2020届中考数学一轮复习新突破(人教通用版)第19课时 等腰三角形
2020版数学新突破中考一轮复习五三河北专用：§5.2 三角形与等腰三角形
定理 推论
三角形三个内角的和等于④ １８０° 直角三角形的两个锐角互余
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
考点二 等腰三角形 １．等腰三角形的概念、性质与判定
概念 有两条边⑤ 相等 的三角形是等腰三角形
等腰 性质
三角形
（１） 等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴． （２） 性质 １：等腰三角形的两底角相等（ 简写成“ 等边对 等角” ） ． （３） 性质 ２：等腰三角形的顶角平分线，底边上的⑥ 中线 、 底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
考点一 三角形的有关概念
１．三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段① 首尾顺次 相接所组成
的图形叫做三角形．
２．三角形的分类
（ １） 按边分
{ { 三边都不相等的三角形
三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
② 等边三角形
（ ２） 按角分
{ { 直角三角形
三角形
锐角三角形
斜三角形
{∠ＥＤＧ ＝ ∠ＦＤＣ，
在△ＥＤＧ 和△ＦＤＣ 中， ∠２ ＝ ∠Ｆ， ＧＥ ＝ ＣＦ，
∴ △ＥＤＧ≌△ＦＤＣ（ ＡＡＳ） ， ∴ ＤＥ ＝ ＤＦ．
3
４．核心素养 以数学抽象、逻辑推理为主． ５．考频赋分 近年来本节内容每年必考，以选择题、填空题的形式考查尺 规作图，等腰三 角 形 的 性 质 及 垂 直 平 分 线 的 性 质， 分 值 为 ２ ～ ３ 分． ６．关联考点 一般与全等三角形、四边形关联．
对应学生用书起始页码 １１０ 页
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2020年中考数学一轮专项复习——等腰三角形与直角三角形(含解析)
2020年中考数学一轮专项复习——等腰三角形与直角三角形基础过关1. (2018滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( ) A. 5B. 6C. 7D. 82. 已知一个等腰三角形的内角是50°，则等腰三角形的底角是( ) A. 50°B. 80°C. 50°或80°D. 50°或65°3. 如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，如果CE ＝8，则ED 的长为( )A. 2B. 3C. 4D. 6第3题图4. (2019张家界)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB的距离等于( )A. 4B. 3C. 2D. 1第4题图5. (2019天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( ) A. (1，1) B. (1，3) C. (3，1)D. (3，3)第5题图6. (2019宁夏)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若∠C ＝40°，则∠GAD 的度数为( )A. 40°B. 45°C. 55°D. 70°第6题图7. (2019衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”，它能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE ＝75°，则∠CDE 的度数是( )A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°第7题图8. (2019湘西州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝57，则BC 的长是( )A. 10B. 8C. 4 3D. 2 69. (2019黄石)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝()A. 125°B. 145°C. 175°D．190°第9题图10. (2019大连)如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，若AB＝2，则AD的长为________．第10题图11. (2019东营)已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是________．12. (2019株洲)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝________．第12题图13. (2019盐城)如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________．14. (人教八上P93第13题改编)如图，△ABC是等边三角形，BD是△ABC的高，延长BC至点E，使CE＝CD.(1)判断△DBE的形状，并说明理由；(2)过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，连接BF，求证：AB垂直平分DF.第14题图能力提升1. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A．2个B．3个C．4个D．5个第1题图2. (2019枣庄)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝________．第2题图3. (2020原创)如图，在Rt△ACB中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝3，点D在线段AB上，点E在线段AB的延长线上，且BE＝AD，则CE＋CD的最小值是________．第3题图满分冲关1.如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为10 cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.(结果保留根号)第1题图2. (2019大庆改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10 cm，AC＝6 cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B、A重合的情况)，运动速度为2 cm/s，过点D作DE∥BC交AC 于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x(s)，AE的长为y(cm)．(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？