高二数学下学期知识点总结(理科)

高二数学下学期知识点总结（理科）

选修2-2知识点总结：

第一章 导数及其应用

1. 平均变化率： x

f x f x y x x ?-?+=??)()(00 2. 导数（或瞬时变化率）： x x f x x f x f x ?-?+='→?)

()(lim

)(0000

导函数(导数)： x

x f x x f x f x ?-?+='→?)

()(lim )(0

3. 导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))

处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)． 4. 导数的运算：

(1)几种常见函数的导数：

①(C )′＝0(C 为常数)； ②(x α)′＝1x αα-(x ＞0，Q α∈)； ③(sin x )′＝cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ； ⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)；

⑦x

x 1)(ln =； ⑧1

(log )ln a x x a =(a ＞0，且a ≠1)．

(2)导数的运算法则：

①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )；

③)0)(()

()

()()()(])()([

2

=/'-'='?x v x v x v x u x v x u x v x u . 5. 设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数

()u y f u '='，则复合函数(())

y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?'。注意：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对整体)

(x ?的导数，乘以整体)(x ?对自变量的导数。 6. 函数的单调性：

（1）设函数)(x f y =在某个区间（a ，b ）可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；如果'f 0)(

（2）若已知可导函数)(x f y =

若已知可导函数)(x f y =.

注意：求单调性的步骤：

② 解不等式'()0'()0f x f x ><或；

③ 确定并指出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用“，”隔

开，不能用“

”连结。

7. 极值与最值

对于可导函数()f x ，在x a =处取得极值，则'()0f a =. 最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大和最小值. 若()f x 在开区间(,)a b 有唯一的极值点，则是最值点。 注意：（1）求极值步骤：

① 确定函数)(x f y =的定义域（不可或缺，否则易致错）； ② 解不等式'()=0f x ；

③ 检验'()=0f x 的根的两侧的'()f x 符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，还是非极值点. （2）求最值时，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

（3）恒成立问题 “max ()()f x a f x a ?>”，注意参数a 的取值中“=”能否取到。 8. 定积分：

⑴定积分的定义：

)(lim )(1

i n

i b

a

n f n a

b dx x f ξ∑

?

=∞

→-=（注意整体思想）

⑵定积分的性质：①??=b

a

b

a

dx

x f k dx x kf )()( （k 常数）；

②???±=±b a

b

a b a

dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121；

③???+=b

c

b

a

c

a

dx

x f dx x f dx x f )()()( （其中)b c a <<。（分步累加）

⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：?-==b

a b a a F b F x F dx x f )

()(|)()(

（熟记'?

??? ??+=+11n x x n n （1-≠n ），()'=x x ln 1，()'-=x x cos sin ，()'=x x sin cos ，

'???? ??=a a a x

x ln ，()'=x x e e ） ⑷定积分的应用： ①求曲边梯形的面积：

dx

x g x f S b

a ))()((?-=（两曲线所围面积）；

注意：若是单曲线)(x f y =与x 轴所围面积，位于x 轴下方的需在定积分式子前加“—”

②求变速直线运动的路程：

?=b

a

dt

t v S )(；

③求变力做功：?=b

a

ds

s F W )(。

第二章 推理与证明：

1.分清概念：合情推理与演绎推理 1）合情推理：

根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 2）类比推理：

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 3）演绎推理(俗称三段论)

由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.

2. 综合法 、分析法的步骤规范（比较两个数的大小关系还可用作差法和作商法）

3.反证法 步骤：①提出反设；②推出矛盾 ；③肯定结论 。

4.数学归纳法步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤。 注意：步骤:（1）先证明命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；

（2）假设在n=k 时命题成立，然后证明n=k+1时命题也成立, （最后一定说明当n=k+1时，结论也成立，根据（1）（2）可知对于*n N ∈(或者其他)都成立，必不可少）

第三章 数系的扩充与复数的引入：

1.复数的概念

(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.

