2015年江苏省13市中考数学试题介绍
2015年江苏省常州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2015年江苏省常州市中考数学试题及参考答案与解析一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．13D．13-2．要使分式32x-有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB6．已知2a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣18．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A ．23cm B ． 8cm 2 C ．23D ． 16cm 2二、填空题（每小题2分，共20分） 9．计算（π﹣1）0+2﹣1= ．10．太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 ． 11．分解因式：2x 2﹣2y 2= ．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 ．13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB=1：2，DE=2，则BC 的长是 ．14．已知x=2是关于x 的方程a （x+1）=12a +x 的解，则a 的值是 ． 15．二次函数y=﹣x 2+2x ﹣3图象的顶点坐标是 ．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是 ．17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想． 4=2+2； 12=5+7； 6=3+3； 14=3+11=7+7； 8=3+5； 16=3+13=5+11； 10=3+7=5+5 18=5+13=7+11； …通过这组等式，你发现的规律是 （请用文字语言表达）．18．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是 ．三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x （2﹣x ），其中x=2． 20．（8分）解方程和不等式组： （1）123113x x x=---； （2）240125x x +⎧⎨--⎩＞＞．21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； （3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序． （1）求甲第一个出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在▱ABCD 中，∠BCD=120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF 都是正三角形． （1）求证：AE=AF ； （2）求∠EAF 的度数．24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2，求AB．26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．27．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M 在直线l 上，且∠POM=90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是S 1、S 2，求1211S S +的值．28．（10分）如图，反比例函数k y x =的图象与一次函数14y x =的图象交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方． （1）若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；（2）设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；（3）设点Q 是反比例函数图象上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．参考答案与解析一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．13D．13-【知识考点】绝对值．【思路分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．【解答过程】解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选：A．【总结归纳】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．要使分式32x-有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠2【知识考点】分式有意义的条件．【思路分析】根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．【解答过程】解：要使分式32x-有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，故选D．【总结归纳】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．3．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．【解答过程】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【总结归纳】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）。
2015年江苏省苏州市中考数学试卷附详细答案(原版+解析版)
2015年江苏省苏州市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1．2的相反数是 A ．2B ．12C ．-2D ．-122．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为 A ．3B ．5C ．6D ．73．月球的半径约为1 738 000m ，1 738 000这个数用科学记数法可表示为 A ．1.738×106 B ．1.738×107 C ．0.1738×107D ．17.38×1054．若()22m =-，则有 A ．0＜m ＜1 B ．-1＜m ＜0 C ．-2＜m ＜-1 D ．-3＜m ＜-25．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：则通话时间不超过15min 的频率为 A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.96．若点A （a ，b ）在反比例函数2y x=的图像上，则代数式ab -4的值为 A ．0B ．-2C ． 2D ．-67．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，∠BAD =35°，则∠C 的度数为 A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°8．若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，DCB A（第7题）则关于x 的方程x 2+bx =5的解为 A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=9．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A =30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为A．43πB．43π-C．πD．23π10．如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB =2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为 A ．4km B．(2km C．D．(4km二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 11．计算：2a a ⋅= ▲ ．12．如图，直线a ∥b ，∠1=125°，则∠2的度数为 ▲ °．13．某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学（第9题）（第10题）lba（第13题）20%10%30%40%其他乒乓球篮球羽毛球生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 ▲ 名． 14．因式分解：224a b -= ▲ ．15．如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ▲ ．16．若23a b -=，则924a b -+的值为 ▲ ．17．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE =CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE ．若AC =18，BC =12，则△CEG 的周长为 ▲ ．18．如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()224x y +-的值为 ▲ ．（第15题）（第17题）GF E D CBA F EDC B A （第18题）三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题．．卡相应位置上．．．．．．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔． 19．（本题满分5分）(052--．20．（本题满分5分） 解不等式组：()12,31 5.x x x +≥⎧⎪⎨-+⎪⎩＞21．（本题满分6分）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =．22．（本题满分6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？23．（本题满分8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是▲；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．24．（本题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC＝50︒，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．（第24题）FED CBA25．（本题满分8分）如图，已知函数ky x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．（1）若AC =32OD ，求a 、b 的值；（2）若BC ∥AE ，求BC 的长．26．（本题满分10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D三点，过点B作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED ． （1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD =2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．（第26题）27．（本题满分10分）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接PA 、PC ，PA =PC ． （1）∠ABC 的度数为 ▲ °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．28．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD 中，AD =a cm ，AB =b cm （a ＞b ＞4），半径为2cm 的⊙O 在矩形内且与AB 、AD 均相切．现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A →B →C →D 的方向匀速移动，当点P 到达D 点时停止移动；⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动．已知点P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）． （1）如图①，点P 从A →B →C →D ，全程共移动了 ▲ cm （用含a 、b 的代数式表示）；（2）如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ，到达BC 的中点．若点P 与⊙O 的移动速度相等，求在这5s 时间内圆心O 移动的距离；（3）如图②，已知a =20，b =10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．（第28题）（图②）（图①）2015年江苏省苏州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题．．卡相应位置上．．．．．．．1．2的相反数是A．2 B．12C．-2 D．-12【考点】相反数．.【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得2的相反数是：﹣2．故选：C．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为A．3 B．5 C．6 D．7【考点】众数．.【分析】根据众数的概念求解．【解答】解：这组数据中5出现的次数最多，故众数为5．故选：B．【点评】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．3．月球的半径约为1 738 000m，1 738 000这个数用科学记数法可表示为A．1.738×106B．1.738×107C．0.1738×107D．17.38×105【考点】科学记数法—表示较大的数．.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将1738000用科学记数法表示为：1.738×106．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．若()2m=-，则有A．0＜m＜1 B．-1＜m＜0 C．-2＜m＜-1 D．-3＜m＜-2【考点】估算无理数的大小．.【分析】先把m化简，再估算大小，即可解答．【解答】解；m=×（﹣2）=，∵，∴，故选：C．【点评】本题考查了公式无理数的大小，解决本题的关键是估算的大小．5．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：则通话时间不超过15min的频率为A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9【考点】频数（率）分布表．.【分析】用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率．【解答】解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次，∴通话时间不超过15min的频率为=0.9，故选D．【点评】本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是了解频率=频数÷样本容量，难度不大．6．若点A （a ，b ）在反比例函数2y x的图像上，则代数式ab -4的值为 A ．0B ．-2C ． 2D ．-6【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．.【分析】先把点（a ，b ）代入反比例函数y=求出ab 的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵点（a ，b ）反比例函数y=上， ∴b=，即ab=2， ∴原式=2﹣4=﹣2． 故选B ．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．7．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，∠BAD =35°，则∠C 的度数为 A ．35° B ．45°C ．55°D ．60°【考点】等腰三角形的性质．.【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论． 【解答】解：AB=AC ，D 为BC 中点， ∴AD 是∠BAC 的平分线，∠B=∠C ，DCBA（第7题）∵∠BAD=35°， ∴∠BAC=2∠BAD=70°， ∴∠C=（180°﹣70°）=55°． 故选C ．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．8．若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx =5的解为 A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=【考点】抛物线与x 轴的交点．.【分析】根据对称轴方程﹣=2，得b=﹣4，解x 2﹣4x=5即可． 【解答】解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线， ∴﹣=2， 解得：b=﹣4， 解方程x 2﹣4x=5， 解得x 1=﹣1，x 2=5， 故选：D ．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．9．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A =30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（第9题）（第10题）lA ．43πB ．43π-C ．πD ．23π【考点】扇形面积的计算；切线的性质．.【分析】过O 点作OE ⊥CD 于E ，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE ，CD 的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD 的面积﹣三角形OCD 的面积，列式计算即可求解． 【解答】解：过O 点作OE ⊥CD 于E ， ∵AB 为⊙O 的切线， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=30°， ∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°， ∵⊙O 的半径为2， ∴OE=1，CE=DE=，∴CD=2，∴图中阴影部分的面积为：﹣×2×1=π﹣．故选：A ．10．如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB =2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为A ．4kmB ．(2kmC ．D ．(4km【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．.【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案．【解答】解：在CD上取一点E，使BD=DE，可得：∠EBD=45°，AD=DC，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE=∠CBE=22.5°，∴BE=EC，∵AB=2，∴EC=BE=2，∴BD=ED=，∴DC=2+．故选：B．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出BE=EC=2是解题关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．．11．计算：2a a = ▲．【考点】同底数幂的乘法．.【专题】计算题．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n计算即可．【解答】解：a•a2=a1+2=a3．故答案为：a3．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．12．如图，直线a∥b，∠1=125°，则∠2的度数为▲°．【考点】平行线的性质．.【分析】先根据对顶角相等，∠1=65°，求出∠3的度数，再由两直线平行，同旁内角互补得出∠2的度数． 【解答】解：解：∵∠1=125°， ∴∠3=∠1=125°， ∵a ∥b ，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣125°=55°． 故答案为：55°．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟记定理是解题的关键． 13．某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 ▲ 名． 【考点】扇形统计图．.【分析】设被调查的总人数是x 人，根据最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，即可列方程求解．【解答】解：设被调查的总人数是x 人，则40%x ﹣30%x=6， 解得：x=60． 故答案是：60．【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必ba（第13题）20%10%30%40%其他乒乓球篮球羽毛球要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 14．因式分解：224a b -= ▲ ． 【考点】因式分解-运用公式法．.【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）． 【解答】解：a 2﹣4b 2=（a+2b ）（a ﹣2b ）．【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键． 15．如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ▲ ．【考点】概率公式．.【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵共8个数，大于6的有2个， ∴P （大于6）==， 故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=． 16．若23a b -=，则924a b -+的值为 ▲ ． 【考点】代数式求值．. 【专题】计算题．【分析】原式后两项提取﹣2变形后，把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a ﹣2b=3， ∴原式=9﹣2（a ﹣2b ）=9﹣6=3， 故答案为：3．（第15题）【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE =CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE ．若AC =18，BC =12，则△CEG 的周长为 ▲ ．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质．.【分析】先根据点A 、D 关于点F 对称可知点F 是AD 的中点，再由CD ⊥AB ，FG ∥CD 可知FG 是△ACD 的中位线，故可得出CG 的长，再根据点E 是AB 的中点可知GE 是△ABC 的中位线，故可得出GE 的长，由此可得出结论． 【解答】解：∵点A 、D 关于点F 对称， ∴点F 是AD 的中点． ∵CD ⊥AB ，FG ∥CD ，∴FG 是△ACD 的中位线，AC=18，BC=12， ∴CG=AC=9． ∵点E 是AB 的中点， ∴GE 是△ABC 的中位线， ∵CE=CB=12， ∴GE=BC=6，∴△CEG 的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27． 故答案为：27．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．18．如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线（第17题）GF E D CBA F EDC B A （第18题）于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()224x y +-的值为 ▲ ．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质．.【分析】根据矩形的性质得到CD=AB=x ，BC=AD=y ，然后利用直角△BDE 的斜边上的中线等于斜边的一半得到：BF=DF=EF=4，则在直角△DCF 中，利用勾股定理求得x 2+（y ﹣4）2=DF 2．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=x ，AD=y ， ∴CD=AB=x ，BC=AD=y ，∠BCD=90°． 又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF=4， ∴BF=DF=EF=4． ∴CF=4﹣BC=4﹣y ．∴在直角△DCF 中，DC 2+CF 2=DF 2，即x 2+（4﹣y ）2=42=16， ∴x 2+（y ﹣4）2=x 2+（4﹣y ）2=16． 故答案是：16．【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线以及矩形的性质．根据“直角△BDE 的斜边上的中线等于斜边的一半”求得BF 的长度是解题的突破口．三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上．．．．．．．．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔． 19．（本题满分5分）(052--．【考点】实数的运算；零指数幂．. 【专题】计算题．【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=3+5﹣1=7．