关于两类解析函数及其积分算子
第10章 矩量法讲解
第十章 矩量法解析方法仅适用于结构简单的散射体。
如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。
数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。
数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。
随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。
现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。
典型的数值方法是矩量法（MoM ）、时域有限差分法（FDTD ）和有限元法（FEM ）等。
本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。
矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。
20世纪60年代， R. F. Harrington 首先将矩量法用于电磁问题的求解[1]。
目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS ）的计算。
通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。
如今很多商用软件的开发都基于矩量法。
但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。
对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。
为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。
因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。
10-1一般步骤典型的算子方程可以表示为下列形式h Lf = （10-1-1）式中L 为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h 为一个已知函数，f 为待求的未知函数。
这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。
因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。
矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。
下面详述矩量法的具体步骤。
首先令N f f f ,,,21 为一组基函数，那么，未知函数)(x f 可以近似表示为∑==+++≈Nn n n N N x f a x f a x f a x f a x f 12211)()()()()(（10-1-2）式中),,3,2,1(N n a n =为展开系数，它们是未知的。
积分方程
积分号下含有未知函数的方程。
其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。
积分方程起源于物理问题。
牛顿第二运动定律的出现，促进了微分方程理论的迅速发展，然而对积分方程理论发展的影响却非如此。
1823年，N.H.阿贝尔在研究地球引力场中的一个质点下落轨迹问题时提出的一个方程，后人称之为阿贝尔方程，是历史上出现最早的积分方程，但是在较长的时期未引起人们的注意。
“积分方程”一词是 P.du B.雷蒙德于1888年首先提出的。
19世纪的最后两年，瑞典数学家（E.）I.弗雷德霍姆和意大利数学家V.沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河。
从此，积分方程理论逐渐发展成为数学的一个分支。
1899年，弗雷德霍姆在给他的老师（M.）G.米塔－列夫勒的信中，提出如下的方程, (1)式中φ（x）是未知函数；λ是参数，K（x，y）是在区域0 ≤x，y≤1上连续的已知函数；ψ(x)是在区间0≤x≤1上连续的已知函数。
并认为方程（1）的解可表为关于λ的两个整函数之商。
1900年，弗雷德霍姆在其论文中把（1）称为“积分方程”, 并初次建立了K（x,y）的行列式D(λ)和D（x,y,λ）,证明了它们都是λ的整函数, 以及当λ是D(λ)的一个零点时, 则(1)的齐次方程φ有不恒等于零的解。
1903年，他又指出，若行列式D(1)≠0,则有一个且只有一个函数φ(x)满足方程(1)(λ=1)，此时φ(x)可表为从此，积分方程理论的发展进入了一个新的时期。
以下形式的积分方程, (2), (3), (4)分别称为第一种、第二种、第三种弗雷德霍姆积分方程，其中K(x,y)是在区域α≤x、y≤b 上连续的已知函数,称为方程的核;A(x)、ψ(x)都是在区间α≤x≤b上连续的已知函数，φ(x)是未知函数，λ是参数。
第一、二种弗雷德霍姆积分方程是第三种弗雷德霍姆积分方程的特殊情形。
但是，第一种方程与第二种方程却有本质上的区别。
积分算子的线性性和有界性
积分算子的线性性和有界性耿立刚;曾静【摘要】积分算子在数学中是作用在函数上的作用子,根据其核函数的不同,可以得到不同的积分算子;研究了积分算子的线性性及有界性等算子的代数性质,得出了积分算子是线性算子,并且在某些特定情况下还是有界算子,从而是连续的线性算子的结论.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(032)007【总页数】3页(P33-35)【关键词】积分算子;线性;有界性【作者】耿立刚;曾静【作者单位】重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067;重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067【正文语种】中文【中图分类】O172在泛函分析中，积分算子T又称积分变换是具有(Tf)(u)=(t，u)f(t)d t形式的变换.此变换把函数映为函数，是把函数空间映到函数空间上的变换.其中的K(t，u)是个确定的二元函数，称为此积分算子的核函数或核，f(t)称为象原函数，Tf(u)称为象函数.当选取不同的积分域或核函数时，就得到不同的积分变换.积分变换常用来处理微分方程的问题，常见的积分变换有Fourier变换、Laplace变换、Mellin变换、Abel变换及Hilbert变换等.此处将对积分算子的一些代数性质如线性性、有界性等进行研究.1 积分算子的线性性定理1 设算子T是从函数空间X到函数空间Y上的算子，如果对于任意的f，g∈X以及常数α都有式(1)(2)成立:则称算子T是从X到Y的线性算子.定理2 积分算子T:X→Y是线性算子.证明设f，g∈X，α是任一常数，则对于积分算子T，根据积分的性质有即T(f+g)=Tf+Tg.即T(αf)=α(Tf)，即证积分算子T是线性算子.2 积分算子的有界性算子T的范数指的是算子范数，定义为对于算子T，如果 T＜∞，则称算子T是有界算子.根据积分的性质，易知积分算子是否有界与核函数K(t，u)及积分域有关.定理3 如果一个积分算子的积分域是有界集，并且核函数是有界函数，那么这个积分算子是有界算子.