虚拟网络映射算法

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面向底层单节点失效的轻量级可靠虚拟网络映射算法

ａｔｉｆｒｓｔ，ａｎｄｔｈｅｎｔｈｅｉｓｓｕｅｉｓｆｏｒｎｍｌａｔｅｄａＳａｎＩｎｔｅｇｅｒＬｉｎｅａｒＰｒｏｇｒａｍ（ＩＬＰ）ｂａｓｅｄｏｎｉｔ．Ｆｉｎａｌｌｙａｎｏｖｅｌｈｅｕｒｉｓｔｉｃ
ｍａｐｐｉｎｇ．ＴｈｅＶＮｔｏｐｏｌｏｇｙｒｅｍａｉｎｓｃｏｎｎｅｃｔｅｄｅｘｃｅｐｔｆａｉｌｅｄｖｉｒｔｕａｌｎｏｄｅｉｎｔｈｅｅｖｅｎｔｏｆｓｉｎｇｌｅｓｕｂｓｔｒａｔｅｎｏｄｅ
ｇａｉｎｉｎｇｍｏｒｅａｎｄｍｏｒｅａｔｔｅｎｔｉｏｎｃｕｒｒｅｎｔｌｙ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｆｏｃｕｓｅｓｏｎｔｈｅｉｓｓｕｅｏｆｌｅｓｓｓｔｒｉｎｇｅｎｔｒｅｌｉａｂｌｅｖｉｒｔｕａｌｎｅｔｗｏｒｋ
ＬｉｕＧｕａｎｇｙｕａｎＳｕＳｅｎ
（ＳｔａｔｅＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙＮｅｔｗｏｒｋｉｎｇａｎｄＳｗｉｔｃｈｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇ底层单节点失效的轻量级可靠虚拟网络映射算法
刘光远苏森
（北京邮电大学网络与交换技术国家重点实验室北京１００８７６１
摘要：络可靠性是虚拟网络设计的一个重要指标，目前得到了越来越多的关注。该文对轻量级可靠的虚拟网络

节点可重复映射和链路可分流的虚拟网映射算法

Ｑａｉｘｎ，ｈｉｎＳｅｏｇｉＸｎｉ。ＺｕＪｏｇｈｎＹｎｏｈ，
ｆ．ｅａｔｅｔｆｎｕｔａＤｓｎＺｅａｇＵｉｅｉｆｅｈｏｏｙＨｎｚｏ０３Ｃｉａ２Ｄｐｒｅｔｆｉａ１Ｄｐｒｎｏｄｓｉｅｉ，ｈｊｎｎｖｒｔｏｃｎｌｇ，ａｇｈｕ３０２，ｈｎ；．ｅａｔｎｓｌｍＩｒｌｇｉｓｙＴ１ｍｏＶｕＣｍｍｎｃｔｎＺｅａｇＵｉｒｔｏｅｈｏｇ，ｎｚｏ１０３Ｃｉａ３ｅｃｎｃＳｅｚｅ１０７Ｃｉａｏｕｉａｏ，ｈｊｎｎｖｓｙｆｃｎｌｙＨａｇｈｕ３０２，ｈｎ；．ｎｅｔｎ，ｈｎｈｎ５８５，ｈｎ）ｉｉｅｉＴｏＴＩ
研究与开发
节点可重复映射和链路可分流的虚拟网映射算法： ’ ：
李文，吴春明，陈键，平玲娣
（浙江大学计算机科学与技术学院杭州３０２）１０７
在已有映射算法的基础上，结合虚拟网节点映射原则，出了物理节点可重复映射的映射算法，提即在同
ＡｂｔａｔＷｉａｌｆｃｌｇｓｒ，ｂｓｄｏｔｅｇｈｔｈｏｙｔｅｃｒｎｔｄｄｐｓｎｍｅｇｎｒｔｒｉｇ — ｅｔｒｄｓｒｃｔａｓｍｐｅｏｏｌｅｕｅｓａｅｎｓｒｎｔｉｔｅｒ，ｈｕｒｔｓｕｙａｏｔａｅｅａｏｎｅｏｃｎｅｅｈｅｅｅｎｔｒｏｅｐｏｅｔｅｓｃａｅｗｏｋＳｆａｕｅｏｂｌｈｎｓｒｈｅｕｕｇｓｓｔａｈａｆｍｏｉｈｎｓｒｅｗｏｋｔｘｌｒｈｏｉｌｎｔｒｅｔｒｆｍｏｉｐｏｅｕｅ．Ｔｅｒｓｈｓｇｅｔｈｔｔｅｍｅｎｏｂｌｐｏｅｕｅｓｅｅ