第2题图参考答案基础过关1. A2. D3. C 【解析】∵DE 垂直平分BC ，∴BE ＝CE ＝8，在Rt △BED 中，∵∠B ＝30°，BE ＝8，∴ED ＝12BE＝4.4. C 【解析】如解图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵DC ＝13AD ，∴DC ＝14AC ，∵AC ＝8，∴DC ＝14×8＝2.∵∠C ＝90°，∴BC ⊥CD ，又∵BD 平分∠ABC ，∴DE ＝DC ＝2.第4题解图5. B 【解析】如解图，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，∵△OAB 为等边三角形，边长为2，∴∠BOA ＝60°，OA ＝OB ＝2.∴OD ＝1，BD ＝OB · sin60°＝2×32＝ 3.∴点B 的坐标为(1，3)．第5题解图6. C 【解析】∵AC ＝CB ，∠C ＝40°，∴∠BAC ＝∠B ＝12(180°－40°)＝70°，∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝12(180°－70°)＝55°，∵GH ∥DE ，∴∠GAD ＝∠ADE ＝55°.7. D 【解析】设∠O ＝x ，∵OC ＝CD ，∴∠CDO ＝∠O ＝x .∴∠ECD ＝2∠O ＝2x .∵CD ＝DE ，∴∠CED ＝∠ECD ＝2x ，∵∠BDE ＝75°，∠BDE ＝∠O ＋∠CED ，∴3x ＝75°，解得x ＝25°.∴∠ECD ＝∠CED ＝50°，∴∠CDE ＝180°－2∠ECD ＝80°.8. D 【解析】∵cos ∠BDC ＝57，∴设DC ＝5x ，BD ＝7x ，又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝DB ＝7x ，又∵AC ＝12，∴5x ＋7x ＝12，解得x ＝1，在Rt △BDC 中，CD ＝5，DB ＝7，BC ＝BD 2－CD 2＝72－52＝2 6.9. C 【解析】如解图，连接DF ，∵CD ⊥AB ，F 为边AC 的中点，∴DF ＝12AC ＝CF ，又∵CD ＝CF ，∴CD ＝DF ＝CF ，∴△CDF 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°，∵∠B ＝50°，∴∠BCD ＋∠BDC ＝130°，∵∠BCD 和∠BDC 的角平分线相交于点E ，∴∠DCE ＋∠CDE ＝65°.∴∠CED ＝115°，∴∠ACD ＋∠CED ＝60°＋115°＝175°.第9题解图10. 23 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∵CD ＝AC ，∴∠CAD ＝∠D ，∵∠ACB ＝∠CAD ＋∠D ＝60°，∴∠CAD ＝∠D ＝30°，∴∠BAD ＝90°，∴AD ＝AB tan 30°＝233＝2 3.11. 6＋43 【解析】∵底角为30°，腰长为23，∴底边的一半为3，∴底为6，则周长为6＋23＋23＝6＋4 3.12. 4 【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线，∴AB ＝2MC ，∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点，∴EF 是△CMB 的中位线．又∵EF ＝1，∴MC ＝2EF ＝2，∴AB ＝2MC ＝4.13. 2 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝x ，∵∠C ＝45°，∴CD ＝AD ＝x ，AC ＝2x ，∴AB ＝2AC ＝2x ，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝（2x ）2－x 2＝3x ，∴BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋x ＝(3＋1)x ＝6＋2＝2(3＋1)，解得x ＝2，∴AC ＝2.第13题解图14. (1)解：△BDE 是等腰三角形，理由如下： ∵△ABC 是等边三角形，BD 是高， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝30°.又∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠CED ＝12∠BCD ＝30°.∴∠DBC ＝∠DEC . ∴DB ＝DE .∴△DBE 是等腰三角形； (2)证明：∵AF ∥BE ， ∴∠AFD ＝∠CED ， ∵BD 是△ABC 的高， ∴AD ＝DC ， ∵∠ADF ＝∠CDE ， 在△AFD 和△CED 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFD ＝∠CED ，∠ADF ＝∠CDE ，AD ＝CD ，∴△AFD ≌△CED (AAS)，∴AF ＝CE ＝CD ＝AD ，DF ＝DE ＝BD ， ∵∠FDB ＝∠DBE ＋∠E ＝60°， ∴△BDF 是等边三角形， ∴BF ＝BD ， 又∵AF ＝AD ， ∴AB 垂直平分DF .能力提升1. D 【解析】①∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；②∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴BD ＝AD ，∴△ABD是等腰三角形；③在△BCD 中，∵∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴BD ＝BC ，∴△BCD 是等腰三角形；④∵BE ＝BC ，∴BD ＝BE ，∴△BDE 是等腰三角形；⑤∵∠BED ＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE ＝∠BED －∠A ＝72°－36°＝36°，∴∠A ＝∠ADE ，∴DE ＝AE ，∴△ADE 是等腰三角形．综上可得，图中的等腰三角形有5个．2. 6－2 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF .在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴BC ＝2 2.∴AF ＝BF ＝CF ＝ 2.∵两个三角尺大小相同，∴AD ＝BC ＝22，在Rt △ADF 中，FD ＝AD 2－AF 2＝（22）2－（2）2＝ 6.∴CD ＝FD －FC ＝6－ 2.第2题解图3. 3＋1 【解析】当点D 为AB 的中点时，CE ＋CD 的值最小．∵∠BCA ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3，∴AB ＝2，BC ＝1，∠DBC ＝60°，当D 为AB 的中点时，CD ＝AD ＝BD ＝1，∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∵BE ＝AD ＝1，∴DE ＝2，∴∠BEC ＝∠BCE ＝12∠DBC ＝30°，∵∠BCD ＋∠DCA ＝90°，∠DCA ＝30°，∴∠BCD＝60°，∴∠ECD ＝∠BCE ＋∠BCD ＝30°＋60°＝90°，在Rt △DCE 中，∵DE ＝BD ＋BE ＝2，∠DEC ＝30°，∴CE ＝3，∴CE ＋CD ＝3＋1.