专题 立体几何中的计算
立体几何中的计算
1、【2019年江苏数】.如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.
2、【2018年高考江苏数】.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
3、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，
BC ，那么P 到平面ABC 的距离为___________．
4、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长
方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方
体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O ?EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
6、【2019年高考北京卷文数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
7、【2019若圆柱的一个底
面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
8、【2018年高考全国II 卷文数】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角
为30?，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．
一、柱、锥、台和球的侧面积和体积
注意：(1)
分的处理.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面
积与底面圆的面积之和.
二、在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.
(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个
平面上，将问题转化为平面上的最值问题.
(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两
个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.
如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.
三、方法与技巧
(1)棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.旋转体要抓住“旋
转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状.
(2)要注意将空间问题转化为平面问题.
(3)求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.
(4)一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决.
四、失误与防范
（1）几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.
（2）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
题型一 多面体的表面积与体积
求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。3、等积法：通过转换顶点，换成底面积或者高易求的几何体。
例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1P ABA -的体积为 ．
例2、(2019南京、盐城一模）如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为________．
例3、(2018南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2
.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm (不计损耗)．
A
B
C P
A 1
B 1
C 1
题型二旋转体的表面积与体积
旋转体主要就是圆柱、圆锥、球等几何体，根据不同的几何体运用不同的求法。
例4、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．
例5、(2019常州期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．
例6、(2019苏北四市、苏中三市三调）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm．将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm3．
例7、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ．
题型三 几何体展开与折叠问题
几何体的折叠问题和展开问题要紧紧抓住折叠或展开的前后过程中不变的量来处理。解决这类组合体的问题基本方法就是讲组合体分解若部分，分别计算。
例8、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH 的体积为________．
（图1）
（图2）
例9、(2017南京三模）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ．
1、(2019扬州期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．
2、(2019镇江期末） 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________
3、(2019宿迁期末） 设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm 的正三角形，则该圆锥的体积为________ cm 3
. 4、(2019南通、泰州、扬州一调） 已知正四棱柱的底面长是3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正
A
C
B A 1
B 1
C 1
D
四棱柱的体积为________cm 3
.
5、(2019泰州期末） 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1
V 2
的值是________．
6、(2019通州、海门、启东期末）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三椎锥D －BB 1C 1的体积为________．
7、(2018无锡期末） 直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB⊥BC，AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
8、（2016苏州期末）将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________.
9、(2018苏中三市、苏北四市三调）现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个
底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为1S ,2S ,则12
S S 的值为 ．
10、(2018常州期末）已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．
11、（2016南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）在体积为
3
2
的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB ＝1，BC ＝2，BD ＝3，则CD 长度的所有可能值为________．
12、(2016苏锡常镇调研） 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1
S 2
的值为
________
．
13、(2018苏锡常镇调研）在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是
线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ．
14、(2019苏锡常镇调研（一）） 已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________． 15、（2016无锡期末） 如图，在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面VAB 的距离为________．
16、(2018苏州期末） 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．
答 案
1、【2019年江苏数】.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.
【答案】10.
【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ??=， 因为E 为1CC 的中点， 所以11
2
CE CC =
， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，
所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =
???=11111
1201032212
AB BC CC =???=?=. 2、【2018年高考江苏数】.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
【答案】
4
3
【解析】 由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，，
所以该多面体的体积为2
1
421.3
3
???=
3、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，
BC ，那么P 到平面ABC 的距离为___________．
【解析】作,PD PE 分别垂直于,AC BC ，PO ⊥平面ABC ，连接CO ，
由题意可知,CD PD CD PO ⊥⊥，=PD PO P I ，
CD \^平面PDO ，又OD ?平面PDO ，CD OD ∴⊥，
PD PE ==Q 2PC =，sin sin PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ?∴∠=∠=，
又易知PO CO ⊥，CO 为ACB ∠的平分线，
45,1,OCD OD CD OC ?∴∠=∴===
又2PC =，PO ∴=
=
本题主要考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，利用勾股定理解决．注意画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题则很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．
4、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长
方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
【答案】261
【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．
如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长CB 与FE 的延长线交于点G ，延长BC 交正方体的棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE △为等腰直角三角形，
,21)122
BG GE CH x GH x x x ∴===
∴=?+==，
1
x ∴=
=，
1．
本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．
5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方
体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O ?EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损
耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
【答案】118.8
【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =?-???=四边形， ∵四棱锥O ?EFGH 的高为3cm ， ∴31
12312cm 3
O EFGH
V -=??=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为3
2466144cm V =??=， 所以该模型体积为3
214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，
其质量为0.9132118.8g ?=．
本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可. 6、【2019年高考北京卷文数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .
【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；
（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.
本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.
7、【2019若圆柱的一个底
面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
【答案】
π4
2=.
若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心， 故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为
12
， 故圆柱的体积为2
1ππ124????= ???
. 本题主要考查空间几何体的结构特征以及圆柱的体积计算问题，解答时，根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.
8、【2018年高考全国II 卷文数】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角
为30?，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________． 【答案】8π
【解析】如下图所示，30,90SAO ASB ∠=∠=o o
，又211
822
SAB S SA SB SA =
?==△，解得4SA =，
所以12,2SO SA AO ====，所以该圆锥的体积为2
1π8π3
V OA SO =???=.
此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.
一、柱、锥、台和球的侧面积和体积
注意：(1)
分的处理.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面
积与底面圆的面积之和.
二、在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.
(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个
平面上，将问题转化为平面上的最值问题.
(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两
个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.
如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.
三、方法与技巧
(1)棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.旋转体要抓住“旋
转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状.
(2)要注意将空间问题转化为平面问题.
(3)求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.
(4)一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决.
四、失误与防范
（1）几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.
（2）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球
的直径.
题型一 多面体的表面积与体积
求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。3、等积法：通过转换顶点，换成底面积或者高易求的几何体。
例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1P ABA -的体积为 ▲ ． 【答案】
4
3
9 【解析】因为正三棱柱111C B A ABC -中，11//CC AA ，因为B B AA AA 111面?，B B AA CC 111面?， 所以B B AA CC 111//面，因为点P 在棱1CC 上，所以点C 到平面B B AA 11的距离就是点P 到平面B B AA 11的距离．作AB CD ⊥，垂直为点D ，因为正三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 面ABC ，?CD 面ABC ，所以
1AA CD ⊥，而B B AA AB 11面?，B B AA AA 111面?，11A AA AB =I ，所以B B AA CD 11面⊥．因为正
三棱柱111C B A ABC -中，31==AA AB ，所以233=
CD ，1ABA ?的面积2
9
3321=??=S ，所以三棱锥1ABA P -的体积4
3
9233293131=??=??=
CD S V ． 点评：对于立体几何中求表面积和求体积的问题，一定要遵循“一作二证三计算”的原则，推理证明不能忽视．
例2、(2019南京、盐城一模）如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，
A
B
C P
A 1
B 1
C 1
)
PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为________．
【答案】
36
【解析】 V BEFC ＝V FBEC ＝12V PBEC ＝12·(13·S △BEC ·PA)＝12×13×34×4＝3
6
.
解后反思 求空间几何体的体积的本质就是找几何体的高(即找线面垂直)，常见的空间几何体体积的求法有：作高法、转换顶点法、割补法.
例3、(2018南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2
.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm (不计损耗)．
【答案】 210
【解析】由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为6×34
×42
×4－93×4＝603，设所求正三棱柱的底面边长为x cm ，则有
34
x 2
·6＝603，解得x ＝210，所以所求边长为210cm . 题型二 旋转体的表面积与体积
旋转体主要就是圆柱、圆锥、球等几何体，根据不同的几何体运用不同的求法。
例4、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．
【答案】. 2 3
【解析】正三棱锥的底面正三角形的边长为a ＝23，面积S ＝
34
a 2
＝33，高h ＝2.所以正三椎锥的体积V
＝1
3
Sh ＝2 3. 例5、(2019常州期末）已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为________．
【答案】.38
【解析】设圆锥底面半径为2r ，高为2h ，则圆柱底面圆半径为r ，高为h ，所以V 圆柱V 圆锥＝πr 2
h 13π（2r ）2·2h ＝3
8
.
例6、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2
cm ．将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3
． 【答案】73
π
【解析】
所求几何体的体积为17+=1233
V V V π=??π+π?=圆锥圆柱
例7、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 22
【解析】：设圆锥的高为h ，母线为l ，由2
=,=S rl S r ππ侧底得，2
1=31l ππ???，即=3l ，22
3122h -=，
故该圆锥的体积为2
1
2
1223
3
π???=.
