上海交大研究生矩阵理论答案

习题

cosnx sin nx 1 • (1) 因

sinnx cosnx cosx sin x

sin x cosx

cos(n 1)x sin(n

sin(n 1)x cos(n

1)x，故由归纳法知

1)x

A n

cosnx sin nx

sin nx cosnx

(2)直接计算得A4故设n 4k r(r 0,1,2,3)，贝U

A n

4k r k r A A ( 1) A ,即

只需算出A2, A3即

可。

(3 )记J=，则

J n 1

C n a

n

a A n(aE J)n c n aJ n i

i 0 —2 n 2 C n a C；a n

n

a

2 •设A P011(a 1,0),则由

A2

a 1时,

其中B 1 注:

而由a 0

时,

P为任意满秩矩阵，而

,B2 ，

艮

A2E无实

解,

A n E的讨论雷

同。

3•设A为已给矩阵，由条件对任意n阶方阵性方程AX XA=0有n2个线性无关的解,

不可

能。

0 m

知

2

2

Cn

C1a

M 。

C：a n1

n

a

1

1所以所求矩阵为PB i P ,

2

X有AX=XA，即把X看作n个未知数时线

由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩

阵,

通过直接检验即发现 A 为纯量矩阵。a n a n 1 L a i 0

4 •分别对（A B ）和 A 作行（列）初等变换即可。

C

5 •先证A 或B 是初等到阵时有 AB B A ,从而当A 或B 为可逆阵时有 AB B A 。

*

d

考虑到初等变换 A 对B 的n 1阶子行列式的影响及 A A 1即可得前面提到的结果。

0 0，（这里P ，Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可:

求证。

其中ij 为Kronecker 符号。对这里的第I 个方程乘以

nw j 1 n 1 a ij w j 1 n i ，即得 a ij - w j 1 n 1 i 。

n

注：同一方程式的全部本原根之和为

0，且w m 也是本原根

下设

PAQ E r

E r 0

*

E r 0

B B

(1)

r

*

E r 0 0 0

*

*

E r 0 (2) r=n -1 时，

,B

0 0

0 1

0 0

bBL b n

^11^12

L

bl n

E r 0

b

21 b 22

L b

2n

»2心22

L

b 2n

斗

，故

0 0

M

M

b n1b

n2

L b

nn

0 0 L 0

阶子式全为 B

n1

B

M 2

0 B.

nn

0,结论显然;

，但

E r 0 0 0

B

n1

B n2 M

B nn

6 •由 r(A) r(A )及AX 0 (AX) AX 0 , AX 0 与 A AX 0同解，此即所

7 •设其逆为

a ij ，则当I 固定时由可逆阵的定义得

个方程

a 1 a i2

w j 1 1

a i3 w

j1 2

L a in w j 1 n 1

j ,

j 1,2,L n ,

n l

然后全加起来得

2 ,

故dim

U I W 2,dim U dimU dimW dim U I

习题

1

1 •因x 1 x 1 x ，所以V 中零元素为1 , X 的负元素为—，再证结合律、交换律和

X

分配律。

2 •归纳法：设 W 1UW 2UL UW s 1 V ，则下面三者之一必成立：

(1) W 1 UW 2 UL UW s 1 W s ； (2) W 1 UW 2 UL UW s 1 W s 。 (3)

存在 WUW^UL UW s1 W s 及

W s (WUW 2UL UW s 1)。

如果是(1) (2)则归纳成立，如果是(3)则选s 个不同的数,L ,k s ，则必有某 一个 k i W UW 2UL

UW s 。

2

3• U 是满足方程tr(A)=O 解向量空间，其维数为n 1 ,故其补空间为一维的， 可由任一迹

非0的矩阵生成。

4 •易证线性封闭。又设

V 中元素为f a n X n 1 a n 1X n 2 L a 1，则u 是满足方程

a n a n 1 L a 1 0的子空间。故 U 的维数为n-1，其补空间为一维的，故任取一系

数非0且不满足此方程式的元即可生成此补空间。

准形为

(x,y, z,w)

记u=

U 1,U 2,U 3 , W w 1,w 2，把U,W 放在一起成4行5列的矩阵，其 Hermite 标

的基为 W 的基为 3wi w 2, U 的基为

3w 1 W 2 , U 1 ；W 的基为

3w 1 w 2, w 1 ； U W

3w 1 w 2, u 1 , w 1。