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（本题满分5分）解不等式组：()12,31 5.x x x +≥⎧⎪⎨-+⎪⎩＞【考点】解一元一次不等式组．.【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解：，由①得，x≥1， 由②得，x ＞4，所以，不等式组的解集为x ＞4．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．21．（本题满分6分）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =． 【考点】分式的化简求值．.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=，当x=﹣1时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．（本题满分6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？【考点】分式方程的应用．.【分析】可设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，根据等量关系：甲做60面彩旗所用的时间=乙做5060面彩旗所用的时间．由此可得出方程求解．【解答】解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，依题意有=，解得：x=25．经检验：x=25是原方程的解．x+5=25+5=30．故甲每小时做30面彩旗，乙每小时做x25面彩旗．【点评】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是正确确定题目中的相等关系，根据相等关系确定所设的未知数，列方程．23．（本题满分8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是▲；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．.【专题】计算题．【分析】（1）根据4个小球中红球的个数，即可确定出从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到红球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）4个小球中有2个红球，则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；故答案为：； （2）列表如下：所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能， 则P （两次摸到红球）==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ．分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BC =6，∠BAC ＝50︒，求DE 、DF 的长度之和（结果保留π）．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算．. 【分析】（1）根据题意得出BD=CD=BC ，由SSS 证明△ABD ≌△ACD ，得出∠BAD=∠CAD 即可；（第24题）FEDCBA（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根据弧长公式求出、的长度，即可得出结果．【解答】（1）证明：根据题意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC为等边三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的长度=的长度==；∴、的长度之和为+=．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算；熟练掌握全等三角形和等边三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．25．（本题满分8分）如图，已知函数kyx（x＞0）的图像经过点A、B，点B 的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．（1）若AC=32OD，求a、b的值；（2）若BC ∥AE ，求BC 的长．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．.【分析】（1）首先利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k 的值，再得出A 、D 点坐标，进而求出a ，b 的值；（2）设A 点的坐标为：（m ，），则C 点的坐标为：（m ，0），得出tan ∠ADF==，tan ∠AEC==，进而求出m 的值，即可得出答案．【解答】解；（1）∵点B （2，2）在函数y=（x ＞0）的图象上， ∴k=4，则y=，∵BD ⊥y 轴，∴D 点的坐标为：（0，2），OD=2， ∵AC ⊥x 轴，AC=OD ，∴AC=3，即A 点的纵坐标为：3， ∵点A 在y=的图象上，∴A 点的坐标为：（，3）， ∵一次函数y=ax+b 的图象经过点A 、D ， ∴，解得：；（2）设A 点的坐标为：（m ，），则C 点的坐标为：（m ，0）， ∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ， ∴四边形BCED 为平行四边形， ∴CE=BD=2，∵BD ∥CE ，∴∠ADF=∠AEC ， ∴在Rt △AFD 中，tan ∠ADF==，在Rt △ACE 中，tan ∠AEC==，∴=，解得：m=1，∴C 点的坐标为：（1，0），则BC=．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及锐角三角函数关系等知识，得出A ，D 点坐标是解题关键．26．（本题满分10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D三点，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED ． （1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD =2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．（第26题）【考点】相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-配方法；圆周角定理．. 【分析】（1）由AD是△ABC的角平分线，得到∠BAD=∠DAC，由于∠E=∠BAD，等量代换得到∠E=∠DAC，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE∥AD，得到∠EBD=∠ADC，由于∠E=∠DAC，得到△EBD∽△ADC，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC，∵∠E=∠BAD，∴∠E=∠DAC，∵BE∥AD，∴∠E=∠EDA，∴∠EDA=∠DAC，∴ED∥AC；（2）解：∵BE∥AD，∴∠EBD=∠ADC，∵∠E=∠DAC，∴△△EBD∽△ADC，且相似比k=，∴=k2=4，即s1=4s2，∵﹣16S2+4=0，∴16﹣16S2+4=0，即=0，∴S2=，∵====3，∴S=．△ABC【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，记住相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．27．（本题满分10分）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接PA 、PC ，PA =PC ． （1）∠ABC 的度数为 ▲ °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．.【分析】（1）首先求出B 点坐标，进而得出OB=OC=m ，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；（2）作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，利用勾股定理AE 2+PE 2=CD 2+PD 2，得出P 点坐标即可；（3）根据题意得出△QBC 是等腰直角三角形，可得满足条件的点Q 的坐标为：（﹣m ，0）或（0，m ），进而分别分析求出符合题意的答案． 【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣m ，C 点坐标为：（0，﹣m ）， 令y=0，则x 2+（1﹣m ）x ﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m，∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：（m，0），∴OB=OC=m，∵∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC=45°；故答案为：45°；（2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为：x=，设点P坐标为：（，n），∵PA=PC，∴PA2=PC2，即AE2+PE2=CD2+PD2，∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，解得：n=，∴P点的坐标为：（，）；（3）存在点Q满足题意，∵P点的坐标为：（，），∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2=1+m2，∵AC2=1+m2，∴PA2+PC2=AC2，∴∠APC=90°，∴△PAC是等腰直角三角形，∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形，∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，若PQ与x轴垂直，则=﹣m，解得：m=，PQ=，若PQ与x轴不垂直，则PQ2=PE2+EQ2=（）2+（+m）2=m2﹣2m+=（m﹣）2+∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，∵＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则=m，解得：m=，PQ=，若PQ与y轴不垂直，则PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2=m2﹣2m+=（m﹣）2+，∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，∵＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解题关键．28．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AD=a cm，AB=b cm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了▲cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；（3）如图②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．【考点】圆的综合题．.【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据圆O移动的距离与P点移动的距离相等，P点移动的速度相等，可得方程组，根据解方程组，可得a、b的值，根据速度与时间的关系，可得答案；（3）根据相同时间内速度的比等于路程的比，可得的值，根据相似三角形的性质，可得∠ADB=∠BDP，根据等腰三角形的判定，可得BP与DP的关系，根据勾股定理，可得DP的长，根据有理数的加法，可得P点移动的距离；根据相似三角形的性质，可得EO1的长，分类讨论：当⊙O首次到达⊙O1的位置时，当⊙O在返回途中到达⊙O1位置时，根据的值，可得答案．【解答】解：（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了a+2bcm（用含a、b的代数式表示）；（2）∵圆心O移动的距离为2（a﹣4）cm，由题意，得a+2b=2（a﹣4）①，∵点P移动2秒到达B，即点P2s移动了bcm，点P继续移动3s到达BC的中点，即点P3秒移动了acm．∴=②（第28题）（图②）（图①）由①②解得，∵点P移动的速度为与⊙O移动速度相同，∴⊙O移动的速度为==4cm（cm/s）．这5秒时间内⊙O移动的距离为5×4=20（cm）；（3）存在这种情况，设点P移动速度为v1cm/s，⊙O2移动的速度为v2cm/s，由题意，得===，如图：设直线OO1与AB教育E点，与CD交于F点，⊙O1与AD相切于G点，若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G=O1H．易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP．∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD∴∠BDP=∠CBD，∴BP=DP．设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20﹣x）cm，在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2+CD2=PD2，即（20﹣x）2+102=x2，解得x=此时点P移动的距离为10+=（cm），∵EF∥AD，。
2015年江苏苏州中考数学试题及答案解析
2015年江苏苏州中考数学试题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2015年）2-的相反数是（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12- 2．（2015年）有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．73．（2015年）月球的半径约为1738000m ，1738000这个数用科学记数法可表示为（ ）A ．1.738×106B ．1.738×107C ．0.1738×107D ．17.38×1054．（2015年）若()2m =-，则有（ ） A ．0＜m ＜1 B ．-1＜m ＜0 C ．-2＜m ＜-1 D ．-3＜m ＜-25．（2015年）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间,并列出了如下的频数分布表:则通话时间不超过15 min 的频率为( )A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.96．（2015年）若点A （a ，b ）在反比例函数2y x =的图像上，则代数式ab-4的值为（ ） A ．0 B ．-2 C ．2D ．-6 7．（2015年）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60° 8．（2015年）若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x =9．（2015年）如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A=30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．43πB ．43π﹣CD ．23π10．（2015年）如图,在笔直的海岸线l 上有A ,B 两个观测站,AB=2 km,从A 处测得船C 在北偏东45°的方向,从B 处测得船C 在北偏东22.5°的方向,则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为( )A ．4 kmB ．(2+kmC ． kmD ．(km二、填空题11．（2015年）计算：2a a ⋅=____．12．（2015年）如图，直线a ∥b ，∠1=125°，则∠2的度数为_____°．13．（2015年）某学校“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生(每个学生分别选择了一项球类运动)，并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为____名．14．（2015年）因式分解：224a b -=_____．15．（2015年）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为________________．16．（2015年）若a-2b=3，则9-2a+4b 的值为 _____________．17．（2015年）如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE=CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE ．若AC=18，BC=12，则△CEG 的周长为___．18．（2015年）如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF=4．设AB=x ，AD=y ，则()224x y +-的值为_____．三、解答题19．（2015年）（本题满分5(052---． 20．（2015年）解不等式组：()12315x x x +≥-+⎧⎪⎨⎪⎩＞21．（2015年）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中1x =． 22．（2015年）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？23．（2015年）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是 ；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．24．（2015年）如图，在△ABC 中，AB=AC ．分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD ，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC＝50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．25．（2015年）如图，已知函数kyx=（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．（1）若AC=32OD，求a、b的值；（2）若BC∥AE，求BC的长．26．（2015年）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE ∥AD，交⊙O于点E，连接ED．（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为 2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．27．（2015年）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接PA 、PC ，PA=PC ．（1）∠ABC 的度数为 °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．28．（2015年）如图，在矩形ABCD 中，AD=acm ，AB=bcm （a ＞b ＞4），半径为2cm 的⊙O 在矩形内且与AB 、AD 均相切，现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A →B →C →D 的方向匀速移动，当点P 到达D 点时停止移动．⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动，已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了 cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点，若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；（3）如图②，已知a=20，b=10，是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．参考答案1．B【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .2．B【解析】试题分析：根据众数是一组数据中出现次数最多的数值，5 出现了两次，其它数均只出现一次，因此众数是5.故选B考点：众数3．A试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将1738000用科学记数法表示为：1.738×106．考点：科学记数法—表示较大的数．4．C【详解】根据二次根式的意义，化简得：m=-2，因为1<2<4，所以2∴2故选C考点：实数运算与估算大小5．D【解析】【分析】用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率．【详解】解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次，∴通话时间不超过15min的频率为=0.9，故选D．【点睛】本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是了解频率=频数÷样本容量，难度不大．6．B【解析】试题解析：∵点（a，b）反比例函数2yx上，∴b=2a，即ab=2，∴原式=2-4=-2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．7．C试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，因此∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°，从而可求得∠C=55°.故选C考点：等腰三角形三线合一8．D【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−2b a =−2b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x −5=0， 则(x −5)(x+1)=0，解得：x 1=5，x 2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x 的一元二次方程的问题.9．A【详解】如图，过O 作OE ⊥CD 于点EAB 是⊙O 的切线∴∠ABO=90°∠A=30°∴∠AOB=60°∴∠COD=120°OC=OD=230ODE ∴∠=︒∴OE=1，CD=2DE=2120214==136023COD COD S S S ππ⨯∴--⨯⨯=阴影扇形故选A考点：扇形的面积，三角形的面积，阴影部分的面积10．B【详解】试题分析：根据题意中方位角的特点，过点B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，由∠CAB=45°，AB=2km ，可知km ，根据题意还可知∠BCA=∠BCD=22.5°，因此CB 是∠ACD 的角平分线，根据角平分线的性质可知km ，因此CD=AD=AB+BD=（）km.故选B考点：解直角三角形的应用11．3a【详解】试题分析：根据同底数幂的乘法性质，底数不变，指数相加，可直接结算，2123a a a a +⋅==. 考点：同底数幂的乘法12．55【详解】试题分析：根据平行线的性质可知∠2的邻补角等于∠1，因此∠2=180°-∠1=180°-125°=55°.考点：平行线的性质13．60【解析】试题分析：设被调查的总人数是x 人，根据最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，即可列方程求解．解：设被调查的总人数是x 人，则40%x ﹣30%x=6，解得：x=60．故答案是：60．考点：扇形统计图．14．()()22a b a b +-【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．15．14【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率；解：∵任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，共有8种情况，大于6的有2个， ∴指针指向大于6的数的概率为2184= ； 故答案是14． 点睛：求概率的方法法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．16．3【详解】试题解析：∵a-2b=3，∴原式=9-2（a-2b ）=9-6=3考点：代数式求值.17．27【解析】试题分析：根据题意可直接得到：CE=CB=12， 因为点F 是AD 中点，FG ∥CD ，所以FG 是△ADC 的中位线，所以CG=AC=9，因为点E 是AB 的中点，所以EG 是△ABC 的中位线，所以GE=BC=6，所以△CEG 的周长为：CE+GE+CG="12+6+9=27." 故答案为27.考点：1.三角形中位线性质；2.线段垂直平分线性质.18．16【详解】试题分析：根据题意知点F 是Rt △BDE 的斜边上的中点，因此可知DF=BF=EF=4，根据矩形的性质可知AB=DC=x ，BC=AD=y ，因此在Rt △CDF 中，222+=CD CF DF ,即222(4)416x y +-==，因此可求22(4)16x y +-=.考点：直角三角形斜边中线等于斜边的一半和,矩形的性质,勾股定理19．7【解析】试题分析：根据二次根式的性质，绝对值的意义，以及01(0)a a =≠的性质可直接求解.试题解析：解：原式 ＝ 3+5-1＝ 7．考点：实数计算20．4x ＞【分析】根据解不等式的一般方法，去括号，移项，根据不等式的基本性质系数化1，分别解两个不等式，然后求两个不等式的解集的公共部分，“都大取较大”判断出解集．【详解】解：由12x +≥，解得1≥x ，由()315x x -+＞，解得4x ＞，∴不等式组的解集是4x ＞．21．【解析】试题分析：先把括号的分式通分，化为最简后再算除法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，最后把x 的值代入即可.试题解析：原式=2122(1)x x x x ++⨯++ =11x +当1时，原式=3. 