(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。

(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 2.复数的运算：设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则

12()()z z a c b d i ±=±+±； 12()()z z ac bd ad bc i ?=-++

i d c ad bc d c bd ac d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z 2

2222221)()())(())((+-+++=+-++=-+-+=++=

3.运算律：

(1) m n m n z z z +?=;(2) ()m n mn z z =;(3)1212()(,)n n n z z z z m n R ?=?∈。 4.复数的几何意义： （1）复平面、实轴、虚轴。

（2）复数bi a z +=),(,Z b a b a =??向量）（点。

高二数学选修2－3知识点

第一章 计数原理

知识点：

1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列

4、排列数：

),,()!

(!

)1()1(N m n n m m n n m n n n A m n ∈≤-=

+--=

5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m

m m n m

n

-=+--== )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--== ；

m n n m n C C -= ；

1

11+++=+m n m n m n C C C 。

7、二项式定理：(

)a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n

+=++++++---011222…… 8、二项式通项公式：展开式的通项公式：，……T C a b r n r n

r n r r

+-==101()（注意二项式系数与系数的区别；）

9、二项式系数的性质：

①与首末两端等距离的二项式系数相等（m

n n

m n C C -=）；

②若n 为偶数，第

12+n 项的二项式系数（2n

n

C ）最大；若n 为奇数，第121+-n 和12

1

++n

项的二项式系数（21-n n

C ，21+n n

C

）最大；

③

;

2;213120210-=???++=???++=+???+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C

(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用代入法（令x=-1或x=1或x=0）。

第二章 随机变量及其分布

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ；② p 1 + p 2 +…+p n = 1．

如果随机变量X 的分布列为： 则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布,并称p=P(X=1)为成功概率。 6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，

则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M

n

N

C C P X k k m C --===，

其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤

7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率 8、条件概率公式：

或)()

()|(A n AB n A B P =

.0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P

9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。即：)()()(B P A P B A P ?=?

10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，

那么在n 次独立重复试验中 )(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数 12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 ++++=n n p x p x p x E 2211)(ξ为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

13、方差:D(ξ)=(x 1-E （ξ）)2·P 1+（x 2-E （ξ）)2·P 2 +......+（x n -E （ξ）)2·P n 叫随机变量ξ的方差。)(ξD 为随机变量的标准差。它反映了随机变量的稳定程度。方差越小随机变量稳定性越好。

14、两点分布和二项分布的期望与方差： 另外：E(a X+b)= a E(X)+b ; D(a X+b)=2a D(X) 15、正态分布：正态分布密度曲线就是（或近似地是）函数

)

,(,21

)(2

22)(+∞-∞∈=

--

x e x f x σμσ

π

的图像，其中解析式中的实数0)μσ

σ>、（是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 则其分布叫正态分布，(,)N μσ记作：，f( x )的图象称为正态曲线。 16、基本性质：

①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．

②曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ时位于最高点.

③当μx 时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．

④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． ⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于1. 17、3σ原则：

6826.0)(=+≤<-σμσμX P

9544.0)22(=+≤<-σμσμX P 9974.0)33(=+≤<-σμσμX P

从上表看到,正态总体在 )2,2(σμσμ+- 以外取值的概率 只有 4.6%,在

)3,3(σμσμ+-以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为

小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

第三章 统计案例

1、回归直线方程a x b y

???+= 其中,

,,,,,,,,??,)()

)((?1

2

1

1

2

2

1

x b y a x x

y y x x

x n x

y

x n y

x b

n

i i

n

i i i

n

i i

n

i i

i

-=---=

--=∑∑∑∑====, 2、回归直线过样本点的中心),(y x 。

3、在含有一个解释变量的线性模型中，相关系数的平方∑∑==---

=n i i

n

i i i

y y

y

y

R 1

2

122)()?(1，2R 越

接近于1，表示拟合效果越好。

4、独立性检验

假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分另为{x 1, x 2}和{y 1, y 2}，其样本频数列联表为： y 1 y 2 总计 x 1 a b a+b x 2 c d

c+d 总计

a+c

b+d

a+b+c+d

若要推断的论述为H 1：“X 与Y 有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出

随机变量2

K 的值，其中K 2

= )

)()()(()(2

d b c a d c b a bc ad n ++++-，其中n=a+b+c+d 为样本容量，

K 2的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大。

K 2≤3.841时，X 与Y 无关； K 2>3.841时，X 与Y 有95%可能性有关；K 2>6.635时X 与Y 有99%可能性有关。