VPN中的IP地址映射与端口转发

VPN中的IP地址映射与端口转发在虚拟专用网络（VPN）中，IP地址映射和端口转发是两个关键的概念。

它们在确保网络连接安全和数据传输的顺畅方面起着重要的作用。

本文将深入探讨VPN中的IP地址映射和端口转发的原理、应用以及相关的技术。

一、IP地址映射1.1 IP地址映射概述IP地址映射是指将一个IP地址转换成另一个IP地址的过程。

在VPN中，IP地址映射通常用于隐藏真实的IP地址，以保护用户的隐私和提高网络安全性。

1.2 IP地址映射的原理在VPN中，IP地址映射可通过多种技术实现，其中最常用的是网络地址转换（Network Address Translation, NAT）。

NAT将内部网络的私有IP地址映射为公共IP地址，使得内部网络的真实IP地址对外部网络不可见。

这种映射方式有效地保护了内部网络的安全性。

1.3 IP地址映射的应用IP地址映射在VPN中有多种应用场景。

首先，它可以用于实现远程访问。

比如，在企业VPN中，远程员工可以通过映射的IP地址安全地访问公司内部资源。

其次，IP地址映射还可以用于实现匿名浏览。

通过将真实IP地址映射为其他虚拟的IP地址，用户可以在互联网上匿名浏览，增加网络隐私与安全。

二、端口转发2.1 端口转发概述端口转发是指将数据包从一个端口转发到另一个端口的过程。

在VPN中，端口转发被广泛应用于路由器和防火墙等设备上，以实现不同网络之间的数据传输和连接。

2.2 端口转发的原理在VPN中，端口转发通过在路由器或防火墙上设置规则实现。

这些规则指定了源端口和目标端口之间的对应关系，以确保数据包能够正确地转发到目标设备。

通过端口转发，VPN可以实现跨网络的数据传输和连接。

2.3 端口转发的应用端口转发在VPN中有多种应用场景。

例如，它可以用于实现远程桌面访问，允许用户通过VPN安全地访问远程计算机的桌面界面。

此外，端口转发还可以用于搭建虚拟内网，将多个内部网络连接起来，实现资源共享和数据传输。

改进的两阶段虚拟网映射算法

ｄｓ１ｃｎ）ｌｃｎ） ≤Ｄ（ｉ（（，（）ｏｏｎ）
络申请资源时，物理网络需要决定如何将虚拟节点和虚拟链
路分配到实际的物理节点和物理链路上。这就是虚拟网映射问题，也称为虚拟网嵌入问题。然而，在满足节点和链路需
求的约束条件下，虚拟网的映射问题是一个Ｎ —ａｄ问题。Ｐｈｒ
ｃｎ）ＳＭ Ⅳ ）（ ≤ ｕ（（）ｄｓ１ｃＭ（）ｌｃｎ） ≤Ｄ（ｉ（（ｏｎ），（）ｏｎ）
Ｃ ∑（）ｃＧ
其中，ＲＩＣ表示消耗单位资源产生的收益值，值越大，映射算法的效率越高。虚拟网的映射是一个动态过程，物理网络不断地收到虚拟网的请求，同时，每个虚拟网在自己的生存期满后会释放之前申请的资源。为了衡量物理网络的长期收益，定义长期
．
ｐ
∑Ｒ（（）Ｇｆ）
Ｔ
Ｐ（（，（）Ｍｎ）Ｍｍ）映射满足约束：ｂｅ）Ｌ尸。（ ≤Ｓ（）以图１为例，其中，虚拟节点为ｆ，，ｌｎｂＣ，虚拟链路用虚线表示；物理节点为｛，，，ＥＦＧＨ｝ＡＢＣＤ，，，，，物理链路用实线
ｎｔｒｐｉｇｐｏｌｍｙｃｎｉｅｎｇｈｉａｔｆｌｃｔｎｃｎｔａｎｓｙｃｍｂｎｎｈｏｅｅｏｒｅｇａｉｎａｄｌｎｐｉｉｇｅｗｏｋｍａｐｎｒｂｅｂｏｓｄｆｔｅｍｐｃｏｏａｉｏｓｒｉｔｉｏｂｏｉｉｇｔｅｎｄｒｓｕｃｓｍｉｒｔｏｎｉｋｓｌｔｎ．ｔＳｍｕａｉｎｒｓｌｓｓｏｔａｏｉｌｔｏｅｕｔｈｗｈｔｃｍｐａｅｔｈｘｓｉｇａｇｏｉｈｒｄｗｉｔｅｅｉｔｎｌｒｍ，ｔｅａｃｐａｃａｉｆｖｒｕｌｎｔｒｅｕｓｓｅｈｎｅｙａｏｔ１％，ｅｈｔｈｃｅｔｎｅｒｔｏｉｔａｅｗｏｋｒｑｅｔｎａｃｓｂｂｕ０ｏｈｔ