22．【解析】 试题分析：根据题意可设乙每小时做x 面彩旗，则甲每小时可做（x+5）面采旗，根据甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用的时间相等的的等量关系，可列方程求解.由于是分式方程，解完后一定要检验.试题解析：解：设乙每小时做x 面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗. 根据题意，得60505x x=+ 解这个方程，得x=25.经检验，x="25" 是所列方程的解.∴x+5=30答：甲每小时做30 面彩旗，乙每小时做25 面彩.考点：列分式方程解应用题23．（1）12（2）16【解析】试题分析：（1）因为总共有4个球，红球有2个，因此可直接求得红球的概率；（2）根据题意，列表表示小球摸出的情况，然后找到共12种可能，而两次都是红球的情况有2种，因此可求概率.试题解析：解：（1）12．（2）用表格列出所有可能的结果：由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2种可能．∴P （两次都摸到红球）=212=16． 考点：概率统计24．（2）113π 【详解】试题分析：（1）根据题意可用SSS 证明△ABD ≌△ACD ，从而得证结论；（2）由题意知BD=CD=BC ，因此可知△BCD 是等边三角形，因此由∠A=50°，根据三角形的内角和及外角可求出∠EBD=∠FCD=55°，因此可根据弧长公式180n r l π=，求得两段弧的长，再求和即可.试题解析：证明：（1）由作图可知BD=CD ．在△ABD 和△ACD 中， ,{,,AB AC BD CD AD AD ===∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．∴∠BAD ＝∠CAD ，即AD 平分∠BAC ．解：（2）∵AB=AC ，ÐBAC=50°，∴∠ABC ＝∠ACB=65°．∵BD=" CD" = BC ，∴△BDC 为等边三角形．∴∠DBC ＝∠DCB=60°．∴∠DBE ＝∠DCF=55°．∵BC=6，∴BD=CD=6．∴DE 的长度=DF 的长度=556111806ππ⨯⨯=． ∴DE 、DF 的长度之和为111111663πππ+=． 考点：全等三角形，弧长公式25．（1）a=34，b=2；（2）【解析】试题分析：（1）首先利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k 的值，再得出A 、D 点坐标，进而求出a ，b 的值； （2）设A 点的坐标为：（m ，4m ），则C 点的坐标为：（m ，0），得出tan ∠ADF=42AF m DF m-=，tan ∠AEC=42AC m EC =，进而求出m 的值，即可得出答案．试题解析：（1）∵点B （2，2）在函数y=k x（x ＞0）的图象上， ∴k=4，则y=4x， ∵BD ⊥y 轴，∴D 点的坐标为：（0，2），OD=2，∵AC ⊥x 轴，AC=32OD ，∴AC=3，即A 点的纵坐标为：3， ∵点A 在y=4x 的图象上，∴A 点的坐标为：（43，3）， ∵一次函数y=ax+b 的图象经过点A 、D ，∴4332a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩， 解得：34a =，b=2； （2）设A 点的坐标为：（m ，4m ），则C 点的坐标为：（m ，0）， ∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ，∴四边形BCED 为平行四边形，∴CE=BD=2，∵BD ∥CE ，∴∠ADF=∠AEC ，∴在Rt △AFD 中，tan ∠ADF=42AF m DF m-=， 在Rt △ACE 中，tan ∠AEC=42AC m EC =， ∴42m m -=42m ，解得：m=1，∴C 点的坐标为：（1，0），则考点：反比例函数与一次函数的交点问题.26．【详解】试题分析：（1）根据角平分线的性质可求出∠BAD=∠CAD ，根据圆周角定理可得∠E=∠BAD ，因此可得∠CAD=∠E ，再由平行线的性质可得∠E=∠EDA ，因此可证∠EDA=∠CAD ，由平行线的判定得证结论；（2）根据题意可证△EBD ∽△ADC ，且相似比为2:1，可知其面积比为4:1，即124S S =，把其代入已知的式子2121640S S -+=，可求2S =12，根据不同底但同高，可知△ABD 的面积是△ADC 面积的2倍，因此可求结果.试题解析：证明：（1）∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD =∠DAC ．∵∠E=∠BAD ，∴∠E =∠DAC ．∵BE ∥AD ，∴∠E =∠EDA ．∴∠EDA =∠DAC ．∴ED ∥AC ．解：（2）∵BE ∥AD ，∴∠EBD =∠ADC ．∵∠E =∠DAC ，∴△EBD ∽△ADC ， 且相似比2BD k DC==． ∴2124S k S ==， 即124S S =．∵2121640S S -+=，∴222161640S S -+=，即()22420S -=． ∴212S =． ∵233ABC S BC BD CD CD S CD CD CD +====， ∴32ABC S =． 考点：圆周角定理，三角形相似，三角形的面积27．（1）45，（2）11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭（3）存在，当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小【解析】试题分析：（1）根据二次函数的解析式，分别让x=0、y=0，可求出B 、C 的坐标，然后根据坐标可判断三角形为等腰直角三角形，求出∠ABC 的度数；（2）如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，可求得对称轴12m x -+=，然后可设P 的坐标为（12m -+，n ），然后根据PA=PC ，再根据勾股定理可列式222222PA AE PE CD PD PC =+=+=，代入可求P 的坐标；（3）存在，由P 点的坐标11,22m m -+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，A （-1,0），可根据勾股定理的逆定理判断△APC 是等腰直角三角形，然后可由相似判断出△QBC 是等腰直角三角形，结合图①②，可分两种情况讨论,并且由二次函数的最值问题求出点的坐标.试题解析：解：（1）45．理由如下：令x=0，则y=-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y=0，则()210x m x m +--=， 解得11x =-，2x m =．∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB=OC=m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°．（2）解法一：如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ， 由题意得，抛物线的对称轴为12m x -+=． 设点P 坐标为（12m -+，n ）． ∵PA= PC ，∴PA 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2． ∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=． ∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭． 解法二：连接PB ． 由题意得，抛物线的对称轴为12m x -+=． ∵P 在对称轴l 上，∴PA=PB ．∵PA=PC ，∴PB=PC ．∵△BOC 是等腰直角三角形，且OB=OC ，∴P 在BC 的垂直平分线y x =-上．∴P 点即为对称轴12m x -+=与直线y x =-的交点． ∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴PA 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴PA 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°．∴△PAC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-， 解得13m =，PQ=13． 若PQ 与x 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小． ②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=， 解得13m =，PQ=13． 若PQ 与y 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ 取得最小值10．13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小． 综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小． 考点：二次函数与几何综合28．（1）a+2b ；（2）20cm ；（3）见详解.【分析】（1）由题意可直接求得；（2）根据圆O 移动的距离与P 点移动的距离相等，P 点移动的速度相等，可得方程组，根据解方程组，可得a 、b 的值，根据速度与时间的关系，可得答案；（3）根据相同时间内速度的比等于路程的比，可得12v v 的值，根据相似三角形的性质，可得∠ADB=∠BDP ，根据等腰三角形的判定，可得BP 与DP 的关系，根据勾股定理，可得DP 的长，根据有理数的加法，可得P 点移动的距离；根据相似三角形的性质，可得EO 1的长，分类讨论：当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，当⊙O 在返回途中到达⊙O 1位置时，根据12v v 的值，可得答案．【详解】（1）∵点P 从A →B →C →D ，∴点P 移动的长度=AB+BC+CD=（a+2b ）cm故答案为a+2b（2）∵圆心O 移动的距离为2（a-4）cm ，由题意，得a+2b=2（a-4）①，∵点P 移动2秒到达B ，即点P2s 移动了bcm ，点P 继续移动3s 到达BC 的中点， 即点P3秒移动了12acm ．∴12 23b a=② 由①②解得24{8a b ==， ∵点P 移动的速度为与⊙O 移动速度相同， ∴⊙O 移动的速度为822b ==4cm （cm/s ）． 这5秒时间内⊙O 移动的距离为5×4=20（cm ）；（3）存在这种情况，设点P 移动速度为v 1cm/s ，⊙O 2移动的速度为v 2cm/s ， 由题意，得()()1222021052422044v a b v a ++⨯===--， 如图：设直线OO 1与AB 交于E 点，与CD 交于F 点，⊙O 1与AD 相切于G 点， 若PD 与⊙O 1相切，切点为H ，则O 1G=O 1H ． 易得△DO 1G ≌△DO 1H ，∴∠ADB=∠BDP ．∵BC ∥AD ，∴∠ADB=∠CBD∴∠BDP=∠CBD ，∴BP=DP ．设BP=xcm ，则DP=xcm ，PC=（20-x ）cm ， 在Rt △PCD 中，由勾股定理，得PC 2+CD 2=PD 2，即（20-x ）2+102=x 2， 解得x=252此时点P 移动的距离为10+252=452（cm ）， ∵EF ∥AD ，∴△BEO 1∽△BAD ， ∴1EO BE AD BA =即182010EO = EO 1=16cm ，OO 1=14cm ．①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为14cm ，此时点P 与⊙O 移动的速度比为45214=4528 ∵452854≠ ∴此时PD 与⊙O 1不能相切； ②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1位置时，⊙O 移动的距离为2（20-4）-14=18cm ，∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为45218=4536=54 此时PD 与⊙O 1恰好相切． 考点：圆的综合题．。
2015年江苏省苏州市中考数学试卷(含解析)
2015年省市中考数学试卷一、选择题（本大题共共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2015•）2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣2．（3分）（2015•）有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为（）A．3 B．5 C．6 D．73．（3分）（2015•）月球的半径约为1738000m，1738000这个数用科学记数法可表示为（）A．1.738×106B．1.738×107C．0.1738×107D．17.38×1054．（3分）（2015•）若m=×（﹣2），则有（）A．0＜m＜1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣2＜m＜﹣1 D．﹣3＜m＜﹣25．（3分）（2015•）小明统计了他家今年5月份打的次数及通话时间，并列出了频数分布表：通话时间x/min 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20频数（通话次数）20 16 9 5则通话时间不超过15min的频率为（）A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.96．（3分）（2015•）若点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab﹣4的值为（）A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣67．（3分）（2015•）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．60°8．（3分）（2015•）若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=59．（3分）（2015•）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD 为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣2C．π﹣D．﹣10．（3分）（2015•）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A．4km B．（2+）km C．2km D．（4﹣）km二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，把答案直接填在答题卡相应位置上）11．（3分）（2015•）计算：a•a2=．12．（3分）（2015•）如图，直线a∥b，∠1=125°，则∠2的度数为．13．（3分）（2015•）某学校“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每个学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为名．14．（3分）（2015•）分解因式：a2﹣4b2=．15．（3分）（2015•）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为．16．（3分）（2015•）若a﹣2b=3，则9﹣2a+4b的值为．17．（3分）（2015•）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F 对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．18．（3分）（2015•）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则x2+（y﹣4）2的值为．三、解答题（本大题共10小题，满分76分按解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔会黑色墨水签字笔）19．（5分）（2015•）计算：+|﹣5|﹣（2﹣）0．20．（5分）（2015•）解不等式组：．21．（6分）（2015•）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣1．22．（6分）（2015•）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问：甲、乙每小时各做多少面彩旗？23．（8分）（2015•）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2），1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是（2）先从中任意摸出一个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率．24．（8分）（2015•）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC 下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求弧DE、弧DF的长度之和（结果保留π）．25．（8分）（2015•）如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E（1）若AC=OD，求a、b的值；（2）若BC∥AE，求BC的长．26．（10分）（2015•）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B 作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面积．27．（10分）（2015•）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC（1）∠ABC的度数为；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC 相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．28．（10分）（2015•）如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形且与AB、AD均相切，现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动．⊙O在矩形部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动，已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点，若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间圆心O移动的距离；（3）如图②，已知a=20，b=10，是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．2015年省市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2015•）2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【考点】相反数．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得2的相反数是：﹣2．故选：C．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．（3分）（2015•）有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为（）A．3 B．5 C．6 D．7【考点】众数．【分析】根据众数的概念求解．【解答】解：这组数据中5出现的次数最多，故众数为5．故选：B．【点评】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．3．（3分）（2015•）月球的半径约为1738000m，1738000这个数用科学记数法可表示为（）A．1.738×106B．1.738×107C．0.1738×107D．17.38×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将1738000用科学记数法表示为：1.738×106．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2015•）若m=×（﹣2），则有（）A．0＜m＜1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣2＜m＜﹣1 D．﹣3＜m＜﹣2【考点】估算无理数的大小．【分析】先把m化简，再估算大小，即可解答．【解答】解；m=×（﹣2）=，∵，∴，故选：C．【点评】本题考查了公式无理数的大小，解决本题的关键是估算的大小．5．（3分）（2015•）小明统计了他家今年5月份打的次数及通话时间，并列出了频数分布表：通话时间x/min 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20频数（通话次数）20 16 9 5则通话时间不超过15min的频率为（）A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9【考点】频数（率）分布表．【分析】用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率．【解答】解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次，∴通话时间不超过15min的频率为=0.9，故选D．【点评】本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是了解频率=频数÷样本容量，难度不大．6．（3分）（2015•）若点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab﹣4的值为（）A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先把点（a，b）代入反比例函数y=求出ab的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵点（a，b）反比例函数y=上，∴b=，即ab=2，∴原式=2﹣4=﹣2．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．7．（3分）（2015•）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．60°【考点】等腰三角形的性质．【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．【解答】解：AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，∴∠C=（180°﹣70°）=55°．故选C．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．8．（3分）（2015•）若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=5【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据对称轴方程﹣=2，得b=﹣4，解x2﹣4x=5即可．【解答】解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，∴﹣=2，解得：b=﹣4，解方程x2﹣4x=5，解得x1=﹣1，x2=5，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．9．（3分）（2015•）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD 为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣2C．π﹣D．﹣【考点】扇形面积的计算；切线的性质．【分析】过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积，列式计算即可求解．【解答】解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，∵⊙O的半径为2，∴OE=1，CE=DE=，∴CD=2，∴图中阴影部分的面积为：﹣×2×1=π﹣．故选：A．【点评】考查了扇形面积的计算，切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD 的面积﹣三角形OCD的面积．10．（3分）（2015•）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A．4km B．（2+）km C．2km D．（4﹣）km【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】压轴题．【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2，再利用勾股定理得出DE 的长，即可得出答案．【解答】解：在CD上取一点E，使BD=DE，可得：∠EBD=45°，AD=DC，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE=∠CBE=22.5°，∴BE=EC，∵AB=2，∴EC=BE=2，∴BD=ED=，∴DC=2+．故选：B．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出BE=EC=2是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，把答案直接填在答题卡相应位置上）11．（3分）（2015•）计算：a•a2= a3．【考点】同底数幂的乘法．【专题】计算题．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n 计算即可．【解答】解：a•a2=a1+2=a3．故答案为：a3．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．12．（3分）（2015•）如图，直线a∥b，∠1=125°，则∠2的度数为55°．【考点】平行线的性质．【分析】先根据对顶角相等，∠1=65°，求出∠3的度数，再由两直线平行，同旁角互补得出∠2的度数．