江苏省邗江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
江苏省邗江中学2020-2021学年度第一学期
高二数学期中试卷
命题人：
说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． 1．命题“
，20x x -≤”的否定是（ ）
A.x ∀∈R ，20x x -<
B.x ∃∈R ，20x x -≤
C.x ∃∈R ，20x x -≥
D.x ∃∈R ，20x x ->
2．已知m ，n ∈R 则“m ＞0且n ＞0”是“曲线22
1x y m n
+
=为椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ）
A ．2
B ．
1
2 C ．
3 D ．13
4．已知等差数列{}n a 中，243,5a a ==，则
1223910
111
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．
2
5
B ．
922
C ．
910
D ．
1011
5. 设双曲线C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若
C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）
A. 22144x y -=
B. 22
14y x -= C. 2214
x y -= D. 221x y -=
6．关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集为(,)a b ，则32a b +的最小值是（ ） A ．
322
2
+ B ．526+ C ．
5
62
D ．3
7. 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相
距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ） A ．6 B ．12
C ．18
D ．24
8．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对
于任意实数a ∈[﹣2，2]，且任意的*N n ∈，不等式121
21
-+<++at t n a n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
D ．[﹣2，2]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.若“21x >”是“x m <”的必要不充分条件，则实数m 的值可以是（ ） A ．—3 B. —2 C. —1 D. 0
10．已知关于x 的不等式230ax bx ++>，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ） A ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}
3x x > B ．不等式230ax bx ++>的解集可以是R C ．不等式230ax bx ++>的解集可以是∅
D ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}
13x x -<<
11. 设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．数列{}n S n +为等比数列
C ．数列{}n a 中a 10=511
D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---
12．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 抛物线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．A
B 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切
C ．12x x 为定值
D ．若()1,0M -，则AMF BMF ∠=∠
第II 卷（填空题和解答题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.己知命题p ：235],1,1[2+≥---∈∀m a a m ，且p 是真命题，则实数a 的取值范围是______． 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与 丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，乙所得为________钱．
15．已知1F ，2F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲
线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足2
32S p =，则该双曲线的离心率为______.
16.设二次函数2()()f x ax bx c a b c =++，
，为常数.若不等式()2≥+f x ax b 的解集为R ，则2
22
3c a b +的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知p ：0652<+-x x ，q ：02322<+-m mx x ，其中0m >． （1）若m =2，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
18.已知数列{}n b 为等比数列，21n n b a n =+-，且15a =，215a =． （1）求{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
19.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足
41
k
x m =-
+(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816x
x
+元来计算）． （1）求k 的值；
（2）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
20．已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点()0,1F . （1）求抛物线C 的方程；
（2）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：2y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值.
21．设数列{
}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，n ∈+N ，数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设()3n n c n b =-，数列()3n n c n b =-的前n 项和为n T ，求证：8n T <； （3）设数列{}n d 满足()
1
1
41n n
n n
d a λ-=+-⋅⋅
（n ∈+N ），若数列{}n d 是递增数列，求实数λ的取值范围.
22.如图，已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为12， A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，
右焦点F ，BF=1，过F 且斜率为k(k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，M 在x 轴上方． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若
123
2
S S =，求k 的值； （3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与直线4x =相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为k 1，k 2，k 3 ，求k 2·(k 1－k 3) 的值．。
江苏省邗江中学2021-2022高二数学上学期期中试题(新疆班,无答案).doc
江苏省邗江中学2021-2022高二数学上学期期中试题（新疆班，无答案）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}0,1,2,3A =，集合{}1,1B =-，则AB = （ ）A ．{}1B ． {}1,1-C ．{}1,0-D ． {}1,01-，2.︒330sin 的值是 （ ）A.21 B. 23C. 21- D.23-3．如果点(sin ,cos )P θθ位于第四象限，那么角θ所在的象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE ＝ （ ）A ．12AB AD -+ B ．12AB AD -C ．12AB AD + D ．12AB AD -5．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将sin 2y x =的图像 （ ） A ．向左平移π3个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 6.三个数6log 66.06.06.06，，的大小关系为 ( ) A.6.06.0666log 6.0＜＜ B.6log 66.06.06.06＜＜ C.66.06.06.066log ＜＜ D.6.066.066.06log ＜＜7. 下列四式中不能化简为→AD 的是 （ ） A (→AB ＋→CD )＋→BCB (→AD ＋→MB )＋(→BC ＋→CM )C (→MB ＋→AD )－→BMD (→OC －→OA )＋→CD8. 函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是 （ ）A ．2x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．6x π=-9. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）A ．y x =B ．tan y x =C ．1()2x y = D ． 3y x =10．设向量(,1),(1,3)a m b ==-，且()a a b ⊥+，则m = （ ）A ． 3B ．2-C ．21-或D ．31或11.若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = （ ）A.1B.eC.1eD.-1 12．已知函数2,1()25,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得12()()f x f x =，则a 的取值范围为 ( )A.2a <B.4a <C. 24a ≤<D.-12a > 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）13．函数y =____________．14. 在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则a =15. 设(2,3),(2,5),(1,4),AB BC CD AD ==--=-=16. 若直线1y x b e=+ 是曲线y = ln x 的一条切线，则实数b 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，c ＝(3，4) ．（1）求a · (b ＋c )； （2）若(a ＋λb )∥c ，求实数λ的值． 18. （本小题满分12分）已知集合{|11}A x a x a =-<<+，{|03}B x x =<<． ⑴若0=a ，求AB ；⑵若B A ⊆，求实数a 的取值范围．19. （本小题满分12分）已知5cos()13αβ+=，4cos 5β=，,αβ均为锐角，求sin α的值20. （本小题满分12分） 已知函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=+>>的部分图象如图所示．(1)求,A ω的值； (2)求()f x 的单调增区间；（3）当x ∈[－π2，0] 时，求函数f (x ) 的值域．21.（本小题满分12分）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为)(x G （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入⎩⎨⎧>≤≤+-=)5(11)50(2.44.0)(2x x x x x R ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数)(x f y =的解析式（利润=销售收入—总成本）；(2)甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？22．（本小题满分12分）设函数f(x)＝ln x－ax，a∈R．（1）当x＝1时，函数f(x)取得极值，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f(x)在区间[1，2]的最大值；（3）当a＝－1时，关于x的方程2mf(x)＝x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．。
2023学年江苏省扬州市邗江区高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于( )A. 90B. 45C. 30D. 1862.下列函数的最小值为2的是 ( )A. B.C. D.3.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为( )A. 174B. 184C. 188D. 1604.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园阴影部分，则其边长单位的取值范围是( )A.B.C.D.5.记为数列的前n项和，且，则的值为( )A. B. C. D.6.已知，条件p：，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值不可能的是( )A. B. 1 C. 2 D.7.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则8.设是等差数列，下列结论正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题的中，是存在性命题且是真命题的是( )A. 至少有一个实数x，使B. 所有正方形都是矩形C. D. ，10.如图是二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为，则以下选项中正确的为( )A.B.C.D.11.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是( )A. 此数列的第20项是200B. 此数列的第19项是182C. 此数列偶数项的通项公式为D. 此数列的前n项和为12.已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的是( )A. 数列的前10项和为100B. 若，，成等比数列，则C. 若，则n的最小值为6D. 若，则的最小值为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“，”的否定是______ .14.已知正数x，y满足，则的最小值为______ .15.对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______ .16.已知数列的前n项和为，，且，，记，若对恒成立，则的最小值为______ .四、解答题（本大题共6小题，共70分。
江苏省邗江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题Word版
江苏省邗江中学2021-2021学年度第一学期高二数学期中试卷命题人：说明：本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，全卷总分值150分，考试时间120分钟。
第I 卷〔选择题 共60分〕一、单项选择题：此题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．命题“，20x x -≤〞的否认是〔〕A.x ∀∈R ，20x x -<B.x ∃∈R ，20x x -≤C.x ∃∈R ，20x x -≥D.x ∃∈R ，20x x ->2．m ，n ∈R 那么“m ＞0且n ＞0〞是“曲线221x y m n+=为椭圆〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在正项等比数列{}n a 中，假设657,3,a a a 依次成等差数列，那么{}n a 的公比为〔〕A ．2B ．12 C ．3 D ．134．等差数列{}n a 中，243,5a a ==，那么1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=〔 〕 A ．25B ．922 C ．910D ．10115. 设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．假设C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，那么双曲线C 的方程为〔〕A. 22144x y -=B. 2214y x -= C. 2214x y -= D. 221x y -=6．关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集为(,)a b ，那么32a b +的最小值是〔〕 A 322+．526+C ．562+．37.为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，方案以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为〔〕 A ．6 B ．12C ．18D ．248．正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．假设对于任意实数a ∈[﹣2，2]，且任意的*N n ∈，不等式12121-+<++at t n a n 恒成立，那么实数t 的取值范围为〔 〕A ．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕B ．〔﹣∞，﹣2]∪[1，+∞〕C ．〔﹣∞，﹣1]∪[2，+∞〕D ．[﹣2，2]二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分。