满分冲关1. 14＋162 【解析】如解图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，交EF 于G ，过点D 作DM ⊥AB 于M ，∵三角板ABC 是含45°角的直角三角板，∴△ABC 关于AH 所在直线对称，又∵外框和内框之间的距离均为 2 cm ，∴点D 在AH 上，且DM ＝GH ＝ 2 cm ，∠MAD ＝45°，∴AD ＝2MD ＝2 cm ，∴DG ＝AH －AD －GH ＝22AB －2－2＝(42－2) cm ，∴EF ＝2DG ＝(82－4) cm ，∴S 阴影＝S △ABC －S △DEF ＝12AB ·AC －12EF ·DG ＝12×10×10－12(82－4)·(42－2)＝(14＋162)cm 2.第1题解图2．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝BC 2－AC 2＝8 cm ，根据题意可知AD ＝2x cm ，且点D 运动到点A 需要82＝4 s ， ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC， 即8－2x 8＝y 6， ∴y ＝－32x ＋6(0<x <4)； (2)根据题意得，S ＝12BD ·AE ＝12×2xy ＝xy ＝x (－32x ＋6)＝－32x 2＋6x (0<x <4)， ∵－32<0， ∴当x ＝－62×（－32）＝2时，S 最大＝－32×22＋6×2＝6. 即当x ＝2时，△BDE 的面积有最大值，最大值为6.。
贵州省2020届中考数学大一轮素养突破 教师课件：第19讲 全等三角形
△ABC≌△DCB的是( D )
A．∠A＝∠D
B．AB＝DC
C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
第6题图
7. (2017铜仁22题10分)如图，已知点E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD 所在直线上的两点，连接AE、CF.请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF， 并证明．
第7题图
证明：方法一：添加BE＝DF(或DE＝BF)，证明如下：
已知两角相等
找已知边的对角→ AAS 找夹边→ASA
找任一角的对边→AAS
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【满分技法】证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明
这两条线段或者这两个角所在的三角形全等．当所证的线段或者角不在 判
定
两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形，先
思 路
证全等，再运用全等的性质即可
判定 方法
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【易错警示】（1）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；
（2）在判断两个三角形全等时，三组对应相等的元素中，至少有一组是边相等 找夹角→SAS
已知两边相等 找直角→HL或 SAS
判定思路
已知一边和 一角相等
找另一边→ SSS 边为角的对边→找任一角→AAS
找已知角的另一邻边→SAS 边为角的邻边 找已知边的另一邻角→ASA
第1题图
2. (2016黔西南州4题4分)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED， AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( C ) A. AB＝DE B. AC＝DF C. ∠A＝∠D D. BF＝EC
第2题图
3. (2018三州联考7题4分·源自人教八上P33第3题)下列各图中a、b、c为三角形
【2019-2020年度】中考数学一轮复习第19讲全等三角形专题精练
【2019-2020年度】中考数学一轮复习第19讲全等三角形专题精练一、夯实基础1．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )A．40° B．60° C．80° D．90°2．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( )A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠EC．BC∥EF D．∠A＝∠EDF3．在△ADB和△ADC中，下列条件：①B D＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC.能得出△ADB≌△ADC的序号是__________．4．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE ＝CD.5．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE，AC.(1)求证：△ABE≌△CDA；(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．二、能力提升6．如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16 m，PB＝12 m，那么AB间的距离不可能是( ) A．5 m B．15 mC．20 m D．28 m7．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( )A．2 B．4C．3 D．4 28．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B＝__________.9．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( ) A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA10．下面的命题中，真命题是( )A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等三、课外拓展11．如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．12．如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为__________．13．如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__________(只需写出一个)．四、中考链接14．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC 上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.15．