【解答】解：解：∵∠1=125°，∴∠3=∠1=125°，∵a∥b，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣125°=55°．故答案为：55°．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟记定理是解题的关键．13．（3分）（2015•）某学校“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每个学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为60 名．【考点】扇形统计图．【分析】设被调查的总人数是x人，根据最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，即可列方程求解．【解答】解：设被调查的总人数是x人，则40%x﹣30%x=6，解得：x=60．故答案是：60．【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．14．（3分）（2015•）分解因式：a2﹣4b2= （a+2b）（a﹣2b）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．15．（3分）（2015•）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为．【考点】概率公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵共8个数，大于6的有2个，∴P（大于6）==，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．16．（3分）（2015•）若a﹣2b=3，则9﹣2a+4b的值为 3 ．【考点】代数式求值．【专题】计算题．【分析】原式后两项提取﹣2变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a﹣2b=3，∴原式=9﹣2（a﹣2b）=9﹣6=3，故答案为：3．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（3分）（2015•）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为27 ．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质．【分析】先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点，再由CD⊥AB，FG∥CD可知FG 是△ACD的中位线，故可得出CG的长，再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线，故可得出GE的长，由此可得出结论．【解答】解：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故答案为：27．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．18．（3分）（2015•）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则x2+（y﹣4）2的值为16 ．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据矩形的性质得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角△BDE的斜边上的中线等于斜边的一半得到：BF=DF=EF=4，则在直角△DCF中，利用勾股定理求得x2+（y﹣4）2=DF2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=x，AD=y，∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°．又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF=4，∴BF=DF=EF=4．∴CF=4﹣BC=4﹣y．∴在直角△DCF中，DC2+CF2=DF2，即x2+（4﹣y）2=42=16，∴x2+（y﹣4）2=x2+（4﹣y）2=16．故答案是：16．【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线以及矩形的性质．根据“直角△BDE 的斜边上的中线等于斜边的一半”求得BF的长度是解题的突破口．三、解答题（本大题共10小题，满分76分按解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔会黑色墨水签字笔）19．（5分）（2015•）计算：+|﹣5|﹣（2﹣）0．【考点】实数的运算；零指数幂．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=3+5﹣1=7．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（5分）（2015•）解不等式组：．【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x≥1，由②得，x＞4，所以，不等式组的解集为x＞4．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．21．（6分）（2015•）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=，当x=﹣1时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．（6分）（2015•）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问：甲、乙每小时各做多少面彩旗？【考点】分式方程的应用．【分析】可设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，根据等量关系：甲做60面彩旗所用的时间=乙做5060面彩旗所用的时间．由此可得出方程求解．【解答】解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，依题意有=，解得：x=25．经检验：x=25是原方程的解．x+5=25+5=30．故甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗．【点评】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是正确确定题目中的相等关系，根据相等关系确定所设的未知数，列方程．23．（8分）（2015•）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2），1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是（2）先从中任意摸出一个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】计算题．【分析】（1）根据4个小球中红球的个数，即可确定出从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到红球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）4个小球中有2个红球，则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；故答案为：；（2）列表如下：红红白黑红﹣﹣﹣（红，红）（白，红）（黑，红）红（红，红）﹣﹣﹣（白，红）（黑，红）白（红，白）（红，白）﹣﹣﹣（黑，白）黑（红，黑）（红，黑）（白，黑）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能，则P（两次摸到红球）==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（8分）（2015•）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC 下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求弧DE、弧DF的长度之和（结果保留π）．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算．【专题】证明题．【分析】（1）根据题意得出BD=CD=BC，由SSS证明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可；（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根据弧长公式求出、的长度，即可得出结果．【解答】（1）证明：根据题意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC为等边三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的长度=的长度==；∴、的长度之和为+=．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算；熟练掌握全等三角形和等边三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．25．（8分）（2015•）如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E（1）若AC=OD，求a、b的值；（2）若BC∥AE，求BC的长．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）首先利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k的值，再得出A、D点坐标，进而求出a，b的值；（2）设A点的坐标为：（m，），则C点的坐标为：（m，0），得出tan∠ADF==，tan∠AEC==，进而求出m的值，即可得出答案．【解答】解；（1）∵点B（2，2）在函数y=（x＞0）的图象上，∴k=4，则y=，∵BD⊥y轴，∴D点的坐标为：（0，2），OD=2，∵AC⊥x轴，AC=OD，∴AC=3，即A点的纵坐标为：3，∵点A在y=的图象上，∴A点的坐标为：（，3），∵一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，∴，解得：；（2）设A点的坐标为：（m，），则C点的坐标为：（m，0），∵BD∥CE，且BC∥DE，∴四边形BCED为平行四边形，∴CE=BD=2，∵BD∥CE，∴∠ADF=∠AEC，∴在Rt△AFD中，tan∠ADF==，在Rt△ACE中，tan∠AEC==，∴=，解得：m=1，∴C点的坐标为：（1，0），则BC=．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及锐角三角函数关系等知识，得出A，D点坐标是解题关键．26．（10分）（2015•）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B 作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-配方法；圆周角定理．【分析】（1）由AD是△ABC的角平分线，得到∠BAD=∠DAC，由于∠E=∠BAD，等量代换得到∠E=∠DAC，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE∥AD，得到∠EBD=∠ADC，由于∠E=∠DAC，得到△EBD∽△ADC，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC，∵∠E=∠BAD，∴∠E=∠DAC，∵BE∥AD，∴∠E=∠EDA，∴∠EDA=∠DAC，∴ED∥AC；（2）解：∵BE∥AD，∴∠EBD=∠ADC，∵∠E=∠DAC，∴△EBD∽△ADC，且相似比k=，∴=k2=4，即s1=4s2，∵﹣16S2+4=0，∴16﹣16S2+4=0，即=0，∴S2=，∵====3，∴S△ABC=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，记住相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．27．（10分）（2015•）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC（1）∠ABC的度数为45°；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC 相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）首先求出B点坐标，进而得出OB=OC=m，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；（2）作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，利用勾股定理AE2+PE2=CD2+PD2，得出P 点坐标即可；（3）根据题意得出△QBC是等腰直角三角形，可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），进而分别分析求出符合题意的答案．【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），令y=0，则x2+（1﹣m）x﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m，∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：（m，0），∴OB=OC=m，∵∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；故答案为：45°；（2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为：x=，设点P坐标为：（，n），∵PA=PC，∴PA2=PC2，即AE2+PE2=CD2+PD2，∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，解得：n=，∴P点的坐标为：（，）；（3）存在点Q满足题意，∵P点的坐标为：（，），∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2=1+m2，∵AC2=1+m2，∴PA2+PC2=AC2，∴∠APC=90°，∴△PAC是等腰直角三角形，∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形，∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，若PQ与x轴垂直，则=﹣m，解得：m=，PQ=，若PQ与x轴不垂直，则PQ2=PE2+EQ2=（）2+（+m）2=m2﹣2m+=（m﹣）2+∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，∵＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则=m，解得：m=，PQ=，若PQ与y轴不垂直，则PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2=m2﹣2m+=（m﹣）2+，∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，∵＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解题关键．28．（10分）（2015•）如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形且与AB、AD均相切，现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动．⊙O在矩形部沿AD向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动，已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了a+2b cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点，若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间圆心O移动的距离；（3）如图②，已知a=20，b=10，是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．【考点】圆的综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据圆O移动的距离与P点移动的距离相等，P点移动的速度相等，可得方程组，根据解方程组，可得a、b的值，根据速度与时间的关系，可得答案；（3）根据相同时间速度的比等于路程的比，可得的值，根据相似三角形的性质，可得∠ADB=∠BDP，根据等腰三角形的判定，可得BP与DP的关系，根据勾股定理，可得DP的长，根据有理数的加法，可得P点移动的距离；根据相似三角形的性质，可得EO1的长，分类讨论：当⊙O首次到达⊙O1的位置时，当⊙O在返回途中到达⊙O1位置时，根据的值，可得答案．【解答】解：（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了 a+2bcm（用含a、b的代数式表示）；（2）∵圆心O移动的距离为2（a﹣4）cm，由题意，得a+2b=2（a﹣4）①，∵点P移动2秒到达B，即点P2s移动了bcm，点P继续移动3s到达BC的中点，即点P3秒移动了acm．∴=②由①②解得，∵点P移动的速度为与⊙O移动速度相同，∴⊙O移动的速度为==4cm（cm/s）．这5秒时间⊙O移动的距离为5×4=20（cm）；（3）存在这种情况，设点P移动速度为v1cm/s，⊙O2移动的速度为v2cm/s，由题意，得===，如图：设直线OO1与AB交于E点，与CD交于F点，⊙O1与AD相切于G点，若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G=O1H．易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP．∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD∴∠BDP=∠CBD，∴BP=DP．设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20﹣x）cm，在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2+CD2=PD2，即（20﹣x）2+102=x2，解得x=。
2015年江苏省淮安市中考数学试卷及答案解析
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
【解答】解：∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠A＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
8．（3 分）如图，l1∥l2∥l3，直线 a，b 与 l1、l2、l3 分别相交于 A、B、C 和点 D、E、F．若
흐
흐
，DE＝4，则 EF 的长是（ ）
的概率是
．
【解答】解：∵10 件某种产品中有 1 件次品，
∴从中任意取一件，恰好抽到次品的概率 ；
故答案为： ．
12．（3 分）五边形的外角和等于 360 °．
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【解答】解：五边形的外角和是 360°． 故选 B． 13．（3 分）若点 P（﹣1，2）在反比例函数 y 的图象上，则 k＝ ﹣2 ． 【解答】解：∵点 P（﹣1，2）在反比例函数 y 的图象上， ∴2 ， 解得 k＝﹣2． 故答案为﹣2． 14．（3 分）小亮上周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，10，7，10，9，9，这组数 据的众数是 9 ． 【解答】解：在这一组数据中 9 是出现次数最多的，故众数是 9． 故答案为：9． 15．（3 分）二次函数 y＝x2﹣2x+3 图象的顶点坐标为 （1，2） ． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线顶点坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）． 16．（3 分）如图，A，B 两地被一座小山阻隔，为测量 A，B 两地之间的距离，在地面上选 一点 C，连接 CA，CB，分别取 CA，CB 的中点 D、E，测得 DE 的长度为 360 米，则 A、 B 两地之间的距离是 720 米．
2015年江苏省常州市中考数学试卷(含参考答案)
2015年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C ．D ．2．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠23．（2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．（2分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB6．（2分）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．（2分）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣18．（2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A ．cm2B．8cm2C ．cm2D．16cm2二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）计算（π﹣1）0+2﹣1=．10．（2分）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为．11．（2分）分解因式：2x2﹣2y2=．12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是．13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是．14．（2分）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是．15．（2分）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．16．（2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．17．（2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2；12=5+7；6=3+3；14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+518=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是（请用文字语言表达）．18．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC 的长是．三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．20．（8分）解方程和不等式组：（1）；（2）．21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED，∴△ADH ∽．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．27．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．28．（10分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．2015年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C ．D ．【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．【解答】解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选：A．【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠﹣2 D．x≠2【专题】11 ：计算题．【分析】根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．【解答】解：要使分式有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，故选D．【点评】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．3．（2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．（2分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°【专题】11 ：计算题．【分析】由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出∠A 的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠B=40°，∴∠A=90°﹣∠B=50°，∵CD∥AB，∴∠ECD=∠A=50°，故选C．【点评】此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．【解答】解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．【点评】本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．6．（2分）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【专题】11 ：计算题．【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．