高二数学上学期期中试题 69(共11页)
邗江区2021-2021学年(xuénián)高二数学上学期期中试题一、选择题〔此题一共12小题,每一小题5分,一共60分.〕1、设是等差数列的前项和，假设，那么〔〕A．5 B．7 C．9 D．112、假设，那么以下不等式中正确的选项是〔〕A． B． C． D．3、等比数列中，,,,那么〔〕A． B．C． 7 D． 64、不等式的解集为〔〕A. B. C. D.5、“〞是“方程表示焦点在轴上的椭圆〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6、不等式ax2＋bx＋1＞0的解集是，那么a＋b的值是〔〕A．5 B．－5 C．－7 D．77、椭圆的焦距是，那么的值是〔〕A．9 B．23 C．9或者23 D．或者8、n S是数列(shùliè){}n a的前项和，假设，那么=〔〕A． B． C． D．9、，假设恒成立，那么实数m的取值范围是〔〕A． B． C． D．10、椭圆，直线过的一个焦点，那么C的离心率为〔〕A. B． C． D．11、数列{}n a满足，那么的最小值为〔〕A. B． C． D．12、n S是数列{}n a的前项和，，且满足，，，那么的最小值为〔〕A． B． C． D．二、填空题〔此题一共(yīgòng)4小题，每一小题5分，一共20分〕13、命题“，使得〞的否认是▲ .14、假如椭圆上一点到焦点的间隔等于10，那么点P到另一个焦点的间隔是▲ .15、数列是等比数列，数列是等差数列，那么▲.16、那么的最大值为▲ .三、解答题〔此题一共6题，第17题10分，第18~22题每一小题12分，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17、〔本小题满分是10分〕（1）m为何实数时，关于x的方程有两个不等实根？〔2〕设实数x满足，求的最小值，并求对应的x的值。
18、〔本小题满分是12分〕，其中(q ízh ōng)〔1〕假设，都是真命题，求x 的取值范围；〔2〕假设是的充分不必要条件，务实数m 的取值范围19、〔本小题满分是12分〕等差数列{}n a 的各项均为正数，，前n 项和为n S . 等比数列中，，且．〔1〕求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； 〔2〕求．20、〔本小题满分是12分〕为迎接运会，某体育馆需要重新铺设塑胶跑道.每毫米厚的跑道的铺设本钱为10万元，跑道平均每年的维护费C〔单位：万元〕与跑道厚度x 〔单位：毫米〕的关系为.假设跑道厚度为10毫米，那么平均每年的维护费需要9万元.设总费用为跑道铺设费用与10年维护费之和.f x的表达式；〔1〕求的值与总费用()f x最小，并求最小值. 〔2〕塑胶跑道铺设(pū shè)多厚时，总费用()21、〔本小题满分是12分〕在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，离心率〔1〕求椭圆的HY方程；〔2〕直线与椭圆G交于两点，直线与椭圆G交于两点，且，如下图．①证明：；②求四边形的面积的最大值．22、〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，〔〕．〔1〕证明数列是等比数列，求出数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设，求数列{}n b 的前n 项和；〔3〕数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？假设存在，求出一组符合条件的项；假设不存在，说明理由．2021—2021学年度第一学期期中测试卷高二数学参考答案一、选择题 1 2 3456789 10 11 12ACD A B C C A DCBC二、填空题 13. 14.14 15.16.三、解答题 17.解：〔1〕得出……………………4分〔2〕……8分当且仅当，即时，最小值为1……10分18.解：〔1〕当3m =时， 因为(y īn w èi)都为真，所以……………………6分 〔2〕:25p x <<:3q m x m <<因为p 是q 的充分不必要条件，所以，即 (12)分19.解：〔1〕设等差数列{}n a 的公差为，，{}n b 的等比为q ，那么，依题意有，解得，或者〔舍去〕，……4分故，．………………6分〔2〕，…………8分…………10分．…………12分20.解：〔1〕依题意(tí yì)，时，，解得，2分，3分，4分〔定义域没写扣分〕6分〔2〕由〔1〕得， 7分，9分当且仅当即时取最小值， 11分答：当12x 毫米时，总费用()f x最小，最小值为180万元. 12分21、解：〔1〕设椭圆G的方程为〔a＞b＞0〕∵左焦点为F1〔﹣1，0〕，离心率e=22．∴c=1，a=，b2=a2﹣c2=1椭圆(tuǒyuán)G的HY方程为：． -----3分〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕①证明：由消去y得〔1+2k2〕x2+4km1x+2m12﹣2=0，x1+x2=，x1x2=；|AB|=；-----5分同理|CD|=，由|AB|=|CD|得，∵m1≠m2，∴m1+m2=0 -----7分②四边形ABCD是平行四边形，设AB，CD间的间隔d=∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =---------------------------------10分=.所以(suǒyǐ)当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2 ------12分22.解：〔Ⅰ〕因为23n n S a n =-，所以，那么，所以，，数列{3}n a +是等比数列，…………3分，，所以．………………4分〔Ⅱ〕，…………5分，令，①，②①－②得，， ，…………7分 所以．…………8分 〔Ⅲ〕设存在，且，使得成等差数列，那么， 即，…………10分 即，，为偶数(ǒu shù)，而为奇数， 所以1222p s r +=+不成立，故不存在满足条件的三项．…… 12分内容总结（1）假设不存在，说明理由．2021—2021学年度第一学期期中测试卷 高二数学参考答案一、选择题二、填空题13. 14.14 15. 16.三、解答题17.解：〔1〕得出（2）|AB|=。
2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 6+a 9=90，则S 11等于( )A. 270B. 300C. 330D. 360 2. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2，若函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为1，则1a +1b 的最小值为( )A. 7+4√3B. 7+2√3C. 8√3D. 4√3 3. 数列{a n }满足a 1=−3，a n+1=−a n +1a n −1，其前n 项积为T n ，则T 2014=( )A. 32B. −16C. 23D. −6 4. 已知log a x >log a y(0<a <1)，则下列不等式恒成立的是 ( )A. y 2<x 2B. tan x <tan yC. 1y <1xD. √y <√x 5. 设数列{a n }满足a 1=0，a n +a n+1=2，则a 2014的值为( )A. 2B. 1C. 0D. −2 6. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab =0”是“复数 a+b i 为纯虚数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 若不等式5−x >7|x +1|和不等式ax 2+bx −2>0的解集相同，则a 、b 的值分别是( )A. a =−8，b =−10B. a =−1，b =9C. a =−4，b =−9D. a =−1，b =2 8. 若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，则a 3等于( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知定义在R 上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数λ(λ∈R)，使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 恒成立，则称f(x)是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是( )A. 函数f(x)=a(其中a 为常数)为回旋函数的充要条件是λ=−1B. 若函数f(x)=a x (a >1)为回旋函数，则λ>1C. 函数f(x)=cosπx 不是回旋函数D. 若f(x)是λ=2的回旋函数，则f(x)在[0,2020]上至少有1010个零点10. 若函数f(x −2)=2x 2−9x +13，则使函数f(x)是单调减函数的区间是( )A. (−∞,1]B. [14,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,14] 11. 黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”.达⋅芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N ∗)，数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n−1+a n−2(n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N ∗)，则( )A. 4(b 2020−b 2019)=πa 2018⋅a 2021B. a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=a 2021−1C. a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019⋅a 2021D. a 2019⋅a 2021−(a 2020)2+a 2018⋅a 2020−(a 2019)2=012. 下列说法中正确的是( )A. 数列{a n }成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有2a n+1=a n +a n+2B. 数列{a n }成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有a n+12=a n a n+2C. 若数列{a n }是等差数列，则S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 也是等差数列D. 若数列{a n }是等比数列，则S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 也是等比数列三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“若a ⋅b 不为零，则a ，b 都不为零”的否命题是______．14. 在括号里填上和为1的两个正数，使的值最小，则这两个正数的积等于 ．15. 函数y =√−x 2+2x 的单调递减区间为______．16. 设f(x)=x(12)x +1x+1，0为坐标原点，A n 是函数图象上横坐标为n(n ∈N ∗)的点，向量OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，和i =(6,0)的夹角为θn ，则满足tanθ1+tanθ2+tanθ3+⋯+tanθn <53的最大正整数是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）>0}．17.已知集合A={x|y=ln(x−2+a)}(a∈R)，B={x|x−3x+2(1)当a=1时，求A∩(∁R B)；(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．18.已知函数f(x)=ax2+1是奇函数，且f(1)=3，f(2)=5，求a，b，c的值．bx+c=a4，a3=−2a4．19.已知在等比数列{a n}中，a2+38(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=(n+1)|a n|，求数列{b n}的前n项和S n．<0，k≠0．20.已知关于x的不等式2kx2+kx−38(1)若k=1，求不等式的解集；8(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．⏜，其中C为半圆弧中点，渠21.如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是所示的半圆弧ACB宽AB为2米．(1)当渠中水深CD为0.4米时(D为水面中点)，求水面的宽；(2)若把这条水渠改挖(不准填上)成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与水平地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少米时(精确到0.01米)，所挖的土最少？22.定义运算“⊕”：对于任意x、y∈R，x⊕y=(1−b)x+by(b∈R+)(等式的右边是通常的加减乘运算)．若数列{a n}的前n项和为S n，且S n⊕a n=3n对任意n∈N∗都成立．(1)求a1的值，并推导出用a n−1表示a n的解析式；(n∈N∗)，证明数列{b n}是等差数列；(2)若b=3，令b n=a n3n(n∈N∗)，数列{c n}满足|c n|≤2(n∈N∗)，求正实数b的取值范围．(3)若b≠3，令c n=a n3n【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵等差数列{a n }，∴a 3+a 9=2a 6，又a 3+a 6+a 9=90，∴a 6=30，又a 1+a 11=2a 6，则S 11=112(a 1+a 11=)=11a 6=330．故选：C ．由数列{a n }为等差数列，把已知等式左边的第一项和第三项结合，利用等差数列的性质化简，得到关于a 6的方程，求出方程的解得到a 6的值，然后利用等差数列的求和公式表示出S 11，并利用等差数列的性质化简后，将a 6的值代入即可求出值．此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键． 2.答案：A解析：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．由已知利用线性规划可得3a +4b =1，而1a +1b =(3a +4b)(1a +1b )展开后利用基本不等式即可求解． 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，由直线ax +by =z(a >0,b >0)可得y =−a b x +z b ，则z b 表示直线在y 轴截距，截距越大z 越大， 由a >0，b >0，可得−a b <0，∴直线ax +by =z 过点B 时，目标函数有最大值，由{2x −y =2x −y =−1可得B(3,4)， 此时目标函数z =ax +by(a >0,b >0)取得最大值1，即3a +4b =1，而 1a +1b =(1a +1b )(3a +4b)=7+4b a +3a b ≥7+4√3，。
江苏省邗江中学高二数学上学期期中试题(新疆班,)
江苏省邗江中学高二数学上学期期中试题（新疆班，）新疆班高二数学期中试卷一．填空题：1. 集合 A {1，2，4 }， B{ 2，3，4，5 }，那么A ∩ B ． 2．〝1x >〞是 〝21x >〞的 条件。
〔填〝充沛不用要〞、〝必要不充沛〞、〝充要〞、〝既不充沛也不用要〞〕3.假定sin α＜0且tan α＞0，那么α是第 象限角。
4. 函数2()21x f x a =-+是奇函数()a R ∈．那么实数a 的值为 5.假定直线1y x b e=+ 是曲线y ln x 的一条切线，那么实数b 的值为 ．6.幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，那么1()4f 的值为 ．7. 函数)12(log )(21-=x x f 的定义域是 .8..假定函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，那么)(x f 的递减区间是9.函数[]2()42,1,4f x x x x =-+∈的值域为 . 10.命题p ：x 2－x ＜0，命题q ：2x 2－a x ＜0，假定p 是q 的充沛不用要条件，那么实数a 的取值范围 .11. 函数)(x f y =在其定义域R 上是增函数，且为奇函数，同时满足0)52()1(>-+-t f t f ，那么实数t 的取值范围为 . 12. ,24,81cos sin παπαα<<=那么sin α—cos α= 13. 函数220()10x x x f x x ⎧+<=⎨⎩，，，≥．假定函数y x m =+的图象与函数()y f x =的图象 有3个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是 ．14．事先210≤≤x ，21|2|3≤-x ax 恒成立，那么实数a 的取值范围是__________． 二．解答题：15．记函数2()lg(2)f x x x =--定义域为集合A ，()3||g x x =-的定义域为集合B .〔1〕求A B ；〔2〕假定{|40},C x x p C A =+<⊆，务实数p 的取值范围. 16. 设命题:p 实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0>a ，命题:q 实数x 满足2280x x +->(1)假定1=a ，且q p ∧为真，务实数x 的取值范围；(2)假定p 是q 的充沛不用要条件，务实数a 的取值范围．17. 设函数2()23(03)f x x x x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，当角α的终 边经过点(,1)P m n -时，求sin cos αα+的值。