题型三 几何体展开与折叠问题
几何体的折叠问题和展开问题要紧紧抓住折叠或展开的前后过程中不变的量来处理。解决这类组合体的问题基本方法就是讲组合体分解若部分，分别计算。
例8、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH 的体积为________．
（图1）
（图2）
【答案】 4
3
【解析】 连结EG ，HF ，交点为O ，正方形EFGH 的对角线EG ＝2，EO ＝1，则点E 到线段AB 的距离为1，EB ＝12＋22＝ 5.SO ＝SE 2－OE 2＝5－1＝2，故正四棱锥SEFGH 的体积为13×(2)2
×2＝43
.
例9、(2017南京三模）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．
【答案】．1
3
【解析】将侧面展开如下图，所以由平面几何性质可得：11AD DC AC +≥，当且仅当
1,,A D C 三点共线取到.此时1BD =，所以11
22ABD S AB BD =??=V .在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中有
1BB CB ⊥，又AB CB ⊥，易得CB ⊥平面ABD ，所以11C B ⊥平面ABD ，即11C B 是三棱锥1C ABD
-的高，所以11111111
23323
D ABC C ABD ABD V V C B S --==
??=??=V A
C
B A 1
B 1
C 1
D
【解后反思】对于求空间几何体中在两个侧面上两个有公共点距离之和最小值的问题，一般都可以转化为同一个平面上问题.本题也是数学中最有名的“将军饮马”的问题，有兴趣的同科可以用网络搜索查阅这个问题.
1、(2019扬州期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．
【答案】 22π
3
【解析】圆锥的高为h ＝32－12＝22，圆锥的体积V ＝13×π×12
×22＝22π3
.
2、(2019镇江期末） 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________． 【答案】
3π
3
【解析】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则?????πr 2
＝π，πrl ＝2π，解得?
????r ＝1，l ＝2.所以h ＝ 3.圆锥的体积V ＝13Sh ＝3π
3
.
3、(2019宿迁期末） 设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm 的正三角形，则该圆锥的体积为________ cm 3
. 【答案】
3
3
π 【解析】圆锥的底面半径R ＝1，高h ＝22－12＝3，故圆锥的体积为V ＝13×π×12
×3＝33π.
4、(2019南通、泰州、扬州一调） 已知正四棱柱的底面长是3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积为________cm 3
. 【答案】. 54
【解析】由题意知，正四棱柱的高为（35）2
－32
＝6，所以它的体积V ＝32
×6＝54，故答案为54. 5、(2019泰州期末） 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1
V 2
的值是________．
【答案】 1
4
【解析】解法1(割补法) 设△ABC 的面积为S ，三棱柱的高为h ，则V 1＝VA 1ABC －V MABC ＝13Sh －13S ×12h ＝1
6Sh ，
V 2＝VABCA 1B 1C 1－VA 1ABC ＝Sh －13Sh ＝23Sh ，所以V 1V 2＝Sh 6·32Sh ＝1
4
.
解法2(等积转换) V 1＝VBA 1MC ＝12VBA 1AC ＝12VA 1ABC ，V 2＝2VA 1BC 1B 1＝2VBA 1B 1C 1＝2VA 1ABC ，所以V 1V 2＝1
4.
6、(2019通州、海门、启东期末）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三椎锥D －BB 1C 1的体积为________．
【答案】23
3
【解析】因为AA 1‖平面BCC 1B 1，所以点D 到平面BCC 1B 1的距离即为A 1点到平面BCC 1B 1的距离，也即为正三角形A 1B 1C 1的高，等于3，故VD －BB 1C ＝13S △BB 1C ·h ＝13×12×2×2×3＝23
3
.
7、(2018无锡期末） 直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB⊥BC，AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 【答案】 50π
【解析】根据条件可知该直三棱柱的外接球即三棱锥B 1ABC 的外接球，也就是以BA ，BC ，BB 1为棱的长方体的外接球，设其半径为R ，则2R ＝BA 2＋BC 2＋BB 21＝32＋42＋52，得R ＝522，故该球的表面积为S ＝4πR
2
＝50π.
8、（2016苏州期末）将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________. 【答案】 5