【解答】解：∵a==，b==，c==，且＜＜，∴＞＞，即a＞b＞c，故选A．【点评】此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键．7．（2分）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，由图象可知：﹣≤1，解得m≥﹣1．故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．8．（2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A ．cm2B．8cm2C ．cm2D．16cm2【专题】16 ：压轴题．【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC=×4×4=8cm2．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）计算（π﹣1）0+2﹣1=．【分析】分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（π﹣1）0+2﹣1=1+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．10．（2分）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 6.96×105．【专题】12 ：应用题．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6位整数，n=6﹣1=5．【解答】解：696 000=6.96×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．（2分）分解因式：2x2﹣2y2=2（x+y）（x﹣y）．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．故答案为：2（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是27π．【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为r．则=6π，解得r=9，∴扇形的面积==27π．故答案为：27π．【点评】此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l=；扇形的面积公式S=．13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC 的长是6．【分析】由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD：DB=1：2，DE=2，∴，解得BC=6．故答案为：6．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．14．（2分）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是．【专题】11 ：计算题．【分析】把x=2代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：把x=2代入方程得：3a=a+2，解得：a=．故答案为：．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．15．（2分）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是（1，﹣2）．【分析】此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x2﹣2x+1）﹣2=﹣（x﹣1）2﹣2，故顶点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．16．（2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是（400，800）．【分析】根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．【解答】解：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中∵，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键．17．（2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2；12=5+7；6=3+3；14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+518=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和（请用文字语言表达）．【分析】根据以上等式得出规律进行解答即可．【解答】解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和【点评】此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．18．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．【专题】16 ：压轴题．【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF ，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．【解答】解：解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，∴∠BCD=180°﹣60°=120°，∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB=30°，如图1，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE ，则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，∴∠ABC+∠EBC=（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）=180°，∴A、B、E三点共线，过C作CM⊥AE于M，∵AC=CE，∴AM=EM=×（5+3）=4，在Rt△AMC中，AC===；解法二、过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，∵点C为弧BD的中点，∴=，∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D=∠CBE，在△CBE和△CDF中∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF，在△AEC和△AFC中∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，设BE=DF=x，∵AB=3，AD=5，∴AE=AF=x+3，∴5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4，∴AC==，故答案为：．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．【专题】11 ：计算题．【分析】原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2x2+1，当x=2时，原式=8+1=9．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）解方程和不等式组：（1）；（2）．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集．【解答】解：（1）去分母得：x=6x﹣2+1，解得：x=，经检验x=是分式方程的解；（2），由①得：x＞﹣2，由②得：x＜3，则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．【分析】（1）利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．【解答】解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，∴本次调查共抽样了500名学生；（2）1.5小时的人数为：500×24%=120（人）如图所示：（3）根据题意得：，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时．【点评】此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，则P（甲第一个出场）==；（2）甲比乙先出场的情况有3种，则P（甲比乙先出场）==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．【专题】14 ：证明题．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA 中，，∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF；（2）解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=60°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？【分析】（1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．【解答】解：（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，∴m=9，∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，∴（5﹣3）n+9=12.6，解得：n=1.8．∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2（元）∵13.4＜16.2，故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．【点评】本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次函数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．【分析】（1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．【解答】解：（1）过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD=2，∴AE=DE==，∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，∴BE===，∴AB=；（2）设DE=x，则AE=x，BE===，∴BD==2x，∵∠BDF=60°，∴∠DBF=30°，∴DF==x，∴BF===，∴CF=，∵AB=AE+BE=，CD=DF+CF=x，AB+CD=2+2，∴AB=+1【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．【专题】23 ：新定义．【分析】（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH2=AD ×DC，据此判断即可．（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN 等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，据此判断出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可．【解答】解：（1）如图①，连接AH，EH，∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC，∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）作法：①过A、D作AN、DM分别垂直BC于N、M；②延长AD ，取DE=DM；③以AE为直径作半圆O；④延长MD交半圆O于H；⑤以H、D作正方形HDFG，则正方形HDFG为平行四边形ABCD的等积正方形．证明：∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DM ， ∴DH 2=AD ×DM ，即正方形DFGH 与矩形ABMN 等积，∴正方形DFGH 与平行四边形ABCD 等积．（3）作法：①过A 点作AD 垂直BC 于D ；②作AD 的垂直平分线，取AD 中点E ；③过E 作BC 平行线，作长方形BCGF ，则S 矩形BCGF =S △ABC ； 其他步骤同（2）可作出其等积正方形．（4）作法：①过A 点作BD 平行线l ； ②延长CD 交平行线与E 点； ③连接BE ，则S 四边形ABCD =S △EBC ， 同（3）可作出其等积正方形．△BCE 与四边形ABCD 等积，理由如下： ∵BD ∥l ，∴S △ABD =S △EBD ， ∴S △BCE =S 四边形ABCD ，即△EBC 与四边形ABCD 等积．故答案为：△HDE 、AD ×DC 、矩形．【点评】（1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握． 27．（10分）如图，一次函数y=﹣x +4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合． （1）写出点A 的坐标；（2）当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M 在直线l 上，且∠POM=90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是S 1、S 2，求的值．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）将y=0代入y=﹣x+4，求得x的值，从而得到点A的坐标；（2）首先根据题意画出图形，然后在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB的长度，然后由全等三角形的性质求得QA的长度，从而得到BQ的长，然后根据PA=BQ求得PA的长度，从而可求得点P的坐标；（3）首先根据题意画出图形，设AP=m，由△OAM∽△PAO，可求得AM的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可．【解答】解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，即点A的坐标为（4，0）；（2）存在．理由：第一种情况，如下图一所示：∵∠OBA=∠BAP，∴它们是对应角，∴BQ=PA，将x=0代入y=﹣x+4得：y=4，∴OB=4，由（1）可知OA=4，在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4．∵△BOQ≌△AQP．∴QA=OB=4，BQ=PA．∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4，∴PA=4﹣4．∴点P的坐标为（4，4﹣4）；第二种情况，如下图二所示：∵△OQB≌△APQ，∴AQ=BO=4，AB=，BQ=AP，∴BQ=AB+AQ=，∴AP=4，∴点P的坐标为：（4，﹣4）；由上可得，点P的坐标为：（4，）或（4，）．（3）如图所示：令PA=a，MA=b，△OAP外接圆的圆心为O1，△OAM的外接圆的圆心为O2，∴OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2，OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2，在Rt△POM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16，又∵PM2=（PA+AM）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，∴ab=16，∵O1A2=O1Q2+QA2=（）2+（）2=a2+4，O2A2=O2N2+NA2=（）2+（）2=b2+4，∴S1=π×O1A2=（a2+4）π，S2=π×O2A2=（b2+4）π，。
(2021年整理)2015年江苏省苏州市中考数学试题及答案
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2015年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共28小题,满分130分,考试时间120分钟．注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0。
5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案;答非选择题必须用0。
5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题;3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁,不要折叠，不要弄破,答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．2的相反数是A．2 B．12C．—2 D．-122．有一组数据：3，5，5,6，7，这组数据的众数为A．3 B．5 C．6 D．73．月球的半径约为1 738 000m，1 738 000这个数用科学记数法可表示为A．1.738×106B．1。
738×107C．0。
1738×107D．17。
38×1054．若()22m=⨯-，则有A．0＜m＜1 B．—1＜m＜0 C．-2＜m＜—1 D．-3＜m＜—25．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间,并列出了频数分布表:则通话时间不超过15min 的频率为 A ．0.1B ．0。
江苏省13市中考数学试题分类解析汇编 专题19 综合型问题
专题19：综合型问题1. （2015年江苏连云港3分）如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为()34- ，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数()<0ky xx =的图象经过顶点B ，则k 的值为【 】A. 12-B. 27-C. 32-D. 36- 【答案】 C ．【考点】菱形的性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】根据点A 的坐标以及勾股定理、菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值：如答图，过点A 作AD CO ⊥于点D ，∵A 的坐标为()34- ，，∴3,4OD AD == . ∴在Rt AOD ∆中，根据勾股定理，得5OA =.∵菱形OABC 的顶点A 的坐标为()34- ，，顶点C 在x 轴的负半轴上，∴点B 的坐标为()84- ，. ∵函数()<0ky x x=的图象经过顶点B ，∴4328k k =⇒=-.故选C ．2. （2015年江苏徐州3分）若函数y kx b =-的图像如图所示，则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为【 】A. <2xB. >2xC. <5xD. >5x【答案】C.【考点】直线的平移；不等式的图象解法；数形结合思想的应用.【分析】如答图，将函数y kx b =-的图像向右平移3 个单位得到函数()3y k x b =--的图象，由图象可知，当<5x 时，函数()3y k x b =--的图象在x 轴上方，即()3>0y k x b =--. ∴关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为<5x . 故选C.3. （2015年江苏南通3分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB =6，AD =5，则AE 的长为【 】A. 2.5B. 2.8C. 3D. 3.2 【答案】B.【考点】圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定和性质. 【分析】如答图，连接BD 、CD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°.∴BD ==∵弦AD 平分∠BAC ，∴CD =BD ∴∠CBD =∠DAB .在△ABD 和△BED 中，∵∠BAD =∠EBD ，∠ADB =∠BDE ，∴△ABD ∽△BED . ∴DE DBDB AD =115DE =⇒=.∴115 2.85AE AB DE =-=-=． 故选B.4. （2015年江苏镇江3分）如图，坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），AB ∥x 轴，矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，点O 为位似中心，点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点，A B k AB''=．已知关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩（m ，n 是实数）无解，在以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上，则k t ⋅的值等于【 】A.34 B. 1 C. 43 D. 32【答案】D ．【考点】位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系．【分析】∵坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），∴点C 的坐标为()1t -，-.∵矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，A B k AB''=， ∴点A ′的坐标为()k kt ，，点C ′的坐标为()k kt -，-.∵关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩（m ，n 是实数）无解，∴由()323mn x n -=-得mn =3，且32n ≠，即3n m =（m ≠2）.∵以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上， ∴反比例函数3n m=的图象只经过点A ′或C ′. 而根据反比例函数的对称性，反比例函数3n m =的图象同时经过点A ′或C ′，只有在32,2A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，32,2C ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭ 时反比例函数3n m =的图象只经过点C ′.∴3322kt kt =-⇒=-. 故选D ．1. （2015年江苏苏州3分）如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()224x y +-的值为 ▲ ．【答案】16.【考点】代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中线的性质；勾股定理. 【分析】∵四边形ABCD 为矩形，AB =x ，AD =y ，∴DC =x ，BC =y .∵在Rt BDE ∆中，点F 是斜边BE 的中点，DF =4，∴BF = DF =4. ∴在Rt DCF ∆中，222DC CF DF +=，即()22244x y +-=. ∴()22416x y +-=.2. （2015年江苏泰州3分）点()1,1y a -、()2,1y a +在反比例函数()0>=k xky 的图像上，若21y y <，则a 的范围是 【答案】1<<1a -.【考点】曲线上点的坐标与方程的关系；不等式的性质；分类思想的应用. 【分析】∵点()11,a y -、()21,a y +在反比例函数()0ky k x=>的图像上，∴22,11k k y y a a ==-+ . ∵12y y <，∴()()200111111k k k k ka a a a a a <⇒-<⇒<-+-+-+. ∵0k >，∴1>01<0a a -⎧⎨+⎩或1<01>0a a -⎧⎨+⎩.解1>01<0a a -⎧⎨+⎩得>1<1a a ⎧⎨-⎩，无解；解1<01>0a a -⎧⎨+⎩得<11<<1>1a a a ⎧⇒-⎨-⎩. ∴a 的范围是1<<1a -.3. （2015年江苏扬州3分）如图，已知△ABC 的三边长为a b c 、、，且<<a b c ，若平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为123s s s 、、，则123s s s 、、的大小关系是 ▲ （用“<”号连接）.【答案】132<<s s s .【考点】阅读理解型问题；代数几何综合问题；图形的分割；平行的性质；相似三角形的判定和性质；不等式的性质.【分析】设△ABC 的周长为m ，面积为S ，如答图，设,AD x AE y == ，则,BD c x CE b y =-=- . ∵平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分， ∴AD AE BD CE BC +=++，即x y c x b y a +=-+-+. ∴()1122x y a b c m +=++=. ∵DC ∥BC ，∴ADE ABC ∆∆∽.∴21s AD S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()122m AD AE AD AE x y mAB AC AB AC c b b c b c ++=====++++.()2mb c =+.()2m a b =+()2ma c =+. ∵<<abc ，∴()()()0<<<<<222m m ma b a c b c b c a c b c +++⇒⇒+++∴132<<s s s .4. （2015年江苏常州2分）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是 ▲ ．. 【考点】全等三角形的判定和性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；方程思想的应用．【分析】如答图，过点C 分别作CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，则∠E =∠CFD =∠CFA =90°，∵点C 为弧BD 的中点，∴»»BCCD =.