2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷
2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷一、选择题1. 若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是( )A.a−b>c−dB.a+c>b+dC.a−c>b−cD.a−c<a−d2. 不等式2x2+x−6<0的解集为( )A.(−32,2) B.(−2,32)C.(−∞−32)∪(2,+∞) D.⌀3. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+6，则a5=( )A.25B.30C.32D.644. 已知实数x，y满足x2+y2=1，则xy的最大值是( )A.1B.√32C.√22D.125. 条件p:x2−4x−5<0是条件q:|x+3|>2的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 若A(m+1, n−1, 3)，B(2m, n, m−2n)，C(m+3, n−3, 9)三点共线，则m+n的值为( )A.0B.−1C.1D.−27. 若方程5x2+(a−11)x+a−2=0的一个根在(0, 1)内，另个一根在(1, 2)内，则实数a的取值范围是( )A.(43, 2) B.(2, +∞) C.(43, 4) D.(2, 4)8. 若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2，则m的值为( )A.1B.4C.1或7D.4或69. 已知等比数列{a n}中，若a1+a2+a3=13，a1a2a3=27且q>1，则a6=( )A.−35B.35C.24或2−2D.−35或35二、多选题如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1=√6，AB=BC=2，AC=2√2，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是( )A.异面直线BC与B1M所成的角为90∘B.在B1C上存在点D，使MD//平面ABCC.二面角B1−AC−B的大小为60∘D.B1M⊥CM已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线l:y=2√2x，设F1，F2是C的左、右焦点，点P在l上，且|OF1|=|OP|，O为坐标原点，则( )A.C的虚轴长为4√2B.∠F1PF2=90∘C.||PF1|−|PF2||=2D.△PF1F2的面积为6√2已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是( )A.a1=22B.d=−2C.当n=10或n=11时，S n取得最大值D.当S n>0时，n的最大值为21三、填空题命题“∃x0∈R，x02−x0−1≤0”的否定为________.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n2a n+3，则a7=________.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)与直线y=3x无交点，则离心率e的取值范围是________.已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|=32|BF|，则直线l的斜率k=________.四、解答题已知函数f(x)=x2−3x+m.(1)当m=−4时，解不等式f(x)≤0；(2)若m>0，f(x)<0的解集为(a,b)，求1a +4b的最小值．已知集合A={x|x2−4x−12≤0}，B={x|x2−2x+1−m2≤0,m>0}.(1)求集合A与B；(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)直线x−2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；(2)过点(√3,−√5)，且与椭圆y225+x29=1有相同焦点．已知数列{a n}满足a1+2a2+4a3+⋯+2n−1a n=n(n+1)2,n∈N∗.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n.如图①，在菱形ABCD中，∠A=60∘且AB=2，E为AD的中点．将△ABE沿BE折起使AD=√2，得到如图②所示的四棱锥A−BCDE．(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；(2)若P为AC的中点，求二面角P−BD−C的余弦值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右顶点A(2, 0)，上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2=60∘，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E．(1)求椭圆C的方程；(2)设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷一、选择题1.【答案】A【考点】不等式性质的应用【解析】根据a>b，c>d即可判断选项B，C，D都成立，而选项A显然不一定成立，从而得出正确的选项．【解答】解：∵a>b，c>d，∴a+c>b+d，故选项B正确；a−c>b−c，故选项C正确；又−c<−d，∴a−c<a−d，故选项D正确.故选A.2.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】不等式2x2+x−6<0可化为(2x−3)(x+2)<0，解得−2<x<32；所以该不等式的解集为(−2,32) .故选：B．【解答】解：不等式2x2+x−6<0可化为(2x−3)(x+2)<0，解得：−2<x<32，所以该不等式的解集为(−2,32) .故选B.3.【答案】A【考点】数列递推式等差数列【解析】将a1=1代入式子a n+1=a n+6得出a2，以此类推可得出a5．【解答】解：∵ 数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+6，∴a2=a1+6=7，a3=a2+6=13，a4=a3+6=19，a5=a4+6=25.故选A.4.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】因为x2+y2=1，则x≤x2+y22=12，当且仅当x=y=√22时取等号，故选：D．【解答】解：因为x2+y2=1，所以xy≤x2+y22=12，当且仅当x=y=√22时取等号.故选D.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：条件p:x2−4x−5<0的解集为−1<x<5，条件q:|x+3|>2的解集为x<−5或x>−1，∴命题p⇒命题q，反之则不可以，故条件p是条件q的充分不必要条件.故选A．6.【答案】A【考点】平行向量的性质三点共线【解析】根据点A ，B ，C 的坐标，分别求出AB →，AC →的坐标，利用三点共线，可建立方程组，从而可求m +n 的值 【解答】解：∵ A(m +1, n −1, 3)，B (2m, n, m −2n)， C( m +3, n −3, 9)，∴ AB →=(m −1,1,m −2n −3)，AC →=(2,−2,6). ∵ A ，B ，C 三点共线， ∴ AB →//AC →， ∴m−12=1−2=m−2n−36解得：m =0，n =0，∴ m +n =0. 故选A . 7.【答案】 D【考点】由函数零点求参数取值范围问题 一元二次不等式与二次函数【解析】 此题暂无解析 【解答】解：令f(x)=5x 2+(a −11)x +a −2，则f(x)与x 的轴的两个交点分别在(0, 1)和(1, 2)内，∴ {f(0)=a −2>0，f(1)=5+(a −11)+a −2<0，f(2)=20+2(a −11)+a −2>0，解得2<a <4. 故选D . 8.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】①当椭圆焦点在x 轴上时，a 2=9,b 2=m +4，得c =√5−π，∴ 焦距2c =2√5−π=2，解之得m =4， ②椭圆焦点在y 轴上时，a 2=m +4,b 2=9，得c =√m −5，焦距2c =2√n −5=2，解之得m =6， 综上所述，得m =4或6 . 故选：D ． 【解答】解：①当椭圆焦点在x 轴上时，a 2=9，b 2=m +4，∴ c =√5−m ，∴ 焦距2c =2√5−m =2， 解得：m =4；②当椭圆焦点在y 轴上时，a 2=m +4，b 2=9， ∴ c =√m −5，∴ 焦距2c =2√m −5=2， 解得：m =6.综上所述，m =4或6 . 故选D . 9.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】解：由题意，设等比数列{a n }的公比为q ． ∵ a 1a 2a 3=27，即(a 2)3=27， 解得a 2=3.又a 1+a 2+a 3=13，即a2q +a 2+a 2q =13， ∴ 3q 2−10q +3=0， 解得q =3或q =13. 又由q >1， ∴ q =3，∴ a 6=a 2q 4=35. 故选B ． 二、多选题 【答案】 A,B,C【考点】二面角的平面角及求法空间中直线与平面之间的位置关系 异面直线及其所成的角【解析】选项A ，连接MC 1，易知BC//B 1C 1，故∠MB 1C 1即为所求．由勾股定理可知A 1B 1⊥B 1C 1，由三棱柱的性质可知BB 1⊥B 1C 1，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得B 1C 1⊥MB,，即∠MB 1C 1=90∘； 选项B ，连接BC 1，交B 1C 于点D ，连接MD ，再取BC 的中点E ，连接DE 、AE ，易知四边形AMDE 为平行四边形，故MD//AE ，再由线面平行的判定定理即可得证；选项C ，取AC 的中点N ，连接BN 、B 1N, 则∠BNB 1即为所求，在Rt △BNB 中，由三角函数可求出tan ∠BMB 1的值，从而得解；选项D ，在△CMB 中，利用勾股定理分别算出CM 、MB 和B 1C 的长，判断其结果是否满足CM 2+MB 12≠B 1C 2即可．【解答】解：A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC//B1C1，∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M所成的角．∵AB=BC=2，AC=2√2，∴∠ABC=∠A1B1C1=90∘，即A1B1⊥B1C1，由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1．又A1B1∩BB1=B1，A1B1，BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1=90∘，故选项A正确；B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE，AE，则DE//AM，DE=AM，∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD//AE.∵MD⊄平面ABC，AE⊂平面ABC，∴MD//平面ABC，故选项B正确；C，取AC的中点N，连接BN，B1N，∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1−AC−B的平面角．在Rt△BNB1中，BB1=√6，BN=√22AB=√2，∴tan∠BNB1=BB1BN=√3，∴∠BNB1=60∘，故选项C正确；D，在△CAM中，CM2=AC2+AM2=192，在△B1A1M中，MB12=A1B12+A1M2=112，在△B1BC中，B1C2=B1B2+BC2=10，显然CM2+MB12≠B1C2，∴B1M与CM不垂直，故选项D错误．故选ABC．【答案】A,B,D【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程余弦定理【解析】利用双曲线渐近线求出b=2√2，得到双曲线方程，利用双曲线性质以及平面几何知识即可判断AB选项,利用余弦定理计算得|PF1|=√OP2+OF12−2OP×OF1cosθ=2√3,|PF2|=2√6，结合三角形为直角三角形，即可判断CD是否正确.【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为y=2√2x，所以ba=2√2.又a=1，所以b=2√2,所以虚轴长为4√2，故A选项正确；因为F1，F2为双曲线的左、右焦点，所以|OF1|=|OF2|=3.又因为|OF1|=|OP|，所以|OP|=12|F1F2|,所以∠F1PF2=90∘，故B选项正确；设渐近线的倾斜角为θ，所以tanθ=2√2，所以cosθ=13.由余弦定理得|PF1|=√OP2+OF12−2OP×OF1cos(π−θ)=2√6,同理|PF2|=2√3，所以||PF1|−|PF2||≠2，故C选项错误；因为△PF1F2为直角三角形,所以△PF 1F 2的面积为12×2√6×2√3=6√2，故D 选项正确.故选ABD . 【答案】 B,C【考点】 等比中项等差数列与等比数列的综合 二次函数的性质 等差数列的前n 项和【解析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【解答】解：由公差d ≠0，S 6=90，可得6a 1+15d =90， 即2a 1+5d =30，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得a 72=a 3a 9， 即为(a 1+6d)2=(a 1+2d)(a 1+8d)， 化为a 1=−10d ，②由①②解得a 1=20，d =−2，故A 错误，B 正确； 由S n =20n +12n(n −1)⋅(−2)=21n −n 2=−(n −212)2+4414，由于n 为正整数，可得n =10或11时，S n 取得最大值110，故C 正确； 由S n >0，解得0<n <21，可得n 的最大值为20．故D 错误． 故选BC ． 三、填空题【答案】∀x ∈R ，x 2−x −1>0 【考点】 命题的否定 【解析】命题为特称命题，则命题的否定为∀x ∈R ,x 2−x −1>0，故答案为：∀x ∈R ,x 2−x −1>0 . 【解答】解：特称命题的否定为全称命题，则该命题的否定为：∀x ∈R ，x 2−x −1>0. 故答案为：∀x ∈R ，x 2−x −1>0 . 【答案】 15【考点】 数列递推式 等差数列【解析】 由a n+1=3a n 2a n +3，得1a n+1=1a n+23，所以(1an)是等差数列， 1a n=1a 1+(n −1)×23=2n+13,a n =32n+1，所以a 7=15.故答案为：15. 【解答】 解：由a n+1=3a n 2a n +3，得1an+1=1a n+23，∴ 数列{1a n}是公差为23的等差数列，∴ 1a n=1a 1+(n −1)×23=2n+13，∴ a n =32n+1， ∴ a 7=15 . 故答案为：15 .【答案】 (1,√10 ]【考点】双曲线的离心率 【解析】将双曲线的方程x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)与直线方程y =3x 联立方程组，得到：(b 2−9a 2)x 2=a 2⋅b 2，显然当b 2−9a 2≤0时方程无解，即两曲线无公共点，从而可求得离心率e 的取值范围． 【解答】解：由题意，联立{x 2a 2−y 2b 2=1，y =3x ，解得(b 2−9a 2)x 2=a 2b 2.∵ 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)与直线y =3x 无公共点， ∴ b 2−9a 2≤0. 又c 2=b 2+a 2，∴ c 2−a 2−9a 2≤0，即c 2≤10a 2， 两端同除以a 2，得(ca )2≤10，即e 2≤10. 又e >1，∴ 1<e ≤√10． 故答案为：(1,√10 ]. 【答案】±2√6【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的定义直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解∶当直线的倾斜角为锐角时，如图，从点A，B分别作准线的垂线，设垂足分别为M，N，从点B作AM的垂线，设垂足为P．设|BF|=|BN|=a，则|AF|=|AM|=32a，则|AP|=12a，所以|PB|=√6a，由图可知直线的倾斜角等于∠BAP，故k=tan∠BAP=2√6．同理当直线的倾斜角为钝角时，可得k=−2√6 .故答案为：±2√6.四、解答题【答案】解：(1)当m=−4时，f(x)=x2−3x−4=(x−4)(x+1)≤0，解得−1≤x≤4．(2)∵当m>0时，f(x)<0的解集为(a,b)，∴f(b)=f(a)=0，则x2−3x+m=0的两个根是a和b，即a+b=3，ab=m>0，∴a，b均为正数，则13(a+b)(1a+4b)=13(1+4+ba+4ab) .又ba +4ab≥2√ba⋅4ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时取等号，∴1a +4b≥13(5+4)=3．故1a +4b的最小值为3.【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次不等式的解法函数的零点【解析】【解答】解：(1)当m=−4时，f(x)=x2−3x−4=(x−4)(x+1)≤0，解得−1≤x≤4．(2)∵当m>0时，f(x)<0的解集为(a,b)，∴f(b)=f(a)=0，则x2−3x+m=0的两个根是a和b，即a+b=3，ab=m>0，∴a，b均为正数，则13(a+b)(1a+4b)=13(1+4+ba+4ab) .又ba+4ab≥2√ba⋅4ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时取等号，∴1a+4b≥13(5+4)=3．故1a+4b的最小值为3.【答案】解：(1)∵x2−4x−12≤0，整理，得(x+2)(x−6)≤0，解得：−2≤x≤6，∴A=[−2,6] .∵x2−2x+1+m2≤0,m>0，整理，得[x−(1−m)][x−(1+m)]≤0，解得：1−m≤x≤1+m，∴B=[1−m,1+m] .(2)∵ x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B⫋A，∴{−2≤1−m，1+m≤6，m>0，且等号不能同时成立，解得：0<m≤3，∴m∈(0,3] .