高考解析几何(含详细答案)
解析几何--专题复习
考点1：圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程
例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ19）已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率1
2
e =
。 (1)求椭圆E 的方程；(2)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；
(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。
练习1．已知双曲线122
22=-b
y a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右
支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.( 1,2)
B. (1,2)
C.[2,+∞]
D.(2,+∞)
考点2：最值或定值问题
例2：（2010·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(2,0)
-，(2,0)，离
心率是
6
3
，直线y t
=与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x,y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值.
练习2、已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，离心率为3
3
，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线2+=x y 相切． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设点F 是椭圆在y 轴正半轴上的一个焦点，点A ，B 是抛物线y x 42
=上的两个动点，且满足
)0(>=λλFB AF ，过点A ，B 分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M ，试推断AB
FM ?是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
练习3、已知椭圆1C ：22
221(0)y x a b a b
+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的
焦点且垂直长轴的弦长为1． （1）求椭圆1C 的方程；
（2）设点P 在抛物线2C ：2
()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的
切线与1C 交于点,M N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横 坐标相等时，求h 的最小值．
例3：（2010·山东高考理科·Ｔ21）如图，已知椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为2，以该
椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·
1k k =； （3）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？ 若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
例4：（2010·江苏高考·Ｔ１8）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15
92
2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。 （1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3
1
,221=
=x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
详细解答
例1（1）设椭圆E 的方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），
由题意12c e a =
=，2249
1a b
+=，又222c a b =-，解得：2,4,23c a b === ∴椭圆E 的方程为22
11612
x y +=
（2）方法1：由（1）问得1(2,0)F -，2(2,0)F ，又
()2,3A ，易得12F AF ?为直角三角形，其中
21213,4,5,AF F F AF ===
设12F AF ∠的角平分线所在直线l 与x 轴交于点M ，根据角平线定理可知：
1212AF AF F M F M =，可得23
2
F M =，1(,0)2M ∴ ∴直线l 的方程为：1
021
3022
x y -
-=--，即21y x =-。 方法2：由（1）问得1(2,0)F -，2(2,0)F ，又
()2,3A ，
∴1(4,3)AF =--，2(0,3)AF =-， ∴
1212114
(4,3)(0,3)(1,2)5
35||||AF AF AF AF +=--+-=-，
∴2l k =，∴直线l 的方程为：32(2)y x -=-，即21y x =-。
（3）假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点P 、Q ， 令11(,)P x y 、22(,)Q x y ，且P Q 的中点为00(,)R x y
PQ l ⊥，212112
PQ y y k x x -∴=
=--，
又
22
1122
221(1)1612
1(2)
1612
x y x y ?+=????+=??，两式相减得: 2222212101612x x y y --+= ∴
21212121161612
()121223
x x y y y y x x +-=-=-?-=+-,即0023x y =（3），
又
00(,)R x y 在直线l 上，∴0021y x =-（4）由（3）（4）解得：002,3x y ==，
所以点R 与点A 是同一点，这与假设矛盾，故椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点。
练习1.解：双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o
的直线与双曲线的右
支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
b
a
， ∴ b a
≥3，离心率e 2=2
2222
c a b a a +=≥4，∴ e ≥2，选C 。 例2：（Ⅰ）因为
6
c a =，且2c =，所以223,1a b a c ==-= 所以椭圆C 的方程为
2
213
x
y +=. （Ⅱ）由题意知(0,)(11)p t t -<<
由22
13
y t x y =???+=?? 得23(1)x t =±- 所以圆P 的半径为23(1)t -.
由
2
||3(1)t t =-，解得3
2
t =±.所以点P 的坐标是（0，32±）.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程2
2
2
()3(1)x y t t +-=-.因为点(,)Q x y 在圆P 上。所以由图可知
y 22
23(1)3(1)t x t t --≤-设cos ,(0,)t θθπ=∈，则23(1)cos 32sin()6
t t π
θθθ+-=+=+
当3
π
θ=，即12t =，且0x =，y 取最大值2.