证明由假设，核函数K(t，u)是有界的，不妨设，由定积分的保不等式性，有由此可得Tf Y≤M1 f X，则T≤M1＜∞，即积分算子T是有界线性算子.定理4 如果一个积分算子T的积分域是有界集，并且核函数是有界函数，那么这个积分算子T是连续的.证明因线性算子的有界性和连续性是等价的，由定理3，积分算子在所假设条件下是有界的，故积分算子T在定理假设条件下是连续的.3 单位圆盘上的积分型算子记为复平面上的单位圆盘，即上所有满足的复数z的全体，用H()表示上所有解析函数的全体，其上的范数定义为上确界范数.设g∈H()，z∈，对于任意的f∈H()，定义 H()上的积分型算子Jg为根据积分的性质，易知Jg的有界性.定理5 积分算子Jg是有界的线性算子当且仅当g(z)是上的有界函数.证明充分性:由Jg的定义，积分域是有界的，根据定理3可得积分算子Jg是有界算子.必要性:由算子范数定义积分算子在泛函分析领域的研究中具有广泛的应用，并且在一些具体的理论研究中起着关键性的作用.根据Schwarz核定理，如果核函数是个广义的函数，所有的线性算子都是积分算子.Frodholm理论就是对一般积分方程理论的研究，在Frodholm理论中，核一般是Banach函数空间上的紧算子.在此情形下，核有时也称为Frodholm算子、核算子及Frodholm核等.参考文献:【相关文献】［1］欧阳光中，朱学炎，金福临，等.数学分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2007［2］POLYANIN A D，MANZHIROV A V.Handbook of Integral Equations［M］.CRCPress，Boca Raton，1998［3］MANZHIROV R K，THAMBYNAYAGAM.The Diffusion Handbook:Applied Solutionsfor Engineers［M］.McGraw-Hill，New York，2011。
波动方程的解析求解
波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。
它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。
波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。
解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。
相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。
下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。
一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。
具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。
通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。
二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。
具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。
三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。
通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。
这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。
四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。
这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。
综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。
这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。
2-3 用拉普拉斯变换求解线性微分方程
−∞ 0 ε →0
∫
∞
r ( t ) dt =
∫
ε
lim
A
dt = lim
A
ε →0
t |ε = A 0
A – ε
δ (t ) =
{
0
t
0 ∞
t≠0 t=0
ε
δ（t）函数的图形如下图所示。 脉冲函数的积分就是阶跃函数。 脉冲函数的拉氏变换为
0
存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后 的函数是复变量s的函数，记作F(s)或L[f(t)]即
L[ f ( t )] = F ( s ) =
∫
∞
f ( t )e − st dt
0
常称F(s)为f(t) 的变换函数或象函数，而f(t)为 F(s) 的原函数。 在上式中，其积分下限为零，但严格说有0-和 0+之分 。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的 函数，0-和0+型的拉氏变换是相同的，但对于在 t=0处有无穷跳跃的函数，两种拉氏变换的结果是 不一致的。为了反映这些函数在[0-，0+]区间的表 现，我们约定式中的积分下限为0-。 二、几种典型函数的拉氏变换 ㈠阶跃函数 阶跃函数的定义是
r (t ) =
{
0 A
t <0 t ≥0
对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加 上一个恒值输入量。其图形如下图所示。 若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作1(t)即
1(t ) =
{
0 1
t <0 t ≥0
A 0
阶跃函数的拉氏变换为
R ( s ) = L[ r (t )] =
2.2解析函数与调和函数的关系
这个函数可以化为 w f (z) i(z3 c).
小结与思考
本节学习了调和函数的概念、解析函数 与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.
应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的 函数u+iv不一定是解析函数.
2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.
2. 共轭调和函数的定义 设 u( x, y) 为区域 D内给定的调和函数, 我
们把使 u iv 在 D内构成解析函数的调和函数 v( x, y) 称为u( x, y)的共轭调和函数.
换句话说, 在 D内满足方程 u v , u v 的 x y y x
两个调和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
2u x 2
6
y,
u 3 y2 3x2 , y
2u y2
6
y,
于是
2u x 2
2u y2
0,
故 u( x, y) 为调和函数.