【考点】一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】（1）x2−4x−12≤0，化为：(x+2)(x−6)≤0，解得：−2≤x<6 .∴A=[−2,6] .x2−2x+m2≤0,m>0，∴[x−(1−m)][x−(1+m)≤0，解得1−m≤x≤1+m . ∴B=[−m,1+m] .（2）∵ x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴ B ⫋A∴ {−2≤1−m1+m <6m >0, 且等号不能同时成立．解得：0<m ≤3 . ∴ m ∈(0,3] .【解答】解：(1)∵ x 2−4x −12≤0， 整理，得(x +2)(x −6)≤0， 解得：−2≤x ≤6 ， ∴ A =[−2,6] .∵ x 2−2x +1+m 2≤0,m >0，整理，得[x −(1−m )][x −(1+m )]≤0， 解得：1−m ≤x ≤1+m ， ∴ B =[1−m,1+m] .(2)∵ x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件， ∴ B ⫋A ，∴ {−2≤1−m ，1+m ≤6，m >0， 且等号不能同时成立，解得：0<m ≤3 ， ∴ m ∈(0,3] .【答案】解：(1)直线方程x −2y +2=0，当x =0时，解得y =1，即直线过(0,1)点. 当y =0时，解得x =−2，即直线过(−2,0)点. 当(−2,0)为焦点时，c =2，b =1， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为x 25+y 2=1； 当(0,1)为焦点时，c =1，b =2， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为y 25+x 2=1 . (2)设与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的方程为y 225+k +x 29+k =1(k >−9)，将点(√3,−√5)代入，得525+k+39+k=1，整理，得k 2+26k +105=0，k >−9， 解得k =−5， 所以椭圆的方程为y 220+x 24=1 .【考点】椭圆的定义和性质 椭圆的标准方程 【解析】【解答】解：(1)直线方程x −2y +2=0，当x =0时，解得y =1，即直线过(0,1)点. 当y =0时，解得x =−2，即直线过(−2,0)点. 当(−2,0)为焦点时，c =2，b =1， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为x 25+y 2=1； 当(0,1)为焦点时，c =1，b =2， 所以a 2=c 2+b 2=5， 所以椭圆的标准方程为y 25+x 2=1 .(2)设与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的方程为y 225+k +x 29+k =1(k >−9)，将点(√3,−√5)代入，得525+k +39+k =1， 整理，得k 2+26k +105=0，k >−9， 解得k =−5， 所以椭圆的方程为y 220+x 24=1 .【答案】解：(1)当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，由a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−1a n =n (n+1)2①，可得a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)n 2②，①−②，得2n−1a n =n ， 所以a n =n ⋅(12)n−1．因为a 1=1也满足a n =n ⋅(12)n−1，所以{a n }的通项公式为a n =n ⋅(12)n−1．(2)由题意得， S n =a 1+a 2+⋯+a n =1×(12)0+2×(12)1+⋯+n ×(12)n−1③，则12S n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+n ×(12)n④， ③−④得：12S n =(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1−n ×(12)n，即12S n =1−(12)n 1−12−n ×(12)n，所以S n =4−(n +2)⋅(12)n−1．【考点】 数列的求和 数列递推式等比数列的前n 项和 【解析】 无 无【解答】解：(1)当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，由a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−1a n =n (n+1)2①，可得a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)n 2②，①−②，得2n−1a n =n ， 所以a n =n ⋅(12)n−1．因为a 1=1也满足a n =n ⋅(12)n−1，所以{a n }的通项公式为a n =n ⋅(12)n−1．(2)由题意得， S n =a 1+a 2+⋯+a n =1×(12)0+2×(12)1+⋯+n ×(12)n−1③，则12S n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+n ×(12)n④， ③−④得：12S n =(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1−n ×(12)n，即12S n =1−(12)n 1−12−n ×(12)n，所以S n =4−(n +2)⋅(12)n−1．【答案】(1)证明：在图①中，连接BD ，如图所示，∵ 四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘，∴ △ABD 是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点， ∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又AD =AB =2， ∴ AE =DE =1. 在图②中，AD =√2， ∴ AE 2+ED 2=AD 2， ∴ AE ⊥ED .∵ BC//DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE ∩AE =E ，AE ，BE ⊂平面ABE ， ∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)可知，AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE ∩DE =E ，BE ，DE ⊂平面BCDE ， ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB →，ED →，EA →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，则E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(√3,0,0)，C(√3,2,0)，D(0,1,0)， ∵ P 为AC 的中点，∴ P (√32,1,12)， ∴ PB →=(√32,−1,−12)，PD→=(−√32,0,−12). 设平面PBD 的一个法向量为m →=(x,y,z)，由{m →⋅PB →=0,m →⋅PD →=0,得{√32x −y −12z =0,−√32x −12z =0.令z =√3，得m →=(−1,−√3,√3). 又平面BCD 的一个法向量为EA →=(0,0,1)，设二面角P −BD −C 的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos θ=|EA →⋅m →||EA →||m →|=√31×√7=√217，∴ 二面角P −BD −C 的余弦值为√217． 【考点】用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直的判定 【解析】【解答】(1)证明：在图①中，连接BD ，如图所示，∵ 四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘， ∴ △ABD 是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点， ∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又AD =AB =2， ∴ AE =DE =1.在图②中，AD =√2， ∴ AE 2+ED 2=AD 2， ∴ AE ⊥ED . ∵ BC//DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE ∩AE =E ，AE ，BE ⊂平面ABE ， ∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)可知，AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE ∩DE =E ，BE ，DE ⊂平面BCDE ， ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB →，ED →，EA →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，则E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(√3,0,0)，C(√3,2,0)，D(0,1,0)， ∵ P 为AC 的中点，∴ P (√32,1,12)， ∴ PB →=(√32,−1,−12)，PD →=(−√32,0,−12). 设平面PBD 的一个法向量为m →=(x,y,z)， 由{m →⋅PB →=0,m →⋅PD →=0,得{√32x −y −12z =0,−√32x −12z =0.令z =√3，得m →=(−1,−√3,√3). 又平面BCD 的一个法向量为EA →=(0,0,1)，设二面角P −BD −C 的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos θ=|EA →⋅m →||EA →||m →|=√31×7=√217， ∴ 二面角P −BD −C 的余弦值为√217． 【答案】解：(1)由题意得：a =2，∵ 在Rt △OBF 2中，∠F 1BF 2=60∘，∴ ∠OBF 2=30∘，|OB|=b ，|OF 2|=c ， ∴ |BF 2|=a ， ∴ cos 30∘=ba =√32， 解得b =√3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设直线AD ：y =k(x −2)(k ≠0)，令x =0，则y =−2k ， ∴ E(0, −2k).联立直线AD 与椭圆方程{y =k(x −2)，x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， x A +x D =16k 23+4k 2，解得x D =8k 2−63+4k ，y D =k(8k 2−63+4k −2)=−12k3+4k ， 设P(x P , y P )，∵ P 为AD 的中点，∴ x P =12(8k 2−63+4k 2+2)=8k 23+4k 2，y P =12(−12k3+4k 2)=−6k3+4k 2， ∴ OP →=(8k 23+4k 2,−6k3+4k 2).第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页设存在Q(x 0, y 0)使得OP ⊥EQ ，则EQ →=(x 0,y 0+2k)，OP →⋅EQ →=0， ∴ 8k 2x 03+4k2−6ky 0+12k 23+4k 2=0，即4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，∴ {2x 0−3=0，y 0=0，解得{x 0=32，y 0=0，∴ 存在Q(32,0)使得OP ⊥EQ ． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】（1）由右顶点的坐标可得a 的值，再由上顶点与左右焦点所成的角可得b ，c 的关系，又由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）法一）设直线AD 的方程，由题意可得E 的坐标，将直线AD 的方程代入椭圆的方程可得D 的坐标，进而求出AD 的中点P 的坐标，求出向量OP →，假设存在Q 的坐标，求出向量EQ →，由OP →⋅EQ →=0，可得4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，所以x 0=32，y 0＝0；法二）设A ，B ，P 的坐标，将A ，B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减可得OP 的斜率，假设存在Q 的坐标使OP ⊥EQ ，可得斜率之积为−1恒成立，求出Q 的坐标． 【解答】解：(1)由题意得：a =2，∵ 在Rt △OBF 2中，∠F 1BF 2=60∘，∴ ∠OBF 2=30∘，|OB|=b ，|OF 2|=c ， ∴ |BF 2|=a ， ∴ cos 30∘=b a=√32， 解得b =√3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设直线AD ：y =k(x −2)(k ≠0)， 令x =0，则y =−2k ， ∴ E(0, −2k).联立直线AD 与椭圆方程{y =k(x −2)，x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12=0，x A +x D =16k 23+4k 2， 解得x D =8k 2−63+4k2，y D =k(8k 2−63+4k 2−2)=−12k 3+4k 2，设P(x P , y P )，∵ P 为AD 的中点，∴ x P =12(8k 2−63+4k 2+2)=8k 23+4k 2，y P =12(−12k3+4k 2)=−6k3+4k 2， ∴ OP →=(8k 23+4k 2,−6k3+4k 2).设存在Q(x 0, y 0)使得OP ⊥EQ ，则EQ →=(x 0,y 0+2k)，OP →⋅EQ →=0， ∴ 8k 2x3+4k 2−6ky 0+12k 23+4k 2=0，即4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，∴ {2x 0−3=0，y 0=0，解得{x 0=32，y 0=0，∴ 存在Q(32,0)使得OP ⊥EQ ．。
江苏省邗江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
江苏省邗江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设m 为实数，已知直线1l ：220mx y +-=，2l ：()5350x m y +--=，若12//l l ，则m =（）A ．5-B ．2C ．2或5-D ．5或2-2．抛物线22y x =-的准线方程是（）A ．12y =B ．12y =-C ．18y =D ．18y =-3．方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件是（）A ．41m -<<-B ．1m >-C ．42m -<<D ．41m -<<-或12m -<<4．点()3,4关于直线10x y ++=对称的点坐标为（）A ．()5,4--B ．()1,6-C ．()4,5--D ．()6,1-5．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::5:4:2PF F F PF =，则Γ的离心率等于（）A ．47B ．2C ．2或47D ．43或476．已知抛物线26y x =，弦AB 过抛物线的焦点F 且满足3AF FB =，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（）A ．32B ．3C ．52D ．47．已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点A 在C 上，若122F A F A =，121230,AF F AF F ∠=︒△的面积为C 的方程为（）A ．22196x y -=B ．22136x y -=C ．22169x y -=D ．22163x y -=8．已知圆(()22:54C x y -+-=和两点(),0A 、)(),00Bm >，若圆C 上存在一点P ，使得π3APB ∠=，则实数m 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎡⎢⎣⎦二、多选题9．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A ．直线：()()12:210,:120l ax y l x a y a R ++=++-=∈，若12l l ⊥，则23a =-；B ．直线l 的方程为：20kx y k ++-=，直线过定点()1,2-；C ．过点1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y -+=；D ．直线12:3290,:3240l x y l x y ++=++=10．已知点()0,2D 、()0,1E -动点M 满足2MD ME=，点M 的轨迹为曲线C ，点P 是直线:43l x y -60+=上一点，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，直线l 与x 轴的交点为N ，则（）A ．曲线C 的方程为()2224x y ++=B ．点M 到直线l 距离的最小值为125C ．PA 的最小值为2115D ．若B 点坐标为()0,6-，则2MB MN +的最小值为11．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆(2222:10x y C a b a b+=>>）的左、右焦点分别为12F F ，，上、下顶点分别为1B ，2B ，左、右顶点分1A ，2A ，1132OP OB = ，2232OP OB =，设C 的离心率为e ，则（）A ．若1212//B F P A ，则23e =B ．