基于混合群智能优化的虚拟网络映射算法

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
ห้องสมุดไป่ตู้
ＩＳＳＮ１ｏ０１ — ９０８ｌ
２０１４．．０４．．１０
计算机应用，２０１４，３４（４）：９３０—９３４，９７６文章编号：１００１ — ９０８１（２０１４）４－００９３０．０５
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＮｅｔｗｏｒｋｖｉｒｔｕａｌｉｚａｔｉｏｎｉｓｒｅｃｏｇｎｉｚｅｄａｓａｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｔｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｏｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎｏｆｃｕｒｒｅｎｔＩｎｔｅｒｎｅｔ．
相比，该算法显著地提高了底层网络长期平均运营收益与虚拟网络请求接受率。关键词：虚拟网络映射；整数线性规划；混合群智能优化；粒子群算法；遗传算法
中图分类号：ＴＰ３９３．０２文献标志码：Ａ
Ｖｉｒｔｕａｌｎｅｔｗｏｒｋｅｍｂｅｄｄｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎａｈｙｂｒｉｄｓｗａｒｍｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ
题。提高底层网络资源的利用率和收益是虚拟网络映射的主要目标。针对底层网络支持路径分裂的情况，建立了整

区分服务QoP的可生存虚拟网络映射算法研究

１引言
随着ｖＩ、ＳＤＮ、Ｏｐｅｎｌｆｏｗ等研究的兴起，
网络虚拟化已经成为目前的一个研究热点。网络虚
会引起多个虚拟网络服务不可用，直接造成服务提供商的经济损失。因此如何实现虚拟网的可生存映射是当前研究亟待解决的问题。
ｆｏｒｍｕｌａｔｅｄ．Ｔｈｅｎａｈｅｕｒｉｓｔｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｉｔ．Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｓａｔｉｓｆｙｖａｒｉｏｕｓｖｉｔｒｕａｌｎｅｔｗｏｒｋｓｐｒｏｔｅｃｔｉｏｎｆｏｒｕｓｅｒｓａｎｄｄｅｃｌｉｎｅｔｈｅｓｕｂｓｔｒａｔｅｎｅｔｗｏｒｋｂａｎｄｗｉｄｔｈｃｏｓｔｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈ
（ＳｔａｔｅＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＮｅｔｗｏｒｋｉｎｇａｎｄＳｗｉｔｃｈｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＢｅｉｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｏｓｔｓａｎｄＴｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７６，Ｃｈｉｎａ）

基于WDM光网络虚拟化的启发式映射算法

基于WDM光网络虚拟化的启发式映射算法吕立尧;侯韶华【摘要】The current Internet is constantly rigid,so the network architecture is difficult to meet some of the needs of new applications. Optical network virtualization is an important way to overcome the rigid problem. In WDM optical networks, how the virtual network maps to the physical network reasonably is the core issue of network virtualization. An Integer Linear Program ( ILP) is proposed in this paper employing the virtual network mapping model. However,faced with the planning of numerous constraints,the problem solving is u-sually NP-hard. Based on the ILP,two major fast heuristic algorithms with sub-optimal performance,the maximum mapping and mini-mum mapping,are presented. The algorithm mainly analyzes two sub-problems of node mapping and link mapping. Simulation results show that compared with the former,in terms of traffic grooming,the minimum mapping algorithm uses fewer numbers of wavelength link,and its performance is closer to the optimal results of ILP.%当前互联网不断“僵化”，网络架构难以满足一些新颖应用的需求。

