点】两角和与差的正余弦公式及其应用 6.【答案】A【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.设()20AB a a =＞，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0A a -，，()0B a ，，设()C x y ，，可得：()AC x a y →=+，，()BC x a y →=-，，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB .故选：A .【考点】平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解 7.【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.因为直线2x =与抛物线()220y px p =＞交于E ，D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以数学试卷 第9页（共20页） 数学试卷 第10页（共20页）()22D ，，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，，故选：B . 【考点】圆锥曲线，直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标 8.【答案】B【解析】首先根据直线方程判断出直线过定点()10P -，，设()01A -，，当直线()1y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线()1y k x =+距离最大，即可求得结果.由()1y k x =+可知直线过定点()10P -，，设()01A -，，当直线()1y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线()1y k x =+距离最大，即为AP =.故选：B . 【考点】解析几何初步的问题，直线过定点，利用几何性质 9.【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDBS S S ===⨯⨯=△△△，根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为(2°11sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅==△，∴该几何体的表面积是：632⨯++故选：C .【考点】根据三视图求立体图形的表面积，根据三视图画出立体图形 10.【答案】A【解析】分别将a ，b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.因为333112log 2log 9333a c ===＜，355112log 3log 25333b c ===＞，所以a c b ＜＜.故选：A .【考点】对数式大小的比较 11.【答案】C【解析】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan B .设AB c =，BC a =，CA b =，22222cos 91623493c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，3c ∴=，2221cos9a c bB +-==，sinB ∴=tan B ∴=.故选：C . 【考点】余弦定理，同角三角函数关系 12.【答案】D【解析】根据基本不等式使用条件可判断A ；根据奇偶性可判断B ；根据对称性判断C ，D .sin x 可以为负，所以A 错；sin 0x ≠，()x k k π∴≠∈Z ，()()1sin sin f x x f x x-=--=-，()f x ∴关于原点对称；()()12sin sin f x x f x x π-=--≠，()()1sin sin f x x f x xπ-=+=，故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对.故选：D .【考点】函数定义域与最值，奇偶性，对称性 二、填空题 13.【答案】7【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.不等式组所表示的可行域如图.因为32z x y =+，所以322x z y =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y=-，当322x zy =-+经过A点时截距最大，此时数学试卷 第11页（共20页） 数学试卷 第12页（共20页）z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，()12A ，，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.【考点】简单线性规划的应用，线性目标函数的最大值【解析】根据已知可得a=结合双曲线中a ，b ，c 的关系，即可求解.由双曲线方程22221x y a b -=可得 其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y=，所以ba=c e a ===故【考点】双曲线性质 15.【答案】1【解析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值.由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =.故答案为：1.【解析】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2BC =，3AB AC ==，且点M 为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC r，则： ()11113322222ABC AOB BOC AOCS S S S AB r BC r AC r r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯=△△△△，解得：r =，其体积：343Vr π==.. 三、解答题17.【答案】（1）13n n a -= （2）6m =数学试卷 第13页（共20页） 数学试卷 第14页（共20页）【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式.设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=-=⎧⎨⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n n a -=.（2）由（1）求出{}3log n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.令313log log 31n n n b a n -===-，所以()()01122n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得()()()()1123222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m ＞，所以6m =.【考点】比数列通项公式基本量的计算，等差数列求和公式的应用18.【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09 （2）350锻炼的人次与该市 当天的空气质量有关.【解析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率.由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=. （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果.由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=.