四边形1122F B F B 的面积与C 的面积之比为2πe C ．四边形1122F B F B 的内切圆方程为()222222a ab x y b -+=D ．设条形阴影部分的面积为S 条，点形阴影部分的面积为S 底，则S S >条底三、填空题12．已知椭圆2219x y m +=和双曲线2216y x m -=-共焦点，则m 的值为.13．已知圆C 经过两点A （0，2），B （4，6），且圆心C 在直线l ：2x -y -3=0上，则圆C 的方程为；14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为,F M 是OF 的中点，若椭圆C 上到点M 的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆C 的离心率的取值范围为.四、解答题15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1,1,5,1A B ，点C 在x 轴上，且4CAB π∠=.(1)求直线AC 的斜率；(2)求直线BC 的方程.16．经过双曲线2213y x -=的左焦点1F 作斜率为2的弦AB ，求：(1)线段AB 的长；(2)设点2F 为右焦点，求2F AB 的周长.17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22231x m y m -+--⎤⎣⎦=⎡，R m ∈．(1)当1m =-时，过原点O 作直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)对于()2,2P -，若圆C 上存在点M ，使MP MO =，求实数m 的取值范围．18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()3,6A ，焦点为F ，过F 作两条直线,MN PQ 与抛物线C 交于,,,M N P Q 四点，其中,M P 在第一象限，且P 在M 的左侧．(1)求C 的方程；(2)若直线MP 与x 轴交于点()2,0G -，求直线NQ 与x 轴的交点坐标；(3)设直线NP 与MQ 的斜率分别为12,k k ，若123k k =，试问：直线MQ 是否过定点，若过请求出定点坐标；若不过，请说明理由．19．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点G a 为椭圆的长半轴长，b 为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C ：2213x y +=，1F ，2F 分别为椭圆C的左、右焦点，椭圆C 的蒙日圆为圆E .(1)求圆E 的方程；(2)已知点A 是椭圆C 上的任意一点，点O 为坐标原点，直线OA 与圆E 相交于S 、T 两点，求证：12AS AT AF AF ⋅=⋅；(3)过点()10B ,作互相垂直的直线1l 、2l ，其中1l 交圆E 于P 、Q 两点，2l 交椭圆C 于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的取值范围.。
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．命题“x R ∀∈，20x x -≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x -< B ．x R ∃∈，20x x -≤ C ．x R ∃∈，20x x -≥ D ．x R ∃∈，20x x ->【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“x R ∀∈，20x x -≤”的否定是：x R ∃∈，20x x ->． 故选：D ．【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2．已知,m n ∈R 则“0m >且0n >”是“曲线221x y m n+=为椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由椭圆标准方程的形式，利用定义法(推出关系)判断充要条件，即可知正确选项.【详解】方程221x y m n+=表示椭圆，知0,0m n >>且m n ≠，所以“0m >且0n >”是“曲线221x y m n+=为椭圆”的必要不充分条件.故选：B.3．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．12C ．3D ．13【答案】A【分析】由等差中项的性质可得5676a a a =+，又{}n a 为等比数列，所以4561116a q a q a q =+，化简整理可求出q 的值．【详解】由题意知56723a a a =⨯+，又{}n a 为正项等比数列，所以4561116a q a q a q =+，且0q >，所以260q q +-=，所以2q 或3q =-（舍），故选A【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题． 4．已知等差数列{}n a 中，243,5a a ==，则1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．25B ．922C ．910D ．1011【答案】B【分析】若{}n a 的公差为d ，由111111()n n n n a a d a a ++=-则有1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=110111()d a a -，而又有243,5a a ==可得d 、1a 、10a ，代入即可求值【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由111111()n n n n a a d a a ++=-知： 1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=122334910111111111(...)d a a a a a a a a -+-+-++-=110111()d a a - 又∵243,5a a ==，可知：1d =，且1102,11a a ==∴1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=922故选：B【点睛】本题考查了等差数列，利用裂项法展开目标代数式并化简，结合等差数列的通项公式可求基本量d 、1a ，再将所求量代入化简后的目标代数式中求值5．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．6．已知区间(,)a b 是关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集，则32a b +的最小值是（ ）A ．B ．5+C ．52+D ．3【答案】C【分析】由题知2a b m +=，1ab m =，0m >，则可得12a bab+=，则()32322a b a b a b ab +⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.【详解】由题知a b ，是关于x 的一元二次方程221=0mx x -+的两个不同的实数根， 则有2a b m +=，1ab m =，0m >，所以12a bab+=，且a b ，是两个不同的正数，则有()13213232=5+5222a b a b a b a b ab b a ⎛+⎛⎫⎛⎫+=+⋅+≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ (15225=+=当且仅当32=a b b a 时，等号成立，故32a b +的最小值是52+【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了基本不等式“1”的妙用求最值，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.7．为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【分析】由题意可得出10MB BN +=，在三角形MBN 中，使用余弦定理可得cos B 的关系式，再利用基本不等式可求出cos B 的最小值，从而可求出sin B 的最大值，进而求解．【详解】设AM x =，AN y =，则由已知可得10x y +=， 在MBN △中，6MN =， 由余弦定理可得：222226()363232327cos 1111222525()2x y x y B x y xy xy xy +-+-==-=--=-=+， 当且仅当x y =时等号成立， 此时5x y ==，7cos 25min B =， 所以2724sin 1()2525max B =-， 所以四边形AMBN 的最大面积为12425524225⨯⨯⨯⨯=， 此时四边形AMBN 是边长为5的菱形， 故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．8．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对于任意实数a ∈[﹣2，2]．不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【答案】A【分析】根据a n 与S n 的关系，由6S n ＝a n 2+3a n +2，得6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减整理得a n ﹣a n ﹣1＝3，由等差数列的定义求得a n 的通项公式，然后将不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，转化为2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N 恒成立求解.【详解】由6S n ＝a n 2+3a n +2，当n ＝1时，6a 1＝a 12+3a 1+2．解得a 1＝2， 当n ≥2时，6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2， 两式相减得6a n ＝a n 2+3a n ﹣（a n ﹣12+3a n ﹣1）， 整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）＝0， 由a n ＞0，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3， 所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以a n +1＝2+3（n +1﹣1）＝3n +2， 所以11n a n ++＝321++n n ＝3﹣11n +＜3， 因此原不等式转化为2t 2+at ﹣1≥3，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N 恒成立， 即为：2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N 恒成立， 设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]， 则f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有222020t t t t ⎧+-⎨--⎩，解得t ≥2或t ≤﹣2，则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 故选：A ．【点睛】本题主要考查数列与不等式的，a n 与S n 的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．二、多选题9．若“21x >”是“x m <”的必要不充分条件，则实数m 的值可以是（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．0【答案】ABC【分析】先解2，再由必要不充分条件可得，从而得解.【详解】由21x >可得1x >或1x <-，若“21x >”是“x m <”的必要不充分条件，则1m ≤-， 故选：ABC.10．已知关于x 的不等式230ax bx ++>，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ）A ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}3x x > B ．不等式230ax bx ++>的解集可以是R C ．不等式230ax bx ++>的解集可以是∅D ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}13x x -<< 【答案】BD【分析】选项A 先假设结论成立，再得到不等式为30x -+>并求解，最后与解集产生矛盾判断选项A 错误；选项B 当1a =，0b =时，不等式230x +>恒成立，判断选项B 正确；选项C 当0x =时不等式成立，判断选项C 错误；选项D 先假设结论成立，再求解得12a b =-⎧⎨=⎩，符合题意，判断选项D 正确； 【详解】解：选项A ：假设结论成立，则0330a b =⎧⎨+=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，则不等式为30x -+>，解得3x <，与解集是{}3x x >矛盾，故选项A 错误；选项B ：当1a =，0b =时，不等式230x +>恒成立，则解集是R ，故选项B 正确； 选项C ：当0x =时，不等式2330ax bx ++=>，则解集不可能为∅，故选项C 错误；选项D ：假设结论成立，则0309330a ab a b <⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，符合题意，故选项D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查一元二次不等式的解集问题，是基础题.11．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n ++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D . 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122 (2)212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,12．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 抛物线C 相交于()11,A x y ，A ．AB 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切C ．12x x 为定值D ．若()1,0M -，则AMF BMF ∠=∠【答案】BCD【分析】根据抛物线和过焦点的直线位置关系，结合抛物线的定义和性质，结合韦达定理，逐个判断即可得解.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0，准线方程为1x =-，过焦点的弦中通径最短，所以AB 最小值为24p =，故A 不正确；如图，设线段AB 中点为D ，过点A ，B ，D 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，1D ，由抛物线定义可知1AA AF =，1BB BF =， 所以()1111122DD AA BB AB =+=， 所以以线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切，故B 正确； 设AB 所在直线的方程为1x ny =+，由214x ny y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y ny --=， 所以124y y =-，()21212116y y x x ==，故C 正确；又124y y n +=，()()()()1221121212111111AM BM y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++ ()()()()()()()122112121212222201111y ny y ny ny y y y x x x x +++++===++++，故D 正确．故选：BCD.【点睛】本题考查了抛物线的定义和通径的概念，以及直线和抛物线的位置关系，考查了利用韦达定理搭桥，建立各个量之间的联系，考查了转化思想和数形结合思想，计算三、填空题13．已知命题[]:1,1p m ∀∈-，2532a a m --≥+，且p 是真命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】6a ≥或1a ≤-【分析】命题p 是真命题等价于[]1,1m ∈-时255a a m --≥恒成立，转化为2551a a --≥，即可解出答案．【详解】因为[]:1,1p m ∀∈-，2532a a m --≥+，且p 是真命题， 所以255a a m --≥恒成立， 所以只需2551a a --≥， 解得6a ≥或1a ≤- 故答案为：6a ≥或1a ≤-14．《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中,乙所得为_______钱. 【答案】76【解析】由题意,设这五人所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d ++--， 则22a d a d a a d a d +++=+-+-，且55a =，所以11,6a d ==， 所以乙所得为76a d +=钱. 15．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的离心率为______.【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出M 点坐标为()11,M x y ，然后通过圆与双曲线的对称性得出1212F F MF F NSS，再根据“点()11,M x y 即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出21b y c，然后根据图像以及232S p =可得22S b 和8p b ，接下来利用双曲线定义得出12MF b a 以及22MF b a ，最后根据2221212MF MF F F 并通过化简求值即可得出结果．