浅谈初中数学中的找规律题

发表时间：2012-04-28T08:44:29.327Z 来源：《少年智力开发报》2011年第21期供稿作者：夏丽娜[导读] 根据以上这些直线划分平面最初的具体的情况总结规律，探究十条直线最多可以将平面分成多少个部分。桃州中学夏丽娜

最近两年，全国多数地市的中考试题都有找规律的题目，人们开始逐渐重视这一类数学题，研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。但究竟怎样才能把这种题目做好，是一个值得探究的问题，这类问题没有明确的知识方法可套，在现在的教科书上也很少触及这类问题。主要考查学生的综合分析问题和解决问题的能力。下面就解决这类问题作一个初步的探究。

一、代数中的规律

“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例1 观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是＿＿＿。”分析：解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，……。序列号： 1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n 项是n-1，第100项是100-1。如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。例2 （1）观察下列运算并填空 1×2×3×4＋1＝24＋1＝25＝5

2×3×4×5＋1＝120＋1＝121＝112

3×4×5×6＋1＝360＋1＝192

4×5×6×7＋1＝＋1＝＝ 2

7×8×9×10＋1＝＋1＝＝ 2

（2）根据（1）猜想（n+1）(n+2)(n+3)(n+4)+1=( )2 并用你所学的知识说明你的猜想。

分析：第（1）题是具体数据的计算，第（2）题在计算的基础上仔细观察。已知四个数乘积加上1的和与结果中完全平方数的数的关系是猜想的正确性的解释，只要用完全平方数四个数的首尾两数乘积与1的和正好是完全平方数的底数，由此探索其存在的规律，解决猜想公式逆用就可解决

解：（1）4×5×6×7＋1＝840＋1＝841＝292

7×8×9×10＋1＝5040＋1＝5041＝712

（2）（n+1）(n+2)(n+3)(n+4)+1 ＝[(n+1)(n+4)+1]2

＝（n2+5n+1）2

二、平面图形中的规律。图形变化也是经常出现的。作这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。例3 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，

第n个图形中需要黑色瓷砖多少块？（用含n 的代数式表示）.

分析：这一题的关键是求第n 个图形中需要几块黑色瓷砖？在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。所以，第n个图形中一共有4+3（n-1）块黑瓷砖，也即（3n+1）块。有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题

就可以迎刃而解。

例4 “观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球多少个？”

分析：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球。我们只要知道 2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为2004÷10 =200（余4）。所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。所以，一共有602个实心球。

例5 平面内的一条直线可以将平面分成两个部分，两条直线最多可以将平面分成四个部分，三条直线最多可以将平面分成七个部分…

根据以上这些直线划分平面最初的具体的情况总结规律，探究十条直线最多可以将平面分成多少个部分。

分析:1条直线将平面分成2个部分

2条直线最多可以将平面分成4（＝2+2）个部分 3条直线最多可以将平面分成7（＝4+3）个部分 4条直线最多可以将平面分成11（＝7+4）个部分