练习2、解：（1）设椭圆方程为22
221y x a b
+=（a ＞b ＞0）．
因为3
e =2223b a =．又211
b =
=+，则222,3b a ==． 故椭圆的标准方程是22
132
y x +=． （2）由椭圆方程知，c ＝1，所以焦点F （0，1），设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由AF FB λ=，得（－x 1，1－y 1）＝λ（x 2，y 2－1），所以－x 1＝λx 2，1－y 1＝λ（y 2－1）．
于是22212x x λ=．因为2114x y =，2
224x y =，则y 1＝λ2y 2．
联立y 1＝λ2y 2和1－y 1＝λ（y 2－1），得y 1＝λ，y 2＝1
λ
．
因为抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1
2
x ．设过抛物线上的点A 、B 的切线分别为l 1，l 2，则直线l 1的方程
x
y
P M
N
O
是y ＝12x 1（x －x 1）＋y 1，即y ＝12x 1x －1
4
x 12．
直线l 2的方程是y ＝12x 2（x －x 2）＋y 2，即y ＝12x 2x －1
4
x 22．
联立l 1和l 2的方程解得交点M 的坐标为1212
(
,)24x x x x +． 因为x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4． 所以点M 12
(,1)2
x x +-．
于是12
(,2)2
x x FM +=-，AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）
． 所以FM AB ?＝
2221212()2
x x y y ---＝12（x 22－x 12）－2（14x 22－1
4x 12）＝0． 故2F M AB ?为定值0．
练习3、解：（1）由题意得212,,1
21b a b b a
=?=??
∴??=?=???所求的椭圆方程为2
214y x +=．
（2）不妨设2
1122(,),(,),(,),
M x y N x y P t t h +
则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为2x t
y t ='
=，直线MN 的方程为22y tx t h =-+，
将上式代入椭圆1C 的方程中，得2
2
2
4(2)40x tx t h +-+-=， 即(
)2
2
222414()()40t
x
t t h x t h +--+--=，
因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有4
2
2
1162(2)40t h t h ???=-++-+>??，
设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232
()22(1)
x x t t h x t +-==+， 设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则412
t x +=
， 由题意得34x x =，即有2
(1)10t h t +++=，其中的22(1)40,1h h ?=+-≥∴≥或3h ≤-；
当3h ≤-时有2
20,40h h +<-<，因此不等式422
1162(2)40t h t h ???=-++-+>??不成立；
因此1h ≥，当1h =时代入方程2
(1)10t h t +++=得1t =-，
将1,1h t ==-代入不等式4
2
2
1162(2)40t h t h ???=-++-+>??成立， 因此h 的最小值为1．
例3：（1）由题意知，椭圆离心率为
c
a
=2，
得a =，又22a c +
=1)，
所以可解得a =2c =，所以2
2
2
4b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22
184
x y +
=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
22
144
x y -=. （2）设点P （0x ，0y ），则1k =
002y x +，2k =002y x -，所以12·k k =002y x ?+0
02
y x -=
202
04
y x -，又点P （0x ，0y ）在双曲线上，所以有2200144x y -=，即22
004y x =-，所以 12·k k =2
0204
y x -=1.
（3）假设存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立，则由（2）知12·
1k k =，所以设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1
(2)y x k
=
+， 由方程组22(2)18
4y k x x y =+???+=??消y 得：2222
(21)8880k x k x k +++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则由韦达定理得：2122
8,21k x x k -+=+212288
,21
k x x k -=+ 所以
22
)
21
k k ++，同理可得
221)121k k
+
?+
， 又因为·AB CD AB CD λ+=，所以有11||||AB CD λ=+
2
2
28=，所以存在常数
λ8=，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立。 例4：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。
由42
2=-PB PF ，得2
2
2
2
(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92
x =
。
故所求点P 的轨迹为直线92
x =。 （2）将31,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，20
9
-）
直线MTA 方程为：
03
52303
y x -+=
+-，即113y x =+， 直线NTB 方程为：
03
2010393
y x --=
---，即55
62
y x =
-。 联立方程组，解得：7
10
3x y =??
?=??
，所以点T 的坐标为10(7,)3。 （3）点T 的坐标为(9,)m 直线MTA 方程为：
03093y x m -+=-+，即(3)12m
y x =+， 直线NTB 方程为：
03093y x m --=--，即(3)6
m
y x =-。 分别与椭圆15922=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、222
3(20)20(,)2020m m
N m m
--++。 方法一：当12x x ≠时，直线MN 方程为：222
22
2
222
203(20)
202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。此时必过点D （1，0）；
当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。
方法二：若12x x =，则由2222
24033608020m m m m
--=++及0m >，得210m =， 此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。
若12x x ≠
，则m ≠MD 的斜率222
2
4010802403401
80MD
m
m m k m m
m +==---+， 直线ND 的斜率222
2
20102036040120ND
m
m m k m m m
-+==
---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点。 因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。