VPN中的IP地址映射和转发规则

VPN中的IP地址映射和转发规则在VPN中，IP地址映射和转发规则是网络通信中一个重要的环节。

它们如同一个邮局，将数据包从源地址送达到目的地址的过程中进行调度和转发。

本文将详细介绍VPN中的IP地址映射和转发规则，并对其进行解析和讨论。

一、IP地址映射规则IP地址映射规则指的是将一个私有网络中的IP地址映射为公网IP地址，使得私有网络中的主机可以与公共互联网进行通信。

早期的VPN技术主要是基于隧道协议，通过隧道将私有网络和公网连接起来。

在这种情况下，IP地址映射规则扮演着关键的角色。

在隧道模式中，数据包从私有网络中的源主机发送出去后，会被封装为新的IP数据包，并在IP头部中加入公网IP地址。

这样，当数据包到达公网后，路由器就会根据公网IP地址将数据包转发到对应的目的网络。

在IP地址映射规则中，还存在一种常见的技术叫做网络地址转换（NAT）。

NAT技术通过在路由器上建立一张映射表，将私有网络中的IP地址映射为公网IP地址。

当数据包经过路由器时，会根据映射表进行转换，从而实现私有网络与公网的通信。

二、IP地址转发规则IP地址转发规则指的是在VPN中，当数据包到达VPN服务提供商的服务器时，服务器会根据一定的规则将数据包转发到目标主机。

这个过程中，涉及到目标主机的IP地址和端口号的映射和转发。

在VPN中，常见的转发规则有两种，一种是静态转发，一种是动态转发。

1. 静态转发静态转发是指通过事先配置好的规则，将来自公网的数据包通过VPN服务提供商的服务器转发到目标主机。

通常，需要在VPN服务器上设置目标主机的IP地址和端口号的映射关系，以便能够正确地将数据包转发到目标主机。

2. 动态转发动态转发是指根据实时的网络情况和路由表信息，动态地选择转发路径和目标主机。

在动态转发中，VPN服务提供商的服务器会根据一定的算法和策略，选择最优的路径将数据包传输到目标主机。

三、IP地址映射和转发规则的优化在实际应用中，为了保证网络通信的效率和安全性，需要对IP地址映射和转发规则进行优化。

基于Openflow网络的高可靠性虚拟网络映射算法

中图分类号：ＴＰ３９３Ｄ０Ｉ：１０．３７２４／ＳＰ．Ｊ．１１４６．２０１３．００３６７
文献标识码：Ａ
文章编号：１００９ — ５８９６（２０１４）０２ — ０３９６ — ０７
，
’ Ｙ＿ｌｌＸｉａｏｓｈａｎ①
—
① （ｓｔ。ｔｅＫｅｙ０ｂ０ｒａｔｏｏｆＩｎｔｅｇｒａｔｅｄＳｅｒｖｃｅ Ⅳ ｅ叫。ｓＸｉｄｉ０ｎＥ厂礼ｅｔ，Ｘｉ，０ｎ７１００７１，Ｃｈｉｎｎ）
Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ａｆａｉｌｅｄＢａｃｋｕｐＬｉｎｋＲｅＭａｐｐｉｎｇ（ＢＬＲＭ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ，ａｎｄｔｈｅｂａｃｋｕｐｒｅｓｏｕｒｃｅｓｉｎｔｈｅ
ＨｉｇｈｌｙＲｅｌｉａｂｌｅＶｉｒｔｕａｌＮｅｔｗｏｒｋＭａｐｐｉｎｇＡｌｇｏｒｉｔｈｍＢａｓｅｄｏｎＯｐｅｎｌｏｆｗＮｅｔｗｏｒｋ
ＣａｉＪｉｎ — ｋｅ ① ＧｕＨｕａ — ｘｉ ① ＬｕＪｉ ②
ｆａｉｌｅｄｌｉｎｋａｒｅｍｉｇｒａｔｅｄｔｏｔｈｅａｄｊａｃｅｎｔｌｉｎｋ，ｗｈｉｃｈｉｍｐｒｏｖｅｓｔｈｅａｖａｉｌａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｂａｃｋｕｐｌｉｎｋ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ

虚拟网络映射模型和算法研究

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｖｉｒｔｕａｌｎｅｔｗｏｒｋｍａｐｐｉｎｇｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｋｅｙｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｎｅｔｗｏｒｋｖｉｒｔｕａｌｉｚａｔｉｏｎ，ｔｈｅｔａｒｇｅｔｏｆｗｈｉｃｈｉｓｔｏｌｌａｏｃａｔｅａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅｐｈｙｓｉｃａｌｎｏｄｅｓａｎｄｌｉｎｋｓｏｆｓｕｂｓｔｒａｔｅｎｅｔｗｏｒｋｔｏｖｉｒｔｕａｌｎｅｔｗｏｒｋｒｅｑｕｅｓｔｓ，ａｎｄｃｏｎｓｔｒｕｃｔｍｕｈｉｐｌｅｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓｖｉｒｔｕｌａｎｅｔｗｏｒｋｓｉｓｏｌａｔｅｄｆｒｏｍｅａｃｈｏｔｈｅｒｏｎｔｈｅｓｈａｒｅｄｐｈｙｓｉｃａｌｎｅｔｗｏｒｋｉｎｆｒａｓｔｕｃｒｔｕｒｅｓ，ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｐｒｏｖｉｄｅａｎｅｘｐｅｉｒｍｅｎｔａｌｐｌａｔｆｏｒｍｆｏｒｉｎｎｏｖａｔｉｖｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｆｎｅｔｗｏｒｋｉｎｆｒａｓｔｕｃｒｔｕｒｅｓａｎｄｃａｒｒｙｆｌｅｗｎｅｔｗｏｒｋａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｉｅｐａｐｅｒｆｏｍｕｒｌａｔｅｓｔｈｅｖｉｒ・ｔｕｌａｎｅｔｗｏｒｋｍａｐｐｉｎｇｍｏｄｅｌｓ，ｏｖｅｒｖｉｅｗｓｔｈｅｖｉｒｔｕｌａｎｅｔｗｏｒｋｅｍｂｅｄｄｉｎｇａｌｇｏｉｒｔｈｍｓ，ａｎｄｐｒｏｐｏｓｅｓｔｈａｔｔｈｅｍｉｎｉｍａｌｃｕｔｓｅｔｔｈｅｏｒｙｃａｎｂｅｅｍｐｌｏｙｅｄｏｒｆｅｍｂｅｄｄｉｎｇｖｉｒｔｕａｌｎｅｔｗｏｒｋｓｔｏｓｕｂｓｔｒａｔｅｎｅｔｗｏｒｋｉｆｒｎａｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＮｅｔｗｏｒｋＶｉｒｔｕｌｉａｚａｔｉｏｎ；ＶｉｒｔｕｌａＮｅｔｗｏｒｋＥｍｂｅｄｄｉｎｇ；ＮｏｄｅＭａｐｐｉｎｇ；ＬｉｎｋＭａｐｐｉｎｇ

