高考试题分类汇编集合
(完整版)新课标全国高考数学试题分类汇编一(集合、复数),推荐文档
2016-1
（1）设集合 A {1,3,5, 7} ， B {x | 2 x 5}，则 A B （ ）
（A）{1,3}（B）{3,5}（C）{5,7}（D）{1,7}
(2)设 (1 2 i)(a i) 的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a=（ ）
（A）－3（B）－2（C）2（D）3
i
2017-1
1、已知集合 A={x|x<2}，B={x|3–2x>0}，则( ) 3
（D）
4 5
3 5
i
3
A．A∩B={x|x<2}
B．A∩B=Φ
C．A∪B={x|x<2}
D．A∪B=R
3、下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1+i)2
B．i2(1–i)
C．(1+i)2
D．i(1+i)
1
2017-2
（B） 2 i
（C） 2 i
2015-2
（D） 2 i
1．已知集合 A x | 1 x 2， B x | 0 x 3，则 A B （ ）
A． 1,3 B． 1, 0 C． 0, 2 D． 2,3
2．若为 a
实数，且
2 ai 1 i
3i
，则
a
（
）
A． 4 B． 3 C． 3 D． 4
新课标全国高考文科数学试题分类汇编一
（集合、复数）
2015-1
1．已知集合 A {x x 3n 2, n N}, B {6,8,10,12,14}，则集合 A B 中的元素个数为( )
（A） 5 （B）4
（C）3
（D）2
3．已知复数 z 满足 (z 1)i 1 i ，则 z （ ）
新课标全国高考数学试题分类汇编一(集合、复数)(K12教育文档)
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新课标全国高考文科数学试题分类汇编一（集合、复数）2015—11．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( ）（A) 5 （B)4 （C ）3 （D ）23．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ (C ）2i - （D)2i +2015—21．已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A B =( ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,32．若为a 实数,且231aii i +=++，则a =（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．42016-1(1)设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（ ）(A ）{1，3}（B ）{3，5}(C ）{5,7｝（D ）{1，7｝(2）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数,则a=（ ）(A)－3（B ）－2(C ）2（D ）32016-21、已知集合A={1,2,3}，B=｛x ｜x 2〈9}，则A∩B= （ )A ．{–2,–1，0，1,2，3}B ．{–2,–1,0,1,2｝C ．{1,2，3}D ．{1,2｝ 2、设复数z 满足z+i+3–i,则错误!=( ）A ．–1+2iB ．1–2iC ．3+2iD ．3–2i2016—3（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则B C A =（ )（A ）{48}， （B ）{026}，， (C ）{02610}，，， （D ）{0246810}，，，，，（2)若43i z =+，则||zz =（ ）新课标全国高考数学试题分类汇编一(集合、复数)(word 版可编辑修改) (A ）1（B)1- (C ）43+i 55 （D ）43i 55-2017—1 1、已知集合A=｛x|x<2}，B={x|3–2x>0｝，则（ )A ．A ∩B={x|x<错误!｝B ．A ∩B =ΦC ．A ∪B={x|x 〈错误!}D ．A ∪B=R3、下列各式的运算结果为纯虚数的是（ )A ．i （1+i ）2B ．i 2(1–i)C ．(1+i ）2D ．i （1+i ）2017—21、设集合A=｛1,2,3}，B={2,3,4},则A∪B=( )A ．{1，2，3，4}B ．｛1,2，3｝C ．｛2，3,4｝D ．｛1,3，4｝2、（1+i)(2+i ）=（ )A ．1–iB ．1+3iC ．3+iD ．3+3i2017-31．已知集合A={1，2,3,4}，B={2，4,6，8}，则A ⋂B 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2018-11．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =( ） A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设1i 2i 1i z -=++，则z =（ ) A ．0B ．12 C ．1 D 2018-2 1．i(2+3i)=（ )A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =则A B =( ）A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,72018-31．已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =,则A B =（ )新课标全国高考数学试题分类汇编一(集合、复数)(word版可编辑修改) A．{0}B．{1}C．{1,2}D．{0,1,2} 2．(1i)(2i)+-=( )A．3i-+C．3i-D．3i+ --B．3i。
集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第2题
6．(2021年新高考Ⅰ卷·第1题)设集合 ， ，则 ()
A． B． C． D．
【答案】B
解析:由题设有 ，故选B．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第1题
7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第1题)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()
【解析】 或 ， ，
故 ，故选A．
【点评】本题主要考查一元二次不等式，一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题．
本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第1题
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第1题
11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第2题)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=()
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： ．
A．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
解析：由题意可得： ，则 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)已知集合 ， ，则 中元素的个数为()
2023年高考生物分类试题及答案汇编知识点4细胞呼吸与光合作用
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学问点 4 细胞呼吸与光合作用1.(2023·全国卷Ⅲ·T5)以下关于生物体中细胞呼吸的表达,错误的选项是 ( )A.植物在黑暗中可进展有氧呼吸也可进展无氧呼吸B.食物链上传递的能量有一局部通过细胞呼吸散失C.有氧呼吸和无氧呼吸的产物分别是葡萄糖和乳酸D.植物光合作用和呼吸作用过程中都可以合成ATP【解析】选 C 。
此题主要考察植物细胞的光合作用、细胞呼吸及生态系统能量流 动的有关学问。
植物在黑暗中有氧时可进展有氧呼吸,无氧时可进展无氧呼吸,A 项正确;食物链上的养分级同化的能量有三个去向:呼吸作用散失、传递给下一个养分级(除了最高养分级)和被分解者分解利用,B 项正确;有氧呼吸和无氧呼吸的 产物分别是 CO 和 H O CO 和酒精,某些组织或器官无氧呼吸的产物是乳酸,C 2 2 2项错误;植物光合作用的光反响阶段和呼吸作用过程中都可以合成 ATP ,D 项正确。
