电磁场与电磁波例题详解

电磁场与电磁波例题详解

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第1章 矢量分析

例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。

解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为

0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ：

0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z +=

例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x

++=的矢量线方程。

解： 矢量线应满足的微分方程为 ：

z

y dz

y x dy xy dx 222== 从而有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==z y dz xy

dx y

x dy xy dx 2222

解之即得矢量方程⎩⎨⎧=-=2

2

21c y x x

c z ，c 1和c 2是积分常数。

例1.3 求函数xyz z xy -+=22ϕ在点（1，1，2）处沿方向角

3

,4

,3

π

γπ

βπ

α=

=

=

的方向导数。

解：由于

1)

2,1,1(2)

2,1,1(-=-=∂∂==M M yz

y x ϕ, 02)

2,1,1()

2,1,1(=-=∂∂==M M xz

xy y

ϕ,

32)

2,1,1()

2,1,1(=-=∂∂==M M xy

z z

ϕ,

2

1cos ,22cos ,21cos ===

γβα 所以

1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=

∂∂γϕβϕαϕϕz

y x l

M

例1.4 求函数xyz =ϕ在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。

解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为

1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l

++=-+-+-=

其单位矢量

3147

31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5,

10,

2)

2,1,5()2,1,5()2,1,5()

2,1,5()

2,1,5()

2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂xy

z

xz

y

yz

x

ϕ

ϕϕ

所求方向导数

314

123

cos cos cos =

⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ l z y x l

M

ϕγϕβϕαϕϕ

例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=ϕ，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。

解：由于)66()24()32(-+-++++=∇z a x y a y x a z y x

ϕ

所以 623)

0,0,0(z y x a a a

---=∇ϕ ，36)

1,1,1(y x a a +=∇ϕ

例1.6 运用散度定理计算下列积分：

⎰⋅++-+=S

z y x S d z y xy a z y x a xz a I

)]2()([2322

S 是0=z 和2

2

22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。

解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+=

则由散度定理⎰⎰⋅=⋅∇τ

τs

S d A d A

可得

50

420

20

420

2022225

2sin sin )(a dr

r d d d drd r d r d y x z d A S d A I a

a

s

πθθϕϕ

θθτ

ττπ

π

π

π

τ

ττ====++=⋅∇=⋅=⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

例1.7 试求A ⋅∇和A

⨯∇:

(1) 2

2332y x a z x a z xy a A z y x ++=

(2) ϕϕϕsin cos ),,(22r a r a z r A z r

+=

(3) θθθϕθϕθcos 1

sin 1sin ),,(2r a r a r a r A r ++=

解：

323200)

1(z y z y z

A y A x A A z

y x =++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇

)

23()23()2(32222322

2332xyz z x a xy z xy a x y x a y x z x z xy z y x a a a A A A z y x a a a A z y x z y x z y x z y x -+-+-=∂∂∂∂∂∂=

∂∂∂∂∂∂=⨯∇

ϕϕϕϕϕcos 3)sin (0)cos (11)(1)

2(23r r z

r r r z A A r rA r r A z r =∂∂++∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇

]

sin sin 2cos )]sin 0()sin 20()0cos ([1sin 0cos 112222ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕr a r a r a r a r a r r a r r r z r a a r a r A rA A z r a a r a r A z r z r z r z r z r

+-=++-+-=∂∂∂∂∂∂=

∂∂∂∂∂∂=

⨯∇