（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结()21003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈＞，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市 当天的空气质量有关.【考点】利用频数分布表计算频率和平均数，独立性检验的应用19.【答案】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ABCD ⊥平面，1AC BB ∴⊥，因为长方体1111ABCD A B C D -，AB BC =，所以四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥.因为1BB BD B =，111BB BD BB D D ⊂、平面，因此11AC BB D D ⊥平面，因为11EF BB D D ⊂平面，所以AC EF ⊥.（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =，连DM ，MF ，因为12D E ED =，11DD CC ∥，11DD CC =，所以1ED MC =，1ED MC ∥，所以四边形1DMC E 为平行四边形，1DM EC ∴∥.因为MF DA ∥，MF DA =，所以四边形MFAD 为平行四边形，DM AF ∴∥，1EC AF ∴∥，因此1C 在平面AEF 内. 【解析】（1）根据正方形性质得AC BD ⊥，根据长方体性质得1AC BB ⊥，进而可证数学试卷 第15页（共20页） 数学试卷 第16页（共20页）11AC BB D D ⊥平面，即得结果.因为长方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ABCD ⊥平面，1AC BB ∴⊥，因为长方体1111ABCD A B C D -，AB BC =，所以四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥.因为1BB BD B =，111BB BD BB D D ⊂、平面，因此11AC BB D D ⊥平面，因为11EF BB D D ⊂平面，所以AC EF ⊥.（2）只需证明1EC AF ∥即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC =，再通过平行四边形性质进行证明即可.在1CC 上取点M 使得12CM MC =，连DM ，MF ，因为12D E ED =，11DD CC ∥，11DD CC =，所以1ED MC =，1ED MC ∥，所以四边形1DMC E 为平行四边形，1DM EC ∴∥.因为MF DA ∥，MF DA =，所以四边形MFAD 为平行四边形，DM AF ∴∥，1EC AF ∴∥，因此1C 在平面AEF 内.【考点】线面垂直判定定理，线线平行判定20.【答案】（1）由题，()23f x x k '=-，当0k ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递 增；当0k ＞时，令()0f x '=，得x =，令()0f x '＜，得x ，令()0f x '＞，得x -＜x 所以()f x在⎛上单调递减，在⎛-∞ ，，⎫+∞⎪⎪上单调递增. 【解析】（1）()23f x x k '=-，对k 分0k ≤和0k ＞两种情况讨论即可.由题，()23f x x k '=-，当0k ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增；当0k ＞时，令()0f x '=，得x =，令()0f x'＜， 得x ，令()0f x '＞，得x -＜x ()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎛-∞⎝，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. （2）()f x 有三个零点，由（1）知0k ＞，且00ff ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎨⎪⎪⎩＞＜，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.由（1）知，()f x 有三个零点，则0k ＞，且00f f ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎨⎪⎪⎩＞＜，即22203203k k ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解 得4027k ＜＜，当4027k ＜＜且20fk =＞，所以()f x 在上有唯一一个零 点，同理1k --＜()()23110f k k k --=--+＜，所以()f x 在1k ⎛--⎝，上有唯一一个零点，又()f x 在⎛ ⎝上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范数学试卷 第17页（共20页） 数学试卷 第18页（共20页）围为4027⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【解析】（1）因为()2:10525x yC m m+=＜＜，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案.()222:10525x y C m+=＜＜，5a ∴=，b m =，根据离心率c e a ====解得54m =或54m =-（舍），C ∴的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=. （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ △的面积.点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N .根据题意画出图形，如图BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=，又90PBM QBN ∠+∠=，90BQN QBN ∠+∠=，PBM BQN ∴∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ()50B ∴，，651PM BN ∴==-=，设P 点为()P P x y ，，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，P ∴点为()31，或()31-，， ①当P 点为()31，时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，2MB NQ ∴==，可得：Q 点为()62，，画 出图象，如图()50A -，，()62Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：211100xy -+=，根据点到直线距离公式可得P 到 直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ =APQ ∴△面积为：15252⨯=；②当P 点为()31-，时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，8MB NQ ∴==，可得：Q 点为()68，， 画出图象，如图()50A -，，()68Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P数学试卷 第19页（共20页） 数学试卷 第20页（共20页）到直线AQ 的距离为：d ===根据两点间距离公式可得：AQ ==APQ ∴△面积为：1522=，综上所述，APQ △面积为：52.【考点】椭圆标准方程，三角形面积，椭圆的离心率定义，数形结合求三角形面积【解析】（1）由参数方程得出A ，B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值.令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即()012A ，.令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即()40B -，.AB ∴=（2）由A ，B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.