∴∠BAC =∠DAC ，BC =CD . ∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE =CF .∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠D =∠CBE .在△CBE 和△CDF 中，∵CBE D E CFD CE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBE ≌△CDF （AAS ）.∴BE =DF .在△AEC 和△AFC 中，∵E AFC EAC FAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△AFC （AAS ）.∴AE =AF .设BE =DF =x ，∵AB =3，AD =5，∴AE =AF =x +3，∴5=x +3+x ，解得：x =1，即AE =4. ∵∠BAD =60°，∴∠EAC=30°.∴04cos cos60AE AC EAC ====∠5. （2015年江苏南通3分）关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】9<<24a --.【考点】一元二次方程与二次函数的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】∵关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根，∴()()2009>94>341>04a a a a a ≠⎧≠⎧⎪⎪⇒⇒-⎨⎨-∆=--⋅⋅-⎪⎪⎩⎩且0a ≠. 设231y ax x =--∵实数根都在﹣1和0之间， ∴当a ＞0时，如答图1，由图可知， 当0x =时，>0y ；但0011y =--=-，矛盾， ∴此种情况不存在. 当a ＜0时，如答图2，由图可知， 当1x =-时，<0y ，即31<0<2a a +-⇒-. 综上所述，a 的取值范围是9<<24a --.6. （2015年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，4），直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 ▲ ．【答案】285. 【考点】单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质．【分析】根据垂线段最短得出PM ⊥AB 时线段PM 最短，分别求出PB 、OB 、OA 、AB 的长度，利用△PBM ∽△ABO ，即可求出答案如答图，过点P 作PM ⊥AB ，则：∠PMB =90°， 当PM ⊥AB 时，P M 最短， ∵直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， ∴点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，﹣3）.在Rt △AOB 中，∵AO =4，BO =3，∴根据勾股定理，得AB =5. ∵∠BMP =∠AOB =90°，∠ABO =∠PBM ， ∴△PBM ∽△ABO . ∴PB PM AB AO =，即：4354PM+=，解得285PM =. 7. （2015年江苏宿迁3分）当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等，则x =m +n 时，代数式223x x -+的值为 ▲ ． 【答案】3．【考点】二次函数的性质；求代数式的值；整体思想的应用. 【分析】设223y x x =-+，∵当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等， ∴抛物线223y x x =-+的对称轴2212m nx -+=-=⨯. ∴2m n +=.∴当2x m n =+=时，222322233x x -+=-⨯+=.8. （2015年江苏镇江2分）如图，AB 是⊙O 的直径，OA =1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若1BD ，则∠ACD = ▲ °．【答案】112.5．【考点】切线的性质；勾股定理；等腰直角三角形的判定和性质．.【分析】如答图，连接OC ．∵DC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥DC.∵1BD =，OA=OB=OC=1，∴OD =∴1CD ==. ∴OC=CD.∴∠DOC=45°.∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA. ∴∠OCA=12∠DOC=22.5°. ∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°．9. （2015年江苏镇江2分）写一个你喜欢的实数m 的值 ▲ ，使得事件“对于二次函数()21132y x m x =--+，当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小”成为随机事件． 【答案】﹣3（答案不唯一）．【考点】开放型；随机事件；二次函数的性质． 【分析】二次函数()21132y x m x =--+的对称轴为()11122m y m --=-=-⨯， ∵当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小，∴1<3m --，解得<2m -. ∴m ＜﹣2的任意实数即可，如m =﹣3（答案不唯一）．1. （2015年江苏连云港10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y =-x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是直线AB 上一动点，⊙P 的半径为1． （1）判断原点O 与⊙P 的位置关系，并说明理由； （2）当⊙P 过点B 时，求⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长； （3）当⊙P 与x 轴相切时，求出切点的坐标．【答案】解：（1）原点O 在⊙P 外．理由如下：∵直线y =-x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点()(200A B - ，，，. 在Rt △OAB中，∵OA tan OBA OB ∠===， ∴∠OBA =30°，如答图1，过点O 作OH ⊥AB 于点H ， 在Rt △OBH中，OH OB sin OBA =⋅∠1，∴原点O 在⊙P 外.（2）如答图2，当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴右侧时，∵PB =PC ，∴∠PCB =∠OBA =30°.∴⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°.∴弧长为：120121803ππ⋅⋅=. 同理：当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴左侧时，弧长同样为：23π. ∴当⊙P 过点B 时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长为：23π. （3）如答图3，当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴下方时，设切点为D ，∵PD ⊥x 轴，∴PD ∥y 轴. ∴∠APD =∠ABO =30°.∴在Rt △DAP 中，130AD DP tan DPA tan =⋅∠=⨯︒=，∴2OD OA AD =-=，∴此时点D 的坐标为：（20）.当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（2+，0）.综上所述，当⊙P 与x 轴相切时，切点的坐标为：（23-，0）或（23+，0）． 【考点】圆和一次函数的的综合题；单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；点与圆的位置关系的判定；扇形弧长的计算；直线与圆相切的性质；分类思想的应用．【分析】（1）作辅助线“过点O 作OH ⊥AB 于点H ”，由直线y =-x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，可求得点A 、B 的坐标，从而根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求得∠OBA =30°，进而应用三角函数可求得OH 的长，继而根据点与圆的位置关系的判定求得结论.（2）分点P 在y 轴右侧和点P 在y 轴左侧两种情况讨论：求得⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角，则可求得弧长.（3）分⊙P 位于x 轴下方和⊙P 位于x 轴上方两种情况讨论即可. 2. （2015年江苏苏州8分）如图，已知函数ky x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．（1）若AC =32OD ，求a 、b 的值； （2）若BC ∥AE ，求BC 的长．【答案】解：（1）∵点B （2，2）在函数k y x =（x ＞0）的图象上，∴44,k y x== . ∵BD ⊥y 轴，∴点D 的坐标为（0，2），2OD =． ∵AC ⊥x 轴，32AC OD =，∵3AC =，即点A 的横坐标为3. ∵点A 在函数4y x =（x ＞0）的图象上，∴点A 的坐标为4,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，∴4332a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得342a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. （2）设点A 的坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则点C 的坐标为(),0m .∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ，∴四边形BCED 是平行四边形. ∴CE=BD=2. ∵BD ∥CE ，∴∠ADF =∠AEC .∴在Rt AFD ∆中，42tan AF m ADF DF m -∠==；在Rt ACE ∆中，4tan 2AC mAEC EC ∠== ∴4422m m m -=，解得1m =. ∴点C 的坐标为()1,0,BC = 【考点】反比例函数和一次函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；平行四边形的判定和性质；锐角三角函数定义；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由函数ky x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，求出点A 、D 的坐标，进而由一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，求出a 、b 的值.（2）设点A 的坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点C 的坐标为(),0m ，根据∠ADF =∠AEC 和42tan m ADF m -∠=、4tan 2m AEC ∠=，从而4422m m m -=，解之即可求解.3. （2015年江苏苏州10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED ． （1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD =2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．【答案】解：（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD =∠DAC .∵∠E =∠BAD ，∴∠E =∠DAC .∵BE ∥AD ，∴∠E =∠EDA . ∴∠DAC =∠EDA . ∴ED ∥AC .（2）∵BE ∥AD ，∴∠EBD =∠ADC .∵∠E =∠DAC ，∴△EBD ∽△ADC ，且相似比2BDk DC==. ∴2124S k S ==，即124S S =. ∵2121640S S -+=，∴22241640S S -+=，解得212S =. ∵233ABC S BC BD CD CD S CD CD CD ∆+====，∴2332ABC S S ∆==. 【考点】圆与相似三角形的综合题；平行的判定和性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质；同高三角形面积的性质；解一元二次方程.【分析】（1）一方面，由A D 是△ABC 的角平分线得到∠BAD =∠DAC ，由圆周角定理得到∠E =∠BAD ，从而∠E =∠DAC ；另一方面，由BE ∥AD 得到∠E =∠EDA ，因此∠DAC =∠EDA ，根据内错角相等两直线平行的判定是出结论.（2）由△EBD ∽△ADC 和相似比2BDk DC ==得到124S S =，代入2121640S S -+=求出212S =，根据同高三角形面积的性质求出23ABCS S ∆=，从而得出结果. 4. （2015年江苏泰州10分）如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F . （1）试说明DF 是⊙O 的切线； （2）若 AC =3AE ，求C tan .【答案】解：（1）如答图，连接OD ，∵AB =AC ，OB =OD ，∴,B C ODB B ∠=∠∠=∠ . ∴ODB C ∠=∠.∴OD ∥AC . ∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD . ∴DF 是⊙O 的切线. （2）如答图，连接,AD ED ，∵,E B B C ∠=∠∠=∠ ，∴E C ∠=∠.∴CD DE =. ∵DF ⊥AC ，∴CE CF =.∵AC =3AE ，∴可设AE k =，则3AC k =.∴4,2,CE k CF EF k AF k ==== . ∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC .又∵DF ⊥AC ，∴223AD AF AC k =⋅=.∴AD =.∴CD .∴tan AD C CD ===【考点】等腰三角形的性质；平行的判定和性质；切线的判定；圆周角定理；射影定理；勾股定理；锐角三角函数定义.【分析】（1）作辅助线“连接OD ”，构造等腰三角形和平行线，由等腰三角形等边对等角的性质，平行的判定和性质证明DF ⊥OD 即可得出结论.（2）作辅助线“连接,AD ED ”，构造直角三角形，设AE k =，在Rt ADC ∆中应用射影定理求得AD =（没学射影定理的用相似可得），应用勾股定理求得CD =，从而根据正切函数定义求解即可.5. （2015年江苏无锡8分）（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）（2）如果甲跟另外n （n ≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是 ▲ （请直接写出结果）． 【答案】解：（1）画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种， ∴P （第2次传球后球回到甲手里）=3193=． （2）21n n - 【考点】列表法或树状图法；概率；探索规律题（数字的变化类）．.【分析】（1）画树状图或列表，根据图表，可得总结果与传到甲手里的情况，根据传到甲手里的情况比上总结果，可得答案.（2）根据第一步传的总结果是n ，第二步传的总结果是2n ，第三步传的总结果是3n ，传给甲的结果是()1n n -，根据概率的意义，第三次传球后球回到甲手里的概率是()2211n n n n n--=. 6. （2015年江苏无锡10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点分别为O (0，0)、A （5，0）、B (m ，2)、C (m －5，2)．（1）问：是否存在这样的m ，使得在边BC 上总存在点P ，使∠OPA ＝90º？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）当∠AOC 与∠OAB 的平分线的交点Q 在边BC 上时，求m 的值． 【答案】解：（1）存在．∵()()()()0050252O A B m C m - ，、，、，、，，∴OA =BC =5，BC ∥OA .如答图1，以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交于点E 、F ，则∠OEA =∠OFA =90°，过点D 作DG ⊥EF 于G ，连接DE ，则DE =OD =2.5，DG =2，EG =GF ，∴ 1.5EG =.∴E （1，2），F （4，2）. 由541m m -≤⎧⎨≥⎩解得，19m ≤≤，∴当19m ≤≤时，边BC 上总存在这样的点P ，使∠OPA =90°.（2）如答图2，∵BC =OA =5，BC ∥OA ，∴四边形OABC 是平行四边形. ∴OC ∥AB . ∴∠AOC +∠OAB =180°.∵OQ 平分∠AOC ，AQ 平分∠OAB ， ∴∠AOQ =12∠AOC ，∠OAQ =12∠OAB . ∴∠AOQ +∠OAQ =90°. ∴∠AQO =90°.以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交于点E 、F ，则∠OEA =∠OFA =90°， ∴点Q 只能是点E 或点F . 当Q 在F 点时，∵OF 、AF 分别是∠AOC 与∠OAB 的平分线，BC ∥OA ，∴∠CFO =∠FOA =∠FOC ，∠BFA =∠FAO =∠FAB . ∴CF =OC ，BF =AB . 而OC =AB ，∴CF =BF ，即F 是BC 的中点． 而F 点为 （4，2），∴此时m 的值为6.5. 当Q 在E 点时，同理可求得此时m 的值为3.5. 综上所述，m 的值为3.5或6.5．【考点】圆的综合题；垂径定理；圆周角定理；平行四边形的判定和性质；坐标与图形性质；勾股定理；分类思想的应用.【分析】（1）由四边形四个点的坐标易得OA =BC =5，BC ∥OA ，以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交于点E 、F ，根据圆周角定理得∠OEA =∠OFA =90°，如图1，作DG ⊥EF 于G ，连DE ，则DE =OD =2.5，DG =2，根据垂径定理得EG =GF ，利用勾股定理可计算出EG =1.5，于是得到E （1，2），F （4，2），即点P 在E 点和F 点时，满足条件，此时541m m -≤⎧⎨≥⎩，即1≤m ≤9时，边BC 上总存在这样的点P ，使∠OPA =90°；（2）如图2，先判断四边形OABC 是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到∠AQO =90°，以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交于点E 、F ，则∠OEA =∠OFA =90°，于是得到点Q 只能是点E 或点F ，当Q 在F 点时，证明F 是BC 的中点．而F 点为 （4，2），得到m 的值为6.5；当Q 在E 点时，同理可求得m 的值为3.5．7. （2015年江苏徐州8分）如图，在矩形OABC 中，OA =3，OC =5,分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数()>0ky k x=的图像经过点D 且与边BA 交于点E ，连接DE .（1）连接OE ，若△EOA 的面积为2，则k = ▲ ； （2）连接CA 、DE 与CA 是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D ，使得点B 关于DE 的对称点在OC 上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）4.（2）平行，理由如下：如答图1，连接AC ， 设()(),5,3,D a E b ，∵()(),5,3,D a E b 在()>0ky k x=上， ∴5533k k a a k k b b ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩.∵BC =OA =3，AB =O C =5，∴BD =3－5k ，BE =5－3k. ∴3335,5553kBC BD k AB BE -===- .∴BC BD AB BE =，即BC AB BD BE =. ∴DE ∥AC ． （3）存在.假设存在点D 满足条件．设,5,3,53k k D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则CD =5k ，BD =3－5k ，AE =3k ，BE =5－3k． 如答图2，过点E 作EF ⊥OC ，垂足为F ， 易证△B 'CD ∽△EFB '，∴'''B E B F B D CD =，即5'3355k B F k k -=-.∴'3k B F =. ∴2'''55333k k kCB OC B F OF OC B F AE =--=--=--=-. 在Rt △B 'CD 中，CB '= 253k -，CD =5k ，B 'D =BD =3－5k，由勾股定理得，CB '²＋CD ²= B 'D ²，∴222253355k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得2101233600k k -+=.解得，122415,52k k == （不合题意，舍去）.∴24,525D ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴满足条件的点D 存在，D 的坐标为24,525⎛⎫⎪⎝⎭． 【考点】反比例函数综合题；单动和轴对称问题； 曲线上点的坐标与方程的关系；平行的判定；相似三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）设3,3k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OA =3， AE =3k ． ∵△EOA 的面积为2，∴132423kk ⋅⋅=⇒=. （2）设()(),5,3,D a E b ，由()(),5,3,D a E b 在k y x =上，得到,5,3,53k k D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得BC BD AB BE =，即BC ABBD BE=，进而证得DE ∥AC ． （3）设,5,3,53k k D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，作辅助线“过点E 作EF ⊥OC ，垂足为F ”，由△B 'CD ∽△EFB '得到'''B E B F B D CD =而求得'3kB F =，从而在Rt △B 'CD 中，应用勾股定理列方程求解即可. 8. （2015年江苏盐城10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数34y x =与一次函数7y x =-+的图像交于点A . （1）求点A 的坐标；（2）设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交34y x =和7y x =-+的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC =75OA ，求△OBC 的面积.【答案】解：（1）根据题意，得347y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为（4，3）.（2）如答图，过A 点作AD ⊥x 轴于点D ，∵点A 的坐标为（4，3）， ∴根据勾股定理，得OA=5.∵BC ⊥x 轴，P （a ，0），BC 交34y x =和7y x =-+的图像于点B 、C ， ∴()3,,74B a a C a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 、.∵BC 位于点A 的右侧，∴()374BC a a =--+. 又∵BC =75OA =7，∴()3774a a --+=，解得，8a =. ∴11872822OBCS BC OP ∆=⋅=⨯⨯=. 【考点】一次函数综合题；直线上点的坐标与方程关系；勾股定理；方程思想的应用. 【分析】（1）根据点在直线上点的坐标满足方程的关系；联立34y x =和7y x =-+即可求得点A 的坐标. （2）一方面，作辅助线“过A 点作AD ⊥x 轴于点D ”构造直角三角形，应用勾股定理求出OA =5，从而由BC =75OA 求出的BC 长；另一方面，由B 、C 的纵坐标之差列关于a 的方程()3774a a --+=，解之即得BC 边上的高OP 的长， 进而根据三角形面积公式求得△OBC 的面积.9. （2015年江苏扬州10分）平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点),(y x P 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(),P x y 的勾股值，记为：P ⎡⎦，即P x y ⎡⎦=+.（其中的“+”是四则运算中的加法）（1）求点()1,3A - ,)2,2B的勾股值A ⎡⎦、B ⎡⎦；（2）点M 在反比例函数3y x=的图像上，且4M ⎡⎦=，求点M 的坐标； （3）求满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形的面积.【答案】解：（1）∵()1,3A - ,)2,2B，∴134A ⎡⎦=-+=，22224B ⎡⎦==+=.（2）∵点M 在反比例函数3y x =的图像上，∴可设3,M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .∵4M ⎡⎦=，∴34m m+=. 若0m >，则34m m +=，解得121.3m m == .∴()1,3M 或()3,1M . 若0m <，则34m m--=，解得121.3m m =-=- .∴()1,3M - -或()3,1M - -.综上所述，点M 的坐标为()1,3 或()3,1 或()1,3- -或()3,1- -. （3）设(),N x y ，∵3N ⎡⎦=，∴3x y +=.若0,0x y ≥≥ ，则3x y +=，即3y x =-+. 若0,0x y ≥< ，则3x y -=，即3y x =-. 