【详解】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设()11,M x y ， 由圆与双曲线的对称性可知，点M 与点N 关于原点对称，所以1212F F MF F NS S，因为圆是以12F F 为直径，所以圆的半径为c ，因为点()11,M x y 在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111x y a bx y c ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 联立化简可得222222211bc y a y a b ，整理得2222222211b c a b b y a y ，4221bc y ，21b y c，所以1221222F F MS S c y b ，因为232S p =，所以2264p b ，8p b ，因为1212122p MF MF NF NF MF MF ，所以124MF MF b ，因为122MF MF a ，联立121242MF MF bMF MF a +=⎧⎨-=⎩可得12MF b a ，22MF b a ，因为12F F 为圆的直径，所以2221212MF MF F F ,即222224b ab ac ，222824b a c ，22242b a c ，2222442c a ac ，2223ca ，2232c a，所以离心率6c e a．线以及圆的定义的灵活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题．16．设二次函数()2f x ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）．若不等式()2f x ax b ≥+的解集为R ，则2223b a c+的最大值为______． 【答案】23【分析】由不等式恒成立可得0a >且2244b ac a -≤，取1x =可得0c a -≥，令t c a =-，则可得2222224334ac b a c a ca ≤-++442a t t a=++，再利用基本不等式即可求解. 【详解】()2f x ax bx c =++，则()2f x ax b ≥+为()220ax b a x c b +-+-≥，()f x 是二次函数，0a ∴≠，要使不等式()2f x ax b ≥+的解集为R ，则应满足()()2240a b a a c b >⎧⎪⎨∆=---≤⎪⎩， 可得0a >且2244b ac a -≤，当1x =时，可得()20a b a c b +-+-≥，即0c a -≥，令t c a =-，则()()222222222243334443b a c a c a a c a ac a tt c a a a ≤++=+--=++224442442632at a t a at t t a ==≤==++++， 当且仅当4a tt a=，即,3b c a =±=时等号成立， 故2223b a c+的最大值为23. 故答案为：23. 【点睛】关键点睛：本题考查一元二次不等式恒成立和基本不等式的综合应用，解题的关键是根据不等式恒成立得出0a >，2244b ac a -≤，0c a -≥，继而将不等式转化为2222224334ac b a c a ca ≤-++442a t t a=++，方可利用基本不等式求解.四、解答题17．已知2:560p x x -+<，22:320q x mx m -+<，其中0m >． （1）若2m =，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}|23x x <<（2）3|22m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据p 和q 为真命题，解不等式2560x x -+<，2680x x -+<，求交集得到x 的取值范围；（2）根据p 是q 的充分不必要条件，得到关于m 的不等式组，解得m 的取值范围. 【详解】（1）因为p 为真命题， 所以2560x x -+<， 解得：23x <<， 当2m =时，q 为真命题， 所以2680x x -+<， 解得24x <<所以p 和q 均为真命题时，23x << 即实数x 的取值范围为{}|23x x <<. （2）由（1）得p ：23x <<， 由22320x mx m -+< 解得2m x m <<（0m >） 所以q ：2m x m <<， 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以223m m ≤⎧⎨≥⎩且等号不能同时成立.解得：322m ≤≤， 所以实数m 的取值范围3|22m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点点睛：涉及数集的充分必要条件时，可转化为判断子集，真子集关系，根据充分条件、必要条件的定义，即可求解，考查了运算能力，属于中档题. 18．已知数列{}n b 为等比数列，21n n b a n =+-，且15a =，215a =．（1）求{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）23n n b =⨯；（2）1233n n S n +=--．【分析】（1）先根据题意得16b =，218b =，进而得数列{}n b 的公比为3q =，再根据等比数列通项公式求解即可；（2）结合（1）得()2321nn a n =⨯--，再根据分组求和的方法分别求和即可得答案.【详解】解：（1）因为，21n n b a n =+-，且15a =，215a =， 所以1116b a =+=，22318b a =+=， 设数列{}n b 的公比为q ，则2211318316b a q b a +====+， 所以16323n n n b -=⨯=⨯．（2）由（1）知，2123nn a n +-=⨯，则()2321nn a n =⨯--，()()223331321n n S n =⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+- ()()12313121233132n n n n n +-+-=⨯-=---．【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，分组求和法，考查运算能力，是中档题. 19．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元()0m ≥满足41kx m =-+(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算）． （1）求k 的值；（2）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）2k =；（2）()163601y m m m =--≥+；（3）投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【分析】（1）根据题意0m =时，2x =可得解； （2）由（1）求出241x m =-+，进一步求出销售价格8161.5x x+⨯，由利润=销售额-固定成本-再投入成本-促销费，即可求解. （2）由（1）()()161636371011y m m m m m ⎡⎤=--=-++≥⎢⎥++⎣⎦，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意知，当0m =时，2x =（万件）， 则24k =-，解得2k =， （2）由（1）可得241x m =-+. 所以每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯（元）， ∴2020年的利润()816161.58163601x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+.（3）当0m ≥时，10m +>，16(128116)m m ∴++≥=+，当且仅当3m =时等号成立. 83729y ∴≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =万元时，max 29y =（万元）. 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 20．已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点()0,1F .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：2y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值.【答案】（1）24x y =；（282【分析】(1)由抛物线的几何性质及题设条件焦点()0,1F ，可直接求得p ，确定出抛物线的开口方向，写出物线C 的标准方程.(2)由题意，可()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，将直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，再结合弦长公式求出12x x -，分别求出M x 和N x 即可表示出MN ，最后利用换元法和二次函数，即可求得MN 最小值. 【详解】（）由题意可设抛物线C 的方程为()220x py p =>，则12p=，解得2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y ，整理得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-， 从而有12x x -==，由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得点M 的横坐标为1121111122844M x x x x x y x x ===---， 同理可得点N 的横坐标为284N x x =-，所以284M N MN x x =-=--43k ==-，令43k t -=，0t ≠，则34t k +=， 当0t >时，N M => 当0t <时，5M N ==≥，综上所述，当253t =-，即43k =-时，MN 【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系，还涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式，同时考查解析几何的基本思想法和运算求解能力.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，n ∈+N ，数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()3n n c n b =-，数列()3n n c n b =-的前n 项和为n T ，求证：8n T <； （3）设数列{}n d 满足()1141n nn nd a λ-=+-⋅⋅（n ∈+N ），若数列{}n d 是递增数列，求实数λ的取值范围.【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2132n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）84λ-<<.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是首项为1，公比为12的对比数列，即可求出{}n a 的通项公式，再利用累加法可求出{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法可求出n T ，即可证明；（3）{}n d 是递增数列等价于1n n d d +>恒成立，分离参数即可求出λ的取值范围. 【详解】（1）1n =时，1112S a a =-=，解得11a =，2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，整理得112n n a a -=， {}n a ∴是首项为1，公比为12的对比数列， 1111122n n n a --⎛⎫⎛⎫∴=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵1n n n b b a +=+，∴1112n n n b b -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则211b b -=，3212b b -=，24312b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，……，2112n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2n =，3，…）.将这1n -个等式相加，得123221111111121212222212n n n n b b ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+++++==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，又∵11b =，∴2132n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）证明：∵()11322n n n c n b n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴022111111223122222n n n T n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.① 而∴2311111112231222222n n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦②①－②得012111111122222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11181842448481222212nn nn n nn T n n ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯⨯=--⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. ∴8n T <；（3）由（1）知()()111141412n n nn n n nd a λλ---=+-⋅⋅=+-⋅⋅， 由数列{}n d 是递增数列，∴对n N +∀∈，1n n d d +>恒成立， 即()()()11111412412341320nn nn n n n n n n n d d λλλ-+--+-=+-⋅⋅---⋅⋅=⋅+-⋅⋅⋅>对n N +∀∈恒成立，即()112n n λ+-⋅⋅>-对n N +∀∈恒成立， 当n 为奇数时，即12n λ+<恒成立，∴4λ<， 当n 为偶数时，即12n λ+>-恒成立，∴8λ>-， 综上实数λ的取值范围为84λ-<<.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查累加法求数列通项，考查错位相减法求数列的前n 项和，考查数列不等式的恒成立问题，属于中档题.22．如图，已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的离心率为12，长轴长为4，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）记AFM∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1232S S =，求k 的值； （Ⅲ）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与直线4x =相交于点E ，记直线AM 、BN 、FE 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，求()213k k k ⋅-的值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）52k =；（Ⅲ）34 【分析】（Ⅰ）根据长轴长、离心率和椭圆,,a b c 关系可求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由面积比可得到2NF FM →→=，由此利用()11,M x y 表示出()22,N x y ，根据两点在椭圆上，代入整理求得()11,M x y ，进而得到所求斜率； （Ⅲ）利用点差法可求得34OD k k =-，求得E 点坐标后可得到31k k=-；将直线方程与椭圆方程联立后可求得,M N 坐标，由三点共线可整理得到213k k =，进而得到11114k k k +=；将上述三个关系式代入()213k k k ⋅-整理可得最终结果. 【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为()20c c >， 椭圆长轴长为4，即24a =，2a ∴=，又12c e a ==，1c ∴=，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（Ⅱ）设点()11,M x y ，()22,N x y .1232S S =，12132122AF y BF y ⨯⨯∴=⨯⨯，又3AF =，1BF =，1212y y ∴=， 2NF FM →→∴=，代入坐标可得：()21211212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩，即2121322x x y y =-⎧⎨=-⎩， 又点M 、N 在椭圆C 上，()()22112211143322143x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨--⎪+=⎪⎩，解得：11748x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线l的斜率087214k -==-； （Ⅲ）点()11,M x y ，()22,N x y 在椭圆C 上，22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22222121043x x y y --+=，即2121212134y y y y x x x x +-⋅=-+-， 34OD k k ∴⋅=-，即34OD k k =-，∴直线OD 的方程为34y x k =-， 令4x =得：3E y k =-，即34,E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，33141k k k-∴==--， 又直线AM 的方程为()12y k x =+，与椭圆C 联立()1222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得：()2222111431616120k x k x k +++-=，211211612243k x k -∴-⋅=+，解得：211216843k x k -=+，()11112112243k y k x k ∴=+=+， ∴点M 的坐标为21122116812,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得：点N 的坐标为22222228612,4343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 又点M 、N 、F 三点共线，12221222122212121243436886114343k k k k k k k k k -++∴==----++，整理得：()()12124330k k k k +-=， 由题意知：10k >，20k >，213k k ∴=，由1211221121124346814143k k k k k k k +==---+可得：21111141144k k k k k -==-，即11114k k k +=. ()21311111133344k k k k k k k k ⎛⎫∴⋅-=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中三角形面积问题的求解、椭圆中的定值问题；求解定值问题的关键是能够利用一个变量表示出所求的式子，进而通过化简、消元得到定值.。