因为 v u 6xy, y x
v 6 xydy 3xy2 g( x),
v 3 y2 g( x), x 又因为 v u 3 y2 3x2,
x y
3 y2 g( x) 3 y2 3x2, (c 为任意常数)
故 g( x) 3x2dx x3 c, v( x, y) x3 3xy2 c,
得一个解析函数 w y3 3x2 y i( x3 3xy2 c). 这个函数可以化为 w f (z) i(z3 c). 课堂练习 证明 u( x, y) x3 6x2 y 3xy2 2 y3 为 调和函数, 并求其共轭调和函数. 答案 v( x, y) 3x2 y 6xy2 y3 2x3 c.
2.2 解析函数与调和函数的关系
§2.2 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数 二、共轭调和函数 共轭调和函数 三、构造解析函数
1
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
一、调和函数
引例 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 无旋无源力场 设该力场为 F = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) } . (1) 无旋场 沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。 沿闭路做功为零 即做功与路径无关) 保守场或者梯度场或者有势场。 又称为保守场或者梯度场或者有势场 又称为保守场或者梯度场或者有势场。 存在势函数 ϕ ( x , y , z ) , 使得
11
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数 解 (2) 求虚部 v( x, y )。 方法二： 方法二：全微分法
C1
( x, y)
C2
∂v ∂u ∂v ∂u 2 2 =− = 6xy , 由 = = 3x − 3 y , ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ dv = v ′x dx + v ′y dy = 6 xy dx + ( 3 x 2 − 3 y 2 )dy ,
∂ 2 u ∂ 2v , ⇒ = 2 ∂y∂x (?) ∂x
∂ 2v ∂ 2v + 2 = 0. 同理 2 ∂x ∂y
5
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
二、共轭调和函数 共轭调和函数
定义 设函数 u( x , y ) 及 v ( x , y ) 均为区域 D 内的调和函数， 内的调和函数，
概述奇异积分的数值计算方法
En ( f ) =
2π f 2 ( 2 n )!
2n
2n
(η ), η ∈ [ −1,1]
当权函数为 e − x ，而区间为 [0, ∞) 时，相应的正交多项式为 Laguerre 多项式，将 n 次 Laguerre 多项式的全部零点 x k 作为求积节点，可以得到如下求积公式：
∫
∞
0
(n!) 2 e f ( x)dx ≈ ∑ f ( xk ) ′ ( x k )) 2 k =1 x k ( Ln
3
奇异积分的数值计算
∫
∞
−∞
e − x f ( x)dx ≈ ∑
2
2 n +1 n! π f ( xk ) ′ ( x k )) 2 k =1 ( H n
n
上式称为 Gauss-Hermite 求积公式，其截断误差公式为： En ( f ) = n! π f 2 n (2n)!
2n
(η ), η ∈ (−∞, ∞)
6
奇异积分的数值计算
第二章 奇异积分的数值计算
2.1 基础知识
在本章中我们将考虑下述形式的奇异积分 I [ g ] = ∫ ρ ( x) g ( x)dx
a b
(2-1)
的数值计算问题. 区间 [a, b] 为有限(后面将 指 出,给 一些条件以适当说明, 一下讨论对无限区间也是 成立的);
ρ ( x ) 是一个固定的权函数; g ( x ) 具有下面的形式: g ( x) = f ( x) , λi 是 (a, b) 内互不相同的 m 个点, f ( x) ∈ D1 [a, b].
ρ ( x ) 又奇性,而积分 ∫ ρ ( x ) x k dx 容易求得, k = 1,2 L .这样就可以如同对于振荡积分的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关键词：解析；算子 中图分类号：O174.51 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2012）01- 0010- 02
第 28 卷 第 1 期（上） 2012 年 1 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 1 Jan. 2012
关于两类解析函数及其积分算子
李书海
（赤峰学院 数学学院，内蒙古 赤峰 024000）
1 引言
S 表示在单位圆盘 U={z：|z|<1}内解析函数 f(z)=z+z2a2+… +anzn+…的全体所成的类.Sp (p∈N) 表示在单位圆盘 U={z：
∞
Σ |z|<1} 内解析函数 f (z)=zp+ zp+nap+n 的全体所成的类. 显然 n=1
S1=S.用 P(β)(0≤β<1)表示 β 级正实部函数，S*(β)和 K(β)分别
在 Sp 上引进一类新的积分算子：
定义 ３ 设 λ≥0，αi>0，fi(z)∈Sp，i=1,2,…,n;则积分算子
Fn,α1 ,…,αn (λ;p,τ,z)定义为
乙仪∈∈ ∈ ∈∈ ∈∈∈ z n
Fn,α1 ,…,αn (λ;p,τ,z)= 0 i = 1
Dτfi(t) α(1- λ)i tp
(Dτfi(t))' pzp- 1
i=1
(1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
+λ
1+
z(Dτf(z))" (Dτf(z))'
n
- αi+1， (8)
i=1
利用 fi(z)∈覬τ(λ,ρi),ρi>1,i=1,2,…,n，从上式得到
Σ ΣΣ Σ Re
1+ zF"n,α1,…,αn(λ;1,τ,z) F'n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z)
λαi
dt. （3）
从（3）式还得到
乙仪 ∈ ∈ Fn,α1,…,αn(0;1,0,z)=
zn 0i = 1
Dτfi(t) λαi t
乙仪 Fn,α1 ,…,αn (1;1,0,z)=
z n ((Dτfi(t))')λαidt
0i = 1
（4） （5）
算子(4)和(5)式为文[3][4][5]中引进并研究的积分算子，
算子（3）修改了[6]中的定义 3 引进的算子.
