§3.2 连带勒让德多项式的性质
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§3.2连带勒让德多项式的性质
连带勒让德方程
()
()0111222=Θ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡Θ+x m l l dx d x dx d 其解
()()(
)
[]()x P x
x P x m l m
m
l 2
21−==Θ
或
（1） 注意：()x P l 的最高次幂为l
x ，连带勒让德多项式是对()x P l 进行m 阶求导而后得到的，为保证连带勒让德多项式不为零，需要满足l m ≤≤0。
一、连带勒让德多项式前几项：
()(
)
[]()
θsin 112
122
1211
=−=−=x x dx
d
x
x P
()(
)
()()
θθcos sin 313132112
1
222
1212
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−=x x x dx d x
x P ()(
)
()()
θ222
2
2
2
22
sin 313132
11=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=x x dx d x
x P 当m=0时()x P m
l
退化为()x P l 。
二、连带勒让德多项式的微分形式：
（2）
证明：
∵()()
l l
l l l x dx
d l x P 1!212
−= ()(
)
()()
()
l m
l m l m
l l l l l m
m m m
l x dx
d x l x dx d l dx d x
x P 11!
211!2112
2
2
22
2−−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−=∴++ 证毕。
此外，可以证明对于0>m ，()x P m
l
−与()x P m l 相差一个常数，即()()x cP x P m l m l =−，c 为常
数，因此()()()l m
l m l m
l m
l x dx d x l x P 11!212
22−−=−−−−也可以看作连带勒让德方程的解。
证明：
()()()
()()()
l m l m l m
l m l l m l m l m
l m
l x dx d x l x P x dx d x l x P 1
1!
21
11!
212222
22−−=−−=−−−−++Q
要证()()x cP x P m l m
l
=−，即证
()
()()()l m l m l m
l l m l m l m l x dx d x l c x dx d x l 11!
2111!
21
2
2222
2−−=−−++−−−
()()()l m
l m
l m l m l m l x dx
d x c x dx d 1112
22−−=−⇔++−− 由莱布尼茨求导公式，可得
()
()()[]
()()l k m l k m l l k k m
l k k
m l l l m
l m l l m l m l x dx d x dx d C x x dx d x dx d 111110
2+−=+−=−−+−++=+++++∑ 要保证()l k k x dx
d 1−和()l
k m l k m l x dx d 1+−+−+均不为0
必须l k ≤且l k m l ≤−+ ()m k ≥，即l k m ≤≤
()
()
()()()()()()()()()()()m
k k l l
m
k k m
l l k m l k m l l k k l
m
k k
m l l m l m l x m k m k m k l l x k l k l k l l l C x dx d x dx d C x dx d −−=+−+−+=++++−−+−−−−−+−−=+−=−∴∑∑1!
!111!!
111112L L 令m k n −=
()
()()()()()
()()()()()()()
()()()()n m n l m
l n n m n l m
l n n m n l m
l n m
n m
l l m l m l x x n m n l n l m n l m l x x n l m n l l n l m n m l x n l x m n l l C x dx d 11!!!!!!11!!
!!!!!1!!1!!10200
2+−−−−++=+−−−−++=+−−−=−∴−−−=−−−=−−−=++++∑
∑
∑ （3）
同理