2022-2023学年江苏省扬州市邗江中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省扬州市邗江中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）(1,4),(,2)A B λ--34πλA ．-7B ．-5C ．-2D ．2【答案】A【分析】根据两点坐标，列出斜率表达式，然后根据倾斜角得到斜率，列出方程求解即可.,A B 【详解】因为两点所在直线的倾斜角为，(1,4),(,2)A B λ--34π则，即()()243πtan14AB k λ--==--6171λλ=-⇒=-+故选:A.2．等差数列{an }中，a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450，求a 2+a 8=（ ）A ．45B ．75C ．180D ．300【答案】C【分析】根据等差数列性质：若，则，运算求解.m n p q +=+m n p qa a a a +=+【详解】∵{an }为等差数列，则，即3456755450a a a a a a ++++==590a =∴2852180a a a +==故选：C.3．已知椭圆的焦距是2，则离心率e 的值是（ ）22:14x y C m +=A B．C ．D1212【答案】B【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解.222a b c =+ce a =【详解】因为椭圆的焦距是2，所以，22:14x y C m +=1c =当椭圆焦点在轴上，，所以x 415m =+=c e a ===当椭圆焦点在轴上，，所以，故A ，C ，D 错误.y 41m =+12c e a ==故选：B.4．若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且，则线段的中点l 28y x =,A B |16|AB =AB 到轴的距离为（ ）P y A ．B ．C ．D ．681012【答案】A【解析】由双曲线的定义可得，再由中点坐标公式即可得解.12||4B x A x =++【详解】由题意，抛物线的准线为，2x =-设，所以，即，()()1122,,,A x y B x y 121||46x A x B =+=+1212x x +=所以点的横坐标为，所以点到轴的距离为6.P 1262x x +=P y 故选：A.5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）()1,1P 220x y x y k ++-+=k A ．B ．()2-+∞，12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．D ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,2-【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.【详解】解：因为点在圆的外部，()1,1P 220x y x y k ++-+=所以，解得.111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩122k -<<故选：C ．6．已知数列{an}是等差数列，若，且它的前n 项和Sn 有最大值，则使得Sn>0的n 的最121110a a +<大值为A ．11B ．12C ．21D ．22【答案】C【详解】由题意得，由前n 项和S n 有最大值可知等差数列{a n }为递减，d<0.所以1211110a a a +<，所以，所以n=21,选C.111112120,0,0a a a a >+<<11122111222312210,22()0,2302a a S a S S a +=>=<=<7．椭圆的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交椭圆于点22:195x y C +=1F 2F 1F 3π（在轴的上方），连接，再作的角平分线，点在上的投影为点，则M M x 2MF 12F MF ∠l 2F l N （其中为坐标原点）的长度为（ ）ON OA B ．1C D ．12【答案】D【分析】设，进而结合椭圆定义和余弦定理得，即，12||,||6MF m MF m ==-52m =15||2MF =，再延长交于，再结合题意可知是的中点，，最后根据中27||2MF =2F N 1MF H N 2H F 2||||MH MF =位线定理即可得答案.【详解】解：由题知，3,2a b c ===因为在椭圆上，所以，M 12||||26MF MF a +==设，12||,||6MF m MF m ==-在中，由余弦定理得，解得，12MF M 222(6)424cos3m m m π-=+-⨯⨯⨯52m =所以，，，15||2MF =27||2MF =延长交于，2F N 1MF H 因为是的角平分线，点在上的投影为点，l 12F MF ∠2F l 所以是的中点，，N 2H F 2||||MH MF =因为是的中点，O 12F F 所以.121111751||(||||)(222222ON HF MF MF ==-=-=故选：D8．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点. 过的直线与双12,F F 22:1412x y C -=E C 2F 曲线的右支交于两点（其中点A 在第一象限），设分别为的内心，则C ,A B ,M N 1212,AF F BF F 的取值范围是（ ）ME NE-A ．B．,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛ ⎝C ．D．⎛⎝⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝【答案】B 【分析】设上的切点分别为，利用双曲线定义及内心性质可得，1212,,AF AF F F ,,H I J 2M J x x ==同理可得，2N x =设直线的倾斜角为，由均在双曲线右支结合渐近线斜率可得，则通过AB θ,A B π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化简讨论范围即可.()()πtantan 22M c a N c E E a θθ-=----【详解】由题意，，，2,4a b c ===()2,0E 设上的切点分别为，则，1212,,AF AF F F ,,H I J 1122,,AH AI F H F J F I F J ===由得，124AF AF -=()()1212124J J AH F H AI F I F H F I F J F J c x c x +-+=-=-=+--=∴，即J 与E 重合，又x 轴，故，同理可得.2J x =MJ ⊥2Mx =2N x =设直线的倾斜角为，∵均在双曲线右支，则，即AB θ,A B[)tan ,,0,πb b a a θθ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭，则，(tan θ∈π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵，则22π,22EF M EF N θθ-∠=∠=，()()()()cos sin π2cos 22tan tan 22sin sin cos 22M c E NE c a c a c a a θθθθθθθθ⎛⎫ ⎪-=---=--=-⎪ ⎪⎭- ⎝当时，；当，.π2θ=0ME NE -=π2θ≠()24tan tan ME NE c a θθ⎛⎫⎛=-=∈ ⎪ ⎪- ⎝⎭⎝综上， 的取值范围是.ME NE-⎛ ⎝故选：B二、多选题9．已知数列的前n 项和为，，则下列说法正确的是（ ）{}n a n S 25n S n n =-A ．为等差数列B ．{}n a 0n a >C ．最小值为D ．为单调递增数列n S 254-{}n a 【答案】AD【分析】根据，求得，继而求出，即可判断；结合，可判25n S n n =-14a =-26n a n =-A,D 14a =-断B;利用二次函数性质确定最小值，判断C.n S【详解】由题意数列的前n 项和为，，{}n a n S 25n S n n =-当时，，1n =11154a S ==-=-当 时，，2n ≥2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-当时，满足上式，所以 ，1n =14a =-26n a n =-由于，所以数列为首项为 ，公差为2的等差数列，()122n n a a n --=≥{}n a 4-因为公差大于零，所以为单调递增数列，所以正确，{}n a A,D 由于，故B 错误，140a =-<由于，，225255(24n S n n n =-=--N n *∈所以当或 时，取最小值，且最小值为 ，所以C 错误，2n =3n =n S 6-故选：AD10．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：m ∈R A 1l20x my m -+-=B 2l 交于点（与，不重合），则（ ）()42y m x -=-+P P A B A ．点的坐标为B ．直线垂直于A ()1,11l2l C ．D ．的最大值为2220PA PB +=2PA PB+【答案】BD【分析】首先求出直线过定点坐标，再判断两直线的位置关系，即可得到，利用勾股定PA PB ⊥理判断C ，设，即可表示出、，再利用辅助角公式计算可得.PAB θ∠=PA PB 【详解】由题意可知，动直线：，即，1l20x my m -+-=()()210x m y -+-=令，解得，即动直线经过定点，2010x y -=⎧⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩1l ()2,1A 同理可得动直线：经过定点．2l ()240m x y ++-=()2,4B -又的方程可化为，，所以两条直线始终垂直，又是两条直2l 240mx y m ++-=()110m m ⨯+-⨯=P 线的交点，所以，所以．PA PB ⊥()()22222224125PA PB AB +==--+-=设，则，，PAB θ∠=5cos PA θ=5sin PB θ=所以（其中，），()210cos 5sin PA PB θθθϕ+=+=+≤sin ϕ=cos ϕ=tan 2ϕ=所以的最大值是．2PA PB +故选：BD11．已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）,A B 2:4C y x =F C A ．直线过焦点时，最小值为4AB F ABB ．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），AB F 60A 2AF BF=C ．若中点的横坐标为3，则最大值为8AB M ABD ．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程A ()4,4,AF AB 0,AF D BD 为：4870x y ++=【答案】ACD【分析】对于A ，由题意，过焦点，则垂直轴时最小，可得答案；x 对于B ，已知直线的倾斜角，可根据抛物线焦半径公式，可得答案；对于C ，根据三角形三边性质，可得不等式，由于中点坐标已知，根据抛物线定义与梯形中位线，可得答案；对于D ，利用中点弦的斜率公式，可求得点的纵坐标，进而求得该点的坐标，根据可以，求得D 的斜率，同样方法，可得点的坐标，可得答案.AB B 【详解】对于A 选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；AB F AB x AB4对于B 选项，由题意，作图如下：则，轴，轴，即，，60θ= AG x ⊥BE x ⊥cos GF AF θ=cos EF BF θ=，，即，，AC GF p=+BH p EF=-AF GF p=+BF p EF=-，，，cos AF AF pθ=+cos BF p BF θ=-,1cos 1cos p pAF BF θθ==-+，故错误；44,1cos601cos603p p AF BF ====-+ 对于C 选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点AB 28A B AB AF BF x x +=++= AB 时等号成立，故正确；F 对于D 选项，依题意，，故，即，由题意，443A D AF A D A D y y k x x y y -===-+1D y =-1,14D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得，故直线方程为，故正确.403AB AF k k =-=-49,74B ⎛⎫- ⎪⎝⎭BD 4870x y ++=故选：ACD.12．已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积22:1169x y C +=P 1F 2F 12F PF θ∠=12F PF △为，则下列说法正确的是（ ）S A ．若，则；B ．若，则满足题意的点有个；60θ=︒S =3S =P 4C ．若是钝角三角形，则；D ．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.12F PF △S ⎛∈ ⎝C 12【答案】ABC【分析】对于A ，利用焦点三角形的面积公式可求解，对于B ，利用三角形的面积公式求出三角形的高与比较即可判断，对于C ，三角形是钝角三角形，求出三角形是直角三角形的面积，进而可b 求出范围，对于D ，利用椭圆的参数方程以及三角函数的性质求出即可【详解】由椭圆可得，则22:1169x y C +=4,3a b ==c =对于A ，设，，则，由此可得，12,PF m PF n ==12F PF θ∠=222242cos m n a c m n mn θ+=⎧⎨=+-⎩221cos b mn θ=+所以的面积为12F PF △222112sin sin sin tan 221cos 1cos 2b S mn b b θθθθθθ==⋅⋅=⋅=++所以A 正确，2tan9tan 302S b θ==⨯︒=对于B ，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意1211322S F F h =⋅=⨯=3h b =<=的点有个，所以B 正确，P 4对于C ，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设12F PF △12F PF △90︒2190PF F ∠=︒，则，因为，所以解得，所以12,PF m PF n==2222428m n c n =+=+28m n a +==9n 4=是钝角三角形时，有，所以C 正确，122119224S F F PF ==⨯12F PF △S ⎛∈ ⎝对于D ，令，，则椭圆内接矩形的周长为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（其中且满足344(3sin 4cos )16cos 12sin 20sin cos 55θθθθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭20sin()θϕ=+,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为43sin ,cos 55ϕ==0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2πθϕϕϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，即，所以D 错误，20sin ,20sin 22ππϕ⎛⎤⎛⎫+ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(]12,20故选：ABC三、填空题13．已知直线与直线垂直，则实数的值为__________．()21:130l a x y -+=()2:140l x a y +++=a 【答案】或1-2-【分析】直接根据直线垂直的公式计算即可.【详解】直线与直线垂直，()21:130l a x y -+=()2:140l x a y +++=故，解得或.()()21310aa -++=1a =-2a =-故答案为：或1-2-14．以抛物线的焦点为圆心，且以双曲线的一条渐近线相切的圆的方程214y x =2214y x -=__________．【答案】，221(1)5x y +-=【分析】根据条件，可得焦点坐标、渐近线方程，根据圆与渐近线相切，可得圆心到直线的距离等于半径r ，代入公式，即可求得半径r ，即可得答案.【详解】由题意知，抛物线，所以焦点坐标为（0,1），24x y =又双曲线的渐近线方程为，不妨取，即，2214y x -=2y x =±2y x =20x y -=设圆的半径为r ，由题意得r 所以圆的方程为：.221(1)5x y +-=故答案为：221(1)5x y +-=15．已知线段是圆的一条动弦，且，若点P 为直线上MN 22:(1)4C x y -+=2MN =260x y -+=的任意一点，则的最小值为________________．