如图，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF.参考答案 一、夯实基础1．A 设∠A＝x ，则∠B＝2x ，∠C＝x ＋20°，则x ＋2x ＋x ＋20°＝180°，解得x ＝40°，即∠A＝40°.2．B 由已知可得两个三角形已有两组边对应相等，还需要另一组边对应相等或夹角对应相等，只有B 能满足条件．3．①②④ 由题意知AD ＝AD ，条件①可组成三边对应相等，条件②可组成两角和其中一角的对边对应相等，条件④可组成两边及其夹角对应相等，这三个条件都可得出△ADB≌△ADC，条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等，不能得出△ADB≌△ADC.4．证明：∵在△ABE 和△ACD 中，∠B＝∠C，AB ＝AC ，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)．∴BE＝CD.5．(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AD∥BC，AB ＝CD ，∴∠ABE ＝∠BAD ，∠BAD ＝∠CDA.∴∠ABE ＝∠CDA.在△ABE 和△CDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝CD ，∠ABE＝∠CDA，BE ＝DA ，∴△ABE ≌△CDA.(2)解：由(1)得∠AEB＝∠CAD，AE ＝AC ，∴∠AEB＝∠ACE.∵∠DAC ＝40°，∴∠AEB ＝∠ACE ＝40°.∴∠EAC ＝180°－40°－40°＝100°.二、能力提升6．D 由三角形三边关系知16－12＜AB ＜16＋12，故选D.7．B 因为由已知可证明△BDF≌△ADC，所以DF ＝CD.8．70°9. B10.D三、课外拓展11．α＝β＋γ12．60° ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠CDE＋∠CED＋∠C＝180°， ∴∠A ＋∠B ＝∠CDE ＋∠CED.∴∠A ＋∠B ＋∠CDE ＋∠CED ＝2(∠A ＋∠B)＝280°.∵∠1＋∠2＋∠CDE ＋∠CED ＋∠A ＋∠B ＝360°，∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°. 又∵∠1＝20°，∴∠2＝60°.13．不是 ∠B＝∠E(答案不唯一)四、中考链接14．证明：∵FE⊥AC 于点E ，∠ACB＝90°，∴∠FEC ＝∠ACB ＝90°.∴∠F ＋∠ECF ＝90°.又∵CD⊥AB 于点D ，∴∠A ＋∠ECF ＝90°.∴∠A ＝∠F.在△ABC 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠A＝∠F，∠ACB＝∠FEC，BC ＝CE ，∴△ABC ≌△FCE.∴AB ＝FC.15．证明：∵AD＝EB ，∴AD －BD ＝EB －BD ，即AB ＝ED.又∵BC∥DF，∴∠CBD＝∠FDB.∴∠ABC＝∠EDF.又∵∠C＝∠F，∴△ABC≌△EDF.∴AC＝EF.。
2020届中考数学一轮复习第19讲全等三角形专题精练
第19讲：全等三角形一、夯实基础1．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )A．40° B．60° C．80° D．90°2．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( )A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠EC．BC∥EF D．∠A＝∠EDF3．在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC.能得出△ADB≌△ADC的序号是__________．4．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD.5．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE，AC.(1)求证：△ABE≌△CDA；(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．二、能力提升6．如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16 m，PB ＝12 m，那么AB间的距离不可能是( )A．5 m B．15 mC．20 m D．28 m7．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( ) A．2 2 B．4C．3 2 D．4 28．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B＝__________.9．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA10．下面的命题中，真命题是( )A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等三、课外拓展11．如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．12．如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为__________．13．如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__________(只需写出一个)．四、中考链接14．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.15．如图，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF.参考答案 一、夯实基础1．A 设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝x ＋20°，则x ＋2x ＋x ＋20°＝180°，解得x ＝40°，即∠A ＝40°.2．B 由已知可得两个三角形已有两组边对应相等，还需要另一组边对应相等或夹角对应相等，只有B 能满足条件．3．①②④ 由题意知AD ＝AD ，条件①可组成三边对应相等，条件②可组成两角和其中一角的对边对应相等，条件④可组成两边及其夹角对应相等，这三个条件都可得出△ADB ≌△ADC ，条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等，不能得出△ADB ≌△ADC.4．证明：∵在△ABE 和△ACD 中，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，∴△ABE ≌△ACD(ASA)．∴BE ＝CD.5．(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠ABE ＝∠BAD ，∠BAD ＝∠CDA.∴∠ABE ＝∠C DA.在△ABE 和△CDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDA ，BE ＝DA ，∴△ABE ≌△CDA.