若0,0x y <≥ ，则3x y -+=，即3y x =+. 若0,0x y << ，则3x y --=，即3y x =--.∴满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形是正方形，如答图. ∴满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形的面积为18.【考点】新定义和阅读理解型问题；点的坐标；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）直接根据定义求解即可.（2）设3,M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据4M ⎡⎦=得到34m m +=，分0m >和0m <求解即可. （3）设(),N x y ，根据3N ⎡⎦=得到3x y +=，由,x y 负分类即可求解.10. （2015年江苏常州10分）如图，反比例函数k y x =的图象与一次函数14y x =的图象交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方．（1）若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；（2）设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；（3）设点Q 是反比例函数图象上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．【答案】解：（1）415PAB k S ==V ，．（2）证明：如答图2，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，设直线PB 的解析式为y ax b =+，把点P （1，4）、B （4，1）代入y ax b =+，得441a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：15a b =-⎧⎨=⎩， ∴直线P B 的解析式为5y x =-+．当y =0时，50x -+=，∴x =5，点N （5，0）． 同理可得M （﹣3，0），∴()134514MH NH =--==-=，. ∴MH =NH . ∴PH 垂直平分MN . ∴PM =PN . ∴△PMN 是等腰三角形.（3）∠PAQ =∠P BQ ．理由如下：如答图3，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，设AQ 交x 轴于D ，QB 的延长线交x 轴于E ，可设点4Q c c ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线AQ 的解析式为y px q =+，则414p q cp q c -+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：141p cq c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AQ 的解析式为141y x c c=+-． 当y =0时，1410x c c+-=，解得：4x c =-， ∴D （4c -，0）． 同理可得E （4c +，0），∴()4444DT c c ET c c =--==+-=，.∴DT =ET . ∴QT 垂直平分DE ，∴QD =QE . ∴∠QDE =∠QED ． ∵∠MDA =∠QDE ，∴∠MDA =∠QED ． ∵PM =PN ，∴∠PMN =∠PNM ．∵∠PAQ =∠PMN ﹣∠MDA ，∠PBQ =∠NBE =∠PNM ﹣∠QED ， ∴∠PAQ =∠PBQ ．【考点】反比例函数和一次函数综合题；单动点问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定和性质．【分析】（1）如答图1，过点A 作AR ⊥y 轴于R ，过点P 作PS ⊥y 轴于S ，连接PO ，设A P 与y 轴交于点C ，把x =4代入14y x =，得到点B 的坐标为（4，1）， 把点B （4，1）代入ky x=，得k =4．解方程组144y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得到点A 的坐标为（﹣4，﹣1），则点A 与点B 关于原点对称，∴OA =OB . ∴AOP BOP S S =V V . ∴2PAB AOP S S =V V ． 设直线AP 的解析式为y mx n =+，把点A （﹣4，﹣1）、P （1，4）代入y mx n =+， 求得直线AP 的解析式为3y x =+， 则点C 的坐标（0，3），OC =3，∴111115343122222AOP AOC POC S S S OC AR OC PS =+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=V V V . ∴215PAB AOP S S ==V V .（2）作辅助线“过点P 作P H ⊥x 轴于点H ”，用待定系数法求出直线PB 的解析式，从而得到点N 的坐标，同理可得到点M 的坐标，进而得到MH =NH ，根据垂直平分线的性质可得PM =PN ，即△PMN 是等腰三角形；（3）作辅助线“过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，设AQ 交x 轴于D ，QB 的延长线交x 轴于E ”，设点Q 为4c c ⎛⎫⎪⎝⎭，，运用待定系数法求出直线AQ 的解析式，即可得到点D 的坐标为（4c -，0），同理可得E （4c +，0），从而得到DT =ET ，根据垂直平分线的性质可得QD =QE ，则有∠QDE =∠QED ．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ =∠PBQ ．11. （2015年江苏南通13分）已知抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点为P ，直线1l y x =-：. （1）求证：点P 在直线l 上；（2）当m =﹣3时，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，与直线l 的另一个交点为Q ，M 是x 轴下方抛物线上的一点，∠ACM =∠PAQ （如图），求点M 的坐标；（3）若以抛物线和直线l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m 的值．【答案】解：（1）证明：∵()222211y x mx m m x m m =-++-=-+-，∴点P 的坐标为（m ，m ﹣1）， ∵当x =m 时，y =x ﹣1=m ﹣1， ∴点P 在直线l 上.（2）当m =﹣3时，抛物线解析式为265y x x =++，当y =0时，2650x x ++=，解得x 1=﹣1，x 2=﹣5，则A （﹣5，0）. 当x =0时，2655y x x =++=，则C （0，5）.联立方程组2165y x y x x =-⎧⎨=++⎩，解得34x y =-⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=-⎩， ∴P （﹣3，﹣4），Q （﹣2，﹣3）.如答图，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，过点Q 作QG ⊥x 轴于G ， ∵OA =OC =5，∴△OAC 为等腰直角三角形.∴∠ACO =45°. ∴∠MCE =45°﹣∠ACM . ∵QG =3，OG =2，∴AG =OA ﹣OG =3=QG . ∴△AQG 为等腰直角三角形. ∴∠QAG =45°. ∴()90904545APF PAF PAQ PAQ ∠=︒-∠=︒-∠+︒=︒-∠. ∵∠ACM =∠PAQ ，∴∠APF =∠MCE . ∴Rt △CME ∽Rt △PAF . ∴ME CE AF PF=. 设()265M x x x ++，，则()225656ME x CE x x x x =-=-++=--，.∴2624x x x ---=，整理得240x x +=，解得x 1=0（舍去），x 2=﹣4， ∴点M 的坐标为（﹣4，﹣3）.（3）m 的值为0 【考点】二次函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理；分类思想和方程思想的应用．.【分析】（1）利用配方法求得点P 的坐标，然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P 在直线l 上.（2）当m =﹣3时，抛物线解析式为265y x x =++，根据抛物线与x 轴的交点问题求出A （﹣5，0），易得C （0，5），通过解方程组2165y x y x x =-⎧⎨=++⎩得P （﹣3，﹣4），Q （﹣2，﹣3），如图，作ME ⊥y 轴于E ，PF⊥x 轴于F ，QG ⊥x 轴于G ，证明Rt △CME ∽Rt △PAF ，利用相似得ME CEAF PF=，设()265M x x x ++，，则2624x x x---=，解之即可求得点M 的坐标. （3）解方程组22121y x y x mx m m =-⎧⎨=-++-⎩得1x m y m =⎧⎨=-⎩或1x m y m =+⎧⎨=⎩， ∴P （m ，m ﹣1），Q （m +1，m ）.∴()()222112PQ m m m m =+-+-+=，()22221221OQ m m m m =++=++，()22221221OP m m m m =+-=-+.当PQ =OQ 时，22212m m ++=，解得12m m ==当PQ =OP 时，22212m m -+=，解得12m m ==； 当OP =OQ 时，22221221m m m m ++=-+，解得m =0.综上所述，m 的值为0 12. （2015年江苏宿迁10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为2a ，2b ，点A ，D ，G 在y 轴上，坐标原点O 为AD 的中点，抛物线2y mx =过C ，F 两点，连接FD 并延长交抛物线于点M ．（1）若a =1，求m 和b 的值； （2）求ba的值； （3）判断以FM 为直径的圆与AB 所在直线的位置关系，并说明理由．【答案】解：（1）∵a =1，∴正方形ABCD 的边长为2，∵坐标原点O 为AD 的中点，∴C （2，1）． ∵抛物线2y mx =过C 点，∴1=4m ，解得14m =. ∴抛物线解析式为214y x =，将F （2b ，2b +1）代入214y x =，得()212124b b +=，解得1b =．∴14m =，1b =（2）∵正方形ABCD 的边长为2a ，坐标原点O 为AD 的中点，∴C （2a ，a ）．∵抛物线2y mx =过C 点，∴24a m a =⋅，解得14m a=.∴抛物线解析式为214y x a=. 将F （2b ，2b +1）代入214y x a =，得()212124b b a+=，解得(1b a =±（负值舍去）．∴1ba=+. （3）以FM 为直径的圆与AB 所在直线相切．理由如下：∵D （0，a ），∴可设直线FD 的解析式为y kx a =+. 由（2）1ba=得()23F a a ，， 代入y kx a =+得k =1.∴直线FD 的解析式为y x a =+．联立214y x a y x a =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得23x a y a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩或23x a y a ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩.∴M点坐标为()23a a ，． ∴以FM 为直径的圆的圆心O '的坐标为（2a ，3a ）. 如答图，过点O '作O H AB '⊥于点H ，∴O '到直线AB （y a =-）的距离34O H a a a '=--=（）. ∵以FM 为直径的圆的半径4r O F a ='==.∴O H r '=.∴以FM 为直径的圆与AB 所在直线相切．【考点】二次函数综合题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；正方形的性质；直线与圆满的位置关系的判定；勾股定理；数形结合思想和方程思想的应用．【分析】（1）由a =1，根据正方形的性质及已知条件得出C （2，1）．将C 点坐标代入2y mx =，求出14m =，则抛物线解析式为214y x =，再将F （2b ，2b +1）代入214y x =，即可求出b 的值.（2）由正方形ABCD 的边长为2a ，坐标原点O 为AD 的中点，得出C （2a ，a ）．将C 点坐标代入2y mx =，求出14m a =，则抛物线解析式为214y x a =，再将F （2b ，2b +a ）代入214y x a=，整理，把a 看作常数，利用求根公式得出(1b a =±（负值舍去），从而得到1ba=.（3）先利用待定系数法求出直线FD 的解析式为y x a =+，再求出M ()23a a ，，又()23F a a ，，利用中点坐标公式得到以FM 为直径的圆的圆心O ′的坐标为（2a ，3a ），再求出O ′到直线AB （y a =-）的距离O H '的值，以FM 为直径的圆的半径r 的值，由O H '=r ，根据直线与圆的位置关系可得以FM 为直径的圆与AB 所在直线相切．13. （2015年江苏镇江6分）如图，点()3M m -，是一次函数1y x =+与反比例函数()0ky k x=≠的图象的一个交点．（1）求反比例函数表达式；（2）点P 是x 轴正半轴上的一个动点，设OP =a （a ≠2），过点P 作垂直于x 轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A ，B ，过OP 的中点Q 作x 轴的垂线，交反比例函数的图象于点C ，△ABC ′与△ABC 关于直线AB 对称．①当a =4时，求△ABC ′的面积；②当a 的值为 ▲ 时，△AMC 与△AMC ′的面积相等．【答案】解：（1）把()3M m -，代入1y x =+，则2m =-，∴()32M --，． 把()32M --，代入ky x=，得k =6， ∴反比例函数解析式是：6y x =.（2）①如答图1，连接CC ′交AB 于点D ，则AB 垂直平分CC ′．当a =4时，A （4，5），B （4，1.5），则AB =3.5． ∵点Q 为OP 的中点，∴Q （2，0）. ∴C （2，3），则D （4，3）.∴CD =2. ∴113.52 3.522ABC S AB CD =⋅=⨯⨯=V . ②3．【考点】反比例函数和一次函数综合题；单动点和轴对称问题；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的性质；全等三角形的判定和性质；数形结合思想和方程思想的应用．.【分析】（1）由一次函数解析式可得点M 的坐标为（﹣3，﹣2），然后把点M 的坐标代入反比例函数解析式，求得k 的值，可得反比例函数表达式.（2）①作辅助线“连接C C ′交AB 于点D ”，由轴对称的性质，可知AB 垂直平分OC ′，当a =4时，利用函数解析式可分别求出点A 、B 、C 、D 的坐标，于是可得AB 和CD 的长度，即可求得△ABC 的面积.②如答图2，分别过点C 、C ′作1y x =+的垂线垂足分别 为点E 、F ， ∵△AMC 与△AMC ′的面积相等，∴CE = C ′F .又∵AC = AC ′，∴△AEC 与△AFC ′（HL ）.∴CAE C AF ∠=∠'. ∵E 、A 、F 共线，∴C 、A 、C ′共线.∵OP =a ，点A 在1y x =+上，∴(),1A a a + . ∴,12a C a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∵点C 在6y x=上，∴612a a +=，整理，得2120a a +-=，解得3a =或4a =-（舍去）.∴3a =.14. （2015年江苏镇江10分）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点（0，3），且当x =1时，y 有最小值2．（1）求a ，b ，c 的值；（2）设二次函数()()222y k x ax bx c =+-++（k 为实数），它的图象的顶点为D ． ①当k =1时，求二次函数()()222y k x ax bx c =+-++的图象与x 轴的交点坐标；②请在二次函数2y ax bx c =++与()()222y k x ax bx c =+-++的图象上各找出一个点M ，N ，不论k 取何值，这两个点始终关于x 轴对称，直接写出点M ，N 的坐标（点M 在点N 的上方）；③过点M 的一次函数34y x t =-+的图象与二次函数2y ax bx c =++的图象交于另一点P ，当k 为何值时，点D 在∠NMP 的平分线上？④当k 取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线()()222y k x ax bx c =+-++的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？。
2015年江苏省苏州市中考数学试卷(含解析版)
2015年江苏省苏州市中考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1．2的相反数是 A ．2B ．12C ．-2D ．-122．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为 A ．3B ．5C ．6D ．73．月球的半径约为1 738 000m ，1 738 000这个数用科学记数法可表示为 A ．1.738×106 B ．1.738×107 C ．0.1738×107D ．17.38×1054．若()2m =-，则有 A ．0＜m ＜1 B ．-1＜m ＜0 C ．-2＜m ＜-1 D ．-3＜m ＜-25．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：则通话时间不超过15min 的频率为 A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.96．若点A （a ，b ）在反比例函数2y x=的图像上，则代数式ab -4的值为 A ．0B ．-2C ． 2D ．-67．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，∠BAD =35°，则∠C 的度数为 A ．35° B ．45° C ．55° D ．60°8．若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx =5的解为 A ．120,4x x == B ．121,5x x == C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=9．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A =30°，DCBA（第7⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为A．43πB．43π-C．πD．23π10．如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB =2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为 A ．4km B．(2km C．D．(4km二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 11．计算：2a a ⋅= ▲ ．12．如图，直线a ∥b ，∠1=125°，则∠2的度数为 ▲ °．13．某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 ▲ 名． 14．因式分解：224a b -= ▲ ．（第9题）（第10题）lba（第13题）20%10%30%40%其他乒乓球篮球羽毛球15．如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ▲ ．16．若23a b -=，则924a b -+的值为 ▲ ．17．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE =CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE ．若AC =18，BC =12，则△CEG 的周长为 ▲ ．18．如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()224x y +-的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上．．．．．．．．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔． 19．（本题满分5分）（第15题）（第17题）GF E D CBA F EDC B A （第18题）(052--．20．（本题满分5分） 解不等式组：()12,31 5.x x x +≥⎧⎪⎨-+⎪⎩＞21．（本题满分6分）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =．22．（本题满分6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？23．（本题满分8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是 ▲ ；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．24．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ．分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BC =6，∠BAC ＝50︒，求DE 、DF 的长度之和（结果保留π）．25．（本题满分8分）如图，已知函数ky x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．（第24题）FEDCBA（1）若AC =32OD ，求a 、b 的值；（2）若BC ∥AE ，求BC 的长．26．（本题满分10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D三点，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED ． （1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD =2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．27．（本题满分10分）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接PA 、PC ，PA =PC ． （1）∠ABC 的度数为 ▲ °；（第26题）（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．28．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AD=a cm，AB=b cm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动．已知点P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）． （1）如图①，点P 从A →B →C →D ，全程共移动了 ▲ cm （用含a 、b 的代数式表示）；（2）如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ，到达BC 的中点．若点P 与⊙O 的移动速度相等，求在这5s 时间内圆心O 移动的距离；（3）如图②，已知a =20，b =10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．（第28题）（图②）（图①）2015年江苏省苏州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题．．卡相应位置上．．．．．．．1．2的相反数是A．2 B．12C．-2 D．-12【考点】相反数．.【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得2的相反数是：﹣2．故选：C．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为A．3 B．5 C．6 D．7【考点】众数．.【分析】根据众数的概念求解．【解答】解：这组数据中5出现的次数最多，故众数为5．故选：B．【点评】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．3．月球的半径约为1 738 000m，1 738 000这个数用科学记数法可表示为A．1.738×106B．1.738×107C．0.1738×107D．17.38×105【考点】科学记数法—表示较大的数．.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将1738000用科学记数法表示为：1.738×106． 故选：A ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 4．若()222m =⨯-，则有 A ．0＜m ＜1 B ．-1＜m ＜0 C ．-2＜m ＜-1 D ．-3＜m ＜-2【考点】估算无理数的大小．. 【分析】先把m 化简，再估算大小，即可解答． 【解答】解；m=×（﹣2）=，∵，∴， 故选：C ．【点评】本题考查了公式无理数的大小，解决本题的关键是估算的大小．5．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：通话时间x /min 0＜x ≤5 5＜x ≤10 10＜x ≤15 15＜x ≤20频数（通话次数）201695则通话时间不超过15min 的频率为 A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.9【考点】频数（率）分布表．.【分析】用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率．【解答】解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次，∴通话时间不超过15min 的频率为=0.9，故选D ．【点评】本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是了解频率=频数÷样本容量，难度不大．6．若点A （a ，b ）在反比例函数2y x的图像上，则代数式ab -4的值为 A ．