|2|PM PN -【分析】设，则，作出图示，确定点E 的轨迹方程，利用点到直2PM PN PE -= 2PM PE PN =+线的距离公式求得轨迹方程上的点到直线的距离的最小值，即求得的最小260x y -+=|2|PM PN - 值，即得答案.【详解】由题意，设，则，则M 为的中点，则,2PM PN PE -= 2PM PE PN =+EN ||2EM MN ==又，作,则 ,2MN =CF MN ⊥||1,||3MF EF =∴=又故,||CF ==||EC ===即E 点在圆上运动，圆心为,到直线的距离为22(1)12x y -+=(1,0)C 260x y -+=d ==则点到直线E 260x y -+==即的最小值，也即||PE |2|PM PN -16．已知椭圆的左，右焦点，过原点的直线与椭圆相交于两2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F l C ,M N 点．其中点M 在第一象限，C 的离心率的取值范围为1121||,NF MN F F MF=≥__________．【答案】.1⎤⎥⎦【分析】由题意可得四边形为矩形，由勾股定理可得，可得12MF NF 222124MF MF c +=，可得的值，又由的范围，可得的关系，进而求出椭圆222222444MF a MF a c -+=2MF 2MF ,a c 的离心率.【详解】因为，所以由椭圆的对称性可得四边形为矩形，12||MN F F =12MF NF 所以，12NF MF =因为，，222124MF MF c +=122MF MF a+=所以，222222444MF a MF a c -+=即，2222220MF a MF b -+=由，得，22480a b ∆=->2222222a b a c >=-所以，得，222a c <c a >因为点M 在第一象限，所以解得，2MF a =，，122MF MF a+=所以，得，)222MFa MF ≥-)21a MF a >≥所以，)1a a ≥化简得，解得，2224a c -≥1ca ≤，1ca <≤所以椭圆C的离心率的取值范围为，1⎤⎥⎦故答案为：.1⎤⎥⎦四、解答题17．记是公差不为的等差数列的前项和，若，.n S 0{}n a n 33aS =435a a S =(1)求数列的通项公式；{}n a n a (2)求使成立的的最小值.n n S a >n 【答案】(1)；23n a n =-(2).4【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据已知条件可得出关于、的方程组，{}n a d 0d ≠1a d 求出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；{}n a （2）求出的表达式，然后解不等式，即可得解.n S n n S a >【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，{}n a d 0d ≠因为，，则，解得或（舍），33a S =435a a S =()()1111123323510a d a d a d a d a d +=+⎧⎨++=+⎩112a d =-⎧⎨=⎩100a d =⎧⎨=⎩所以.()()1112123n a a n d n n =+-=-+-=-（2）解：由（1）可得，()()12123222n n n a a n n S n n+-+-===-由可得，即，解得或，n n S a >2223n n n ->-2430n n -+>1n <3n >，所以，正整数的最小值为.n N *∈ n 418．已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线'与圆相交于()1 2A -，:270l x y ++=(2,0)B -l A 两点．,M N (1)求圆的标准方程；A(2)当时，求直线'的方程．MN =l 【答案】(1)；()()221220x y ++-=(2)或.2x =-3460x y -+=【分析】(1)根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出圆的半径，结合圆心即可求出圆的方程；(2)如图取的中点Q ，连接AQ ，则，结合点直线的距离公式和几何法求弦长可得MN AQ MN ⊥，根据直线斜率存在和不存在分类讨论，即可求解.1AQ =【详解】（1）设圆A 的半径为r ，由题意知，圆心到直线l 的距离为，即，d r =所以圆A 的方程为；22(1)(2)20x y ++-=（2）当直线与x 轴垂直时，直线方程为，即，l '2x =-20x +=点A 到直线的距离为1，此时MN ==当直线与x 轴不垂直时，设，即，l ':(2)l y k x '=+20kx y k -+=取的中点Q ，连接AQ ，则，MN AQ MN ⊥因为，MN =1=又点A 到直线l '，解得，所以直线方程为.134k =l '3460x y -+=综上，直线的方程为或.l '2x =-3460x y -+=19．已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．2:2(0)C y px p =>M F M x (1)求抛物线的方程．C (2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线F C ,A B E =1x -的斜率成等差数列．,,EA EF EB 【答案】(1)；24y x =(2)证明见解析.【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明p 即可.2EA EB EF k k k +=【详解】（1）设点，由题意可知，00(,)M xy 0y =所以，解得．202px =08x =因为，所以．08922p pMF x =+=+=2p =所以抛物线的方程为．C 24y x =（2）设直线的方程为，AB 2212121,,,,44y y x my A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立方程组消去得，24,1,y x x my ⎧=⎨=+⎩x 2440,y my --=所以．12124,4y y m y y +==-设，则()1,E n -()()22121212121222221212244411114444EA EBy y y y y y y y n n y n y n k k y y y y ⎛⎫+++-+- ⎪--⎝⎭+=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22122212244244y y n n y y ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==-++又因为，2EF n k =-所以，即直线的斜率成等差数列．2EA EB EF k k k +=,,EA EF EB 【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线的斜率成,,EA EF EB 等差数列只需证明即可.2EA EB EFk k k +=20．已知数列的前n 项和（），数列满足．{}n a 1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭*N n ∈{}n b 2n n n b a =(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；{}n b {}n a (2)设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数入，使得数列{}n c ()()131n n n n a c n λ--=-λ*N n ∈是单调递增数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由{}n c λ【答案】(1)证明见解析，2n nna =(2)存在，1λ=-【分析】（1）计算，根据数列通项与前项和的关系得到，计算，112a =n 11122n n n a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11n n b b --=得到，代入计算得到答案.n b n =（2）计算，得到，考虑和两种情况，()1312n n nn c λ-=+-⋅()123312nn nn n c c λ+-=⋅+-⋅2n k =21n k =+计算得到答案.【详解】（1）当时，，解得；1n =1112S a =--+112a =当时，，，2n ≥1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭相减得到，11122n n n a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，，2n n n b a =111111111212222n n n n nn n n n n n b a b a a a --------⎡⎤⎛⎫--=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=数列是等差数列，，故，，验证时，满足，{}n b 1121b a ==n b n =2n n na =1n =故.2n n na =（2），故()()131n n n n a c n λ--=-()1312n n nn c λ-=+-⋅假设存在满足条件，λ，()()()111131231223312nn nn n n n n nn n c c λλλ-+++-=+-⋅---⋅=⋅+-⋅当时，，即，即；*2,N n k k =∈123320n n n n c c λ+-=⋅+⋅>132n λ-⎛⎫>- ⎪⎝⎭32λ>-当时，，即，即；*21,N n k k =+∈123320n n n n c c λ+-=⋅-⋅>132n λ-⎛⎫< ⎪⎝⎭1λ<综上所述：，为非零整数，故.312λ-<<λ1λ=-21．设分别是圆的左､右焦点，M 是C 上一点，与x 轴垂直.直线12,F F 2222:1(0)x y C a b a b +=>>2MF与C 的另一个交点为N ，且直线MN 1MF (1)求椭圆C 的离心率.(2)设是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ､B 两点，过点D (0,1)D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得的长度为定值？并证明你||RQ 的结论.【答案】(2)存在，证明见解析【分析】（1）由题意，表示点的坐标，根据斜率与倾斜角的关系，可得出的等量关系，再M ,,a b c 根据的性质，可得齐次方程，即可得答案；,,a b c （2）根据椭圆上顶点的性质，可得的值，进而得到椭圆的标准方程，设出直线的方程，并联b AB 立且消元整理一元二次方程，写韦达定理，根据垂直，解得截距的值，得到直线过定点，根据圆的性质，直径所对的圆周角为直角，半径为定值，可得圆心便是答案.【详解】（1）由题意知，点在第一象限.是上一点且与轴垂直，M M C 2MF x 的横坐标为.当时，，即.M ∴c x c =2b y a =2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭又直线MN 2212tan 22bb a MF Fc ac ∠===即，即，222b ac ==-220c a +-=则，解得或，即210e -=e=e =e =（2）已知是椭圆的上顶点，则()0,1D 2221,,c b a b c a a ===+∴=，2212xy +=易得直线AB 的斜率必然存在，设直线的方程为，AB ()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+由可得2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩()()()222124210*,k x kmx m +++-=所以，()2121222214,1212m km x x x x k k --+==++又，.()()1122,1,,1DA x y DB x y =-=-()()()()121212121111DA DB x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-()()()22121211(1)k x x k m x x m =++-++-，()()()2222221411(1)1212m km k k m m kk--=+⋅+-⋅+-++()()()()2222222211412(1)012m k k m m k m k -+--++-==+化简整理有，得或.23210m m --=13m =-1m =当时，直线经过点，不满足题意；1m =AB D 当时满足方程中，故直线经过轴上定点.13m =-()*Δ0>AB y 10,3G ⎛⎫- ⎪⎝⎭又为过点作线段的垂线的垂足，故在以为直径的圆上，取的中点为，则Q D AB Q DG DG 10,3R ⎛⎫⎪⎝⎭为定值，且RQ1223RQ DG ==22．在一张纸片上，画有一个半径为4的圆（圆心为M ）和一个定点N ，且MN =任取一点A ，将纸片折叠使得A 与N 重合，得到折痕BC ，直线BC 与直线AM 交于点P．(1)若以MN 所在直线为轴，MN 的垂直平分线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P y 的轨迹方程；(2)在（1）中点P 的轨迹上任取一点D ，以D 点为切点作点P 的轨迹的切线，分别交直线，l 2y x =于S ，T 两点，求证：的面积为定值，并求出该定值；2y x =-SOT △(3)在（1）基础上，在直线，上分别取点G ，Q ，当G ，Q 分别位于第一、二象限时，2y x =2y x =-若，，求面积的取值范围．GP PQ λ= 1,32λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦GOQ △【答案】(1)2214y x -=(2)证明见解析，定值为2(3)82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）结合几何关系将所求问题转化为求的定值问题即可求解曲线方程；PM PN-（2）先由斜率为0求出，当斜率不为0时，设直线方程为，联立直线与2SOT S =△()0x ty n t =+≠双曲线方程，由得，再由切割法得Δ0=2241t n =+SOT SOHTOHS S S=+△△△，求出点，联立直线与渐近线方程求出，代入面积公式化简即可；1212OH x x =⋅-H ,S T （3）设，，，由代换出点坐标，将代入双曲线方程()00,P x y ()33,2G x x ()44,2Q x x -GP PQ λ=P P 化简得，再结合坐标面积公式进一步化简得关于的对勾函数，()23414x x λλ+=-343412S x y x y =-λ由对勾函数性质可求面积的取值范围．GOQ △【详解】（1）过点N 作圆M 的切线，切点分别为E ，F ．由题意知，BC 是线段AN 的垂直平分线，因为直线B C 与直线AM 交于点P ，所以，PA PN=当点A 在劣弧EF 上时，点P 在射线MA 上，所以；4PM PN PM PA MA -=-==当点A 在优弧EF 上时，点P 在射线AM 上，所以．4PN PM PA PM MA -=-==所以4PM PN -=<所以点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线．设该双曲线的标准方程为，()222210,0y x a b a b -=>>则，24a =2c =所以a ＝2，，，c =2221b c a =-=所以点P 的轨迹方程为；2214y x -=（2）双曲线的渐近线为．由题意知直线l 的斜率存在，设2y x =±()()1122,,,S x y T x y 当直线l 的斜率为0时，易知是以ST 为底边的等腰三角形，SOT △,，则，此时．122y y ==121x x ==2ST =12222SOT S =⨯⨯=△当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为，()0x ty n t =+≠联立消去x 得，22,1,4x ty n y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()222148440t y nty n ----=．①()()2222226441444041n t t n t n ∆=+-+=⇒=+设直线l 与y 轴交于点H ，则，nOH t =则．1212122SOT SOHTOHnS SSOH x x t y y t =+=⋅-=⋅⋅-△△△（直接求的面积不易求得，将进行拆分）SOT △SOT △联立，2,2,1212y x nn S x ty n t t =⎧⎛⎫⇒⎨ ⎪=+--⎝⎭⎩联立．2,2,2121y x n n T x ty n t t =-⎧-⎛⎫⇒⎨ ⎪=+++⎝⎭⎩则（定值）．22224142212122142SOT n n n n n n n S t t t t t t t t t n =⋅⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅=-+-△综上所述，的面积为定值2；SOT△（3）由题可设，，，，()00,P x y ()33,2G x x ()44,2Q x x -()0303,2GP x x y x =--．()4040,2PQ x x x y =---因为，所以GP PQ λ= ()()()34003400340340,,1222.1x x x x x x x y x x y x x y λλλλλλ⎧+⎧=⎪⎪-=-+⎪⎪⇒⎨⎨-=---⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩将点的坐标代入双曲线方程有，化简得．()00,P x y 223434111x x x x λλλλ-+⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()23414x x λλ+=-故．()()423443343341111122222222GOQS x y x y x x x x x x λλλλ+⎛⎫=-=--⋅===++ ⎪⎝⎭△（三角形面积公式）343412S x y x y =-因为，所以由对勾函数性质得，1,32λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1102,3λλ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故．011822,23G Q S λλ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦。