2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全

（平面向量）

一、选择题：

1.（2015安徽理）C ?AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，

则下列结论正确的是（ ） （A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ?= （D ）()

4C a b +⊥B

2、（2015北京文）设a ，b 是非零向量，“a b a b ?=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】

试题分析：||||cos ,a b a b a b ?=?<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ?=-，故“a b a b ?=”是“//a b ”的充分而不必要条件.

考点：充分必要条件、向量共线.

3．（2015福建文）设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ）

A ．32-

B ．53-

C ．53

D ．3

2

【答案】A

考点：平面向量数量积．

4．（2015福建理）已知

1

,, AB

AC AB AC t

t

⊥=

=，若P点是ABC

?所在平面内一点，且4

AB AC

AP

AB AC

=+，则PB PC

?的最大值等于（）

A．13 B．15 C．19 D．21

【答案】A

x

y

B

C

A

P

考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．

5.（2015广东文）在平面直角坐标系x y

O中，已知四边形CD

AB是平行四边形，()

1,2

AB=-，()

D2,1

A=，则D C

A?A=（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】D

【解析】

试题分析：因为四边形CD

AB是平行四边形，所以()()()

C D1,22,13,1

A=AB+A=-+=-，所以()

D C23115

A?A=?+?-=，故选D．

考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．

6、(2015湖南文)已知点A,B,C 在圆2

2

1x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则

PA PB PC ++ 的最大值为（ ）

A 、6

B 、7

C 、8

D 、9

【答案】B

【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆22

1x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.

由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB +取得最大值7，故选B.

考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质

7. (2015湖南理)已知点A ，B ，C 在圆2

2

1x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B.

【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.

【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属

于中

档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距

离的 最值问题，即圆2

2

1x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.

8、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)

9.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ）

（A ）1433AD AB AC =-+ (B)14

33

AD AB AC =-

（C ）4133AD AB AC =

+ (D)41

33

AD AB AC =- 【答案】A

【解析】试题分析：由题知

11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==14

33

AB AC -+，故选A.

考点：平面向量运算

10. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+?=a b a （ ）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意可得22=a ,3,?=-a b 所以()2

22431+?=+?=-=a b a a a b .故选C.

考点：向量数量积.

11.(2015山东理)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=

,则BD CD ?=（ ）

（A ）232a -

（B ）23

4

a - （C ） 234a （D ） 232a

【答案】D

【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.

【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.

12.(2015陕西文、理)对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．||||||||a b a b -≤-

C ．22

()||a b a b +=+ D ．22

()()a b a b a b +-=-

【答案】B

考点：1.

向量的模；2.数量积.

13.(2015四川理)设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，

2DN NC =，则AM NM ?=（ ）

（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C

【考点定位】平面向量.

【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB =，4AD =故可选,AB AD 作为基底.

14、(2015四川文)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )

(A )2 (B )3 (C )4 (D )6 【答案】B

【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.

【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.

15．(2015重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |=22

3

|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ）

A 、

4π B 、2

π

C 、34π

D 、π

【答案】A

【考点定位】向量的夹角.

16. (2015重庆文)已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（ ）

(A)

3π (B) 2π (C) 32π (D) 6

5π 【答案】C

考点：向量的数量积运算及向量的夹角.

二、填空题：

1.（2015安徽文）ABC ?是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC

+=→2，

则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）

①a

为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。

2. （2015北京理）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则

x = ；y = ．

【答案】

11

,26

- 【解析】

试题分析：特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥

==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x

轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2

A M C

B N ，

1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC =，则1(2,)(4,0)(0,3)2

x y -=+，

111

42,3,,226

x y x y ==-

∴==-. 考点：平面向量

3.（2015湖北文、理）已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ?=_________． 【答案】9.

【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.

【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.

【解析2】

试题分析：因为OA AB ⊥，||3OA =，

所以OA OB ?=93||||)(222===?+=+?OA OB OA OA AB OA OA . 考点：1.平面向量的加法法则，2.向量垂直，3.向量的模与数量积.

4. (2015江苏)已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为______. 【答案】3- 【解析】

试题分析：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-?==-=- 考点：向量相等

5. (2015江苏)设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k π

ππ，则11

10

()k k k a a +=?∑的值为

【答案】93【解析】

试题分析：20111(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k k k a a ππππππ++++?=+?+ 2(1)3321(21)cos sin cos cos sin cos

6666626k k k k k ππππππππ

++++=++=++ 因此11

10

33

123k k k a a +=?==∑考点：向量数量积，三角函数性质

6．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．

【答案】

1

2

【解析】

试题分析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,

k k λ=??

=?，所以1

2λ=．

考点：向量共线．

7. (2015上海文)已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+

【考点定位】平向量的模，向量垂直.

【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c 的坐标，用坐标表示c b a ++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||c b a ++的最大值.

8、(2015上海理)在锐角三角形C AB 中，1

tan 2

A =

，D 为边C B 上的点，D ?AB 与CD ?A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E?= ．

【答案】16

15

-

【解析】由题意得：1

sin ,cos ,sin 241252

55A A AB AC A AB AC =

=

??=+??=，又

112,43222125

AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ?=?=????=??=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E?=16

cos()()151255

DE DF A π??-=?-=- 【考点定位】向量数量积，解三角形

9. (2015天津文) 在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21

,,36

BE BC DF DC == 则AE AF ?的值为 ． 【答案】

29

18

【解析】

试题分析：在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得

12AD BC ?=

,1AB AD ?=,1

2

DC AB = ,所以()()

AE AF AB BE AD DF ?=+?+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ????

=+?+=?+?++?=++-=

? ?????考点：平面向量的数量积.

10.(2015天津理)在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和

F 分别在线段BC 和DC 上,且,1

,,9BE BC DF DC λλ

==

则AE AF ?的最小值为 . 【答案】

2918

【解析】

试题分析：因为1,9DF DC λ=

1

2DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλ

λλλ--=-=-==，

AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλ

λλ

-+=++=++

=+，

()

221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++???

??=+?+=+++? ? ?????

19199421cos1201818λλ

λλλ

++=?++????21172117299218921818λλλλ=

++≥?= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ?的最小值为29

18

.

B

A

D C E

考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.

11. (2015浙江理) 已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ?=

，若空间向量b 满足1252,2

b e b e ?=?=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，

0y = ，b = ．

12、(2015浙江文)已知1e ，2e 是平面单位向量，且121

2

e e ?=．若平面向量b 满足121b e b e ?=?=，则b = ． 【答案】23

3

【解析】

试题分析：由题可知，不妨1(1,0)e =，213

(,

22

e =，设(,)b x y =，则11b e x ?==，21312b e x y ?=+=，所以3(1,)b =，所以12313b =+=考点：1.平面向量数量积运算；2.向量的模.