本文中我们讨论 Sτ(λ,β)和 覬τ(λ,β)上的积分算子 Fn,α1,…,αn (λ;1,τ,z)的性质，修改[1]中的错误.
２ 主要结果及其证明
定理 １ 设 λ≥0,αi>0,fi(z)∈覬τ(λ,ρi)ρi>1,i=1,2,…,n;则积
n
Σ 分算子 Fn,α1,…,αn(λ;1,τ,z)∈η(γ)，其中 γ= αi(ρi- 1)+1 i=1
表示 S 中的 β 级星象函数类和 β 级凸象函数类.令
Σ Σ μ(ρ)=
f(z)∈S:Re
zf'(z) f(z)
<ρ,ρ>1
;
∈ ∈ ∈ Σ η(ρ)=
f(z)∈S:Re
1+ zf'(z) f'(z)
<ρ,ρ>1
.
文[1]- [3]中讨论了函数类 μ(ρ)和 η(ρ)的性质.
本文引进两类解析函数：
-1
∈∈ ∈ ∈∈ Σ <Re
(1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
+λ
1+
z(Dτf(z))" (Dτf(z))'
-β
（2）
称 f(z)属于函数类 Sn(λ,β).其中 Dτf(z)为 Salagean 算子：
∞
Σ Dτf(z)=z+ nτan. n=2
- 10 -
在文[4][5]中研究了函数类 Sn(0,β).
∞
Σ Dτf(z)=z+ nτan. n=2
显然 覬（0 λ，ρ）奂S，覬（0 0，ρ）=μ(ρ)，覬（0 1，ρ）=η(ρ). 定义 ２ 设 λ≥0,- 1≤β<1，若函数 f(z)∈S，满足条件：
∈∈ ∈ ∈∈ Σ (1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
+λ
1+
z(Dτf(z))" (Dτf(z))'
Σ Σ Σ ΣΣΣ n
= αi
i=1
(1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
+λ
1+
z(Dτf(z))" (Dτf(z))'
n
- αi，
i=1
(7)
从(7)式推出
Σ Σ Re
1+ zF"n,α1,…,αn(λ;1,τ,z) F'n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z)
Σ Σ Σ ΣΣΣ n
= αiRe
Sτ(λ,β),i=1,2,…,n;则积分算子 Fn,α1,…,αn(λ;1,τ,z)∈K(γ)，其中 γ=对(3)式两端，用定理 1 相同的方法得到
zF"n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z) F'n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z)
Σ Σ Σ ΣΣΣ n
证明 对(3)式两端微分，得到
F"n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z) F'n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z)
∈ ∈ ∈ ∈ ∈∈ Σn
= αi
i=1
(1- λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
-1 z
+λ
(z(Dτf(z))')' (Dτf(z))'
-
1 z
（6）
即
zF"n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z) F'n,α1 ,…,αn (λ;1,τ,z)
定义 １ 设 λ≥0,ρ>1,若函数 f(z)∈S 满足条件
∈ ∈ ∈∈ Re
(1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)
+λ
1+
z(Dτf(z))" (Dτf(z))'
<ρ,τ∈N0=N∪{0} （1）
称 f(z)属于函数类 覬（τ λ，ρ）. 其中 Dτf(z)为 Salagean 算 子[7]：
n
n
< αiρi- αi+1
i=1
i=1
n
Σ = αi(ρi- 1)+1,
(9)
i=1
由此推出 Fn,α1,…,αn(λ;1,τ,z)∈η(γ).证毕.
注 当定理 1 中分别取 τ=0,λ=,λ=1 时就得到文[3]中的
定理 1 和定理 2.
n
Σ 定理 ２ 设 λ≥0,αi>0,- 1≤βi<1,0< αi(1- βi)≤1,fi(z)∈ i=1
= αi
i=1
(1-
λ)
z(Dτf(z))' Dτf(z)