0B ．-2C ． 2D ．-6【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．.【分析】先把点（a ，b ）代入反比例函数y=求出ab 的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵点（a ，b ）反比例函数y=上， ∴b=，即ab=2， ∴原式=2﹣4=﹣2． 故选B ．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．7．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，∠BAD =35°，则∠C 的度数为 A ．35° B ．45°C ．55°D ．60°【考点】等腰三角形的性质．.【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论． 【解答】解：AB=AC ，D 为BC 中点， ∴AD 是∠BAC 的平分线，∠B=∠C ，DCBA（第7题）∵∠BAD=35°， ∴∠BAC=2∠BAD=70°， ∴∠C=（180°﹣70°）=55°． 故选C ．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．8．若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx =5的解为 A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=【考点】抛物线与x 轴的交点．.【分析】根据对称轴方程﹣=2，得b=﹣4，解x 2﹣4x=5即可． 【解答】解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线， ∴﹣=2， 解得：b=﹣4， 解方程x 2﹣4x=5， 解得x 1=﹣1，x 2=5， 故选：D ．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．9．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A =30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（第9题）DC BAO（第10题）l 西南东C45°22.5°A ．433π- B ．4233π- C ．3π- D ．233π- 【考点】扇形面积的计算；切线的性质．.【分析】过O 点作OE ⊥CD 于E ，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE ，CD 的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD 的面积﹣三角形OCD 的面积，列式计算即可求解． 【解答】解：过O 点作OE ⊥CD 于E ， ∵AB 为⊙O 的切线， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=30°， ∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°， ∵⊙O 的半径为2， ∴OE=1，CE=DE=，∴CD=2，∴图中阴影部分的面积为：﹣×2×1=π﹣．故选：A ．10．如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB =2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为 A ．4kmB ．(22kmC ．22D ．(42km【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．.【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案．【解答】解：在CD上取一点E，使BD=DE，可得：∠EBD=45°，AD=DC，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE=∠CBE=22.5°，∴BE=EC，∵AB=2，∴EC=BE=2，∴BD=ED=，∴DC=2+．故选：B．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出BE=EC=2是解题关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．．11．计算：2a a = ▲．【考点】同底数幂的乘法．.【专题】计算题．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n计算即可．【解答】解：a•a2=a1+2=a3．故答案为：a3．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．12．如图，直线a∥b，∠1=125°，则∠2的度数为▲°．【考点】平行线的性质．.【分析】先根据对顶角相等，∠1=65°，求出∠3的度数，再由两直线平行，同旁内角互补得出∠2的度数． 【解答】解：解：∵∠1=125°， ∴∠3=∠1=125°， ∵a ∥b ，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣125°=55°． 故答案为：55°．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟记定理是解题的关键． 13．某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 ▲ 名． 【考点】扇形统计图．.【分析】设被调查的总人数是x 人，根据最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，即可列方程求解．【解答】解：设被调查的总人数是x 人，则40%x ﹣30%x=6， 解得：x=60． 故答案是：60．【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必cba21（第12题） （第13题）20%10%30%40%其他乒乓球篮球羽毛球要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 14．因式分解：224a b -= ▲ ． 【考点】因式分解-运用公式法．.【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）． 【解答】解：a 2﹣4b 2=（a+2b ）（a ﹣2b ）．【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键． 15．如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ▲ ．【考点】概率公式．.【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵共8个数，大于6的有2个， ∴P （大于6）==， 故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=． 16．若23a b -=，则924a b -+的值为 ▲ ． 【考点】代数式求值．. 【专题】计算题．【分析】原式后两项提取﹣2变形后，把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a ﹣2b=3， ∴原式=9﹣2（a ﹣2b ）=9﹣6=3， 故答案为：3．（第15题）87654321【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE =CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE ．若AC =18，BC =12，则△CEG 的周长为 ▲ ．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质．.【分析】先根据点A 、D 关于点F 对称可知点F 是AD 的中点，再由CD ⊥AB ，FG ∥CD 可知FG 是△ACD 的中位线，故可得出CG 的长，再根据点E 是AB 的中点可知GE 是△ABC 的中位线，故可得出GE 的长，由此可得出结论． 【解答】解：∵点A 、D 关于点F 对称， ∴点F 是AD 的中点． ∵CD ⊥AB ，FG ∥CD ，∴FG 是△ACD 的中位线，AC=18，BC=12， ∴CG=AC=9． ∵点E 是AB 的中点， ∴GE 是△ABC 的中位线， ∵CE=CB=12， ∴GE=BC=6，∴△CEG 的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27． 故答案为：27．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．18．如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线（第17题）GF E D CBA F EDC B A （第18题）于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()224x y +-的值为 ▲ ．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质．.【分析】根据矩形的性质得到CD=AB=x ，BC=AD=y ，然后利用直角△BDE 的斜边上的中线等于斜边的一半得到：BF=DF=EF=4，则在直角△DCF 中，利用勾股定理求得x 2+（y ﹣4）2=DF 2．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=x ，AD=y ， ∴CD=AB=x ，BC=AD=y ，∠BCD=90°． 又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF=4， ∴BF=DF=EF=4． ∴CF=4﹣BC=4﹣y ．∴在直角△DCF 中，DC 2+CF 2=DF 2，即x 2+（4﹣y ）2=42=16， ∴x 2+（y ﹣4）2=x 2+（4﹣y ）2=16． 故答案是：16．【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线以及矩形的性质．根据“直角△BDE 的斜边上的中线等于斜边的一半”求得BF 的长度是解题的突破口．三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上．．．．．．．．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔． 19．（本题满分5分）(052--．【考点】实数的运算；零指数幂．. 【专题】计算题．【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=3+5﹣1=7．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（本题满分5分）解不等式组：()12,31 5.x x x +≥⎧⎪⎨-+⎪⎩＞【考点】解一元一次不等式组．.【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解：，由①得，x≥1， 由②得，x ＞4，所以，不等式组的解集为x ＞4．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．21．（本题满分6分）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中31x =-． 【考点】分式的化简求值．.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=，当x=﹣1时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．（本题满分6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？【考点】分式方程的应用．.【分析】可设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，根据等量关系：甲做60面彩旗所用的时间=乙做5060面彩旗所用的时间．由此可得出方程求解．【解答】解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，依题意有=，解得：x=25．经检验：x=25是原方程的解．x+5=25+5=30．故甲每小时做30面彩旗，乙每小时做x25面彩旗．【点评】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是正确确定题目中的相等关系，根据相等关系确定所设的未知数，列方程．23．（本题满分8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是▲；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．.【专题】计算题．【分析】（1）根据4个小球中红球的个数，即可确定出从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到红球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）4个小球中有2个红球，则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；故答案为：； （2）列表如下：红 红 白 黑 红 ﹣﹣﹣ （红，红） （白，红） （黑，红） 红 （红，红） ﹣﹣﹣ （白，红） （黑，红） 白 （红，白） （红，白） ﹣﹣﹣ （黑，白） 黑（红，黑）（红，黑）（白，黑）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能， 则P （两次摸到红球）==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ．分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BC =6，∠BAC ＝50︒，求DE 、DF 的长度之和（结果保留π）．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算．. 【分析】（1）根据题意得出BD=CD=BC ，由SSS 证明△ABD ≌△ACD ，得出∠BAD=∠CAD 即可；（第24题）FEDCBA（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根据弧长公式求出、的长度，即可得出结果．【解答】（1）证明：根据题意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC为等边三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的长度=的长度==；∴、的长度之和为+=．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算；熟练掌握全等三角形和等边三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．25．（本题满分8分）如图，已知函数kyx（x＞0）的图像经过点A、B，点B 的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．（1）若AC=32OD，求a、b的值；（2）若BC ∥AE ，求BC 的长．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．.【分析】（1）首先利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k 的值，再得出A 、D 点坐标，进而求出a ，b 的值；（2）设A 点的坐标为：（m ，），则C 点的坐标为：（m ，0），得出tan ∠ADF==，tan ∠AEC==，进而求出m 的值，即可得出答案．【解答】解；（1）∵点B （2，2）在函数y=（x ＞0）的图象上， ∴k=4，则y=，∵BD ⊥y 轴，∴D 点的坐标为：（0，2），OD=2， ∵AC ⊥x 轴，AC=OD ，∴AC=3，即A 点的纵坐标为：3， ∵点A 在y=的图象上，∴A 点的坐标为：（，3）， ∵一次函数y=ax+b 的图象经过点A 、D ， ∴，解得：；y xF OE D CBA（第25题）（2）设A 点的坐标为：（m ，），则C 点的坐标为：（m ，0）， ∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ， ∴四边形BCED 为平行四边形， ∴CE=BD=2，∵BD ∥CE ，∴∠ADF=∠AEC ， ∴在Rt △AFD 中，tan ∠ADF==，在Rt △ACE 中，tan ∠AEC==，∴=，解得：m=1，∴C 点的坐标为：（1，0），则BC=．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及锐角三角函数关系等知识，得出A ，D 点坐标是解题关键．26．（本题满分10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D三点，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED ． （1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD =2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．EBCDAO（第26题）【考点】相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-配方法；圆周角定理．. 【分析】（1）由AD是△ABC的角平分线，得到∠BAD=∠DAC，由于∠E=∠BAD，等量代换得到∠E=∠DAC，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE∥AD，得到∠EBD=∠ADC，由于∠E=∠DAC，得到△EBD∽△ADC，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC，∵∠E=∠BAD，∴∠E=∠DAC，∵BE∥AD，∴∠E=∠EDA，∴∠EDA=∠DAC，∴ED∥AC；（2）解：∵BE∥AD，∴∠EBD=∠ADC，∵∠E=∠DAC，∴△△EBD∽△ADC，且相似比k=，∴=k2=4，即s1=4s2，∵﹣16S2+4=0，∴16﹣16S2+4=0，即=0，∴S2=，∵====3，∴S=．△ABC【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，记住相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．27．（本题满分10分）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接PA 、PC ，PA =PC ． （1）∠ABC 的度数为 ▲ °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．.【分析】（1）首先求出B 点坐标，进而得出OB=OC=m ，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；（2）作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，利用勾股定理AE 2+PE 2=CD 2+PD 2，得出P 点坐标即可；（3）根据题意得出△QBC 是等腰直角三角形，可得满足条件的点Q 的坐标为：（﹣m ，0）或（0，m ），进而分别分析求出符合题意的答案． 【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣m ，C 点坐标为：（0，﹣m ）， 令y=0，则x 2+（1﹣m ）x ﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m，∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：（m，0），∴OB=OC=m，∵∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC=45°；故答案为：45°；（2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为：x=，设点P坐标为：（，n），∵PA=PC，∴PA2=PC2，即AE2+PE2=CD2+PD2，∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，解得：n=，∴P点的坐标为：（，）；（3）存在点Q满足题意，∵P点的坐标为：（，），∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2=1+m2，∵AC2=1+m2，∴PA2+PC2=AC2，∴∠APC=90°，∴△PAC是等腰直角三角形，∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形，∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，若PQ与x轴垂直，则=﹣m，解得：m=，PQ=，若PQ与x轴不垂直，则PQ2=PE2+EQ2=（）2+（+m）2=m2﹣2m+=（m﹣）2+∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，∵＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则=m，解得：m=，PQ=，若PQ与y轴不垂直，则PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2=m2﹣2m+=（m﹣）2+，∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，∵＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解题关键．28．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AD=a cm，AB=b cm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了▲cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；（3）如图②，已知a =20，b =10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．【考点】圆的综合题．.【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据圆O 移动的距离与P 点移动的距离相等，P 点移动的速度相等，可得方程组，根据解方程组，可得a 、b 的值，根据速度与时间的关系，可得答案； （3）根据相同时间内速度的比等于路程的比，可得的值，根据相似三角形的性质，可得∠ADB=∠BDP ，根据等腰三角形的判定，可得BP 与DP 的关系，根据勾股定理，可得DP 的长，根据有理数的加法，可得P 点移动的距离；根据相似三角形的性质，可得EO 1的长，分类讨论：当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，当⊙O 在返回途中到达⊙O 1位置时，根据的值，可得答案．【解答】解：（1）如图①，点P 从A→B→C→D ，全程共移动了 a+2bcm （用含a 、b 的代数式表示）；（2）∵圆心O 移动的距离为2（a ﹣4）cm ， 由题意，得a+2b=2（a ﹣4）①，∵点P 移动2秒到达B ，即点P2s 移动了bcm ，点P 继续移动3s 到达BC 的中点， 即点P3秒移动了acm ．∴= ②（第28题）O 1CDO（图②）（图①）O由①②解得，∵点P移动的速度为与⊙O移动速度相同，∴⊙O移动的速度为==4cm（cm/s）．这5秒时间内⊙O移动的距离为5×4=20（cm）；（3）存在这种情况，设点P移动速度为v1cm/s，⊙O2移动的速度为v2cm/s，由题意，得===，如图：设直线OO1与AB教育E点，与CD交于F点，⊙O1与AD相切于G点，若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G=O1H．易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP．∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD∴∠BDP=∠CBD，∴BP=DP．设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20﹣x）cm，在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2+CD2=PD2，即（20﹣x）2+102=x2，解得x=此时点P移动的距离为10+=（cm），∵EF∥AD，。
江苏省苏州市2015年中考数学试卷(解析版)
2015年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共28小题，满分130分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．2的相反数是A．2 B．12C．-2 D．-12【难度】★【考点分析】本题考查相反数的概念，中考第一题的常考题型，难度很小。
【解析】给2 添上一个负号即可，故选C。
2．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为A．3 B．5 C．6 D．7【难度】★【考点分析】考查众数的概念，是中考必考题型，难度很小。
【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数值，5 出现了两次，其它数均只出现一次，故选B。
3．月球的半径约为1 738 000m，1 738 000这个数用科学记数法可表示为A．1.738×106B．1.738×107C．0.1738×107D．17.38×105【难度】★【考点分析】考查科学记数法，是中考必考题型，难度很小。
【解析】科学记数法的表示结果应满足：a⨯10n（1≤ a <10）的要求，C,D 形式不满足，排除，通过数值大小（移小数点位置）可得A 正确，故选A。
4．若()2m=-，则有A．0＜m＜1 B．-1＜m＜0 C．-2＜m＜-1 D．-3＜m＜-2【难度】★☆【考点分析】考察实数运算与估算大小，实数估算大小往年中考较少涉及，但难度并不大。