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6
带有通过时间限制的最短路径问题
步骤1 (松弛方法) 解决没有复杂约束的问题. 如果解满足复杂约束，那么它对于原问题来说是最优的.
7
从结点1到结点6的最短路径是什么？
8
最短路径是1-2-4-6
1-2-4-6的通过时间是18. 为了减少最短路径的通过时间，我们把惩罚比例放到通过时间处. 假设对每单位的通过时间收取$1 的费用.
3
例子：受约束的最短路径
给出：网络 G = (N,A) cij 弧 (i,j) 的代价 tij 对弧 (i,j) 的遍历时间
复杂的约束
4
例子
从结点1到结点6寻找通过时间最多是10的最短路径.
5
带通过时间限制的最短路径
最短路径问题是简单的. 带有通过时间限制的最短路径问题是 NP-难问题.
我们说约束的优化问题Y是问题X的松弛，如果Y 可以通过删除X的一个或多个约束获得. 我们将“松弛” 复杂约束，然后使用惩罚太多通过时间的“启发式方法”. 我们然后把它和拉格朗日松弛理论联系在一起.
15.082 和 6.855J 拉格朗日松弛
在统一的道路上，我从不失去移除障碍的机会. （I never missed the opportunity to remove obstacles in the way of unity.）
—Mohandas Gandhi
关于在最优性中的界限
在解决网络流问题的时候，我们不仅解决问题，而且提供解决问题的保证.
23
拉格朗日松弛和不等式约束
引理：
拉格朗日乘子问题：最小化假设L*表示最优目标值，假设x对于和那么是可行的.
24
旅行的售货员问题(TSP)
输入：n 城市，表示成 1,…,n cij = 从城市i 到城市j的旅行距离
输出：一个最小的距离周游
25
表示TSP 问题
弧的集合是周游，如果有两条弧和每个结点关联红色的弧(不和结点1关联)形成在G\1中的生成树.
更典型地，拉格朗日边界是有用的，当它说明解接近最优.
22
总结
1.
2. 3. 4.
每个解
是最优目标值上的下界
L* 是最好(高)下界如果 = cx ，那么L* = z* = cx.(这不能保证发生) L*(或者一些好的下界)在启发式方法中以及在分支和边界中是有用的. 有时候，它能被用来给出最优性的简短证明.
38
下一课
复习拉格朗日松弛
线性规划的拉格朗日松弛解决拉格朗日乘子问题 Dantzig-Wolfe 分解
39
31
广义分配问题
看例子 16.8 在 Ross, G.T., and R.M. Soland. A Branch and Bound Algorithm for the Generalized Assignment Problem, Mathematical Programming, 8, 1975, pp. 91103.
保证是最优性方法的一个主要贡献. 但是，如果最小化问题太难求解到最优，我们能做什么呢？
有时候，我们尽可能能做的就是在最好的目标值上提供下界. 如果发现接近最佳解这样的下界，这几乎和最优性一样.
2
概要
基于分解的方法. 开始于简单约束复杂约束把复杂的约束放入目标. 我们将得到关于最小化问题的最优解的下界. 在许多情况中，这种边界接近最优解的值.
9
从1到6的新的最短路径是什么？
1-2-5-6的修改的代价是20. 通过时间是 15. 代价是5. 1-2-4-6仍然不可行.
我们增加收费到$2
10
从1到6的新的最短路径是什么？
路径1-2-5-6仍然是最优路径.
11
存在可选择的最短路径它对原问题来说也是最优的！
32
设施位置问题
看例子16.9 在，Erlenkotter, D. A dual-based Operations Research 1978; 26(6): pp. 992-1009. procedure for uncapacitated facility location.
33
图化的表示
34
界限原则. 假设的最小代价路径. 那么的长度上的下界.
，P是关于修改的代价是在约束的最短路径
16
面对拉格朗日松弛
对于每个
通过下式替换目标：
那么，对于
有
，因为
17
拉格朗日松弛
通过惩罚约束获得拉格朗日松弛，然后消除(松弛)约束.
定理：
18
受限最短路径的应用
令 c(P) 是路径P的代价令是路径P的修改的代价推论：假设P* 是有修改的代价的最短路径，假设
26
TSP的拉格朗日松弛
令 A(j) 是关联结点j的弧. 令 X 表示所有的 1-树，也就是，有两条弧与结点1关联，然后删除这些弧，剩下的一棵树.
这里对于e=(i,j),
27
更多关于TSP
这个拉格朗日松弛被Held 和 Karp [1970 和 1971] 公式化. 种子论文展示了拉格朗日松弛在整数规划中多么有用. 拉格朗日乘子问题的解给出了非常好的解，它趋近“接近 ”周游.
那么P* 是最优的. 证明：
19
拉格朗日松弛技术
引理 16.1 对于所有的向量
20
拉格朗日乘子问题(带有等价约束)
引理 16.1 对于所有的向量
最小化问题的边界如果较高，那么较好. 寻找最好边界问题称为拉格朗日乘子问题.
引理 16.2 对于所有向量
21
最优性测试
性质 16.3 (最优性测试). 如果那么x对原问题来说是最优的，且问题来说是最优的. 对拉格朗日乘子
28
对于最优的的拉格朗日问题有很少的叶结点.
的最优生成树通常
29
面向另一个拉格朗日松弛
在周游中，对|S| < n的两端点都在S中的弧的个数最多是 |S| -1 .
30
另一个TSP的拉格朗日松弛
，对于每个N中的严格的子集S
，对于每个N中的严格的子集S
这里对于e=(i,j)，
惊奇的事实：对于每个这个松弛恰好给出了和 1-树松弛的同样的边界.
可能解
35
课堂练习
公式化设施位置问题为整数规划. 假设一个客户能被多于一个设施服务. 建议一种用拉格朗日松弛能帮助解决此问题的方式.
令xij 是被设施j服务的客户i的需求总和.
令yj 是 1,如果设施j开放，否则为0.
36
设施位置模型
37
本课总结
拉格朗日松弛说明使用约束最短路界限原则更广义形式的拉格朗日松弛拉格朗日乘子问题拉格朗日松弛和不等式约束当松弛一些约束让问题简化的时候，非常流行的方法应用 TSP 一般化赋值设备位置
1-3-2-5-6的通过时间是10. 代价是 15.
12
参数分析
带权总和带权总和 – 10*通行费
通行费
代价
通过时间
13
带权总和
通行费
14
通行费参数分析
代价通过时间带权总和 – 10*通行费
通行费
15
关于界限
我们可以改变任何在通过时间上的非负通行费. 对路径P，令
对固定的
和P,令