(2)解：由(1)得∠AEB ＝∠CAD ，AE ＝AC ，∴∠AEB ＝∠ACE.∵∠DAC ＝40°，∴∠AEB ＝∠ACE ＝40°.∴∠EAC ＝180°－40°－40°＝100°.二、能力提升6．D 由三角形三边关系知16－12＜AB ＜16＋12，故选D.7．B 因为由已知可证明△BDF ≌△ADC ，所以DF ＝CD.8．70°9. B10.D三、课外拓展11．α＝β＋γ12．60° ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠CDE ＋∠CED ＋∠C ＝180°，∴∠A ＋∠B ＝∠CDE ＋∠CED.∴∠A ＋∠B ＋∠CDE ＋∠CED ＝2(∠A ＋∠B)＝280°.∵∠1＋∠2＋∠CDE ＋∠CED ＋∠A ＋∠B ＝360°，∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°.又∵∠1＝20°，∴∠2＝60°.13．不是 ∠B ＝∠E(答案不唯一)四、中考链接14．证明：∵FE ⊥AC 于点E ，∠ACB ＝90°，∴∠FEC ＝∠ACB ＝90°.∴∠F ＋∠ECF ＝90°.又∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠A ＋∠ECF ＝90°.∴∠A ＝∠F.在△ABC 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠A ＝∠F ，∠ACB ＝∠FEC ，BC ＝CE ，∴△ABC ≌△FCE.∴AB ＝FC.15．证明：∵AD ＝EB ，∴AD －BD ＝EB －BD ，即AB ＝ED.又∵BC ∥DF ，∴∠CBD ＝∠FDB.∴∠ABC ＝∠EDF.又∵∠C ＝∠F ，∴△ABC ≌△EDF.∴AC ＝EF.。
2020中考数学一轮新优化复习 第一部分 第四章 三角形 第19讲 全等三角形真题精选
第一部分 第四章 第19讲命题点1 全等三角形的性质(2016年贺州考)1．(2016·贺州16题3分)如图，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE ，交BD 于点O ，则∠AOB 的度数为__120°__.命题点2 全等三角形的判定(2018年3考，2017年9考，2016年3考)2．(2018·柳州20题6分)如图，AE 和BD 相交于点C ，∠A ＝∠E ，AC ＝EC .求证：△ABC ≌△EDC .证明：∵在△ABC 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠A ＝∠E ，AC ＝EC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC (A S A )．3．(2018·梧州21题6分)如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的一条直线分别交AD ，BC 于点E ，F .求证：AE ＝CF .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ，AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO .在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF (A S A )，∴AE ＝CF .4．(2018·桂林21题8分)如图，点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AD ＝CF ，AB ＝DE ，BC ＝EF .(1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)若∠A ＝55°，∠B ＝88°，求∠F 的度数．第4题图证明：(1)∵AD ＝CF ，∴AD ＋DC ＝CF ＋DC ，即AC ＝DF .在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF (SSS)．(2)由(1)可知，∠F ＝∠ACB ，∵∠A ＝55°，∠B ＝88°， ∴∠ACB ＝180°－(∠A ＋∠B )＝180°－(55°＋88°)＝37°，∴∠F ＝∠ACB ＝37°.5．(2016·梧州22题8分)如图，过⊙O 上的两点A ，B 分别作切线，并交BO ，AO 的延长线于点C ，D ，连接CD 交⊙O 于点E ，F ，过圆心O 作OM ⊥CD ，垂足为点M .求证：(1)△ACO ≌△BDO ；(2)CE ＝DF .证明：(1)∵过⊙O 上的两点A ，B 分别作切线，∴∠CAO ＝∠DBO ＝90°.在△ACO 和△BDO 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠CAO ＝∠DBO ，AO ＝BO ，∠AOC ＝∠BOD ，∴△ACO ≌△BDO (A S A )．(2)∵△ACO ≌△BDO ，∴CO ＝DO .∵OM ⊥CD ，∴MC ＝DM ，EM ＝MF ，∴CE ＝DF .6．(2016·来宾23题8分)如图，在正方形ABCD 中，点E (与点B ，C 不重合)是BC 边上一点，将线段EA 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，过点F 作BC 的垂线交BC 的延长线于点G ，连接CF .(1)求证：△ABE ≌△EGF ；(2)若AB ＝2，S △ABE ＝2S △ECF ，求BE .(1)证明：∵EF ⊥AE ，∴∠AEB ＋∠GEF ＝90°.又∵∠AEB ＋∠BAE ＝90°，∴∠GEF ＝∠BAE .∵FG ⊥BC ，∴∠ABE ＝∠EGF ＝90°.在△ABE 与△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠ABE ＝∠EGF ，∠BAE ＝∠GEF ，AE ＝EF ，∴△ABE ≌△EGF (AA S)．(2)解：∵△ABE ≌△EGF ，∴BE ＝GF .∵S △ABE ＝2S △ECF ，S △ABE ＝12AB ·BE ＝12×2BE ＝BE ，S △ECF ＝12EC ·GF ＝12EC ·BE ， ∴BE ＝2×12EC ·BE ， ∴EC ＝1，∴BE ＝BC －EC ＝AB －EC ＝2－1＝1.。
(柳州专版)2020版中考数学夺分复习第一篇考点过关第四单元三角形课时19等腰三角形课件
知 识
腰三角形的顶角可能为 ( D )
时,此时等腰三角形的顶角为50°;
巩 固
A.50°
B.65°
当50°角为等腰三角形的底角时,此
C.80°
高 频
D.50°或80°
时等腰三角形的顶角为180°50°×2=80°.
考
向
综上,等腰三角形的顶角为50°或80°.
探
究
考 题 回 归 教 材
基 础
9.[2019·齐齐哈尔]等腰三角形 ABC 中,BD⊥AC,垂足为点 D,且 BD=12AC,则等腰三
34° .
0°,∠C=36°,
高
频
∴∠BAC=180°-∠B-
考
向
∠C=104°,∴∠DAC=∠BAC-
探 究
∠BAD=34°.故答案为34°.
