《线性代数》(郝志峰) 习题详解
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习题一
1
、
（
1
）
()()()()1102
02112501220322211350021235
-=-=⨯⨯+⨯-⨯+-⨯⨯--⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯=D .
（2）
33323==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---a b c
D b c a a b c b a c c b a c c c a a a b b b abc a b c c a b
.
2、（1）排列的逆序数为00235+++=. （2）排列的逆序数为()()()
1012212
-+++
+-+-=
n n n n . 3、含有因子1123a a 的项11233244-a a a a （纵标为1324，逆序数为00101+++=），11233442a a a a （纵标为1342，逆序数为00022+++=）.
4、经第一行与第四行交换行列式为负号，经转置行列式不变，经用2乘所有元素为52，经用()1-乘第2列加到第5列为行列式不变，经这些处置后行列式为32-D .
5、31a 的代数余子式为0，11a 的代数余子式为()()11
103326+-⨯--=⎡⎤⎣⎦.
6、()
()()()()()()
()
31
3233
34
125113107114103043++++=--⨯-+--⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯=-+-=D .
7、（1）()()()43
2
1111248⨯=-⨯⨯⨯-⨯-=D .
（2）1212
2
3443
00
0001111110
000001111011--------x x x r r c c x x x D r r c c y y y y
y
()
()21
22210
100101按第一行展开按第一列展开+--=--x y x y x x y y
y
.
8、（1）()
()()
()
1
1
1
1110
0020n 11!00
1按第行展开
++-⨯-⨯-=--n n n n D n n n .
()
()()
()
()()
()
11
1
1
11111
000000000
1(2)11000
00
1.
按第列展开
++-⨯--⨯-+⨯-+⨯-=+
-n n n n n n n n a b b a b a b D a b a a b a b
（3）21
31
131
1111102222
2002
22000
02
-++=+n n r r r r D r r . ()
()()
()
()()
()()()()()11
1
4
1111111122220
00000000
000(4)1100000000
0100
011111.
按第一行展开
第二个行列式按第一列展开
++-⨯--⨯-+-+----⨯-+-+-⨯⨯-⨯=+-=-n n n n n n n n n n n n a a a
a D a a a a a a a a a a a
9、（1）2
2222
2222
2222222214469214469
=214469214469
左边++++++++++++++++++++++++a a a a a a a b b b b b b b c c c c c c c d d d d d d d 对第i 列分开三项（i =2,3,4）,再利用
其中两列元素相同、成比例，则行列式为0，其结果为0，等于右边. （2）22223
3
3
3
1
111第一行、第二行对调左边
右边.=a
b c d
a b c d a b c d （3）用递推法去证.
从第二行起()11,2,
,1++-i i r xr n 得：
()()
()
()
()0
01
23012
120121
1
1
20
1211
1
1
2120
12101211000100010
100010-10
1
11.
按展开
-------+----+----------+-=
+++-++++--++
++-=--++
++=++
++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a x a D a x a x a a x a x a x a r a x
a x a x
a
a x
a x a x a a x a x a x a
10、（1）用数学归纳法去证.
当2=n 时，()332
2221+-=
=+-=++=-+a b ab a b D a b ab a ab b a b a b
，
当1≤-n k 时，111
20
0100,,0100
1----++--===+--+k k k k k k a b ab a b ab a b a b D D a b
a b a b
a b
当=n k 时，()()1
1
11
12--++-----=+-=+-=---k
k
k k k k k k k a b a b
a b D a b D abD a b ab a b a b
a b
，
由数学归纳法可知，对任何正整数n ，有11++-=-n n n a b D a b
. （2）用数学归纳法去证. 当2=n
时，2211
2
11
=
=-D x x x x ， 当1=-n k 时，()111
.-≤<≤-=
<∏k i
j j i k D x
x
当=n k 时，()()()()()
()
21311
1
22133112
222213*********
0--------------k i i k k k
k k k k k x x x x x x r xr x x x x x x x x x D x x x x x x x x x