2.(2023·天津高考·T5)为探究酵母菌的呼吸方式,在连通 CO 和 O 传感器的 100 2mL 锥形瓶中,参与 40 mL 活化酵母菌和 60 mL 葡萄糖培育液,密封后在最适温度下培育。
培育液中O 2 和CO 2 相对含量变化如图。
有关分析错误的选项是 ( )2, ,A.t →t ,酵母菌的有氧呼吸速率不断下降 1 2B.t 时培育液中葡萄糖的消耗速率比 t 时快 3 1C.假设降低 10 ℃培育O 相对含量到达稳定所需时间会缩短 2D.试验后的培育液滤液参与适量酸性重铬酸钾溶液后变成灰绿色【解析】选C 。
此题通过图形考察有氧呼吸、无氧呼吸的过程、影响细胞呼吸 的因素等。
据图分析可知,探究酵母菌呼吸方式的装置是封闭的,t →t 1 2 随着 O 消 2 耗,酵母菌的有氧呼吸速率不断下降,A 项正确;t 3 时,O 2浓度几乎为 0,酵母菌只进展无氧呼吸,t 1 时,有氧呼吸和无氧呼吸同时进展,且 t 3 时培育液中CO 2相对含量远大于 t 1 时,所以消耗葡萄糖的速率总是t 3>t 1,B 项正确;此试验数据是在最适温度下获得的,故降低 10 ℃,与细胞呼吸相关的酶的活性降低,O 2相对含量到达稳定所需时间变长,C 项错误;该试验装置在密闭的环境中无氧呼吸产生了酒精 ,其培育 液滤液参与适量酸性重铬酸钾溶液后变成灰绿色,D 项正确。
2023年高考真题化学解析分类汇编—专题11水溶液中的离子平衡
2023 年一般高等学校招生全国统一考试化学试题分类汇编专题十一水溶液中的离子平衡1．〔2023·重庆理综化学卷，T3〕以下表达正确的选项是( )A．浓氨水中滴加FeCl3饱和溶液可制得Fe(OH)胶体3B．CH COONa 溶液中滴加少量浓盐酸后c(CH COO－)增大3 3C．Ca(HCO )3 2 溶液与过量NaOH 溶液反响可制得Ca(OH)2D．25℃时Cu(OH) 在水中的溶解度大于其在Cu(NO ) 溶液中的溶解度2 3 2【答案】D【解析】A、浓氨水和FeCl3溶液反响产生Fe(OH)3沉淀，不会产生胶体，A 错误；B、参与浓盐酸，使平衡CH COO-+H+ CH COOH 向正方向移动，c(CH COO ) 减小；C、反响的化学方程式为3 3 3Ca(HCO ) +2NaOH=CaCO ↓+Na CO +2H O，C 错误；D、Cu(OH) 的沉淀溶解平衡的方程式为3 2 3 2 3 2 2Cu(OH) Cu2++2OH-，在Cu(NO )中，会使平衡向逆方向移动，导致溶解度减小，D 正确。
2 3 22．〔2023·浙江理综化学卷，T12〕氯在饮用水处理中常用作杀菌剂，且HClO 的杀菌力气比ClO－强。
25℃时氯气-氯水体系中存在以下平衡关系：Cl (g) Cl (aq) K =10－1.22 2 1Cl (aq)+ H O2 2 HClOHClO + H+ +Cl－H+ + ClO－K =10－3.42K a=?其中Cl(aq)、HClO和ClO－分别在三者中所占分数〔α〕随2pH 变化的关系如以下图。
以下表述正确的选项是A．Cl (g)+ H O 2H+ + ClO－2 2+ Cl－K=10-10.9B．在氯处理水体系中，c(HClO) + c(ClO－) =c(H+)－c(OH－) C．用氯处理饮用水时，pH=7.5 时杀菌效果比pH=6.5 时差D．氯处理饮用水时，在夏季的杀菌效果比在冬季好【答案】C【解析】将两个方程式相加，得到Cl (g)+ H O2 2 2H+ + ClO－+ Cl－, K=K K =10-4.6，A 错误；在氯1 2处理水体系中，依据电荷守恒可得：c(OH－)+c(ClO－)=c(H+)，B 错误；依据图可以看出，次氯酸的浓度在pH=7.5 时比pH=6.5 时少，杀菌效果差，C 正确；夏季温度高，次氯酸受热易分解，在夏季的杀菌效果比在冬季差，D 错误。
2024全国高考真题数学汇编：集合
2024全国高考真题数学汇编集合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-2．（2024天津高考真题）集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}13．（2024全国高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,94．（2024北京高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（）A ．{}11x x -≤<B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <5．（2024全国高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,5参考答案1．A【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2．B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = ，故选：B3．C【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：C4．C【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选：C.5．D【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D。
2011—2020年十年新课标全国卷高考数学分类汇编——1
2011—2020年十年新课标全国卷高考数学分类汇编——1.集合2011年至2020年的新课标全国卷数学试题共包含8套全国卷，包括全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷。
本资料根据全国卷的特点编写，共包含14个专题，包括集合、复数、逻辑、数学文化、新定义、平面向量、不等式、数列、三角函数与解三角形、解析几何、概率与统计、程序框图、坐标系与参数方程、不等式选讲。
通过掌握各种题型，可以把握全国卷命题的灵魂。
集合与简易逻辑是数学试题中的一个重要专题。
以下是一些选择题的例子：2020年新高考Ⅰ卷第一题：设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2020年全国卷Ⅰ理科第二题：设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．42020年全国卷Ⅰ文科第一题：已知集合A={x|x23x40}，B={4,1,3,5}，则B={x|1<x<4}。
2020年全国卷Ⅱ理科第一题：已知集合U={−2，−1.1，2，3}，A={−1.1}，B={1，2}，则CUAA．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1.3} D．{−2，−1.2，3}2020年全国卷Ⅱ文科第一题：已知集合A={x||x|1，x∈Z}，则A∩B={–2，2}。
2020年全国卷Ⅲ理科第一题：已知集合A{(x,y)|x,y N*,y x}，B{(x,y)|x y8}，则A∩B中元素的个数为3.2020年全国卷Ⅲ文科第一题：已知集合A1，2，3，5，7，11，B x|3x15，则A∩B中元素的个数为4.2019·全国卷Ⅰ，理1)已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M的正确表示为A。
2023年高考真题分类汇编选填解析版
2023年高考真题分类汇编（选填）第一章集合与不等式 2第二章复数 4第三章函数与导数 6第四章三角函数 12第五章平面向量 16第六章立体几何 20第七章统计与概率 27第八章计数原理 31第九章数列 33第十章直线和圆 36第十一章圆锥曲线 39第1页共43页博观而约取厚积而薄发第一章集合与不等式1(2023•乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}=()A.∁U (M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁U N【解析】：由题意：M∪N={x|x<2}，又U=R，∴∁U(M∪N)={x|x≥2}．故选：A ．2(2023•甲卷)设集合A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A⋃B)=()A.{x|x=3k，k∈Z}B.{x|x=3k-1，k∈Z}C.{x|x=3k-2，k∈Z}D.∅【解析】：∵A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，∴A∪B={x|x=3k+1或x=3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U(A⋃B)={x|x=3k，k∈Z}．故选：A ．3(2023•甲卷)设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，则N∪∁U M=()A.{2，3，5}B.{1，3，4}C.{1，2，4，5}D.