考
题 回
图19-4
归
教
材
基 础
6.等腰三角形ABC的底角为72°,腰AB的垂 [解析]如图,∵等腰三角形ABC的底
知 识
直平分线交另一腰AC于点E,垂足为D,连 角为72°,
频
的距离⑨ 相等 .
考
向
逆定理:到一条线段两个端点的⑩ 距离相等 的点,在这条线段的垂直平分线
探
究
上.
考 题 回 归 教 材
基 础
对点演练
知
识
题组一 必会题
巩
固
1.如图19-1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点.下列结论不正确的是 ( D )
高
A.∠B=∠C
频 考
C.AD平分∠BAC
向
探
究
高
在 Rt△ CFE 中,∵∠DCE=60°,
2020年中考数学一轮专题复习课时练-第19课时相似图形的判定及性质专题训练
2020年中考数学一轮专题复习课时练第四单元三角形第19课时相似图形的判定及性质点对点·课时内考点巩固25分钟1.(2019青海)如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为()A. 3.6B. 4.8C. 5D. 5.2第1题图2.(2019常州)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为()A. 2∶1B. 1∶2C. 4∶1D. 1∶4第3题图3.(2019重庆A卷)如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是()A. 2B. 3C. 4D. 54.(北师九上P91例2题改编)如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长为()A. 1B. 2C. 3D. 4第4题图5.(2019淄博)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为()A. 2aB. 52a C. 3a D.72a第5题图6.(2019杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则()第6题图A. ADAN＝ANAEB. BDMN＝MNCEC. DNBM＝NEMCD. DNMC＝NEBM7.(2019安徽)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD 上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF＝EG，则CD的长为()A. 3.6B. 4C. 4.8D. 5第7题图8.(2019凉山州)如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC ＝1∶2，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE ∶EC ＝( )A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 2∶3第8题图9.(2019郴州)若x ＋y x ＝32，则yx＝________． 10. 如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：__________，可以使得△DFB 与△ADE 相似．(只需写出一个)第10题图11. (北师九上P 90第3题改编)如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，且AB ＝5，BC ＝3，则CDAD的值为________．第11题图12.(2019永州)如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G，设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1∶S2＝________．第12题图点对线·板块内考点衔接2分钟1.(2019玉林)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有()A. 3对B. 5对C. 6对D. 8第1题图参考答案第19课时相似图形的判定及性质点对点·课时内考点巩固1. B 【解析】∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，∴EF ＝BC ·DEAB ＝3.6，∴DF ＝DE ＋EF ＝4.8.2. B 【解析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得，△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为1∶2.3. C 【解析】∵△ABO ∽△CDO ，∴AB CD ＝BO DO ，即AB 2＝63，解得AB ＝4.4. C 【解析】∵∠ADE ＝∠ACB ，∠DAE ＝∠CAB ，∴△ADE ∽△ACB .∴AD AC ＝AE AB ，即24＝AE6，解得AE ＝3.5. C 【解析】∵∠CAD ＝∠B ，∠C ＝∠C ，∴△ADC ∽△BAC ，∴S △ADC S △BAC ＝(AC BC )2＝(24)2＝14.∵S △ADC ＝a ，∴S △BAC ＝4a . ∴S △BAD ＝S △BAC －S △ADC ＝4a －a ＝3a .6. C 【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，△ADE ∽△ABC .∵△ADN ∽△ABM ，∴DN BM ＝AN AM . ∵△ANE ∽△AMC ，∴AN AM ＝NE MC . ∴DN BM ＝NEMC.∴C 正确． 7. B 【解析】如解图，过点D 作DH ∥EG 交AB 于点H ，∵∠ACB ＝90°，EF ⊥AC ∴EF ∥DC ，DH ∥EG ，∴EF CD ＝AE AD ＝EG DH .∵EF ＝EG ，∴CD ＝DH .∵DH ∥EG ∥AC ，∴BD BC ＝DHCA .设CD ＝DH ＝x ，则有12－x 12＝x 6，解得x ＝4，∴CD ＝4.第7题解图8. B 【解析】如解图，过点D 作DF ∥AE ，交BC 于点F ，则BE EF ＝BO OD ＝1，EF FC ＝AD CD ＝12，∴BE ∶EF ∶FC＝1∶1∶2.∴BE ∶EC ＝1∶3.第8题解图9.12 【解析】∵x ＋y x ＝32，∴2(x ＋y )＝3x .∴x ＝2y .∴y x ＝y 2y ＝12. 10. D F ∥AC (答案不唯一) 【解析】∵AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，∴AD AC ＝AEAB .∵∠A 为公共角，∴△ADE 与△ACB .原问题可转化为，使△DFB 与△ACB 相似的条件，则DF ∥AC 即可．11.34 【解析】∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴AC ＝AB 2－BC 2＝52－32＝4，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝ ∠ACB ＝90°，∵∠CAD ＝∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ，∴CD AD ＝BC AC ＝34.12. 1∶8 【解析】如解图，连接DE ，∵点F 是△ABC 的重心，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE CB ＝12，DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴EF BF ＝DE BC ＝12，∴EF BE ＝13.∵FG ∥BC ，∴△EFG ∽△EBC ，∴S △EFG S △EBC ＝(EF BE )2＝19，∴S △EFG S 四边形FBCG ＝18.第12题解图点对线·板块内考点衔接1. C 【解析】∵AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD ，四边形ABFE 和四边形DCFE 都是平行四边形，∴图中的相似三角形有：△AEG ∽△ADC ，△AEG ∽△CFG ，△AEG ∽△CBA ，△CGF ∽△CAB ，△CGF ∽△ACD ，△ADC ≌△CBA (相似比为1)，故有6对．。
2020年中考数学考点突破19锐角三角形和解直角三角形训练