由（1）可知()120304AB k -==--， 则直线AB 的方程为()34y x =+，即3120x y -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得，直线AB 的极坐标方程 为3cos sin 120ρθρθ-+=.【考点】利用参数方程求点的坐标，直角坐标方程化极坐标方程 23.【答案】（1）()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜.a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴{}3max 4a b c ，，.【解析】（1）由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明.()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由题意得出0a ＞，0b c ，＜，由()222322b c b c bca aa bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明.不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜，a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bca a a bcbcbc++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴{}3max 4a b c ，，.【考点】不等式的基本性质，基本不等式的应用。
2020年全国统一全国3卷文科高考数学试卷
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1175321{，，，，，=A ，}153|{<<=x x B ，则B A 中元素的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．62．复数，则=z ( )A ．i -1B ．i +1C ．i -D ．i3．设一组样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差为01.0，则数据110x ，210x ，…，n x 10的方差为 ( )A ．01.0B ． 1.0C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数)(t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：)53(23.01)(--+=t e K t I ，其中K 为最大确诊病例数.当K t I 95.0)(*=时，标志已初步遏制疫情，则*t 约为（319ln ≈） ( )A ．60B ．63C ．66D ．695．已知1)3sin(sin =++πθθ，则=+)6sin(πθ ( )A ．21 B ．23 C ．32 D ．22 6．在平面内，A 、B 是两个定点，C 是动点，若1=⋅BC AC ，则点C 的轨迹为 ( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线2=x 与抛物线)0(2:2>=p px y C 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则的焦点坐标为 ( )A ．)0,41(B ．)0,21(C ．)0,1(D ．)0,2(8．点)10(-，到直线)1(+=x k y 距离的最大值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．29．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 ( )A ．B ．C ．D ．10．设2log 3=a ,3log 5=a ，32=c .则 ( ) 642+442+623+423+A ．b c a <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ． c a b <<11．ABC △中，，，，则 ( )A ．B ．C ．D ．12．设函数()1sin sin f x x x=+，则 ( ) A ．()f x 的最小值为2； B ．()f x 的图像关于y 轴对称； C ．()f x 的图像关于π=x 对称； D ．()f x 的图像关于2π=x 对称；二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+1020x y x y x ，则32z x y =+的最大值是 ．14．设双曲线)00(1:2222>>=-b a b y a x C ，的一条渐近线为x y 2=，则C 的离心率为 ．14．设函数a x e x f x +=)(．若41)1(=f ，则=e ．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．三、填空题：本题共6题，17~21每题12分，22题10分．17．(12分)设等比数列{}n a 满足421=+a a ，813=-a a ． (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设n S 为数列}{log 3n a 的前项和，若31++=+m m m S S S ，求m ．18．(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次，2cos 3C =4AC =3BC =cos B =19131223整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次[]0,200 (]200,400 (]400,6001（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用改组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下列的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次＞400空气质量好 空气质量不好附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．(12分)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当BC AB =时，AC EF ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．)(2k K P ≥0.050 0.025 0.010 k3.8415.0246.635空气质量等级20．(12分)设23)(k kx x x f +-=. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有三个零点，求k 的取值范围.21．(12分)已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．（二）选考题：共10分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷3,参考版解析)
2020年高考新课标Ⅲ卷文数试题参考解析注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ）{0246810}，，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：依据补集的定义，从集合}10,8,6,4,2,0{=A 中去掉集合}8,4{=B ，剩下的四个元素为10,6,2,0，故}10,6,2,0{=B C A ，故应选答案C 。
（2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i 55 （D ）43i 55- 【答案】D 【解析】试题分析：因i z 34+=，则其共轭复数为i z 34-=，其模为534|34|||22=+=+=i z ，故i z z 5354||-=，应选答案D 。
（3）已知向量BA →=（12，BC →=12），则∠ABC =（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°【答案】A（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，0只有7、8两个月份，故应选答案可以确定D是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于20CD。
2020年高考真题全国卷III文科数学试卷-学生用卷
2020年高考真题全国卷III文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第1题5分2020~2021学年重庆北碚区西南大学附属中学校高一上学期期中第1题5分2020~2021学年11月重庆北碚区西南大学附属中学校高一上学期月考第1题5分已知集合A={1,2,3,5,7,11}，B={x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为（）．A. 2B. 3C. 4D. 52、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第2题5分2020~2021学年12月北京西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期月考第1题4分若z(1+i)=1−i，则z=（）．A. 1−iB. 1+iC. −iD. i3、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第3题5分设一组样本数据x1，x2，⋯，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，⋯，10x n的方差为（）．A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 104、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第4题5分2020~2021学年浙江杭州上城区杭州第四中学高一上学期期中第9题3分2020~2021学年江苏南通如皋市高一上学期期末第7题5分2020年高考真题全国卷III理科第4题5分2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第4题5分Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)=K，其中K为最大确1+e−0.23(t−53)诊病例数．当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为（）．（ln19≈3）A. 60B. 63C. 66D. 695、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第5题5分2020~2021学年江苏南京玄武区南京市第十三中学高二上学期开学考试第6题5分2020~2021学年浙江绍兴诸暨市浙江省诸暨中学高二下学期期中（平行班）第5题4分2020~2021学年3月陕西西安雁塔区西安高新第一中学高一下学期月考第7题4分2020~2021学年四川成都武侯区成都玉林中学高一下学期期末理科第3题5分已知sinθ+sin(θ+π3)=1，则sin(θ+π6)=（）．A. 12B. √33C. 23D. √226、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第6题5分2020~2021学年湖南长沙天心区长郡中学高二上学期期中第7题3分2020~2021学年12月北京西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期月考第7题4分2020~2021学年10月江苏南京鼓楼区南京市第二十九中学高二上学期月考第7题5分在同一平面内，A，B是两个定点，C是动点．若AC→⋅BC→=1，则点C的轨迹为（）．A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线7、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第7题5分2020年高考真题全国卷III理科第5题5分2020年高考真题全国卷III理科2020~2021学年12月北京海淀区中国人民大学附属中学高三上学期月考第4题4分2020~2021学年5月江西南昌东湖区南昌市第二中学高二下学期月考理科第6题5分设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2=2px（p>0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）．,0)A. (14,0)B. (12C. (1,0)D. (2,0)8、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第8题5分2020~2021学年四川成都高新区成都石室天府中学高二上学期开学考试文科第4题5分2020~2021学年4月甘肃兰州安宁区西北师范大学附属中学高一下学期月考第9题5分点(0,−1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为（）．A. 1B. √2C. √3D. 29、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第9题5分2019~2020学年7月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二下学期月考理科2019~2020学年7月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二下学期月考理科第8题5分2019~2020学年吉林长春朝阳区长春吉大附中实验学校高一下学期期末理科第8题5分右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）．A. 6+4√2B. 4+4√2C. 6+2√3D. 4+2√310、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第10题5分设a=log32，b=log53，c=23，则（）．A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b11、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第11题5分在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则tanB=（）．A. √5B. 2√5C. 4√5D. 8√512、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第12题5分2021年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三一模文科第12题5分2020~2021学年9月黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨市第三中学高三上学期月考文科第10题5分已知函数f(x)=sinx+1sin x，则（）．A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图象关于y轴对称C. f(x)的图象关于直线x=π对称D. f(x)的图象关于直线x=π2对称二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第13题5分2019~2020学年7月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二下学期月考理科第13题5分2020年高考真题全国卷III理科2019~2020学年7月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二下学期月考理科2020年高考真题全国卷III理科第13题5分若x，y满足约束条件{x+y⩾02x−y⩾0x⩽1，则z=3x+2y的最大值为．14、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第14题5分设双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√2x，则C的离心率为．15、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第15题5分2020~2021学年9月四川眉山仁寿县仁寿县文宫中学高三上学期月考文科第16题2020~2021学年陕西西安碑林区西安建筑科技大学附属中学高二下学期期中文科第16题4分设函数f(x)=e xx+a，若f′(1)=e4，则a=．16、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第16题5分已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的内切球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第17题12分2020~2021学年10月北京海淀区清华大学附属中学高三上学期月考第16题14分2020~2021学年湖南长沙雨花区雅礼中学高二上学期期中（雅礼教育集团）第17题10分2020~2021学年四川成都武侯区成都市武侯高级中学高一下学期期中第19题12分设等比数列{a n}满足a1+a2=4，a3−a1=8．(1) 求{a n}的通项公式．(2) 记S n为数列{log3a n}的前n项和．若S m+S m+1=S m+3，求m的值．18、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第18题12分2020年高考真题全国卷III理科2020~2021学年山东济南市中区山东省济南中学高三上学期月考第20题2020年高考真题全国卷III理科第18题12分某学习兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率．(2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．(3) 若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表；并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．19、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第19题12分2020~2021学年陕西西安碑林区西安建筑科技大学附属中学高二下学期期中文科第20题10分如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF= 2FB1．证明：(1) 当AB=BC时，EF⊥AC．(2) 点C1在平面AEF内．20、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第20题12分已知函数f(x)=x3−kx+k2．(1) 讨论f(x)的单调性．(2) 若f(x)有三个零点，求k的取值范围．21、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第21题12分2020~2021学年北京海淀区清华大学附属中学高三上学期开学考试第19题14分2020年高考真题全国卷III理科第20题12分2019~2020学年7月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二下学期月考理科2020年高考真题全国卷III理科已知椭圆C:x 225+y2m2=1(0<m<5)的离心率为√154，点A，B分别为C的左、右顶点．(1) 求C的方程．(2) 若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．四、选考题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第22题10分2020年高考真题全国卷III理科2019~2020学年7月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二下学期月考理科2020年高考真题全国卷III理科第22题10分2019~2020学年7月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二下学期月考理科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2−t−t2y=2−3t+t2，（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点．(1) 求|AB|．(2) 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年高考真题全国卷III文科第23题10分2019~2020学年7月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二下学期月考理科2020年高考真题全国卷III理科第23题10分2019~2020学年7月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二下学期月考理科第23题10分2020~2021学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高一上学期周测（校本第二章测试卷）第20题设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．(1) 证明：ab+bc+ca<0．(2) 用max{a,b,c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a,b,c}⩾√43．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 A;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】 7;14 、【答案】 √3;15 、【答案】 1;16 、【答案】 √23π; 17 、【答案】 (1) a n =3n−1．;(2) m =6．;18 、【答案】 (1) P 1=43100，P 2=27100，P 3=21100，P 4=9100． ;(2) 350．;(3) 2×2列联表如下： 有，证明见解析．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1) 当k⩽0时，f(x)在R上单调递增，当k>0时，f(x)在(−∞,−√k3)和(√k3,+∞)上单调递增，在(−√k3,√k3)上单调递减．;(2) (0,427)．;21 、【答案】 (1) x225+16y225=1．;(2) 52．;22 、【答案】 (1) 4√10．;(2) 3ρcosθ−ρsinθ+12=0．;23 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;。
2020年高考数学试卷--全国3(文科)
2020年高考数学试卷--全国3(文科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.(20•全国3文)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x │3＜x ＜15}，则A ∩B 中元素的个数为( )【B 】A.2B.3C.4D.52.(20•全国3文)若-z (1+i)=1-i ，则z=( )【D 】 A.1-i B.1+i C.-i D.i3.(20•全国3文)设一组样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差为0.01，则数据10x 1,10x 2,…,10x n 的方差为( )【C 】 A.0.01 B.0.1 C.1 D.104.(20•全国3文) Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(i 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e -0.23(t-53)，其中K 为最大确诊病例数. 当I(t *)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(In19 3)( )【C 】 A.60 B.63 C.66 D.695.(20•全国3文)已知sin θ+sin(θ+π3)=1，则sin(θ+π6)=( )【B 】A.12B.33C.23D.226.(20•全国3文)在平面内，A,B 是两个定点，C 是动点，若→AC ∙→BC=1，则点C的轨迹为( )【A 】A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线7.(20•全国3文)设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2=2px(p ＞0)交于D,E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )【B 】 A.(14,0) B.(12,0) C.(1,0) D.(2,0) 8.(20•全国3文)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )【B 】 A.1 B. 2 C. 3 D.29.(20•全国3文)右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )【C 】 A.6+4 2 B.4+4 2 C.6+2 3 D.4+2 310.(20•全国3文)设a=log 32，b=log 53，c=23，则( )【A 】A.a ＜c ＜bB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b11.(20•全国3文)在△ABC 中，cosC=23，AC=4，BC=3，则tanB=( )【C 】A. 5B.2 5C.4 5D.8 512.(20•全国3文)已知函数f(x)=sinx+1sinx，则( )【D 】A.f(x)=的最小值为2B.f(x)=的图像关于y 轴对称C.f(x)=的图像关于直线x=π对称D.f(x)=的图像关于直线x=π2对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(20•全国3文)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x+y ≥02x-y ≥0x ≤1，则z=3x+2y 的最大值为_____.【7】14.(20•全国3文)设双曲线C:x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线为y=2x,则C 的离心率为______.【3】15.(20•全国3文)设函数f(x)=e x x+a ，若f ′(1)=e4，则a=____.【1】16.(20•全国3文)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为_____. 【2π3】三、解答题：共70分. 第17~21题为必考题，第22、23题为选考题. 必考题：共60分.17.(12分)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=4，a 1a 3=4. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和. 若S m +S m+1=S m+3，求m. 【(1)a n =3n-1；(2)m=6】18.(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：…【(1)0.43、0.27、0.21、0.09；(2)350；(3)有】19.(12分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在E,F分别在棱D1D1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1，证明：(1)当AB=BC时，EF⊥AC； (2)点C1在平面AEF内.【(1)；(2)】20.(12分)已知函数f(x)=x 3-kx+k 2.(1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有三个零点，求k 的取值范围. 【(1)k ≤0时在R 上增，k ＞0时在(-∞,-k3)和(k 3，+∞)上增，在(-k3，k 3)上减；(2)k ∈(0,427)】21.(12分)已知椭圆C 1:x 225+y 2m 2=1(0＜m ＜5)的离心率为154，A,B 分别为C 的左、右顶点.(1)求C 的方程：(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x=6上，且│BP │=│BQ │P ，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积. 【(1)x 225+16y 225=1；(2)52】选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.22.(10分)在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2-t-t 2y ＝2-3t+t 2(t 为参数且t ≠1)与坐标轴交于A,B 两点.(1)求│AB │；3cos sin 120ρθρθ-+=(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【(1)410；(2)3ρcos θ-ρsin θ+12=0】23.(10分)设a,b,c ∈R ，a+b+c=0，abc=1. (1)证明：ab+bc+ca ＜0；(2)用max{a,b}表示a,b,c 中的最大值，证明：max{a,b}≥34.。
2020年全国卷I-卷Ⅲ文科数学高考考试真题(含答案)
1．
9
（2）设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), G (6, t ) ．
x my + n ，由题意可知 −3 < n < 3 ．
若 t ≠ 0 ，设直线 CD 的方程为=
y
由于直线 PA 的方程为=
y
直线 PB 的方程为=
t
t
( x + 3) ，所以=
( x1 + 3) ．
= 15 .
100
由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
频数
28
17 34
0
−70
21
因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为
70 × 28 + 30 × 17 + 0 × 34 − 70 × 21
= 10 .
100
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
C． {3,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ}
D． {1,3}
2．若 z =1 + 2i + i3 ，则 |z | =
A．0
B．1
C． 2
D．2
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方
形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
.
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
全国卷Ⅲ2020届高三高考压轴卷数学试题(文科)(含解析)
又 a2 = 3 ，所以 an = a2qn−2 = 3 3n−2 = 3n−1
所以 bn = log3 an = log3 3n−1 = n − 1
所以T9 = b1 + b2 +
+ b9
=
9(b1 + b9 )
2
=
9(1−1+ 9 −1)
2
=
36
故选：A
9、【答案】D
【解析】由 f (x) = a ln x + bx2 可得： f (x) = a + 2bx ， x
18.（12 分）
已知数列 an
满足
1 2a1 −
5
+
2 2a2 −
5
+
3 2a3 −
5
+
（1）求数列an 的通项公式；
+ n =n 2an − 5 3
（2）设数列
an
1 an+1
的前
n
项和为
Tn
,求
Tn
.
19 ．(12 分) 将棱长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 截去三棱锥 D1 − ACD 后得到如图所示几何体，
23.已知函数 f (x) = x − 2 ． （1）解不等式： f (x) 4 − f (x +1) （2）若函数 g(x) = x − 3, (x 4) 与函数 y = m − f (x) − 2 f (x − 2) 的图象恒有公共点，求 实数 m 的取值范围．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
标值进行统计分析，得到表格如表：
质量指标值
等级
频数
解析2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ) 文科数学
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={1,2,3,5,7,11},B ={x |3<x <15},则A ∩B 中元素的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【命题意图】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解. 【解析】选B .由题意,A ∩B ={5,7,11},故A ∩B 中元素的个数为3.【反思总结】求解有关集合的交集、并集、补集问题时,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通过观察集合之间的关系,借助数轴寻找元素之间的关系,使问题准确解决. 2.复数z ·(1+i)=1-i,则z =( )A.1-iB.1+iC.-iD.i 【命题意图】本题主要考查复数的除法运算,涉及共轭复数的概念. 【解析】选D .因为z =1-i 1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i2=-i,所以z =i .3.设一组样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差为0.01,则数据10x 1,10x 2,…,10x n 的方差为( ) A.0.01 B.0.1 C.1 D.10 【命题意图】本题考查方差,考查基本分析求解运算能力.【解析】选C .因为数据ax i +b (i =1,2,…,n )的方差是数据x i (i =1,2,…,n )的方差的a 2倍,所以所求数据方差为102×0.01=1.4.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:I (t )=K1+e -0.23(t -53),其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln 19≈3)( )A.60B.63C.6D.69【命题意图】本题考查对数的运算,考查指数与对数的互化,考查计算能力. 【解析】选C . 因为I (t )=K1+e -0.23(t -53),所以I (t *)=K1+e -0.23(t *-53)=0.95K ,则e 0.23(t *-53)=19,所以,0.23(t *-53)=ln 19≈3, 解得t *≈30.23+53≈66.5.已知sin θ+sin (θ+π3)=1,则sin (θ+π6)=( )A.12B.√33C.23D.√22【命题意图】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用. 【解析】选B .由题意可得:sin θ+12sin θ+√32cos θ=1, 则32sin θ+√32cos θ=1,√32sin θ+12cos θ=√33, 从而有:sin θcos π6+cos θsin π6=√33,即sin (θ+π6)=√33.【方法技巧】给值求值问题的求解思路 (1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手). (3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 6.在平面内,A ,B 是两个定点,C 是动点.若·=1,则点C 的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线【命题意图】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算,轨迹方程的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【解析】选A .设AB =2a (a >0),以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则:A (-a ,0),B (a ,0),设C (x ,y ), 可得:=(x +a ,y ),=(x -a ,y ),从而:·=(x +a )(x -a )+y 2,结合题意可得:(x+a)(x-a)+y2=1,整理可得:x2+y2=a2+1,即点C的轨迹是以AB中点为圆心,√a2+1为半径的圆.7.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()A.(14,0) B.(12,0) C.(1,0) D.(2,0)【命题意图】该题考查的是有关圆锥曲线的问题,涉及的知识点有直线与抛物线的交点,抛物线的对称性,点在抛物线上,抛物线的焦点坐标,属于简单题目.【解析】选B.因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于D,E两点,且OD⊥OE,根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=π4,所以D(2,2),代入抛物线方程4=4p,求得p=1,所以其焦点坐标为(12,0).8.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.√2C.√3D.2【命题意图】该题考查的是有关解析几何初步的问题,涉及的知识点有直线过定点问题,利用几何性质是解题的关键.【解析】选B.由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1,0),设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)距离最大,即为|AP|=√2.9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+4√2B.4+4√2C.6+2√3D.4+2√3【命题意图】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题,解题关键是掌握根据三视图画出立体图形,考查了分析能力和空间想象能力.【解析】选C.根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形,根据立体图形可得:S △ABC =S △ADC =S △CDB =12×2×2=2, 根据勾股定理可得:AB =AD =DB =2√2, 所以△ADB 是边长为2√2的等边三角形,根据三角形面积公式可得:S △ADB =12AB ·AD ·sin 60°=12×(2√2)2×√32=2√3,所以该几何体的表面积是:3×2+2√3=6+2√3. 10.设a =log 32,b =log 53,c =2,则( )A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b 【命题意图】本题考查对数式大小的比较,考查学生转化与化归的思想. 【解析】选A .因为a =1log 323<1log 39=2=c ,b =13log 533>13log 525=23=c ,所以a <c <b.11.在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则tan B =( ) A.√5B.2√5C.4√5D.8√5【命题意图】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系,考查基本分析求解能力,属基础题. 【解析】选C .设AB =c ,BC =a ,CA =b ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C =9+16-2×3×4×23=9,所以c =3,cos B =a 2+c 2-b 22ac =19,所以sin B =√1-(19)2=4√59,所以tan B =4√5.【误区警示】由于对余弦定理公式的形式记忆不准确从而造成运算失误. 12.已知函数f (x )=sin x +1sinx ,则( ) A.f (x )的最小值为2 B.f (x )的图象关于y 轴对称 C.f (x )的图象关于直线x =π对称 D.f (x )的图象关于直线x =π2对称【命题意图】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性,考查基本分析判断能力. 【解析】选D .因为sin x 可以为负,所以A 错; 因为sin x ≠0,所以x ≠k π(k ∈Z), 因为f (-x )=-sin x -1sinx =-f (x ), 所以f (x )关于原点对称;故B 错;因为f (2π-x )=-sin x -1sinx≠f (x ),故C 错,f (π-x )=sin x +1sinx =f (x ),所以f (x )关于直线x =π2对称,D 对.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考真题试卷数学(文)(全国卷Ⅲ) Word版
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知集合A ＝{1，2，3，5，7，11}，B ＝{x|3<x<15}，则A ∩B 中元素的个数为A.2B.3C.4D.52.若(1)1z i i +=-，则z ＝A.1－iB.1＋iC.－iD.i3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为A.0.01B.0.lC.1D.104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数。
当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)A.60B.63C.66D.695.已知sinθ＋sin(θ＋3π)＝1，则sin(θ＋6π)＝A.12B.3C.23D.2 6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC BC ⋅＝1，则C 的轨迹为A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线7.设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A.(14，0) B.(12，0) C.(1，0) D.(2，0) 8.点(0，1)到直线y ＝k(x ＋1)距离的最大值为A.1 D.29.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A.6＋2B.4＋2C.6＋3D.4＋310.设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则 A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b11.在△ABC 中，cosC ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则tanB ＝ 5 5 5 512.已知函数f(x)＝sinx ＋1sin x ，则 A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图像关于y 轴对称C.f(x)的图像关于直线x ＝π对称D.f(x)的图像关于直线x ＝2π对称 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文（全国卷3,含答案）
2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试数学试题⽂（全国卷3,含答案）2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试数学试题⽂（全国卷3）注意事项：1．答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每⼩题答案后,⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动,⽤橡⽪擦⼲净后,在涂选其它答案标号.回答⾮选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上⽆效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。
⼀、选择题（本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求的.）1．已知集合{}|10A x x=-≥，{}012B=，，，则A B=I（）A．{}0B．{}1C．{}12，D．{}012，，2．()()12i i+-=（）A．3i--B．3i-+C．3i-D．3i卯眼，图中⽊构件右边的⼩长⽅体是棒头．若如图摆放的⽊构件与某⼀带卯眼的⽊构件咬合成长⽅体，则咬合时带卯眼的⽊构件的俯视图可以是（）4．若1sin3α=，则cos2α=（）A．89B．79C．79-D．89-5．若某群体中的成员只⽤现⾦⽀付的概率为0.45，既⽤现⾦⽀付也⽤⾮现⾦⽀付的概率为0.15，则不⽤现⾦⽀付的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.76．函数()2tan1tanxf xx=+的最⼩正周期为（）2πC．πD．2π7．下列函数中，其图像与函数lny x=的图像关于直线1x=对称的是（）A．()ln1y x=-B．()ln2y x=-C．()ln1y x=+D．()ln2y x=+8．直线20x y++=分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆()22 22x y-+=上，则ABP⾯积的取值范围是（）A．[]26，B．[]，D．2232，9．函数422y x x=-++的图像⼤致为（）10．已知双曲线22221x yCa b-=：（00a b>>，）的离⼼率为2，则点()40，到C的渐近线的距离为（）A．2B．2C．322D．2211．ABC ?的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?的⾯积为222 4a b c +-，则C =（）A ．2πB ．3π12．设A ，B ，C ，D 是同⼀个半径为4的球的球⾯上四点，ABC ?为等边三⾓形且其⾯积为93，则三棱锥D ABC -体积的最⼤值为（）A ．123B ．183C ．243D ．543⼆、填空题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．某公司有⼤量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较⼤差异．为了解客户的评价，该公司准备进⾏抽样调查，可供选择的抽样⽅法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样⽅法是________．15．若变量x y ，满⾜约束条件23024020.x y x y x ++??-+??-?≥，≥，≤则13z x y =+的最⼤值是________．16．已知函数()()2ln11f x x x =--+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题（共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考⽣都必须作答，第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答．）（⼀）必考题：共60分。
2020年高考数学全国ⅠⅡⅢ卷真题卷含答案解析共三套汇总
目录2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）.......................................................................................... 1 2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）.......................................................................................... 9 2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）. (18)绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．695．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（）A ．12BC ．23D6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220y px p =>交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）8．点(0)1-，到直线()1y k x =+距离的最大值为 A ．1BCD ．29．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．10．设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b11．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = AB ．C ．D ．12．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2 B ．f (x )的图像关于y 轴对称 C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。