{2，3，4，5}【解析】：因为U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，所以∁U M={2，3，5}，则N∪∁U M={2，3，5}．故选：A ．4(2023•乙卷)设全集U={0，1，2，4，6，8}，集合M={0，4，6}，N={0，1，6}，则M∪∁U N= ()A.{0，2，4，6，8}B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8}D.U【解析】：由于∁U N={2，4，8}，所以M∪∁U N={0，2，4，6，8}．故选：A ．5(2023•新高考Ⅰ)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x2-x-6≥0}，则M∩N=() A.{-2，-1，0，1} B.{0，1，2} C.{-2} D.{2}【解析】：∵x2-x-6≥0，∴(x-3)(x+2)≥0，∴x≥3或x≤-2，N=(-∞，-2]∪[3，+∞)，则M∩N={-2}．故选：C ．6(2023•天津)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的()A.充分不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】：a2=b2，即(a+b)(a-b)=0，解得a=-b或a=b，a2+b2=2ab，即(a-b)2=0，解得a=b，故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”，充分性不成立，“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”，必要性成立，故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件．故选：B．第2页共43页自信自强专业专心专注7(2023•天津)已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，B ={1，2，4}，则∁U B ∪A =()A.{1，3，5}B.{1，3}C.{1，2，4}D.{1，2，4，5}【解析】：U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，B ={1，2，4}，则∁U B ={3，5}，故∁U B ∪A ={1，3，5}．故选：A ．8(2023•新高考Ⅱ)设集合A ={0，-a }，B ={1，a -2，2a -2}，若A ⊆B ，则a =()A.2B.1C.23D.-1【解析】：依题意，a -2=0或2a -2=0，当a -2=0时，解得a =2，此时A ={0，-2}，B ={1，0，2}，不符合题意；当2a -2=0时，解得a =1，此时A ={0，-1}，B ={1，-1，0}，符合题意．故选：B ．9(2023•上海)已知P ={1，2}，Q ={2，3}，若M ={x |x ∈P ，x ∉Q }，则M =()A.{1}B.{2}C.{3}D.{1，2，3}【解析】：∵P ={1，2}，Q ={2，3}，M ={x |x ∈P ，x ∉Q }，∴M ={1}．故选：A ．10(2023•全国)集合A ={-2，-1，0，1，2}，B ={2k |k ∈A }，则A ∩B =()A.{0}B.{0，2}C.{-2，0}D.{-2，0，2}【解析】：因为集合A ={-2，-1，0，1，2}，B ={2k |k ∈A }，所以B ={-4，-2，0，2，4}，则A ∩B ={-2，0，2}．故选：D ．11(2023•上海)已知集合A ={1，2}，B ={1，a }，且A =B ，则a =．【解析】：集合A ={1，2}，B ={1，a }，且A =B ，则a =2．故答案为：2．12(2023•天津)若a =1.010.5，b =1.010.6，c =0.60.5，则()A.c >a >bB.c >b >aC.a >b >cD.b >a >c【解析】：y =1.01x ，在R 上单调递增，0.6>0.5，故1.010.6>1.010.5，所以b >a ，y =x 0.5，在[0，+∞)上单调递增，1.01>0.6，故1.010.5>0.60.5，即a >c ，所以b >a >c ．故选：D ．13(2023•上海)已知正实数a 、b 满足a +4b =1，则ab 的最大值为 ．【解析】：正实数a 、b 满足a +4b =1，则ab =14×a ⋅4b ≤14×a +4b 2 2=116，当且仅当a =12，b =18时等号成立．故答案为：116．第3页共43页博观而约取厚积而薄发第二章复数1(2023•甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2，a∈R，则a=()A.-1B.0C.1D.2【解析】：因为复数(a+i)(1-ai)=2，所以2a+(1-a2)i=2，即2a=21-a2=0，解得a=1．故选：C．2(2023•乙卷)设z=2+i1+i2+i5，则z=()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i 【解析】：∵i2=-1，i5=i，∴z=2+i1+i2+i5=2+ii=1-2i，∴z =1+2i．故选：B．3(2023•乙卷)|2+i2+2i3|=()A.1B.2C.5D.5【解析】：由于|2+i2+2i3|=|1-2i|=12+(-2)2=5．故选：C．4(2023•甲卷)5(1+i3)(2+i)(2-i)=()A.-1B.1C.1-iD.1+i【解析】：5(1+i3)(2+i)(2-i)=5(1-i)5=1-i．故选：C．5(2023•新高考Ⅱ)在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】：(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i，则在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点的坐标为(6，8)，位于第一象限．故选：A．6(2023•新高考Ⅰ)已知z=1-i2+2i，则z-z=()A.-iB.iC.0D.1【解析】：z=1-i2+2i=12⋅1-i1+i=12⋅(1-i)2(1+i)(1-i)=-12i，则z=12i，故z-z=-i．故选：A．第4页共43页自信自强专业专心专注7(2023•全国)已知(2+i )z=5+5i ，则|z |=()A.5B.10C.52D.55【解析】：由(2+i )z=5+5i ，得z =5+5i 2+i=(5+5i )(2-i )(2+i )(2-i )=15+5i 5=3+i ，则z =3-i ，|z |=32+(-1)2=10．故选：B ．8(2023•上海)已知复数z =1-i (i 为虚数单位)，则|1+iz |= ．【解析】：∵z =1-i ，∴|1+iz |=|1+i (1-i )|=|2+i |=5．故答案为：5．9(2023•天津)已知i 是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为．【解析】：5+14i 2+3i =(5+14i )(2-3i )(2+3i )(2-3i )=52+13i 13=4+i ．故答案为：4+i ．10(2023•上海)已知z 1，z 2∈C 且z 1=i z 2(i 为虚数单位)，满足|z 1-1|=1，则|z 1-z 2|的取值范围为．【解析】：设z 1-1=cos θ+i sin θ，则z 1=1+cos θ+i sin θ，因为z 1=i •z 2，所以z 2=sin θ+i (cos θ+1)，所以|z 1-z 2|=(cos θ-sin θ+1)2+(sin θ-cos θ-1)2=22sin θ-π4 -1 2=22sin θ-π4 -1 ，显然当sin θ-π4 =22时，原式取最小值0，当sin θ-π4=-1时，原式取最大值2+2，故|z 1-z 2|的取值范围为[0，2+2]．故答案为：[0，2+2]．第5页共43页博观而约取厚积而薄发第三章函数与导数1(2023•乙卷)已知f(x)=xe xe ax-1是偶函数，则a=()A.-2B.-1C.1D.2【解析】：∵f(x)=xe xe ax-1的定义域为{x|x≠0}，又f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)，∴-xe-xe-ax-1=xe xe ax-1，∴xe ax-x e ax-1=xe xe ax-1，∴ax-x=x，∴a=2．故选：D．2(2023•新高考Ⅱ)若f(x)=(x+a)ln 2x-12x+1为偶函数，则a=()A.-1B.0C.12D.1【解析】：由2x-12x+1>0，得x>12或x<-12，由f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)，得(-x+a)ln -2x-1-2x+1=(x+a)ln2x-12x+1，即(-x+a)ln 2x+12x-1=(-x+a)ln2x-12x+1-1=(x-a)ln2x-12x+1=(x+a)ln2x-12x+1，∴x-a=x+a，得-a=a，得a=0．故选：B．3(2023•上海)下列函数是偶函数的是()A.y=sin xB.y=cos xC.y=x3D.y=2x 【解析】：对于A，由正弦函数的性质可知，y=sin x为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y=cos x为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y=x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数．故选：B．4(2023•甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sin x+π2为偶函数，则a=．【解析】：根据题意，设f(x)=(x-1)2+ax+sin x+π2=x2-2x+ax+1+cos x，若f(x)为偶函数，则f(-x)=x2+2x-ax+1+cos x=x2-2x+ax+1+cos x=f(x)，变形可得(a-2)x=0在R上恒成立，必有a=2．故答案为：2．5(2023•甲卷)若y=(x-1)2+ax+sin x+π2为偶函数，则a=．【解析】：根据题意，设f(x)=(x-1)2+ax+sin x+π2=x2-2x+ax+1+cos x，其定义域为R，若f(x)为偶函数，则f(-x)=x2+2x-ax+1+cos x=x2-2x+ax+1+cos x=f(x)，变形可得(a-2)x=0，必有a=2．故答案为：2．第6页共43页自信自强专业专心专注6(2023•上海)已知函数f (x )=1，x ≤0，2x ，x >0，则函数f (x )的值域为．【解析】：当x ≤0时，f (x )=1，当x >0时，f (x )=2x >1，所以函数f (x )的值域为[1，+∞)．故答案为：[1，+∞)．7(2023•全国)f (x )为R 上奇函数，f (x +4)=f (x )，f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=6，f (-3)=．【解析】：f (x +4)=f (x )，则函数f (x )的周期为4，f (x )为R 上奇函数，f (0)=f (4)=0，令x =-2，则f (-2+4)=f (2)=f (-2)=-f (2)，解得f (2)=0，令x =-3，则f (1)=f (-3)=-f (3)，f (1)=f (5)=f (-3)，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=-f (3)+f (2)+f (3)+f (4)+f (-3)=f (-3)=6．故答案为：6．8(2023•全国)已知函数f (x )=2x +2-x ，则f (x )在区间-12，12的最大值为 ．【解析】：∵f (x )=2x +2-x ，∴f ′(x )=2x ln2-2-x ln2=ln2(2x -2-x )，令f ′(x )=0，则x =0，∴f (x )在-12，0 单调递减，在0，12单调递增，∴f -12 =322，f (0)=2，f 12 =322，则f (x )在区间-12，12的最大值为322．故答案为：322．9(2023•乙卷)函数f (x )=x 3+ax +2存在3个零点，则a 的取值范围是()A.(-∞，-2)B.(-∞，-3)C.(-4，-1)D.(-3，0)【解析】：f ′(x )=3x 2+a ，若函数f (x )=x 3+ax +2存在3个零点，则f ′(x )=3x 2+a =0，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，即判别式Δ=0-12a >0，得a <0，由f ′(x )>0得x >-a 3或x <--a 3，此时f (x )单调递增，由f ′(x )<0得--a 3<x <-a 3，此时f (x )单调递减，即当x =--a 3时，函数f (x )取得极大值，当x =-a 3时，f (x )取得极小值，则f --a 3>0，f -a 3 <0，即--a 3-a 3+a +2>0，且-a 3-a3+a +2<0，即--a 3×2a 3+2>0，①，且-a 3×2a3+2<0，②，则①恒成立，由-a 3×2a 3+2<0，2<--a 3×2a 3，平方得4<-a 3×4a 29，即a 3<-27，则a <-3，综上a <-3，即实数a 的取值范围是(-∞，-3)．故选：B ．第7页共43页自信自强博观而约取厚积而薄发10(2023•甲卷)函数y =f (x )的图象由y =cos 2x +π6 的图象向左平移π6个单位长度得到，则y =f (x )的图象与直线y =12x -12的交点个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】：y =cos 2x +π6 的图象向左平移π6个单位长度得到f (x )=cos 2x +π2 =-sin2x ，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y =f (x )的图象与直线y =12x -12的交点个数为：3．故选：C ．11(2023•全国)若log 2(x 2+2x +1)=4，且x >0，则x =()A.2B.3C.4D.5【解析】：∵log 2(x 2+2x +1)=4，∴x 2+2x +1=16，且x >0，解得x =3．故选：B ．12(2023•天津)若函数f (x )=ax 2-2x -|x 2-ax +1|有且仅有两个零点，则a 的取值范围为．【解析】：①当a =0时，f (x )=-2x -|x 2+1|=-2x -x 2-1，不满足题意；②当方程x 2-ax +1=0满足a ≠0且△≤0时，有a 2-4≤0即a ∈[-2，0)∪(0，2]，此时，f (x )=(a -1)x 2+(a -2)x -1，当a =1时，不满足，当a ≠1时，Δ=(a -2)2+4(a -1)=a 2>0，满足；③Δ>0时，a ∈(-∞，-2)∪(2，+∞)，记x 2-ax +1的两根为m ，n ，不妨设m <n ，则f (x )=[(a -1)x -1](x +1)，x ∈(-∞，m ]∪[n ，+∞)[(a +1)x -1](x -1)，x ∈(m ，n )，当a >2时，x 1=1a -1，x 2=-1且x ∈(-∞，m ]∪[n ，+∞)，但此时x 21-ax 1+1=-a +2(a -1)2<0，舍去x 1，x 3=1a +1，x 4=1，且x ∈(m ，n )，但此时x 23-ax 3+1=a +2(a -1)2>0，舍去x 3，故仅有1与-1两个解，于是，a ∈(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)．故答案为：(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)．第8页共43页专业专心专注13(2023•上海)已知函数f (x )=2-x +1，且g (x )=log 2(x +1)，x ≥0f (-x )，x <0，则方程g (x )=2的解为．【解析】：当x ≥0时，g (x )=2⇔log 2(x +1)=2，解得x =3；当x <0时，g (x )=f (-x )=2x +1=2，解得x =0(舍)；所以g (x )=2的解为：x =3．故答案为：x =3．14(多选)(2023•新高考Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p =20×lg pp 0，其中常数p 0(p 0>0)是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1，p 2，p 3，则()A.p 1≥p 2B.p 2>10p 3C.p 3=100p 0D.p 1≤100p 2【解析】：由题意得，60≤20lg p 1p 0≤90，1000p 0≤p 1≤1092p 0，50≤20lg p 2p 0≤60，1052p 0≤p 2≤1000p 0，20lg p 3p 0=40，p 3=100p 0，可得p 1≥p 2，A 正确；p 2≤10p 3=1000p 0，B 错误；p 3=100p 0，C 正确；p 1≤1092p 0=100×1052p 0≤100p 2，p 1≤100p 2，D 正确．故选：ACD ．15(2023•甲卷)已知函数f (x )=e -(x -1)2．记a =f 22，b =f 32 ，c =f 62，则()A.b >c >aB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【解析】：令g (x )=-(x -1)2，则g (x )的开口向下，对称轴为x =1，∵62-1-1-32 =6+32-42，而(6+3)2-42=9+62-16=62-7>0，∴62-1-1-32 =6+3-42>0，∴62-1>1-32，∴由一元二次函数的性质可知g 62<g 32 ，∵62-1-1-22 =6+2-42，而(6+2)2-42=43-8<0，∴62-1<1-22，∴g 62>g 22 ，综合可得g 22 <g 62 <g 32 ，又y =e x为增函数，∴a <c <b ，即b >c >a ．故选：A ．第9页共43页自信自强博观而约取 厚积而薄发16(2023•甲卷)曲线y =e x x +1在点1，e2 处的切线方程为()A.y =e4x B.y =e 2x C.y =e 4x +e 4D.y =e 2x +3e4【解析】：因为y =e xx +1，y ′=e x (x +1)-e x (x +1)'(x +1)2=xe x(x +1)2，故函数在点1，e 2 处的切线斜率k =e4，切线方程为y -e2=e 4(x -1)，即y =e 4x +e 4．故选：C ．17(2023•新高考Ⅱ)已知函数f (x )=ae x -ln x 在区间(1，2)上单调递增，则a 的最小值为()A.e 2B.eC.e -1D.e -2【解析】：对函数f (x )求导可得，f '(x )=ae x -1x，依题意，ae x -1x≥0在(1，2)上恒成立，即a ≥1xe x在(1，2)上恒成立，设g (x )=1xe x ，x ∈(1，2)，则g '(x )=-(e x +xe x )(xe x )2=-e x (x +1)(xe x )2，易知当x ∈(1，2)时，g ′(x )<0，则函数g (x )在(1，2)上单调递减，则a ≥g (x )max =g (1)=1e=e -1．故选：C ．18(2023•全国)已知函数f (x )=x 3+ax 2+x +b 在x =1处取得极小值1，则b =()A.-1B.0C.1D.2【解析】：f (x )=x 3+ax 2+x +b ，则f '(x )=3x 2+2ax +1，∵函数f (x )=x 3+ax 2+x +b 在x =1处取得极小值1，∴1+a +1+b =13+2a +1=0 ，解得a =-2b =1 ，故f (x )=x 3-2x 2+x +1，f '(x )=3x 2-4x +1，令f '(x )=0，解得x =13或x =1，f (x )在-∞，13 ，在(1，+∞)上单调递增，在13，1上单调递减，故f (x )在x =1处取得极小值，故b =1，符合题意．故选：C ．19(2023•全国)曲线y =2ln x +x 2在(1，1)处切线方程为．【解析】：由y =2ln x +x 2可得y ′=2x+2x ，x >0，曲线在点(1，1)处的切线斜率为k =4，所以所求切线方程为y -1=4(x -1)即y =4x -3．故答案为：y =4x -3．第10页共43页专业专心专注20(2023•乙卷)设a ∈(0，1)，若函数f (x )=a x +(1+a )x 在(0，+∞)上单调递增，则a 的取值范围是 ．【解析】：∵函数f (x )=a x +(1+a )x 在(0，+∞)上单调递增，∴f ′(x )=a x ln a +(1+a )x ln (1+a )≥0在(0，+∞)上恒成立，即(1+a )x ln (1+a )≥-a x ln a ，化简可得1+a a x ≥-ln aln (1+a )在(0，+∞)上恒成立，而在(0，+∞)上1+a a x>1，故有1≥-ln a ln (1+a )，由a ∈(0，1)，化简可得ln (1+a )≥ln 1a ，即1+a ≥1a ，a 2+a -1≥0，解答5-12≤a <1，故a 的取值范围是5-12，1．故答案为：5-12，1 ．21(多选)(2023•新高考Ⅱ)若函数f (x )=a ln x +b x +cx2(a ≠0)既有极大值也有极小值，则()A.bc >0B.ab >0C.b 2+8ac >0D.ac <0【解析】：函数定义域为(0，+∞)，且f ′(x )=a x -b x 2-2c x 3=ax 2-bx -2cx 3，由题意，方程f ′(x )=0即ax 2-bx -2c =0有两个正根，设为x 1，x 2，则有x 1+x 2=b a >0，x 1x 2=-2ca>0，Δ=b 2+8ac >0，∴ab >0，ac <0，∴ab •ac =a 2bc <0，即bc <0．故选：BCD ．第11页共43页自信自强博观而约取厚积而薄发第四章三角函数1(2023•甲卷)已知f (x )为函数y =cos 2x +π6 向左平移π6个单位所得函数，则y =f (x )与y =12x -12的交点个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】：把函数y =cos 2x +π6向左平移π6个单位可得函数f (x )=cos 2x +π2=-sin2x 的图象，而直线y =12x -12=12(x -1)经过点(1，0)，且斜率为12，且直线还经过点3π2，3π-24 ，-3π2，-3π+12 ，0<3π-24<1，-3π+12<-1，如图，故y =f (x )与y =12x -12的交点个数为3．故选：C ．2(2023•乙卷)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6，2π3 单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f (x )的图像的两条对称轴，则f -5π12=()A.-32B.-12C.12D.32【解析】：根据题意可知T 2=2π3-π6=π2，∴T =π，取ω>0，∴ω=2πT=2，又根据“五点法“可得2×π6+φ=-π2+2k π，k ∈Z ，∴φ=-5π6+2k π，k ∈Z ，∴f (x )=sin 2x -5π6+2k π =sin 2x -5π6，∴f -5π12 =sin -5π6-5π6 =sin -5π3 =sin π3=32．故选：D ．3(2023•甲卷)“sin 2α+sin 2β=1”是“sin α+cos β=0”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】：sin 2α+sin 2β=1，可知sin β=±cos α，可得sin α±cos β=0，所以“sin 2α+sin 2β=1”是“sin α+cos β=0”的必要不充分条件，故选：B ．第12页共43页专业专心专注4(2023•上海)已知a ∈R ，记y =sin x 在[a ，2a ]的最小值为s a ，在[2a ，3a ]的最小值为t a ，则下列情况不可能的是()A.s a >0，t a >0B.s a <0，t a <0C.s a >0，t a <0D.s a <0，t a >0【解析】：由给定区间可知，a >0．区间[a ，2a ]与区间[2a ，3a ]相邻，且区间长度相同．取a =π6，则[a ，2a ]=π6，π3 ，区间[2a ，3a ]=π3，π2 ，可知s a >0，t a >0，故A 可能；取a =5π12，则[a ，2a ]=5π12，5π6 ，区间[2a ，3a ]=5π6，5π4 ，可知s a >0，t a <0，故C 可能；取a =7π6，则[a ，2a ]=7π6，7π3，区间[2a ，3a ]=7π3，7π2 ，可知s a <0，t a <0，故B 可能．结合选项可得，不可能的是s a <0，t a >0．故选：D ．5(2023•乙卷)已知等差数列{a n }的公差为2π3，集合S ={cos a n |n ∈N *}，若S ={a ，b }，则ab =()A.-1B.-12C.0D.12【解析】：设等差数列{a n }的首项为a 1，又公差为2π3，∴a n =a 1+2π3(n -1)，∴cos a n =cos 2n π3+a 1-2π3，其周期为2π2π3=3，又根据题意可知S 集合中仅有两个元素，∴可利用对称性，对a n 取特值，如a 1=0，a 2=2π3，a 3=4π3，•••，或a 1=-π3，a 2=π3，a 3=π，•••，代入集合S 中计算易得：ab =-12．故选：B ．6(2023•新高考Ⅱ)已知α为锐角，cos α=1+54，则sin α2=()A.3-58B.-1+58C.3-54D.-1+54【解析】：cos α=1+54，则cos α=1-2sin 2α2，故2sin 2α2=1-cos α=3-54，即sin 2α2=3-58=(5)2+12-2516=(5-1)216，∵α为锐角，∴sin α2>0，∴sin α2=-1+54．故选：D ．第13页共43页自律自信自强博观而约取 厚积而薄发7(2023•天津)已知函数f (x )的一条对称轴为直线x =2，一个周期为4，则f (x )的解析式可能为()A.sin π2xB.cos π2xC.sin π4xD.cos π4x【解析】：A ：若f (x )=sin π2x ，则T =2ππ2=4，令π2x =π2+k π，k ∈Z ，则x =1+2k ，k ∈Z ，显然x =2不是对称轴，不符合题意；B ：若f (x )=cos π2x ，则T =2ππ2=4，令π2x =k π，k ∈Z ，则x =2k ，k ∈Z ，故x =2是一条对称轴，B 符合题意；C ：f (x )=sin π4x ，则T =2ππ4=8，不符合题意；D ：f (x )=cos π4x ，则T =2ππ4=8，不符合题意．故选：B ．8(2023•新高考Ⅰ)已知sin (α-β)=13，cos αsin β=16，则cos (2α+2β)=()A.79B.19C.-19D.-79【解析】：因为sin (α-β)=sin αcos β-sin βcos α=13，cos αsin β=16，所以sin αcos β=12，所以sin (α+β)=sin αcos β+sin βcos α=12+16=23，则cos (2α+2β)=1-2sin 2(α+β)=1-2×49=19．故选：B ．9(2023•全国)已知函数f (x )=sin 2πx -π5，则()A.-320，720 上单调递增B.-15，310 上单调递增C.310，45 上单调递减D.320，1320上单调递增【解析】：f (x )=sin 2πx -π5，令-π2+2k π≤2πx -π5≤π2+2k π，k ∈Z ，解得-320+k ≤x ≤720+k ，k ∈Z ，当k =0时，-320≤x ≤720，故f (x )在-320，720上单调递增．故选：A ．10(2023•乙卷)若θ∈0，π2，tan θ=12，则sin θ-cos θ= ．【解析】：∵θ∈0，π2 ，tan θ=12=y x ，∴令x =2，y =1，设θ终边上一点的坐标P (2，1)，则r =|OP |=22+12=5，则sin θ-cos θ=15-25=-15=-55．故答案为：-55．第14页共43页专业专心专注11(2023•上海)已知tan α=3，则tan2α= ．【解析】：∵tan α=3，∴tan2α=2tan α1-tan 2α=2×31-32=-34．故答案为：-34．12(2023•新高考Ⅱ)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)，如图，A ，B 是直线y =12与曲线y =f (x )的两个交点，若|AB |=π6，则f (π)= ．【解析】：由题意：设A x 1，12 ，B x 2，12 ，则x 2-x 1=π6，由y =A sin (ωx +φ)的图象可知：ωx 2+φ-(ωx 1+φ)=5π6-π6=2π3，即ω(x 2-x 1)=2π3，∴ω=4，又f 2π3 =sin 8π3+φ =0，∴8π3+φ=k π，k ∈Z ，即φ=-8π3+k π，k ∈Z ，观察图象，可知当k =2时，φ=-2π3满足条件，∴f (π)=sin 4π-2π3=-32．故答案为：-32．13(2023•新高考Ⅰ)已知函数f (x )=cos ωx -1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．【解析】：x ∈[0，2π]，函数的周期为2πω(ω>0)，cos ωx -1=0，可得cos ωx =1，函数f (x )=cos ωx -1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，可得2⋅2πω≤2π<3⋅2πω，所以2≤ω<3．故答案为：[2，3)．14(2023•全国)已知sin2θ=-13，若π4<θ<3π4，则tan θ=．【解析】：∵π4<θ<3π4，且sin2θ=2sin θcos θ=-13<0，∴sin θ>0，cos θ<0，∴π2<θ<3π4，tan θ<-1，∵sin2θ=2sin θcos θ=-13，∴2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=2tan θtan 2θ+1=-13，解得tan θ=-3-22或-3+22(舍)．故答案为：-3-22．第15页共43页自信自强博观而约取 厚积而薄发第五章平面向量1(2023•乙卷)正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC •ED=()A.5B.3C.25D.5【解析】：正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，所以EB ⋅EA =-1，EB ⊥AD ，EA ⊥BC ，BC ⋅AD =2×2=4，则EC •ED =(EB +BC )•(EA +AD )=EB ⋅EA +EB ⋅AD +EA ⋅BC +BC ⋅AD=-1+0+0+4=3．故选：B ．2(2023•甲卷)已知向量a =(3，1)，b =(2，2)，则cos ‹a +b ，a -b›=()A.117B.1717C.55D.255【解析】：根据题意，向量a=(3，1)，b =(2，2)，则a +b =(5，3)，a -b =(1，-1)，则有|a +b |=25+9=34，|a -b |=1+1=2，(a +b )•(a -b )=2，故cos ‹a +b ，a -b ›=(a +b )⋅(a -b )|a +b ||a -b |=234⋅21717．故选：B ．3(2023•甲卷)向量|a |=|b |=1，|c |=2，且a +b +c =0 ，则cos ‹a -c ，b -c›=()A.-15B.-25C.25D.45【解析】：因为向量|a |=|b |=1，|c |=2，且a +b +c =0 ，所以-c =a +b，所以c 2=a 2+b 2+2a •b ，即2=1+1+2×1×1×cos <a ，b>，解得cos <a ，b >=0，所以a ⊥b，又a -c =2a +b ，b -c =a+2b ，所以(a -c )•(b -c )=(2a +b )•(a +2b )=2a 2+2b 2+5a •b=2+2+0=4，|a -c |=|b -c |=4a 2+4a ⋅b +b 2=4+0+1=5，所以cos ‹a -c ，b -c ›=(a -c )⋅(b -c )|a -c ||b -c |=45×5=45．故选：D ．4(2023•乙卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a cos B -b cos A =c ，且C =π5，则∠B =()A.π10B.π5C.3π10D.2π5【解析】：由a cos B -b cos A =c 得sin A cos B -sin B cos A =sin C ，得sin (A -B )=sin C =sin (A +B )，即sin A cos B -sin B cos A =sin A cos B +sin B cos A ，即2sin B cos A =0，得sin B cos A =0，在△ABC 中，sin B ≠0，∴cos A =0，即A =π2，则B =π-A -C =π-π2-π5=3π10．故选：C ．第16页共43页专业专心专注5(2023•新高考Ⅰ)已知向量a =(1，1)，b =(1，-1)．若(a +λb )⊥(a +μb )，则()A.λ+μ=1B.λ+μ=-1C.λμ=1D.λμ=-1【解析】：∵a=(1，1)，b =(1，-1)，∴a +λb =(λ+1，1-λ)，a+μb =(μ+1，1-μ)，由(a +λb )⊥(a+μb )，得(λ+1)(μ+1)+(1-λ)(1-μ)=0，整理得：2λμ+2=0，即λμ=-1．故选：D ．6(2023•全国)设向量a =(2，x +1)，b =(x -2，-1)，若a ⊥b，则x =()A.5B.2C.1D.0【解析】：∵向量a =(2，x +1)，b =(x -2，-1)，a ⊥b，∴a ⋅b=0，可得2(x -2)+(x +1)×(-1)=0，∴x =5．故选：A ．7(2023•天津)在△ABC 中，∠A =60°，|BC |=1，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设AB=a ，AC =b ，则AE 可用a ，b表示为；若BF =13BC ，则AE •AF 的最大值为 ．【解析】：在△ABC 中，∠A =60°，|BC |=1，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，AB =a ，AC =b，则AE =12(AD +AC )=14AB +12AC =14a +12b ；设|AB|=x ，|AC |=y ，由余弦定理可得：1=x 2+y 2-xy ，又x 2+y 2≥2xy ，即xy ≤1，当且仅当x =y 时取等号，又BF =13BC ，则AF =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB +13AC =23a +13b ，则AE ⋅AF =14a +12b⋅23a +13b =112(2a 2+5a ⋅b+2b 2)=1122x 2+2y 2+52xy =11292xy +2 ≤11292+2 =1324，即AE •AF 的最大值为1324．故答案为：14a +12b ；1324．第17页共43页自信自强博观而约取 厚积而薄发8(2023•上海)某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m 消耗的体力为(1.025-cos θ)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ=．【解析】：斜坡的长度为l =4sin θ，上坡所消耗的总体力y =4sin θ×(1.025-cos θ)=4.1-4cos θsin θ，函数的导数y ′=4sin θ⋅sin θ-(4.1-4cos θ)cos θsin 2θ=4-4.1cos θsin 2θ，由y ′=0，得4-4.1cos θ=0，得cos θ=4041，θ=arccos 4041，由f ′(x )>0时cos θ<4041，即arccos 4041<θ<π2时，函数单调递增，由f ′(x )<0时cos θ>4041，即0<θ<arccos 4041时，函数单调递减，即θ=arccos 4041，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：θ=arccos 4041．9(2023•甲卷)在△ABC 中，∠BAC =60°，AB =2，BC =6，D 为BC 上一点，AD 为∠BAC 的平分线，则AD =．【解析】：如图，∵在△ABC 中，AB =2，∠BAC =60°，BC =6，∴由正弦定理可得BCsin ∠BAC =AB sin ∠ACB，∴sin ∠ACB =AB ×sin ∠BAC BC =2×326=22，又∠BAC =60°，∴∠ACB =45°，∴∠ABC =180°-45°-60°=75°，又AD 为∠BAC 的平分线，且∠BAC =60°，∴∠BAD =30°，又∠ABC =75°，∴∠ADB =75°，∴AD =AB =2．故答案为：2．10(2023•上海)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a =4，b =5，c =6，则sin A = ．【解析】：a =4，b =5，c =6，由余弦定理得，cos A =b 2+c 2-a 22bc =25+36-162×5×6=34，又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A =1-cos 2A =1-34 2=74．故答案为：74．第18页共43页专业专心专注11(2023•新高考Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a -b |=3，|a +b |=|2a -b|，则|b |= ．【解析】：∵|a -b |=3，|a +b |=|2a -b |，∴a 2+b 2-2a ⋅b =3，a 2+b 2+2a ⋅b =4a 2+b 2-4a ⋅b ，∴a 2=2a ⋅b，∴b 2=3，∴|b|=3．故答案为：3．12(2023•全国)在△ABC 中，A =2B ，a =6，b =4，则cos B = ．【解析】：在△ABC 中，A =2B ，a =6，b =4，则a sin A =b sin B ，即6sin2B =62sin B cos B =4sin B，解得cos B =34．故答案为：34．13(2023•上海)已知OA 、OB 、OC 为空间中三组单位向量，且OA ⊥OB 、OA ⊥OC ，OB 与OC夹角为60°，点P 为空间任意一点，且|OP |=1，满足|OP •OC |≤|OP •OB |≤|OP •OA |，则|OP •OC|最大值为 ．【解析】：设OA =(0，0，1)，OB =32，12，0 ，OC =(0，1，0)，OP =(x ，y ，z )，不妨设x ，y ，z >0，则|OP |=x 2+y 2+z 2=1，因为|OP •OC |≤|OP •OB |≤|OP •OA |，所以y ≤32x +12y ≤z ，可得x ≥33y ，z ≥y ，所以1=x 2+y 2+z 2≥13y 2+y 2+y 2，解得y 2≤37，故OP ⋅OC =y ≤217．故答案为：217．14(2023•上海)已知向量a =(3，4)，b =(1，2)，则a -2b =．【解析】：因为向量a=(3，4)，b =(1，2)，所以a-2b =(3-2×1，4-2×2)=(1，0)．故答案为：(1，0)．第19页共43页自信自强博观而约取 厚积而薄发第六章立体几何1(2023•甲卷)在三棱锥P -ABC 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，PA =PB =2，PC =6，则该棱锥的体积为()A.1B.3C.2D.3【解析】：如图，PA =PB =2，AB =BC =2，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，可得AB ⊥PD ，AB ⊥CD ，又PD ∩CD =D ，PD 、CD ⊂平面PCD ，∴AB ⊥平面PCD ，在△PAB 与△ABC 中，求得PD =CD =22-12=3，在△PCD 中，由PD =CD =3，PC =6，得PD 2+CD 2=PC 2，则PD ⊥CD ，∴S △PCD =12×PD ×CD =12×3×3=32，∴V P -ABC =13S △PCD ×AB =13×32×2=1．故选：A ．2(2023•乙卷)已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120°，若△PAB 的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π【解析】：根据题意，设该圆锥的高为h ，即PO =h ，取AB 的中点E ，连接PE 、OE ，由于圆锥PO 的底面半径为3，即OA =OB =3，而∠AOB =120°，故AB =OA 2+OB2-2OA ⋅OB ⋅cos120°=3+3+3=3，同时OE =OA ×sin30°=32，△PAB 中，PA =PB ，E 为AB 的中点，则有PE ⊥AB ，又由△PAB 的面积等于934，即12PE •AB =934，变形可得PE =332，而PE =h 2+34，则有h 2+34=274，解可得h =6，故该圆锥的体积V =13π×(3)2h =6π．故选：B ．第20页共43页3(2023•乙卷)已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25【解析】：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，DE ，则根据题意易得AB ⊥CE ，AB ⊥DE ，∴二面角C -AB -D 的平面角为∠CED =150°，∵AB ⊥CE ，AB ⊥DE ，且CE ∩DE =E ，∴AB ⊥平面AED ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面AED ⊥平面ABC ，∴CD 在平面ABC 内的射影为CE ，∴直线CD 与平面ABC 所成角为∠DCE ，过D 作DH 垂直CE 所在直线，垂足点为H ，设等腰直角三角形ABC 的斜边长为2，则可易得CE =1，DE =3，又∠DEH =30°，∴DH =32，EH =32，∴CH =1+32=52，∴tan ∠DCE =DH CH =3252=35．故选：C ．4(2023•天津)在三棱锥P -ABC 中，线段PC 上的点M 满足PM =13PC ，线段PB 上的点N 满足PN =23PB ，则三棱锥P -AMN 和三棱锥P -ABC 的体积之比为()A.19 B.29 C.13 D.49【解析】：在三棱锥P -ABC 中，线段PC 上的点M 满足PM =13PC ，线段PB 上的点N 满足PN =23PB ，所以S △PMA =13S △PAC ，设N 到平面PAC 的距离d 1，B 到平面PAC 的距离d 2，则d 1=23d 2，则三棱锥P -AMN 的体积为V 三棱锥P -AMN =V 三棱锥N -APM =13S △PAM •d 1=13×13S △PAC ×23d 2=29V 三棱锥B -PAC ．故三棱锥P -AMN 和三棱锥P -ABC 的体积之比为29．故选：B ．博观而约取 厚积而薄发5(2023•甲卷)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB =4，PC =PD =3，∠PCA =45°，则△PBC 的面积为()A.22B.32C.42D.52【解析】：如图，设P 在底面的射影为H ，连接HC ，设∠PCH =θ，∠ACH =α，且α∈0，π2，则∠HCD =45°-α，或∠HCD =45°+α，易知cos ∠PCD =23，又∠PCA =45°，则根据最小角定理(三余弦定理)可得：cos ∠PCA =cos θcos αcos ∠PCD =cos θcos ∠HCD ，∴22=cos θcos α23=cos θcos (45°-α) 或22=cos θcos α23=cos θcos (45°+α)，∴cos (45°-α)cos α=223或cos (45°+α)cos α=223，∴cos α+sin αcos α=43或cos α-sin αcos α=43，∴tan α=13或tan α=-13，又α∈0，π2 ，∴tan α=13，∴cos α=310，sin α=110，∴22=310cos θ，∴cos θ=53，再根据最小角定理可得：cos ∠PCB =cos θcos (45°+α)=53×22310-110=13，∴sin ∠PCB =223，又BC =4，PC =3，∴△PBC 的面积为12×BC ×PC ×sin ∠PCB =12×4×3×223=42．