锐角三角函数和解直角三角形一．选择题1．（2019•济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续向北走105m 后到达游船码头B ，测得历下亭C 在游船码头B 的北偏东53°方向．请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为（ ）（参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43）A ．225mB ．275mC ．300mD ．315m【解答】解：如图，作CE ⊥BA 于E ．设EC ＝xm ，BE ＝ym ．在Rt △ECB 中，tan53°=EE EE ，即43=EE，在Rt △AEC 中，tan37°=EE EE ，即34=E105+E ， 解得x ＝180，y ＝135，∴AC =√EE 2+EE 2=√1802+2402=300（m ），故选：C．2．（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC=12AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．14B．√24C．√22D．13【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴EEEE =EEEE，∵BC=12AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB=√2BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC=EEEE =2EE=√22；故选：C．3．（2019•日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15√3）米C．15√3米D．（36﹣10√3）米【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10√3（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10√3）（米）．∴甲楼高为（36﹣10√3）米．故选：D．4．（2019•长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A ．3sinα米B ．3cosα米C ．3EEEE 米D ．3EEEE 米【解答】解：由题意可得：sinα=EEEE =EE3， 故BC ＝3sinα（m ）． 故选：A ．5．（2019•湘西州）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC =57，则BC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．4√3D ．2√6【解答】解：∵∠C ＝90°，cos ∠BDC =57， 设CD ＝5x ，BD ＝7x ， ∴BC ＝2√6x ，∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ， ∴AD ＝BD ＝7x ， ∴AC ＝12x ，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2√6；故选：D．6．（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．43B．34C．35D．45【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC=√EE2+EE2=√32+42=5．∴sin∠BAC=EEEE =45．故选：D．7．（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°=EE，EE∴OF＝x tan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°=EE，EE∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．8．如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若tan ∠BAC =25，则此斜坡的水平距离AC 为（ ）A ．75mB ．50mC ．30mD ．12m【解答】解：∵∠BCA ＝90°，tan ∠BAC =25，BC ＝30m ，∴tan ∠BAC =25=EE EE =30EE ， 解得，AC ＝75， 故选：A ．9．（2019•益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为（ ）A ．a sinα+a sinβB ．a cosα+a cosβC ．a tanα+a tanβD ．E EEEE +EEEEE【解答】解：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα=EEEE ，tanβ=EEEE ， ∴BC ＝a tanα，BD ＝a tanβ， ∴CD ＝BC +BD ＝a tanα+a tanβ；故选：C．10．（2019•河北）如图，从点C观测点D的仰角是（）A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，故选：B.11．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，BD的最小值是（）则CD+√55A．2√5B．4√5C．5√3D．10【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A=EEEE=2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2√5或﹣2√5（舍弃），∴BE＝2a＝4√5，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4√5（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH=EEEE =EEEE=√55，∴DH=√55BD，∴CD+√55BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+√55BD≥4√5，∴CD+√55BD的最小值为4√5．方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得√55BD＝DM，从而得到CD+√55BD＝CM＝4√5．故选：B．12．（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18√3m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（）A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m【解答】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30°，∴∠ADE＝30°，∵BC＝DE＝18√3m，∴AE＝DE•tan30°＝18m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，故选：C．二．填空题13．（2019•阜新）如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为nmile．（结果保留根号）【解答】解：根据题意，得：∠PAB＝60°，∠PBA＝30，AB＝2.5×40＝100（nmile），∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣60°﹣30°＝90°．=50√3（nmile）．在Rt△PAB中，PB＝AB•sin∠PAB＝100×√32故答案为：50√3．14．（2019•葫芦岛）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为米．（√3≈1.73，结果精确到0.1米）【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°，∴∠DPB＝45°，∵AB＝80，∴BD＝40，AD＝40√3，∴PD＝DB＝40，∴AP＝AD+PD＝40√3+40，∵a∥b，∴∠EPA＝∠PAB＝30°，∴AE=12AP＝20√3+20≈54.6，故答案为：54.615.（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝．【解答】解：①如图1中，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，设AB＝EC＝2a，则AE＝EB＝a，AC=√3a，∴tan∠ABC=EEEE =√32．②如图2中，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BE 是△ABC 的中线，设EB ＝AC ＝2a ，则AE ＝EC ＝a ，AB =√3a ， ∴tan ∠ABC =EEEE =2√33．， 故答案为：√32或2√33． 16．（2019•雅安）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，则sin A ＝ ． 