3第三节 矩阵乘积的行列式与秩 太原理工大学数学系

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但是m>n，故有 min(m,n)=n，从而对 阶方阵 来 阶方阵C来 但是 ， ，从而对m阶方阵 说就有
R(C ) ≤ min( m , n) = n < m
由此得到，矩阵C=AB是退化 是退化. 由此得到，矩阵 是退化 证毕. 证毕
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是秩为r的 阶方阵(n>r). 证明：存在秩 证明： 例2 设A是秩为 的n 阶方阵 是秩为 为n-r的n 阶方阵 与C，使 的 阶方阵B与 ， AB=CA=0 . 由于A是秩为 是秩为r 阶方阵. 证 由于 是秩为 的n 阶方阵 因此，对齐次线性方程组 Ax= 0有 n-r 个线性 因此， 有 无关的n维解向量，设为 无关的 维解向量，设为B1,B2, …,Bn-r. 维解向量 阶方阵B=(B1,B2, …,Bn-r,0, …,0)，显然 是 作n阶方阵 阶方阵 ，显然B是 阶方阵. 秩为n 的 阶方阵 秩为 -r的n阶方阵 这使得
现在来分别证明这两个不 现在来分别证明这两个不 分别证明
表示B的行向量 的行向量， 令 B1,B2, …,Bm表示 的行向量 ， C1,C2, …,Cn 表示 AB的行向量 的行向量. 的行向量
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由直接计算可知， 的第j个分量与 由直接计算可知，Ci的第 个分量与
a i 1 B1 + a i 2 B 2 + L + a im B m
秩 ( AB ) ≤ 秩 ( A).
综合即得不等式
秩 ( AB ) ≤ min[ 秩 ( A), 秩 ( B )],
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用数学归纳法， 定理2不难推广到多个因子的 用数学归纳法 ， 定理 不难推广到多个因子的 情形， 情形，即有 如果A=A1A2 …At，那么 推论 如果
秩 ( A) ≤ min 秩 ( A j ).
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AB= 0 .
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其次，因为R(AT)=R(A)=r，故存在秩为 其次，因为 ，故存在秩为n-r 的n 阶方 阵CT ，使 ATCT=0 . 于是又有 CA=0 .
从而有秩为n-r 的n阶方阵 ，C存在，使得 阶方阵B， 存在 存在， 从而有秩为 阶方阵 AB=CA=0 . 证毕. 证毕
第三节 矩阵乘积的行列式与秩
在这一节我们来看一下方矩阵乘积的 在这一节我们来看一下方矩阵乘积的行列式 方矩阵乘积 与秩和它的因子的行列式与秩的关系 的关系. 与秩和它的因子的行列式与秩的关系. 关于乘积的行列式有 定理1 是数域P上的两个 矩阵， 定理1 设A，B是数域 上的两个 ×n矩阵，那么 ， 是数域 上的两个n× 矩阵 (1) AB = A B , 矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式乘积. 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式乘积. 这是第二章第8节中已经证明了的结论. 证明 这是第二章第8节中已经证明了的结论. (p93-定理7) (p93-定理7)
秩 ( AB ) ≤ min[ 秩( A), 秩 ( B )],
矩阵乘积的秩不超过各因子的秩 即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.
(2)
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证明： 为了证明(2)， 证明： 为了证明 ，只需证明 秩 ( AB ) ≤ 秩( A), 同时 秩 ( AB ) ≤ 秩 ( B ), 等式。 等式。
b12 L b1s a12 L a1m b11 a11 设 b a b22 L b2s a22 L a2m 21 , B = 21 A= LLLL L L L L L b a bm2 L bms an2 L anm m1 n1
秩( AB ) ≤ 秩( B ),
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同样令A 表示A的列向量， 同样令 1,A2, …,Am表示 的列向量， D1,D2, …,Ds表 示AB的列向量 的列向量. 由直接计算可知， 由直接计算可知， ( i = 1,2,L, s ). Di = b1i A1 + b2 i A2 + L + bmi Am 这个式子表明，矩阵 的 这个式子表明，矩阵AB的列向量组 D1,D2, …,Ds 可 线性表示. 所以， 的 经A的列向量组 1,A2, …,Am线性表示 所以，AB的 的列向量组A 不能超过A的 秩不能超过 的秩，即有
的第j个分量都等于 的第 个分量都等于 因而
∑a
k =1
m
ik
bkj ,
C i = a i 1 B1 + a i 2 B2 + L + a im Bm ( i = 1,2,L, n),
即矩阵AB的 可经B的 即矩阵 的行向量组 C1,C2, …,Cn可经 的行向量组 B1,B2, …,Bm 线性表示 ， 所以 ， AB的 秩 不能超过 线性表示.， 所以， 的 不能超过B 的秩，即有
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从定理1 从定理1，立即推出 推论2 设A，B是数域 是n×n矩阵，矩阵AB为退 推论 ， 是数域P是 × 矩阵，矩阵 为退 是数域 矩阵 充分必要条件是A， 中至少有一个是退化的 化的充分必要条件是 ，B中至少有一个是退化的. 关于矩阵乘积的秩， 关于矩阵乘积的秩，我们有 定理2 设A是数域P上n×m矩阵，B是数域P上m×s 定理2 A是数域P上n×m矩阵，B是数域P上m× 是数域 矩阵 是数域 矩阵， 矩阵，于是有
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用数学归纳法，定理1 用数学归纳法，定理1不难推广到多个因子的 情形，即有. 情形，即有. 推论1 是数域P上的 上的n× 矩阵 矩阵， 推论1 设A1,A2,…,Am,是数域 上的 ×n矩阵， , 于是行列式
A1 A2 L Am = A1 A2 L Am .
定义6 如果数域 上的 ×n 矩阵 的行列式不为 数域P上的 定义 如果数域 上的n× 矩阵A |≠0， 零，即|A|≠0，就称 为非退化的，否则称 为 |≠0 就称A 非退化的，否则称A 退化的. 退化的 显然，一个n× 矩阵是非退化的充分必要条 矩阵是非退化的 显然，一个 ×n矩阵是非退化的充分必要条 是它的秩等于n. 件是它的秩等于 .
1≤ j ≤ t
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为一m× 矩阵 矩阵， 矩阵. 例1 设A为一 ×n矩阵，B 为n×m矩阵 为一 × 矩阵 证明： 是退化. 证明：当m>n时，方阵 时 方阵C=AB是退化 是退化 因为C是 × 矩阵 证：因为 是m×m矩阵
R(C ) = R( AB ) ≤ min( R( A), R( B )) ≤ min( m , n),