故选：C ．6(2023•全国)长方体的对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为()A.2108B.227C.29D.26【解析】：不妨设长方体底面为正方形，边长为a ，高为b ，则底面的对角线为a 2+a 2=2a ，∵长方体的对角线长为1，表面积为1，∴4ab +2a 2=1(2a )2+b 2=1 ，解得a =26b =223，∴长方体体积为a 2b =227．故选：B ．7(2023•上海)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是()A.DD1B.AC C.AD1D.B1C【解析】：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选：B．8(2023•甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．【解析】：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，EF中点为O，取AB，BB1中点G，M，侧面BB1C1C的中心为N，连接FG，EG，OM，ON，MN，如图，由题意得O为球心，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF=FG2+EG2=4+4=22，∴R=2，则球心O到BB1的距离为OM=ON2+MN2=1+1=2，∴球O与棱BB1相切，球面与棱BB1只有一个交点，同理，根据正方体ABCD-A1B1C1D1的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，∴以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．故答案为：12．9(2023•甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是．【解析】：设球的半径为R，当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R′为体对角线长AC1=42+42+42=43，博观而约取 厚积而薄发即2R ′=43，R ′=23，故R max =23，分别取侧枝AA 1，BB 1，CC 1，DD 1的中点M ，H ，G ，N ，则四边形MNGH 是边长为4的正方形，且O 为正方形MNGH 的对角线交点，连接MG ，则MG =42，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH 的外接圆，球的半径最小，即R 的最小值为22，综上，球O 的半径的取值范围是[22，23]．故答案为：[22，23]．10(2023•上海)空间中有三个点A 、B 、C ，且AB =BC =CA =1，在空间中任取2个不同的点，使得它们与A 、B 、C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有种．【解析】：如图所示，设任取2个不同的点为P 、Q ，当△ABC 为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC 的两侧分别可以做ABPQ 作为圆锥的底面，有2种情况，同理以BCPQ 、ACPQ 为底面各有2种情况，所以共有6种情况；当△ABC 为正四棱锥的截面时，如图，P 、Q 位于AB 两侧，APBQ 为圆锥的底面，只有一种情况，同理以BPCQ 、APCQ 为底面各有1种情况，所以共有3种情况；综上，共有6+3=9种情况．故答案为：9．11(2023•新高考Ⅱ)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．【解析】：如图所示，根据题意易知△SO 1A 1∽△SOA ，∴SO 1SO =O 1A 1OA =222=12，又SO 1=3，∴SO =6，∴OO 1=3，又上下底面正方形边长分别为2，4，∴所得棱台的体积为13×(4+16+4×16)×3=28．故答案为：28．12(2023•新高考Ⅰ)在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，A 1B 1=1，AA 1=2，则该棱台的体积为 ．【解析】：如图，设正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的上下底面中心分别为M ，N ，过A 1作A 1H ⊥AC ，垂足点为H ，由题意易知A 1M =HN =22，又AN =2，∴AH =AN -HN =22，又AA 1=2，∴A 1H =MN =62，∴该四棱台的体积为13×(1+4+1×4)×62=766．故答案为：766．13(多选)(2023•新高考Ⅱ)已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，∠APB =120°，PA =2，点C 在底面圆周上，且二面角P -AC -O 为45°，则()A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为43πC.AC =22D.△PAC 的面积为3【解析】：取AC 中点D ，则OD ⊥AC ，PD ⊥AC ，由二面角的定义可知，二面角P -AC -O 的平面角即为∠PDO =45°，博观而约取 厚积而薄发对于A ，△PAB 中，由于PA =PB =2，∠APB =120°，则PO =1，AO =3，则OD =1，V =13⋅3π⋅1=π，选项A 正确．对于B ，S 侧=π×3×2=23π，选项B 错误．对于C ，AC =23-1=22，选项C 正确．对于D ，PD =2，S △PAC =12×2×22=2，选项D 错误．故选：AC ．14(多选)(2023•新高考Ⅰ)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m )的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为1.4m 的四面体C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【解析】：对于A ，棱长为1的正方体内切球的直径为1>0.99，选项A 正确；对于B ，如图，正方体内部最大的正四面体D -A 1BC 1的棱长为12+12=2>1.4，选项B 正确；对于C ，棱长为1的正方体的体对角线为3<1.8，选项C 错误；对于D ，如图，六边形EFGHIJ 为正六边形，E ，F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，六边形EFGHIJ 棱长为22米，∠GFH =∠GHF =30°，所以FH =3FG =3GH =62米，故六边形EFGHIJ 内切圆半径为62米，而62 2=32>(1.2)2=1.44，选项D 正确．故选：ABD ．第七章统计与概率1(2023•上海)如图为2017-2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是()A.从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B.从2018年开始，进出口总额逐年增大C.从2018年开始，进口总额逐年增大D.从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小【解析】：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确．故选：C．2(2023•上海)现有某地一年四个季度的GDP(亿元)，第一季度GDP为232(亿元)，第四季度GDP 为241(亿元)，四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为．【解析】：设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232<x<y<241，∵中位数与平均数相同，∴x+y2=232+x+y+2414，∴x+y=473，∴该地一年的GDP为232+x+y+241=946(亿元)．故答案为：946(亿元)．3(2023•上海)某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为．【解析】：极差为186-154=32，组距为5，且第一组下限为153.5，325=6.4，故组数为7组，故答案为：7．。