【解答】解：在Rt △ABC 中，sin A =EEEE =45， 故答案为：45．17．（2019•辽阳）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A 处，如图所示，直线l 表示公路，一辆小汽车由公路上的B 处向C 处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B 在点A 北偏东45°方向上，点C 在点A 北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车 （填“超速”或“没有超速”）（参考数据：√3≈1.732）【解答】解：作AD ⊥直线l 于D ， 在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°， ∴BD ＝AD ＝100，在Rt △ADB 中，tan ∠ACD =EEEE ， 则CD =EEEEE∠EEE =100√3≈173.2，∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），=52.704（千米/小时），小汽车的速度为：0.0732÷53600∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，∴小汽车没有超速，故答案为：没有超速．18．（2019•大连）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．，【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC=EEEE则BC＝CD•tan∠BDC＝10，，在Rt△ACD中，tan∠ADC=EEEE则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），故答案为：3．19．（2019•徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【解答】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC＝AD＝62，在Rt△AEC中，tan∠EAC=EEEE，则AE=EEEEE∠EEE ≈620.31=200，在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，∴BE＝AE＝200，∴BC＝200+62＝262（m），则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．三、、解答题20．（2019•恩施州）如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，精确到0.1m．）【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，∴EF＝CD，CF＝DE＝10，设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF=EE，EE=√3，∴EE−16∴x＝24+8√3≈37.8m答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．21．（2019•盘锦）如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度．（精确到0.1m．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）【解答】解：设CB部分的高度为xm．∵∠BDC＝∠BCD＝45°，∴BC＝BD＝xm．在Rt△BCD中，CD=EEEEE45°=EEEE45=√2x（m）．在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，∴CE＝2BC＝2x（m）．∵CE＝CF＝CD+DF，∴2x=√2x+2，解得：x＝2+√2．∴BC＝2+√2≈3.4（m）．答：CB部分的高度约为3.4m．22．（2019•营口）如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B 市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：√3≈1.73）【解答】解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，=1，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH=EEEE∴CH＝BH．设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH=EEEE =√33，∴AH=√3tkm．∵AB＝150km，∴√3t+t＝150，∴t＝75√3−75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．23．（2019•鞍山）如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile 的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB=EEEE，∴AE=EEEE45°=x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE=EEEE，∴BE=EEEE60°=√33x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x−√33x＝6，解得：x＝9+3√3，∴CF＝DE＝（9+3√3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF=EEEE，∴BC=EEEEE45°=√3√22=9√2+3√6≈20（nmile）．答：此时快艇与岛屿C的距离约为20nmile．24．（2019•朝阳）小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：√3≈1.732）度i＝3：4，即tanθ=34【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，，∵tanθ=34∴CP＝4x，由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝5，则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，设MF＝ym，则ME＝（y+15）m，在Rt△MDF中，tan∠MDF=EEEE，则DF=√33=√3y，在Rt△MPE中，tan∠MPE=EEEE，则PE=EEEEE∠EEE =√33（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴√3y−√33（y+15）＝20，解得，y＝7.5+10√3，∴ME＝MF+FE＝7.5+10√3+15≈39.8，答：古塔的高度ME约为39.8m．25．（2019•抚顺）如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN=EE，EE则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．26．（2019•铁岭）如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53≈1.3，√3≈1.7）【解答】解：（1）作AM⊥CD于M，则四边形ABCM为矩形，∴CM＝AB＝16，AM＝BC，在Rt△ACM中，tan∠CAM=EEEE，则AM=EEEEE∠EEE =16EEE30°=16√3（m），答：AB与CD之间的距离16√3m；（2）在Rt△AMD中，tan∠DAM=EE，EE则DM＝AM•tan∠DAM≈16×1.7×1.3＝35.36，∴DC＝DM+CM＝35.36+16≈51（m），答：建筑物CD的高度约为51m．27．（2019•株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα=13垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度．【解答】解：（1）由题意得，∠ABC＝∠α，在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα=1，3∴BC=EEEEE∠EEE =1.613=4.8m，答：BC的长度为4.8m；（2）过D作DH⊥BC于H，则四边形ADHC是矩形，∴AD＝CH＝BE＝0.6，∵点M是线段BC的中点，∴BM＝CM＝2.4米，∴EM＝BM﹣BE＝1.8，∵MN⊥BC，∴MN∥DH，∴△EMN∽△EHD，∴EEEE =EEEE，∴EE1.6=1.84.8，∴MN＝0.6，答：障碍物的高度为0.6米．。